绝对值方程详解及答案精编

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初中数学重点梳理：含绝对值的方程组

含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

知识梳理从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的。

由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点。

一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．注意：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例题精讲【试题来源】【题目】设|﹣|≥0，||≥0，求x+y【答案】1【解析】解：分析从绝对值的意义知≥0，≥0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，可得：，解得x=﹣y，把③代入①得﹣﹣=0，解之得y=﹣3，所以x=4，故有x+y=4﹣3=1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组【答案】，，或．【解析】解：由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，（1），把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y+1可求出方程组（1）的解为：或，（2），把x=y﹣1代入|x|+2|y|=3得，|y﹣1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y﹣1可求出方程组（1）的解为：或．故原方程组的解为：，，或．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组：【答案】、【解析】解：原方程，把②代入①得：4y﹣4+|y﹣1|=5③，当y﹣1≥0时，③式=4y﹣4+y﹣1=5，解得y=2；把y=2代入②得：x=3或﹣5；当y﹣1≤0时，③式=4y﹣4﹣y+1=5，解得无解．综上得原方程组的解为：、．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】、、、【解析】解：1.当x＞0，y＞0时，原方程组为，方程组无解；2.当x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；3.当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得；4.当x＜0，y＜0时，原方程组为，方程组无解；5.当x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；6.当x＜0，y＞0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得．综上得原方程组的解为：、、、【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少？【答案】2【解析】解：∵||x﹣3|﹣2|=a，∴a≥0．∴|x﹣3|﹣2=a或|x﹣3|﹣2=﹣a．当|x﹣3|﹣2=a时，|x﹣3|=2+a，∴x﹣3=2+a或x﹣3=﹣2﹣a．∴x1=5+a，x2=1﹣a，当|x﹣3|﹣2=﹣a时，|x﹣3|=2﹣a，a≤2，∴x﹣3=2﹣a或x﹣3=﹣2+a，∴x3=5﹣a，x4=1+a，若方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同．当x1，x2=2时，a=﹣2，与a≥0矛盾；当x1=x3时，a=0，此时原方程有2个解；当x1=x4时，a无解；当x2=x3时，a无解；当x2=x4时，a=0，此方程有2个解；当x3=x4时，a=2．综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7【答案】x=8/3或x=-2【解析】解：(1) 当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若|m|=m+1，则（4m+1）2011=【答案】-1【解析】解：根据题意，可得m的取值有三种，分别是：当m＞0时，则|m|=m+1可转换为m=m+1，此种情况不成立．当m=0时，则|m|=m+1可转换为0=0+1，此种情况不成立．当m＜0时，则|m|=m+1可转换为﹣m=m+1，解得，m=﹣．将m的值代入，则可得（4m+1）2011=[4×（﹣）+1]2011=﹣1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知|x+1|=4，（y+2）2=0，则x﹣y的值【答案】5或-3【解析】解∵（y+2）2=0，∴|y+2|=0，∴y=﹣2；又∵|x+1|=4，∴x+1=±4，即x=3或﹣5．1.当x=3，y=﹣2时，x﹣y=5；2.当x=﹣5，y=﹣2时，x﹣y=﹣3；所以，x﹣y的值为5或﹣3；【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】解：由①得，x+y=|x﹣y|+2．∵|x﹣y|≥0，∴x+y＞0，∴|x+y|=x+y．③把③代入②，有x+y=x+2，∴y=2．将y=2代入①，有|x﹣2|=x，∴x﹣2=x ④x﹣2=﹣x ⑤．方程④无解，解方程⑤，得x=1．故原方程组的解为．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】方程丨x+3丨+丨3﹣x丨=丨x丨+5的解【答案】x1=，x2=﹣【解析】解：①当x＞3的时，原方程可化为：x+3+x﹣3=4.5 x+5整理得：2x=4.5x+5解出来显然x＜0，（矛盾）②当0＜x＜3时，原方程可化为：x+3+3﹣x=4.5x+5解得：x=（满足条件）；③当﹣3＜x＜0时原方程可化为：x+3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=﹣（满足条件）；④当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=2（不满足条件）；∴x有两个解，为x1=，x2=﹣．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。

绝对值方程详解及答案精编

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解•前者是通法，后者是技巧.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题【例1】方程5x • 6 =6x -5的解是__________ •（重庆市竞赛题）思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.【例2】适合2a+7|+|2a-1 =8的整数a的值的个数有（）•A• 5 B• 4 C• 3 D. 2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径.注：形如ax + b=cx + d的绝对值方程可变形为ax+b=±（cx+d）且cx + d^O, 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验.【例3】解方程：x-3x 十4 ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：（1）x +3 - x -] =x +1 （北京市“迎春杯”竞赛题）（2）X —1 +|x — 5 = 4 •（“祖冲之杯”邀请赛试题）思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.【例5】已知关于x的方程X-2十|x-3 = a,研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究.学力训练1方程3（x -1^—+1的解是____________ ；方程3x—1 =52•已知3990X 1995 =1995，那么x= ___________ .3. _____________________________________________ 已知，X =X 2，那么19x"+3x+27的值为__________________________________________________ .4. 关于x的方程ax =|a +1 — x的解是x=0 ,则a的值_的解是x=1，则有理数a的取值范围是 ____________ .5•使方程3x + 2| + 2 = 0成立的未知数x的值是（）.2 十…A . —一2B . 0C .D .不存在36. 方程x-5+x-5=0的解的个数为（）.A .不确定B .无数个C . 2个D . 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）17. 已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足X —，一12 2 2A . 10 或—B . 