地球重力场的表达方式
第六章——地球重力场模型
第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。
以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。
6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。
用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。
当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。
地球重力场
在重力勘探和大地测量学中，一般把大地水准面的形状作为地球 的基本形状。
测量结果表明，大地水准面的形状不规则，它在南北两半球并 不对称，北极略为突出，南极略平，呈“梨”型，见下图。
1、计算正常重力值的基本公式：
g0 ge (1 sin2 1 sin2 2)
式中 g p ge ,
ge
1
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
（例如，△m=50万吨的球形矿体，当中心埋深为100米， 可产生355μGal 的异常，当中心埋深为1000米； 则只能 产生3.4μGal的异常，该强度的异常仪器不能观测到。）
（5）干扰场不能太强或具有明显的特征。
第二节 岩矿石密度、重力仪
三大岩类物质循环
三大岩类物质循环
一、岩（矿）石的密度及地球密度分布
（2）成岩过程中的冷凝、结晶分异作用也会造成 同一岩体不同岩相带，由边缘相到中心相， 密度逐渐增大；
C=mr ，方向垂直自转轴向外。
（二）重力场
1、重力场强度
单位质量的物体在重力场中所受的力，称为重力 场强度
P = mg
g=P/m
上式左边为重力场强度，右边为重力加速度
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
第二章地球重力场
a ( 9.78033 0.00001)m / s2
U0 ( 6.263686 0.000003) 107 m 2 / s2
GRS80系统正常重力在椭球面上的公式
( 0 ,) 978.0327(1 5.279041103 sin 2 2.32718105 sin 4 0.01262105 sin6 )Gal
Wzz
描述了重力随高程的变化， 称为垂直重力梯度，与水 准面曲率有关。
2-5 地球引力位的球谐函数展开
从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是 简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能 直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。 引力位可用基本公式(1-11)表示
故在椭球面S0 上的全部重力以γ 表示时，则有
(2-69)
再引入下列简化符号 第二偏心率
(2-72)
(2-72)
上式是一个重要的近似公式，1738年由克莱劳提出，所以称为 克莱劳理论。比较一下(2-73)式的 γa 和(2-74)式的γb ，以及 (2-72)式中括弧号的量，可以看出 γ 有如下的对称的公式
正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体 所产生的重力场。
此物体称为 正常地球旋转椭球
正常重力场的等位面称为 正常水准面。由于正常位可以根据 正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。
如果设定了正常地球的长半径 a、扁率 f、旋转角速度ω 以 及总质量 M，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。 根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的 重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球。进一步地，采
a 6378137 2m GM ( 398600.5 0.05 ) 109 m 3 / s2 其中包括大气质量 GMa ( 0.35 0.003 ) 109 m 3 / s2 J 2 ( 1082.63 0.005 ) 106
第二讲 地球重力场
《应用重力学》第二讲地球重力场一、重力(Gravity)重力 = 地球引力惯性离心力微弱,可忽略=吸引力FF GM E R 3惯性离心力Cm RC = m ⎤ 2r重力GG=F+C地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。
④重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力 ( =G/m )④重力加速度g=G/m④重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。
重力加速度重力重力场强度④重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。