10 或C . -10 或—D .5 5 5（山东省竞赛题）& 若2000x 2000 =20 2000 ,则x 等于（）.A . 20 或一21B . 一20 或21 C. —19 或21（重庆市竞赛题）9 .解下列方程：（1）||3x _5 +4 =8 ；（2）4x -3 _2 =3x +4 ；（3）x _2x +1| =3 ；（4）2x T + x -2 + x +1 .10 .讨论方程|x+3 — 2 = k的解的情况.11 .方程x -2 T =2的解是 _______________12•若有理数x 满足方程1 -X =1 +|X ，则化简X-1的结果是 ______________________________________________________________________ .13. __________________________________________________________________ 若a >0,b cO ，则使x —a +|x —b = a —b 成立的x 取值范围是 __________________________ •14. _____________________________________________________ 若0 vx v10，则满足条件 x_3 =a 的整数a 的值共有 _______________________________________ 个，它们的和是 ____ . 15•若m 是方程2000—x =2000+x 的解，则m —2001等于（）.A . m 一 2001B .一 m 一 2001C . m+2001D .一 m+200116 .若关于x 的方程2x —3+m=0无解，3x —4+ n=0只有一个解，4x —5=k = 0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（）. m>n>k B . n> k>m C . k>m>n D . m>k>n2x 1的解是 ________ ._；关于x 的方程ax=|a + 1—x=0，则m 的值是（）2—10或 517 .适合关系式3x-4+3x+2=6的整数x的值有（）个.A . 0B . 1C . 2 D.大于2的自然数18 .方程x + 5»7" 的解有（）.A . 1个B. 2个C . 3个D .无数个19 .设a、b为有理数，且a>0，方程||x-a -b =3有三个不相等的解，求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20 .当a满足什么条件时，关于x的方程x-2-x-5 = a有一解？有无数多个解？无解？21 .已知x+2+1—x=9 — y—5—1+y，求x+y的最大值与最小值.（江苏省竞赛题）22 . （1）数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；⑵是否存在有理数x，使x+1 +|x—3=x?（3）是否存在整数x,使x-4 + X—3 + x+3+|x+4 =14?如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由.参考答案回鉅对值与一元一次方程【例題求解】ft I jr=^ll提示】原方程5jrH-6=-±(6jr-5)或械5斗斗点玉Q忑丁+亦弋。

部编数学七年级上册专题03绝对值的几何意义(解析版)含答案

专题03 绝对值的几何意义类型一求两个绝对值和的最小值1．数学实验室：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是______.（1+1分，注意写出最后结果）（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.【答案】（1）4，（2）6；（3）-2；（4）5．（5）-2£x£3.【解析】【分析】根据绝对值的定义进行填空即可．【详解】-=4，数轴上表示1和-5的两点之间的距离是解：（1）数轴上表示1和5的两点的距离是15（）6；15--=故答案为4，6；x--，（2）∵|x+2|=()2∴式子|x+2|可以看做数轴上表示x和-2的两点之间的距离;故答案为-2；（3）当x 在数轴上表示-2和3之间时，此时|x +2|＋|x －3|的最小值为5;故答案为5．(4) 当x 在数轴上表示-2和3之间时，此时|x +2|＋|x －3|的最小值为5;即当|x +2|＋|x －3|取得最小值时，数x 的取值范围是-2£x £3.故答案为-2£x £3.2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a 和b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b|利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3 和7 的两点之间的距离是，数轴上表示﹣3 和﹣7 的两点之间的距离是，数轴上表示2 和﹣3 的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和﹣5 的两点A 、B 之间的距离是，如果|AB|＝3，那么x 的值为；(3)当代数式|x ﹣1|+|x ﹣3|取最小值时，相应的x 的取值范围是多少？最小值是多少？(4)已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a+4|+(b ﹣1)2＝0，设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x 的值．【答案】(1)4；4；5；(2)5x +；-8或-2；(3)x 的范围是31x -££；最小值是4；(4)x 的值为12-.【解析】【分析】（1）（2）直接根据数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |=|a ﹣b |．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据|x ﹣a |表示数轴上x 与a 之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，当x 在1和3之间时有最小值．（4）应考虑到A 、B 、P 三点之间的位置关系的多种可能解题．【详解】（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7﹣3|=4，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是|﹣7﹣（﹣3）|=4．数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．（2）数轴上表示x 和﹣5的两点A 和B 之间的距离是|x ﹣（﹣5）|=|x +5|，如果|AB |=3，那么x 为﹣8或﹣2．（3）代数式|x ﹣1|+|x +3|表示在数轴上到1和﹣3两点的距离的和，当x 在﹣3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3和1之间的距离4．故当﹣3≤x ≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．（4）①当P 在点A 左侧时，|PA |﹣|PB |=﹣（|PB |﹣|PA |）=﹣|AB |=﹣5≠2．②当P 在点B 右侧时，|PA |﹣|PB |=|AB |=5≠2，∴上述两种情况的点P 不存在．③当P 在A 、B 之间时，|PA |=|x ﹣（﹣4）|=x +4，|PB |=|x ﹣1|=1﹣x ．∵|PA |﹣|PB |=2，∴x +4﹣（1﹣x ）=2，∴x 12=-，即x 的值为12-．故答案为（1）4；4；5．（2）|x +5|；﹣8或﹣2．（3）x 的范围是﹣3≤x ≤1；最小值是4．（4）x 的值为-12.【点睛】本题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．3．“数形结合”是重要的数学思想．如：()32--表示3与2-差的绝对值，实际上也可以理解为3与2-在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A ，B ，所对应的数分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离表示为AB a b =-．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2-和5两点之间的距离是__________．（2）若13x -=，则x =______．（3）若x 表示一个有理数，142x x ++-的最小值为_________．（4）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为2-，8，现在点A 、点B 分别以3个单位长度/秒和2单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A 与点B 之间的距离为2个单位长度时，求点A 所对应的数是多少？【答案】（1）7；（2）4或2-；（3）142；（4）22或34.