重力(重力加速度)单位④在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2 ”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal④在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.1 Gal = 1 cm/s21 g.u. = 10-6m/s21 Gal = ? g.u.1 Gal (伽) = 1 cm/s2 = 10-2 m/s2 = 104 g.u.1 mGal (毫伽) = 10-5 m/s2 = 10 g.u.1 uGal (微伽) = 10-8 m/s2 = 10-2 g.u.重力的变化④包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。
④空间上:地球形状、地形：引起约 6万 g.u. 的变化；地球自转：重力有 3.4万 g.u. 的变化;地下物质密度分布不均匀：能达到几千 g.u.变化人类的历史活动遗迹和建筑物等北赤南极道极在地球表面上，全球重力平均值约为9.8m/s2，赤道重力平均值为9.780m/s2，两极平均值为9.832 m/s2，从赤道到两极重力变化大约为0.05m/s2。
④时间上：潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.④海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。
第二章 地球重力场及地球形状的基本理论
要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度， 但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据 上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位— —正常重力位。
dm 2 W f ( x2 y 2 ) r 2 M
3.2.1
引力与离心力
引力：
离心力： 重力：
M m Ff 2 r
P m 2
g FP
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
3.2.2
引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点都有一 定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间 称为力场。就力场而言，具有共同的特性，即力场所做的功与路径 无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力 都是保守力。 1. 定义：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者 说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。 公式推导原理： 任意两质点M和m相互吸引的引力 ：
因此，引力位梯度的负值，在数值上等于单位质点受 r 处的质 体 M 吸引而形成的加速度值。
dm 地球整体的位函数：V dV f r (M ) (M )
3.2.2
引力位和离心力位
续3
引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴 上的加速度(或引力)向量的负值。用公式表达为：
V V V az ay ax ， ， z y x
v3
R 3 5 3 3 ( ) ( cos cos )dm r 2 2 M
3.2.4
地球的正常重力位和正常重力
f fM 零阶项V0 :由于 v0 dm r r
第二章地球重力场1
椭球和球坐标之间的关系式
（2-84） 采用间接推导方法 （1）
将它们代入(2-83)式，并经符号代换，得
（2-87）
（2）再把位 V 展开为球谐函数的级数 分析：由于旋转对称，它只有带谐项。而且，由于对赤道面 对称，它只有偶阶的带谐项。奇阶的带谐项对负纬度将变号， 所以就不出现，据此，级数的形式将会是 （2-88）
而（2-88）式则为
上述两式右边应当相等，因此得 （2-88）
将正常引力位的球谐函数展开写成一般常见形式
J2n为与正常椭球参数有关的常系数。
（2-92） 引进第一偏心率 e=E/a，在 n＝1 时，则得出重要公式 （292‘）
正常重力场的实用公式（正常重力公式）
a ( 1 sin2 1 sin2 2 )
( 0 , ) 978.0327(1 5.279041 103 sin 2 2.32718105 sin 4
0.01262105 sin 6 )Gal
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(2-4)
图 2-1
离心力
为离心力位
总的力，即引力和离心力的合力称为重力。引力位 V 和离心力位 Φ 两者之和称为重力位 W：
（2-5）
式中是对整个地球的积分。 对离心力位微分，得 与布阿桑方程式(1—13)的V合 并，则得出广义的布阿桑重力 位方程式： （2-6）
重力位 W的矢量梯度
其分量为：
2-11
国际椭球的参数
在1979年堪培拉召开的第17届IUGG大会上，推荐了下列的1980 年大地测量参考系统，并建议用它代替1967年系统： a 6378137 2m