【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式：AB a b =-，代入计算即可得到答案；（2）由3=3,± 可得13x -=或13,x -=- 再解方程即可得到答案；（3）先画好数轴，如图，A 表示1,2- B 表示4, 当x 对应的点B 在线段AC 上时，则此时111444,222AC AB BC x x æö=+=++-=--=ç÷èø而且利用两点之间线段最短，可得此时可得最小值；（4）如图，A 向右移动后对应的数为：23,t -+ B 向右移动后对应的数为：8+2,t 再利用两点之间的距离公式表示,AB 再利用2,AB = 建立绝对值方程，解方程可得答案.【详解】解：（1）数轴上表示2-和5两点之间的距离是：()52527,--=+=故答案为：7（2）Q 13x -=13x \-=或13,x -=-解得：4x =或 2.x =-故答案为：4或2-（3）如图，A 表示1,2- B 表示4, 当x 对应的点B 在线段AC 上时，则11,4,22AB x x BC x æö=--=+=-ç÷èø 111444,222AC AB BC x x æö\=+=++-=--=ç÷èø此时：142x x ++-的值最小，为14.2故答案为：14.2（4）如图，A 向右移动后对应的数为：23,t -+ B 向右移动后对应的数为：8+2,t而移动后：2,AB =()8+2232,t t \--+=102,t \-=102t \-=或102,t -=-解得：8t =或12.t =当8t =时，A 向右移动后对应的数为：2322422,t -+=-+=当12t =时，A 向右移动后对应的数为：2323634.t -+=-+=【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，建立绝对值方程，一元一次方程的解法，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键.4．认真阅读下面的材料，完成问题．在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为|a －b |．（1）利用上面的知识回答：点A 、B 在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A 到B 的距离可表示为，这个距离的计算结果是；（2）利用上面的知识回答：若|x －1|=2，则x = ；（3）利用上面的知识回答：|x －2|+|x +1|的最小值是．【答案】（1）|1-（-5）|，6；（2）-1或3；（3）3．【解析】【分析】（1）根据数轴上两点距离公式表示和计算即可；（2）根据点到1的距离等于2，即可找出x =-1或3即可；（3）根据条件化去绝对值当x ≥2时，|x －2|+|x +1|= 2x -1≥3，-1≤x ＜2时，|x －2|+|x +1|=3，当x ＜-1时，|x －2|+|x +1|=1-2x ＞3即可．【详解】解：（1）|1-（-5）|=|1+5|=6；故答案为：|1-（-5）|，6；（2）∵| 3－1|=2，∴x =3，∵|-1-1|=2，∴x=－1，∴|x －1|=2，x =-1或3，故答案为-1或3；（3）当x ≥2时，|x －2|+|x +1|=x -2+x +1=2x -1≥3，-1≤x ＜2时，|x －2|+|x +1|=2-x +x +1=3，当x ＜-1时，|x －2|+|x +1|=2-x -x -1=1-2x ＞3，|x －2|+|x +1|的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题考查数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项，掌握数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项是解题关键．5．我们知道，||a 可以理解为|0|a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点,A B ，分别用数,a b 表示，那么,A B 两点之间的距离为||||AB a b =-，反过来，式子||-a b 的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是__________．（2）数轴上点A 用数a 表示，若||5a =，那么a 的值为_________．（3）数轴上点A 用数a 表示：①若|3|5a -=，那么a 的值是________．②当|2||3|5a a ++-=时，数a 的取值范围是________，这样的整数a 有________个．③|3||2017|a a -++有最小值，最小值是___________．【答案】（1）5；2；（2）5或5-；（3）①2-或8；②23a -££，6；③2020．【解析】【分析】（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；（2）根据绝对值的定义求解即可；（3）①利用绝对值的定义可知35a -=或5-，然后进一步计算即可；②|2||3|5a a ++-=的意义是表示数轴上到表示2-和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③|3||2017|a a -++是表示数轴上表示3与表示2017-的点的距离之和，然后进一步求解即可.【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：83=5-；数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是：()13=2---，故答案为：5，2；（2）若||5a =，则5a =或5-，故答案为：5或5-；（3）①若|3|5a -=，则35a -=或5-，∴8a =或2-，故答案为：2-或8；②∵|2||3|5a a ++-=的意义是表示数轴上到表示2-和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，∴23a -££，其中整数有2-、1-、0、1、2、3共6个，故答案为：23a -££，6；③∵|3||2017|a a -++是表示数轴上表示3与表示2017-的点的距离之和，∴当20173a -££时，|3||2017|a a -++有最小值，此时最小值为：3(2017)=2020--，故答案为：2020.【点睛】本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.类型二求多个绝对值和的最小值6．我们知道，a 表示数a 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B 分别表示数a 、b ，那么AB a b =-．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是____；（2）数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是____，如果AB =2，那么x 的值为_____；（3）写出13x x +++表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；（4）123x x x +++++的最小值_____．【答案】（1）3，3，4；（2）1x +，1或-3；（3）点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和，2；（4）2【解析】【分析】（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；（3）根据数轴、绝对值的性质，对x 的取值分类计算，即可完成求解；（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：2533-=-=；数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是：()()25253---=-+=；数轴上表示1和3-的两点之间的距离是：()13134--=+=；故答案是：3，3，4；（2）数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是：()11--=+x x ；∵AB =2∴()112x x --=+=∴1x =或3-故答案为：1x +，1或-3（3）13x x +++表示的几何意义：点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和；当3x <-时，132x x +++>当31x -££-时，13132x x x x +++=--++=当1x >-时，132x x +++>∴13x x +++的最小值为：2故答案为：点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和，2；（4）结合（3）的结论，当31x -££-时， 13x x +++的最小值为：2∴12322x x x x +++++=++当2x =-时，2x +取最小值，即20x +=∴123202x x x +++++=+=∴123x x x +++++的最小值为：2故答案为：2．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4||40|=-，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|73|-，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A 表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ，则A ，B 两点间的距离就可记作||-a b ．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数3-的点之间的距离的式子是________；式子|5|+a 的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当|2|3-=m 时，m =________；(3)探究：|1||9|++-m m 的最小值为_________，此时m 满足的条件是________；(4)|1||9||16|++-+-m m m 的最小值为________，此时m 满足的条件是__________．【答案】(1)23+或2(3)--；数轴上表示数a 的点与数2的点之间的距离．(2)1-或5(3)10，19m -££(4)17，9m =【解析】【分析】（1）根据距离公式及定义表示即可；（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．(1)解：①在数轴上的意义是表示数2的点与表示数3-的点之间的距离的式子是()23-- ，故答案为：()2323--=+；②∵5a +=|a -(-5)|，∴5a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．故答案为：表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．(2)解：∵2m -表示数m 到2的距离，画数轴如下：当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；故答案为：-1或5；(3)解：∵19m m ++-表示数m 与-1，9的距离之和，画数轴如下：根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，此时动点m 在-1表示点与9表示点构成的线段上，∴19m -££ ；故答案为：10、19m -££；(4)解：根据题意，画图如下，根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，此时动点m 在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，∴9m = ；故答案为：17、 9m =．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．8．我们知道，在数轴上，|a |表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为：AB ＝|a ﹣b |．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x 和﹣1的两点A ，B 之间的距离是．（3）式子|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是．（4）结合数轴求|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为，此时符合条件的整数x 为．（5）结合数轴求4|1|||3|2|2|4|x x x x -++++-的最小值为，此时符合条件的整数x为．（6）结合数轴求|1||3|x x ---的最小值为，最大值为．【答案】（1）15；（2）|x +1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．【解析】【分析】（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；（2）利用两点距离公式|x -(-1)|计算即可；（3）分当x ≤-1当-1＜x ≤2，当2＜x ≤3，当x ≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；（4）分当x ≤-2，当-2≤x ≤0，当0≤x ≤1，当1≤x ≤4，当x ≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（5）分当x ≤-2，当-2≤x ≤0，当0≤x ≤1，当1≤x ≤4，当x ≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（6）分区间化去绝对值当x ≤1，|1||3|2x x ---=-，当1≤x ≤3，|1||3|242x x x ---=-³- ，当x ≥3，|1||3|2x x ---=即可．【详解】解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，故答案为15；（2）|x -(-1)|=|x +1|，故答案为：|x +1|；（3）当x ≤-1，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|=- x -1 –x +2- x +3=-3x +4≥7，当-1＜x ≤2，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1–x +2- x +3=- x +6≥4，当2＜x ≤3，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1+x -2- x +3= x +2＞4，当x ＞3，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1+x -2+ x -3=3 x -4＞5，式子|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是4，故答案为4；（4）当x ≤-2，|1||||2||4|1243411x x x x x x x x x -++++-=----+-=-³，当-2≤x ≤0，|1||||2||4|124727x x x x x x x x x -++++-=--+++-=-³当0≤x ≤1，|1||||2||4|1247x x x x x x x x -++++-=-++++-=当1≤x ≤4，|1||||2||4|124527x x x x x x x x x -++++-=-++++-=+³当x ≥4，||1||||2||4|1244313x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³∴|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为7，符合条件的整数x 为0，1，故答案为：7；0,1；（5）当x ≤-2，4|1|||3|2|2|4|44368261026x x x x x x x x x -++++-=----+-=-³，当-2≤x ≤0，4|1|||3|2|2|4|44368218418x x x x x x x x x -++++-=--+++-=-³当0≤x ≤1，4|1|||3|2|2|4|44368218218x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³当1≤x ≤4，4|1|||3|2|2|4|44368210616x x x x x x x x x -++++-=-++++-=+³当x ≥4，|4|1|||3|2|2|4|44362810636x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³∴|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为16，符合条件的整数x 为1，故答案为16；1；（6）当x ≤1，()|1||3|132x x x x ---=---=-，当1≤x ≤3，()|1||3|13242x x x x x ---=---=-³- ，当x ≥3，()|1||3|132x x x x ---=---=，|1||3|x x ---的最小值为-2，最大值为2．故答案为-2；2．【点睛】本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解题关键．9．阅读理解；我们知道，若A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点间的距离表示为AB ，则AB a b =-．所以2x -的几何意义是数轴上表示X 的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A 表示－2，点B 表示3，则AB ＝．（2）若35x -=，则x 的值是．（3）如果数轴上表示数a 的点位于－4和2之间，求42a a ++-的值；（4）点a 取何值时，42a a ++-取最小值，最小值是多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子-129a a a +-+¼+-取最小值时，相应a 的取值范围是多少？