GM ( 398600 .5 0.05 ) 109 m 3 / s 2 其中包括大气质量 GM a ( 0.35 0.003) 109 m 3 / s 2 J 2 ( 1082 .63 0.005 ) 106
4-地球重力场(二)
k
2
Cnk
0.24396 D 05 0.20319 D 05 0.90666 D 06 0.71770 D 06 0.59665D 08
Snk
0.13980 D 05 0.25086 D 06 0.62102 D 06 0.14152 D 06 0.79801D 08
水准面和铅垂线
3. 水准面与大地水准面
Level Surface and Geoid
① 以平均海水面定义的大地水准面
大地水准面：与平均海水面重合并伸
展到大陆内部形成的水准面，它是一个
形状不规则的物理曲面
大地体：大地水准面包围的形体
3. 水准面与大地水准面
Level Surface and Geoid
N 1
2
G A B 1 3 B A 3 2 3 C cos cos 2 sin 2 2 2 4 2 3 1 n 2 F sin sin 2 n 1 ank cos k bnk sin k Pnk cos 2 n 3 k 0
an 0 G
M
1n Pn cos 1 dm
n k ! ank 2 G 1n Pnk cos 1 cos k 1dm n k ! ank n k ! M J nk n GMa 2 2n 1 n k ! n k ! bnk 2 G 1n Pnk cos 1 sin k 1dm n k ! M n k ! b
定，而与物质的质量分布无关。
推论：σ也可由物体的外表面S代替，但S面
上任一点相对于面上一固定点的重力位差
长安大学地球物理学原理-第5章 地球的形状及重力场
第五章 地球的形状及重力场
卫星重力探测技术的发展，突破了人们过去获 取重力场信息的局限性，使得物理大地测量的研 究从局部或区域性扩展到全球，从测定静态地球 重力场发展到测定时变重力场。
第五章 地球的形状及重力场
在基础理论方面，重力学的研究内容包括 地球重力场的空间分布特征与规律，重力场 变化所反映的物质质量分布、密度分布的状 态、性质、特征与规律，以及重力场因天体 运动和地球内部物质运动引起的周期性变化 规律与非周期变化的性质、机理。 在应用方面，重力学的研究内容主要为重 力测量技术和观测数据解译技术以及相关的 理论，即“重力勘探”。 重力变化与地震预测。
20世纪初，由于厄特沃什（R. von Eötvös）研制成 适用于野外作业的扭秤，在匈牙利进行了持续的扭秤 观测，结果表明扭秤可以反映地下区域的密度变化。 在应用地球物理方法勘探石油之初就是使用扭秤。 1934 年 拉 科 斯 特 研 制 出 了 高 精度的金属弹簧重力 仪，沃登研制了石英弹簧重力仪，这类仪器的测量精 度约达0.05-0.2mGal，到1939年，这类重力仪完全取 代了扭秤。 从此，重力测量迅速发展，应用于大地测量、地球 内部构造、地球动力学、资源勘探、工程建设、灾害 预防等基础性科学和应用基础性科学的各个方面。
第五章 地球的形状及重力场
地球深部结构及海洋洋流变化 固体地球均衡响应及冰后回弹 地幔和岩石圈密度变化 地球物理勘探 地球重力场与国防、军事
大地测量学
重力测量学
重力测量仪
重力（位场）数据计算与分析处理
计算地球物理学
地球重力学 固体潮与地壳形变 重力勘探 卫星重力学
地球动力学 引力波 微重力测量学 行星重力学
第五章第五章地球的形状及重力场地球的形状及重力场1957年第一颗人造地球卫星发射成功开创了卫星重力探测时代根据卫星轨道摄动理论观测卫星轨道摄动确定低阶位系数利用卫星海洋雷达测高确定高精度高分辨率海洋重力场模型和大地水准面模型gps技术结合水准测量直接测定大陆大地水准面本世纪初利用卫星跟踪卫星和卫星重力梯度测量技术可以确定全球更高精度和分辨率的静态重力场模型和时变重力场模型第五章第五章地球的形状及重力场地球的形状及重力场卫星重力探测技术的发展突破了人们过去获取重力场信息的局限性使得物理大地测量的研究从局部或区域性扩展到全球从测定静态地球重力场发展到测定时变重力场
地球重力场和形状
正常椭球:一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。
它产生的重力场称为正常重力场。
正常重力场的等位面称为正常水准面。
因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。
正常(地球)椭球是一个假想的球体。
是一个理想化的椭球体。
正常重力位U：近似的地球重力位。
是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。
扰动位T：地球实际重力位W与正常重力位U之差。
T＝W－U根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解决地球重力位和形状的问题。
1、水准面: 重力等位面。
具有几何性质与物理性质。
1）、无数个；2）、复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面；3）、水准面彼此不平行，不相交；4）、每个水准面对应唯一的位能W＝常数，物体在水准面上移动重力不做功。