最小值是多少？【答案】（1）5；（2）2-或8；（3）6；（4）当42a -££时，最小值为6；（5）当5a =时，最小值为20【解析】【分析】（1）根据题目中的方法确定出AB 的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x 的值；（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简42a a ++-即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．【详解】解：（1）235AB =--=，则5AB =；（2）∵35x -=，∴35x -=±，故2x =-或8，故答案为：2-或8；（3）∵数轴上表示数a 的点位于－4和2之间，∴42426a a a a ++-=++-=；（4）∵42a a ++-，代表点a 到4-和到2之间的距离之和，当42a -££时，42a a ++-取得最小值，最小值为6；（5）当5a =时，-129a a a +-+¼+-有最小值，最小值为=123456789a a a a a a a a a-+-+-+-+-+-+-+-+-=15a +=515+=20．【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．10．我们知道，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；（2）数轴上表示x 和－1的两点A 、B 之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x 的值为_______；（3）当x 取何值时，式子|x －1|+|x －2|+|x －3|+ |x －4|+|x －5|的值最小，并求出这个最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6【解析】【分析】（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解；（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；（3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．【详解】解：（1）表示2和5 的两点之间的距离是|2-5|=3，表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；（2）表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x 到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，∴当x 与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是a 、b ，则这两点间的距离可表示为|a-b|．11．我们知道，a 表示数a 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点,A B 分别表示数,a b ，那么,A B 两点之间的距离为a b -．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x 和－1的两点之间的距离为2，那么x 的值为；（3）直接写出24x x ++-的最小值为；（4）直接写出+21+4x x x +--的最小值为；（5）简要求出12399x x x x -+-+-++-…的最小值．【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得；（2）根据绝对值的定义可得；（3）得出24x x ++-的几何意义，从而得到最小值；（4）得出+21+4x x x +--的几何意义，从而得到最小值；（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解．【详解】解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是()336--=，故答案为：6；（2）由题意可得：()12x --=，则x 的值为：-3或1；（3）∵24x x ++-表示数轴上表示点x 到-2和4两点的距离和，∴当x 在-2到4之间时，24x x ++-有最小值，最小值为6；（4）+21+4x x x +--表示数轴上表示点x 到-2和1和4三点的距离和，∴当x 与1重合时，+21+4x x x +--的值最小，最小值为6；（5）12399x x x x -+-+-++-…的中间一项是|x-50|，当x=50时，12399x x x x -+-+-++-…有最小值，∴12399x x x x -+-+-++-…=5015025035099-+-+-++-…=49+48+47+…+1+0+1+2+…+49=2×（1+2+ (49)=2450．【点睛】本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．类型三利用绝对值的几何意义解方程12．阅读理解；我们知道」x 丨的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即丨x 丨=丨x -0丨，也就是说丨x |表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x -y 丨表示在数轴上数x 、y 对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x | = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x =±2．②在方程丨x -1丨=2中，x 的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x = 3或x = -1．知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解（1）方程|x |= 5的解（2）方程| x -2|= 3的解【答案】（1）5x =±；（2）5x =或1-【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；【详解】（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为5±∴方程5x =的解是5x =±（2）∵在方程23x -=中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．∴方程23x -=的解是5x =或1-．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．13．阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程53x -=的解为______；（2）解不等式2219x ++<；（3）若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；（4）若12y x x =--+，则y 的取值范围是_______．【答案】（1）128,2x x ==（2）62x -＜＜（3）21x -£＜（4）33y -££【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；（2）将原式化解为24x +＜，首先在数轴上找出+24x =的解，即2x =或6x =-，则24x +＜的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；（4）1x -表示数x 到1的距离，2x +表示数x 到-2的距离，12y x x =--+表示数到1的距离减去数x 到-2的距离，然后分三者情况讨论y 的取值即可．【详解】解：（1）53x -=Q ，53x \-=±，解得：128,2x x ==，故答案为：128,2x x ==；（2）2219x ++<228x +＜24x +＜，首先找2=4x +的解，即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，24x +＜表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，\不等式解集为62x -＜＜；（3）123x x -++=，表示到1的点与到-2的点距离和为3，Q -2与1之间的距离为3，21x \-£＜；故答案为：21x -£＜；（4）12y x x =--+，1x -表示数x 到1的距离，2x +表示数x 到-2的距离，12y x x =--+表示数x 到1的距离减去数x 到-2的距离，当x 在点1右边时，3y =-，当x 在点-2左边时，3y =，当x 在-2到1之间时，33y -££，33y \-££；故答案为：33y -££．【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x|=5的解是_______________．（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．【答案】（1）x=5或-5；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.