2、大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面。
1）、一个特定的重力等位面，唯一。
2）、其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。
因而只能用一个平均海水面代替它。
3、似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由地面点沿铅垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。
1）、不是水准面2）、与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几乎重合，在山区只有2～4m的差异。
4、正常椭球（水准椭球、等位椭球）：正常椭球：大地水准面的规则形状。
实际上，质量与地球质量相同，自转速度与地球自转速度相同的规则物体都可正常椭球。
目前都采用水准椭球作为正常椭球，又称等位椭球。
5、总地球椭球：与大地体最为密切的正常椭球。
1）、中心与地球质心重合，短轴与地球短轴重合；起始子午面与起始天文子午面重合；质量与地球的质量相同；2）、4个基本参数a e，fM，J2，ω；3）、与大地体最密合，要满足全球范围内与大地水准面的差距N的平方和最小。
6、参考椭球：大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。
重力测量知识点总结高中
重力测量知识点总结高中第一部分：引言重力测量是地球科学研究中的重要组成部分，也是一门涉及物理、地质学、地理学等多学科交叉的学科。
重力测量主要是通过测定地球不同地点的重力加速度来了解地球内部结构、研究地质构造、地壳运动以及探测矿产资源等。
本文将从基本概念、重力测量方法、重力异常解释等方面进行详细介绍与总结。
第二部分：基本概念1. 重力重力是地球对物体吸引的力，是地球引力场的表现。
重力的作用使得物体朝向地球表面运动，它是地球上一切自然现象的基础。
在测量重力时，通常使用重力加速度（g）来表示重力大小，单位为m/s²。
2. 重力异常地球不是一个理想的等密度椭球体，其密度分布和形状都存在一定的不规则性，导致地球的引力场并非处处均匀。
这种非均匀性所引起的重力场偏离理想状态的现象称为重力异常。
重力异常可以是重力加速度值的偏差，也可以是地面上观测到的重力矢量与理想状态下的重力矢量之间的差异。
3. 重力异常的形成机制地球重力场的不均匀性主要受到地球内部密度分布不均匀、地壳结构的差异、地球自转引起的离心力和科里奥利力等因素的影响。
这些因素导致地球的引力场在空间和时间上存在一定的变化，从而形成了各种不同类型的重力异常。
第三部分：重力测量方法1. 重力测量仪器目前常用的重力测量仪器包括弹簧测重仪、绝对重力仪、相对重力仪等。
这些仪器可以测量地面上某一点的重力加速度，并能够在不同测点之间进行重力差测量，从而得到地球不同地点的重力场数据。
2. 重力测量方法重力测量方法包括绝对重力测量方法和相对重力测量方法。
绝对重力测量是指直接测定地面上某一点的绝对重力加速度数值，其精度较高，但测量速度较慢。
相对重力测量是指通过比较不同地点的重力加速度差值，来获得重力异常的分布情况。
相对重力测量速度较快，适合大范围的重力场调查。
3. 重力异常的解释通过对重力测量数据的分析和处理，可以得到地球的重力异常分布图，进而推断出地下构造、地质构造，甚至是矿产资源等信息。
第二章地球重力场2
(
)
由布隆斯公式得: 由布隆斯公式得:
kM N= = 2 γ rγ T R * ∑ m=0 r C nm cos mλ + Snm sin mλ Pnm (cos θ ) ∑ n= 2
n 的重力异常
如果地球表面上有一个谐函数H,则在地球以外, 如果地球表面上有一个谐函数 ,则在地球以外,球近似的值 H 可以用布阿桑积分式 可以用布阿桑积分式(1-89)在整个单位球上的积分计算, 在整个单位球上的积分计算, 在整个单位球上的积分计算
2-23
重力的垂直梯度, 重力的垂直梯度,归化到海水面的空间改正
使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上,需要从理 使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上, 论上研究重力垂直梯度的理论改正问题. 论上研究重力垂直梯度的理论改正问题.设地面测的重力为 g, , 大地水准面上的重力为g 大地水准面上的重力为 0,则用泰勒级数展开有
利用边值条件 (2-148),则大地水准面以外每个点的 T 值 , 均可以确定. 均可以确定. 将边值条件写成
大地水准面上各点的g 值假设都已知,那么,在这个面上T 大地水准面上各点的 值假设都已知,那么,在这个面上 有线性的组合.依据1-l 节 和T/n 有线性的组合.依据 7节,T 值的确定乃是位论中 的第三边值问题. 如果解出T 再应用布隆斯公式(2-144), 的第三边值问题. 如果解出 值,再应用布隆斯公式 , 就可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量, 就可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量,即大地 水准面起伏 N. .
(2-162) )
(2-162)由司托克斯导出,称为司托克斯函数 )由司托克斯导出,称为司托克斯函数
(2-162) )
地球重力场
Q0 Q
在某一位置处，质点的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功。 （假设无穷远处V=0）
Q0 m
Q
F
M
fM fM A Fdr 2 dr r r fM 0 V A V A r
1、地球重力位计算的复杂性
形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以
下重力位公式精确求得其重力。
地球重力场及地球形状的基本理论
2、正常椭球:
一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。它产 生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常 水准面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球 又称水准椭球。
空间直角坐标系中，引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐 标轴上的加速度(或引力)向量的负值：
ax
V V V ,ay , az x y z
r 2 x x m 2 y y m 2 z z m 2 式 中x , y , z为 被 吸 引 点 坐 标 ; xm , ym , z m 为 吸 引 点 坐 标
W gl g cos(g, l ) 对任意方向的偏导数等于重力g在该方向的分力： l
（g,l）为重力g与l的夹角。 重力单位：由于对单位质点，作用在它上面的重力值等于其重力 加速度，故采用加速度单位作为重力量纲，即伽（cm/s2）
W gl g cos(g, l ) l
地球重力场及地球形状的基本理论
2 2 0
地球重力场及地球形状的基本理论
一、重力位（geopotential） 重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力
位等于引力位与离心力位之和。
重力场
重力场（earth's gravity field）受地球重力作用的空间范围。
研究地球的重力场，在大地测量学中可用以推求平均地球椭球的形状，建立国家大地网和国家水准网；在空间科学中用以确定空间飞行器受地球引力场作用的轨道改正；在固体地球物理学中用以研究地球内部构造及矿产资源分布。
由于地球内部质量分布的不规则性，致使地球重力场不是一个按简单规律变化的力场。
但从总的方面看，地球非常接近于一个旋转椭球，因此可将实际地球规则化，称为正常地球，同它相应的重力场称为正常重力场。
地球重力场的非规则部分称为异常重力场。
地球重力场中任一点的重力位与正常位之差值称为扰动位。
扰动位是由于地球的质量分布和形状与平均地球椭球有所不同而引起的。
与扰动位相应的有重力异常和扰动重力。
根据全球重力测量和卫星大地测量的结果，可以确定地球的总质量和地球的平均密度；配合天文测量结果，可以求出地球绕其自转轴的转动惯量；根据地面上大范围甚至全球范围的重力测量结果，可以研究地核-地幔边界的起伏，地幔地壳边界的起伏，地幔中的热对流，地壳均衡的状态等。
相对标高标高分相对标高和绝对标高。
相对标高表示建筑物各部分的高度。
相对标高是把室内首层地面高度定为相对标高的零点，用于建筑物施工图的标高标注。
在建筑施工图的总平面图说明上，一般都含有“本工程一层地面为工程相对标高±0.000米，绝对标高为36.55米”。
这里的一层地坪±0.000是相对于工程项目内的假定高度，但它比黄海平均海平面高36.55米。
当我们再施工到二层地面时，图纸上给出的二层地面建筑高度为+4.5米，那么我们说，二层地面比一层地面±0.000高出4.5米。
绝对标高绝对标高，我国是把黄海平均海平面定为绝对标高的零点，其他各地标高以此为基准。
任何一地点相对于黄海的平均海平面的高差，我们就称它为绝对标高。
这个标准在中国境内只在一个。
第二讲 地球重力场
地球重力场地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。