【解析】【详解】试题分析：（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，∴方程|x|=5的解为x=±5；（2）∵在方程|x-2|=3中，x 的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x 的对应点在3的右边或-2的左边．若x 的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；若x 的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，所以原方程的解是x=5或x=-4．点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．15．阅读材料：我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|0|x x =-，也就是说||x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离，这个结论可以推广为12||x x -表示数轴上1x 与2x 对应点之间的距离．例1：已知||2x =，求x 的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为2-和2，即x 的值为2-和2．例2：已知|1|2x -=，求x 的值．解：在数轴上与1的距离为2的点的对应数为3和1-，即x 的值为3和1-．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）||3x =（2）|2|4x +=（3）由以上探索猜想：对于任何有理数,36x x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）-3和3；（2）-6和2；（3）有最小值，最小值为3【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（3）根据题意得出原式最小时x 的范围，并求出最小值即可．【详解】（1）3x =，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即x 的值为-3和3；（2）24x +=，在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即x 的值为-6和2；（3）有最小值，最小值为3，理由是：∵36x x -+-理解为：在数轴上表示x 到3和6的距离之和，∴当x 在3与6之间的线段上（即36x ££）时：即36x x -+-的值有最小值，最小值为633-=．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．类型四利用绝对值的几何意义解不等式16．解方程|x －1|＋|x ＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x ＝2或x ＝－3.参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x ＋3|＝4的解为________．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9；(3)若|x －3|＋|x ＋4|≥a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．【答案】(1) 1和－7；(2) x ≥4或x ≤－5(3) a ≤7【解析】【分析】(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；(2)不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；(3)|x －3|＋|x ＋4|≥a 对任意的x 都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．【详解】(1)方程|x ＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x 的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x 对应点在３的右边或－４的左边，若x 对应点在３的右边，由图可以看出x ≥４；同理，若x 对应点在－４的左边，可得x ≤－５，即可求得x ≥4或x ≤－5．(3)|x －3|＋|x ＋4|即表示x 的点到数轴上与3和－4的距离之和，当表示对应x 的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．故a ≤7．【点睛】此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.17．阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2x =±．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．。

七年级新思维9-绝对值与方程

9.绝对值与方程问题解决例1 方程x _5 +2x 的解是________________【答案】由| x「5 |= _5「2x，得 x「5=_ 5—2x或X「5=_ 卜5- 2 X ，所以x = 0或x = _10 .经检验知x=0时，方程左右两边不等，故舍去•从而原方程的解为X M-10 .例2 若关于x的方程2x_3|-m=0无解，3x -4・n=0只有一个解，4x_5 • k =0有两个解，则m , n , k的大小关系为（）.A . m>n>kB . n>k>mC. k> m> n D . m> k> n【答案】A |2x-3|=_m ,|3x_4| 二_n , |4x「5|=_k，由题意得-m ：：：0 ,「n= 0, - k. 0,从而m . 0, n =0, k <0.例3解下列方程：(1) x「3x 1 =4 ; （天津市竞赛题）(2) x 亠3 - x -1 =x T ; （北京市“迎春杯”竞赛题）(3) x 1 x -3 =4. （“希望杯”邀请赛试题）(1)5 3x =-—或x =—.原方程化为x—|3x • 1|=4或x—|3x 1^-4，即4 2|3x 1^x -4 或|3x 1^x - 4.(2)当x ：：：七时，原方程化为-(x 3) (x -1) =x • 1 ,得x =-5 .当-3 < x ：：： 1时，原方程化为x 3 x 1，得x - -1 .当x> 1时，原方程化为x ^（x -1^x 1，得x=3 .综上知原方程的解为x -与,-1, 3 .（3 ）由绝对值的几何意义得原方程的解为-1 < x < 3 .例4如图，数轴上有A、B两点，分别对应的数为a、b，已知（a 1）2与b-3互为相反数.点P为数轴上一动点，其对应的数为x .（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数.（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；问几分钟时点P到点A、点B的距离相等?3 7 2 4【答案】（1）x =1 ;⑵存在，X---或—；（3）—或一2 2 23 15A O PB I | | ill n -2 -1 0 3（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动, 点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动,例5讨论关于x的方程x-2 • x-5 =a的解的情况.33分析与解 a 与方程中常数2、5有依存关系，这种关系决定了方程解的情况•故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具. 数轴上表示数x 的点到数轴上表示数 2和5的点的距离和的最小值为 3,由此可得原方程的解的情况是：(1 )当a >3时，原方程有两解；(2 )当a =3时，原方程有无数解(2 < x < 5) ; ( 3)当a v 3 时，原方程无解.数学冲浪知识技能广场1 11 .若x =9是方程—x 一2 =m 的解，贝U m= ________ ;又若当n =1时，则方程 —x —2 = n 的3 3 解是 _______ . 【答案】1; 9或32•方程|3x —1 = 2x+1的解是 __________ ; x= ________ 是方程3(x -1)=凶+1的解；解方程5 3990x 1995 =1995，得 x = _________ . 【答案】2或0; _!°； 0或-17，3. (湖北省荆州市中考题)如果 x -2 • (x -y • 3)2二0,那么(x y)2的值为【答案】494.(山东省竞赛题)已知关于 x 的方程ax ^2(^x)的解满足 ( ).222A . 10 或B . 10 或C . -10 或—55 5【答案】A5. (重庆市竞赛题)若 2004x 2004 =20 2004，贝U x 等于( A . 20 或-21 B . -20 或 21C . -19 或 21【答案】D).C .无数个D .不确定(2) x _2 =2x -1 ; (4) x -2x 1=3 .1x 一1=0，贝U a 的值为2 D . -10 或-— 5).D . 19 或-216.方程m ' 8 "m=0的解的个数为( A . 2个 B . 3个【答案】C 7 .解下列方程1(1) 4 —2 —X +1 =3 ；2 (3)3x-5卜4=8 ;1 【答案】(1) x = -1 或x = -3 ; ( 2) x=1 ; ( 3) x = 3 或x=-;3&求关于x的方程| |x_2 _a =0（0v a v l）的所有解的和.【答案】|x _2|=1 _a（0 ：：：a ：：：1）, x_2= （1_a）, x=2_（1_a）,得X =3 a , x2= 3「a, x3= 1 a , x4= 1「a ,故x x2x3x4= 8 .9. 解方程| |x 3 -2 =k .【答案】当k ：,0 ,原方程无解；当k =0时，原方程有两解：x = _1或x = _5 ;当0 ：：：k ：：：2时，原方程化为|x・3|=2_k，此时原方程有四解：x=-3_（2_k）;当k =2时，原方程化为|x ,3=2 _2，此时原方程有三解：x =1或x - 一7或x亠3 ；当k 2时，原方程有两解：x - -3 _（2 k）.思维方法天地10. （"希望杯”邀请赛试题）已知a、b、c、d都是整数，且a ^_|b ■ c - c | d • a = 2 ,贝U a +d = ______ .【答案】0或1 |d+a|w 2 ,又a、d都是整数，得|d+a|=2 , 1, 0.当|d+a|=2,则a = -b =c = -d ,即d +a =0 矛盾；若|d+a|=1 令a = ,1 b=c=d 足题意；若| d a \- 0 令b =1, a=c=d=0 满足题意.11. _________ （山东省竞赛题）若x、X2都满足条件2xT，2x，3=4，且x< x?，则x-x?的取值范围是________ .【答案】-2 < x 一役:::012. （“华罗庚杯”邀请赛试题）满足方程___________ | || x-2006 -1 +8 =2006的所有x的和为.【答案】401213. （武汉市选拔赛试题）若关于x的方程x-2-1 =a有三个整数解，则a的值为（）.A . 0B . 2 C. 1 D. 3【答案】C14. 方程2a - 7 "^a -1 =8的整数解的个数有（）.A . 5B . 4C . 3D . 2【答案】B由数轴知-7 < 2a < 1，且2a为偶数15 .若a是方程2004 -a =2004 • a 的解，贝U a-2005 等于（）.A . a -2005B . -a - 2005C . a 2005D . -a 2005 【答案】D a w 016 .（第69届“莫斯科”市竞赛题）解下列方程（1）x -2005| “|2005 -x =2006 ；(2) x _ V:；x _ 5 =4 .【答案】(1) 1002或3008可以得到2 |x _2005|=2006;(2) 1 < x w 5 .17. 当a满足什么条件时，关于x的方程x—2 — x_5 "有一解？有无数多个解？无解?【答案】由绝对值几何意义知：当_3：：：a ：：：3时，方程有一解；当 a = 3时，方程有无穷多个解，当a 3或a：：：；时，方程无解.应用探究乐园18. 如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a,b满足a 2 (b -1) =0.(1)求线段AB的长；1(2)点C在数轴上对应的数为x ,且x是方程2x -1 =丄x 2的解，在数轴上是否存在点P ,2使得PA PB =PC ?若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；(3)在(1 )、(2)的条件下，点 A , B , C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒种过后，若点B与点C之间的距离表示为BC ,点A与点B之间的距离表示为AB .请问：AB —BC 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值.【答案】(1) a = —2, b =1, AB =3;(2)存在点P，点P对应的数为-1或-3 ； (3) AB — BC丄(5t • 3)—(5t・1)=2，为常数.19 .("希望杯”邀请赛试题)已知(x T • x「2 )(y - 2 • y 1 )(z - 3 z 1 36求x 2y 3z的最大值和最小值.【答案】|x 1| • |x-2|=|x-(-1)| • |x-2p 3 ,同理|y-2| |y1p 3 , |z-3|Tz1|> 4,得(|x 1| |x-2|)(|y-2| |y 1|)(| z-3| | z • 1|) > 36 .当且仅当-1 w x w 2, -1 w y w 2 , - 1w z w 3时，上面各式等号成立.又(|x 1| |x—2|)(|y-2| |y 1|)(|z—3| |z 1|) =36 ,-1 w x w 2 ①由-1 w y w 2②得①+②X 2+③x 3, -6 w x 2y 3z w 15，因此，x 2y 3z的最大值-1 w z w 3 ③为15,最小值为-6 .从三阶幻方谈起(微探究)问题解决例1 (北京市“迎春杯”竞赛题)如图①，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等.问：图中左上角的数是多少？H □ □ □ □P3 □□图①x1x2□□□x4图②【答案】由已知条件得：x x 1 x 2 =xx 3 x^ =x 1 x 3 • 13 = x 2 19 x 4，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即 2xx 1 x 2 x 3 x 4 =13 19 xx 2 x 3 x 4 , . 2x =13 19 ,得x =16. 例2 （“希望杯”邀请赛试题）如图，在的正整数：1 , 2, 3, 数的和都相等，请确定【答案】a - b 与 c d 3 3的方格表中填入九个不同 4, 5, 6, 7, 8和x .使得各行、各列所填的三个 x 的值，并给出一种填数法. 的最小值是1 2 3 4 =5，所以2x 12—仝 > 5 , 3x < 21 .而 2 2 xa b =12 为整数，且x 是不同于1, 2, 3, 4, 5,3 例3 （美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛试题）如图①， a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别代表 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内 3个数的和都相等，那么a d g 的值是多少？分析与解设这个相等的和是 S ，现将这9个小圆中（3 9）=27个数求和，可得： 6，7，8的正整数, a 93 4 5 7f e6 9S =(1 2 川 9) 2 (a b c d e f g h i) =3 (1 2 III 9) =3 45-，故 S =15 . 先从9所在的小圆看，h 至少是1, i 最多只能是5,再从1所在的小圆看，a 最多只能是9,由于1 i a 15 ,所以必须i =5, a = 9, 由此可以求得图②. 对照图①与图②中各数的位置，可看到 a d • g =9 • 3 • 6 =18 . 当然也可以有另一解法. 将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内（3 6 =）18个数求和，可得： 6 15 =1 2 4 5 78 （a b c d e f g h i ） a d g ，即 90 =72 a d g ，所以 a d g =90-72 =18 . 练一练 1.（世界数学团体锦标赛试题）将 2到10这9个自然数填入图中的圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，图① 9个则中间的圆圈中的数是 __________ ，对应的每一条直线上的 3个数的和是【答案】2, 6, 10; 15, 18, 21 设中间的圆圈中的数是 x ，同一直线上的3个数的和是y ，则44y _3x =2 3 山 10 =54 , x =4y _18 .32.（《时代学习报》数学文化节试题）请构造“幻角”，将1~10这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于25. 【答案】如下面第2题图 3. （《时代学习报》数学文化节试题）3 , 4，这9个数分别填入图中方阵的都是0. 【答案】如图1 2-4 0 43-2-14. （上海市竞赛题）如图， a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求 a b c d e f 的值.【答案】由条件得：4-「a =9, b 3 ^9, d f ^9 .上述三式相加有 a b c d e f 6 = 27，故 a b c d e f=21 . 5.（“两岸四地”数学邀请赛试题）如图是一个 33的幻方，当空格填了适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求k 的值.