重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力( =G/m )重力加速度g=G/m重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。
重力加速度重力重力场强度重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。
重力(重力加速度)单位在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.重力的变化包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。
空间上:9地球形状、地形：引起约6万g.u. 的变化；9地球自转：重力有3.4万g.u. 的变化;9地下物质密度分布不均匀：能达到几千g.u.变化9人类的历史活动遗迹和建筑物等时间上：9潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.9非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。
地球上海潮涨落主要是由月球还是太阳引起的？月球和太阳对地球的引力不但可以引起地球表面流体的潮汐（如海潮、大气潮），还能引起地球固体部分的周期性形变（固体潮）。
太阳的质量虽比月球的质量大得多，但月球同地球的距离比太阳同地球的距离近，月球的引潮力比太阳的引潮力大。
在日、月引力作用下，地球固体表面也会像海水一样产生周期性的涨落，这就是地球的潮汐现象，称为地球固体潮。
固体潮随时间和空间的变化，除了和地球、太阳、月亮三者之间相对位置的变化有关外，还和地球内部物质的物理性质有关。
因而，利用固体潮资料可以研究地壳内部物质的物理性质和各种物质的分布规律。
它在空间上的变化主要反映地壳和上地幔区域结构的变化。
它在时间上的变化可能与某些灾难性的地震有直接和间接的联系。
地球重力场公式范文
地球重力场公式范文地球重力场是指地球周围的重力场，其数学表达式是地球所产生的引力场强度。
根据牛顿引力定律，地球对物体的引力与物体质量和地球质量之间的乘积成正比，与物体与地球之间的距离的平方成反比。
因此，地球的重力场公式可以表示为：F=G*(m1*m2)/r^2其中，F是物体所受地球引力的大小，G是引力常数，m1和m2分别是地球和物体的质量，r是物体与地球的距离。
在实际应用中，考虑到地球是一个球体，地球的质量分布也不均匀，地球的重力场公式可以进一步进行修正，引入球面坐标系和各阶球谐函数等概念。
比较常用的修正公式是斯托克斯（Stokes）函数方法，即以球谐函数为基础的重力场展开方法。
斯托克斯函数方法将地球的重力场展开成无数个球谐函数的加和，得到如下公式：V=GM/r*[1-∑(Cn/r^n+Sn/r^(n+1))]其中，V是地球上其中一点的重力势能，G是引力常数，M是地球的质量，r是地球表面的地心距离，Cn和Sn是重力谐振项系数，n是重力梯度项阶数。
每个阶数的球谐函数代表了地球重力场的一个特定分布模式，从低阶到高阶，分别表示了地球重力场的整体性质和局部性质。
在实际测量中，通常只考虑前几个阶数的球谐函数。
例如，常见的重力场模型EGM96就采用了到360度的球谐函数展开，共有12,960个球谐函数。
除了斯托克斯函数方法外，还有直接测量和建模方法可以用于确定地球的重力场。
直接测量方法通过测量物体在地球表面上所受的重力加速度或重力位移来获得地球的重力场。
而建模方法则通过结合地球物理观测数据和数学建模算法来估计地球的重力场模型。
总结起来，地球的重力场可以通过牛顿引力定律和斯托克斯函数方法进行描述，这些数学模型和测量方法可以用于研究和解释地球引力的性质和分布。
第四章——地球的正常重力场
第四章 地球的正常重力场重力测量结果表明,地球在其表面上的重力分布是有规律的；总的说来，它由赤道向两极逐渐增加，由赤道上的978Gal 逐渐增加到两极的983Gal 。
在大地测量中,参数合适的旋转椭球是地面点坐标的参考架，当参考椭球选定后,大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m ，起伏只占参考椭球赤道半径的2×10—6.因而自然想到，用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球，用这种地球模型（正常场地球模型），在其表面上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场.当正常场地球模型在地球内部定位后，地球的重力场可以分解为两部分,一部分是正常场地球模型在该点产生的重力场，第二部分为真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场；前者称为地球在该点产生的正常重力场，后者称为地球在该点产生的重力异常场。
重力测量结果表明，当正常场地球模型选择合适后,大地水准面上的重力异常场不超过150 mGal ，约占地球正常重力场的1×10—4~2×10—4。
地球的重力异常场虽只占地球重力场的万分之一二，但它却包含了有关地球内部结构和大地水准面形状的重要信息，因而研究地球重力异常场空间分布规律以及它们与地球内部结构和大地水准面形状之间的关系已成为重力测量的重要目的之一。
根据第三章的结果,本章给出正常场地球模型在旋转椭球面上产生的重力、正常重力位二次导数张量以及它在其外部空间产生的大地位球函数展开系数.4。
1 旋转椭球的几何参数引入笛卡尔直角坐标系123Ox x x ,坐标原点O 置于旋转椭球的中心，3Ox 沿其极半径，12Ox x 在其赤道平面内，则旋转椭球面的方程为其子午椭圆的方程为其中a 、c 分别为旋转椭球的赤道半径和极半径，它们是决定旋转椭球形状的两个几何参数.考虑到参考椭球的赤道半径a 和极半径c 相差很小，其扁率 约为3×10—3量级，因而参考椭球的子午椭圆与圆非常接近，为了讨论问题方便，对子午椭圆常引入下面几个几何参数：子午椭圆的扁率α、第一偏心率e、第二偏心率'e有下述关系ϕ为A点的地心纬度,A点子午椭圆的法线与如图4.1.1所示,OA与Ox轴之间的角度Ox轴之间的角度B称为A点的大地纬度,因为子午椭圆与圆非常接近,A点的地心纬度和大地纬度相差很小,其差约为子午椭圆扁率的量级。
地球重力场的分类
地球重力场的分类
地球的重力场可以根据不同的分类方式进行划分。
以下是两种常见的分类方式：
1. 空间分布方式：
a. 均匀重力场：也称为等势重力场，指在一个区域内重力场的引力大小和方向是均匀分布的。
在这种重力场中，重力的大小和方向在各个位置都是相等的。
b. 非均匀重力场：指在一个区域内重力场的引力大小和方向不均匀分布的情况。
在这种重力场中，不同位置的重力大小和方向可能存在差异。
2. 强度分布方式：
a. 重力加速度强度不变重力场：指在一个区域内，重力加速度的大小在不同位置上保持不变。
这种重力场在理论上比较理想，但在实际地球上并不完全存在。
b. 重力加速度强度变化重力场：指在一个区域内，重力加速度的大小在不同位置上有一定的变化。
这种重力场在实际地球上比较常见，由于地球表面不规则、存在地下大块状物质等因素，导致地球重力场的强度存在一定的不规则性。
需要注意的是，地球的重力场具有天然的复杂性，因为它受到地球内部物质分布、地球形状、海洋和大气的运动等多种因素的影响。
因此，地球的重力场往往是一个综合性的、复杂的场。
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TP
+
1
4p R
òò
s
K
(r,y
)(T
-
TP
)ds
( ) K
(r,y
)
=
-
R2 l5
5R2r - r3 - Rr2 cosy - 3R3 cosy
2R2r 2R4 R2 - l3 + l3r + r2
K
(
R,y
)
=
-
4
1 sin3
y
+1
2
1 地球重力场的表达方法
Vening-Meinesz公式
ò ò ( ) x jP,lP
s
-
cscy
y
csc 2
-
y
tg 2
ö ø÷
¶N ¶y
ds
1 ¶N = x cosa + hsina R ¶y
sina = - cosj sin(lP - l)
siny
cosa = cosjP sinj - sinjP cosj cos(lP - l)
siny
1 地球重力场的表达方法
垂线偏差计算大地水准面
[
1 2
(j
P
+
j
)]
-
sin
2
é ëê
1 2
(j
P
- j )ùûúüýþ
y
s = sin 2
1 地球重力场的表达方法
扰动位径向梯度→扰动位
òò J
T (y )
=
=
R2
4p
6 sin
s
y
2
Trr J(y )ds
+ 2(1 - 3sin2
y
2
)
ln
y
sin + 2
sin y
1
-
4
+
sin2
y
2
2
以上的重力场积分都是在球面上进行，一般采用数值积分 的方法进行计算。计算任何一点的重力场参量往往需要对 全球积分。若要建立一个高分辨率的全球模型，其计算量 势必非常巨大。因此需要采取快速计算方法。
2
N (jP , lP )
ò ò = R
4pg
2p l=0
p
2 j =- p
Dg
(j,
l
)
S
(y
)
cosj
dj
dl
2
P(φP, λP)
r=R
y
yl
2
dσ R
2
R2dσ
单位球 r=1
地球表面 r=R
1 地球重力场的表达方法
逆Vening-Meinesz公式计算重力异常
Dg
=
g 4p R
òò
æ èç
3cscy
2p l=0
p
2 j=
-
p
Dg
(j
,
l
)
S
(
r,y
)
cos
j
dj
dl
2
核函数Biblioteka S (r,y ) =2R l
-
3Rl r2
+
R r
-
R2 r2
cosy (5
+
ln
l
+
r
- R cosy
2r
)
S(r = R,y ) = 1 - 6s - 4 + 10s2
( ) ( ) s
y
- 3 1 - 2s2 ln s + s2 , s = sin
第八章 物理大地测量学的 计算方法
1 地球重力场的表达方法 2 Fourier级数与Fourier变换 3 积分卷积表达式的快速计算 4 级数表达式的快速计算
5 全球重力场模型
1 地球重力场的表达方法
积分
重力场参量之间、球谐分析等
例 ：
ò ò ( ) T
rP ,jP , lP
R =
4p
2p l=0
p
2 j=
-
p
Dg
(j
,
l
)
S
(
r,y
)
cos
j
dj
dl
2
(rP, φP, λP)为计算点球坐标，(r, φ, λ)为积分点球坐标。
级数 例：
主要是重力场参量的球谐展开
å å ( ) ( ) T (rP,JP,lP )
=
GM r
¥ næ n=2 m=0 èç
a ö n+1 r ø÷
C
* nm
cos
ml
V
=
-
1
4p
ò
s
ò
cot
y
2
¶N ¶y
ds
1 ¶N = x cosa + hsina R ¶y
sina = - cosj sin(lP - l)
siny
cosa = cosjP sinj - sinjP cosj cos(lP - l)
siny
1 地球重力场的表达方法
逆Stokes公式
Dg
=
-
R r2
=- 1
4pg
( ) 2p
l=0
p 2 j=
-
p 2
Dg
(j
,
l
)
cos
j
¶S y ¶jP
dj dl
ò ò ( ) h jP,lP
1 =-
4pg cosjP
( ) 2p
l=0
p 2 j=-
p 2
Dg
(j,
l)
cosj
¶S y ¶lP
dj dl
( ) ( ) ¶S(y ) 1 ¶s = - s2 - 6 + 20s -
3- 6s2
1+ 2s s + s2 + 12s ln
s + s2
-
¶s
¶j P
=
1 4s
ì ísin
[j
P
î
+ j ]sin2
é ëê
1 2
(
lP
-
l ) ùûú
- sin(jP
- j )cos2
é ëê
1 2
(
lP
-
l ) ùûú üýþ
¶s -
¶lP
=
1 4s
sin
(
lP
-
l
)
ìícos2 î
+
S n*m
sin
ml
Pnm
cosJ
1 地球重力场的表达方法
重力场参量及其关系
重力扰 动
Hotine
重力异 常
Stokes 逆Stokes
大地水 准面
V-M 逆V-M
垂线偏 差
重力梯 度
1 地球重力场的表达方法
重力异常求解扰动位和大地水准面的公式
ò ò ( ) T
rP ,jP , lP
R =
4p
考虑到上述积分形式均可以用卷积形式表达，而Fourier变 换可快速有效的计算卷积，因此以下将介绍Fourier级数及 快速Fourier变换的知识。