【答案】如图，由 a k b =a c 121 及c d 11 =b d 121,得 k b =c 121, c =b 110,从而k =110 • 121 =231 （注：这个幻方是可以完成的, 第 2 行为 221, 116, 11;第 3 行为 121, 1, 226）.a k b请将 _4 , - 3 , - 2 , -1 ,0,1 ,2 ,■9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的和4 -1 a b 3 c def如第1行为6, 231 , 111;□ k□□ □11121□□32□ x□ □□ □ 64□（第 2题）（第 3题）（第 4题）（第 5题）（第6题）46 .（上海市竞赛题）图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数:1，1,1,2，4 ,8,16 ,32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等， 4 2 求x 的值.1 1 3 一1 2 4 8 16 32 64 =64，所以每行、每列、每条对角 4 2 线上三个数字积为 64,得ac=1, ef =1, ax =2 , a 、c 、e 、f 分别为-、1、2、4个的某4 2 个数，推得x =8 .32 a xbcd e64f7•幻方第一人（《时代学习报》数学文化节试题）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中 3行、3列以及2条对角线上的点数之和都等于15,是一种“ 3阶幻方”（如图②）.我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从 3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想•例如，用1 , 2, 3,…，16构造4阶幻方的方法是：先将1, 2, 3,…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即 1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方.三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也随之确定，从而得到结论，共有6种不同的填法.【答案】这9个数的积为H j1 7JZ13 9 5 114 10 6 2 15 11 7 3 16 12 84图③图④【答案】略& （山东省竞赛题）把数字个圈内，要求三角形ABC 和三角形DEF 的每条边上三个圈内数字之和都等于18.（1）给出一种符合要求的填法；（2 ）共有多少种不同填法？证明你的结论. 【答案】（1 ）略（2）显然有 x y z =1，2 *9= 45力中六条边，每条边上三个圈中之数的和为 z 3y 2x 6 18 =108 .②-①，得 x 2y =108 -45 =63 .把AB 、BC 、CA 每一边上三圈中之数的和相加，联立③、④解得x =15, y =24，进而z = 6 .在1〜9中三个数之和为 24的仅有7, 8, 9,1, 2, 3，…，9分别填入图中的918, 2x y =3 18 =54 . 所以在D 、E 、F 三处圈内,只能填 7, 8, 9图②（第8题）商品的利润（微探究）例1 （陕西省中考题）一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润_________ 元.【答案】设成本为a，则a（1 50%） =450，得a =300，所求利润为450 X 0.8-300=60（元）.例2 （重庆市竞赛题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20% .若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）.A. 25% B . 20% C. 16% D . 12.5%【答案】C设原进价为a元，提价后的利润率为x%，则m =a・2C%二a（1 25%）% ,解得x%=16% .例3 （第23届“五羊杯”竞赛题）某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了10%，为了赚钱，开发商把售价提高了0.5倍，利润率比原来增加了60%，求开发商原来的利润率.【答案】设原来的利润率是x%，原来的成本是a,则 1.5a（1 0.01x^（1 0.1）a[1 0.01（x 60）]，解得x =6 5，即原来的利润率是65% .例4 （江苏省竞赛题）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1 ）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠.小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按发九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.情形1当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元，又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，1040.8 =130 （元）. 因此，554元所购物品的原价为130+500=630 （元），于是购买小明花198+630=828 （元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付500 0.9 • （828 -500） 0.8 =712.4 （元）.情形2当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198亠0.9=220 （元）.仿情形1的讨论，购220+630=850 （元）物品一次性付款应为500 0.9 *（850 -500） 0.8 =730 （元）.练一练1 .某商品的进价为x元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为____________ .【答案】匹岂x2.（黑龙江省齐哈尔市中考题）某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为__________ 元.【答案】1603 .（沈阳市中考题）某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了_________ 折优惠.【答案】九4. （宁夏中考题）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为___________ .【答案】1205. （2012年陕西省中考题）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_____________ 元.【答案】1506. （第22届“希望杯”邀请赛题）甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10% •而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙•若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）.A .盈亏平衡B .盈利1元C.盈利9元 D .亏损1.1元【答案】B7. （兰州市中考题）2008年爆发的世界金融危机，是自20世纪30年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148兀，下列所列方程正确的是（).A . 200(1 a%)2=148B . 200(1 —a%)2=148C . 200(1 -2a%) =148D . 2200(1 — a %) =148【答案】B& （重庆市中考题）某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20% .若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）.A . 25%B . 20%C . 16%D . 12.5%【答案】C设提价后的利润率为x%，则-^（V 25%）（1 x%）=^^ （1 25%）• m,解得20% 20% x =16 .9.（山东省荷泽市中考题）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（）.A . 6折B . 7折C . 8折D . 9折【答案】B10 .（全国初中数学联赛题）某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠. 某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）.A . 522.8 元B . 510.4 元C . 560.4 元D . 472.8 元【答案】C提示：168 <200 0.9 =180，没有经过打折；423 ：：:500 0.9 =450，且大于200,所以这是经过9折后的价格；合在一起是168+423-P.9 =638 500，按照③，可得应付款为500 0.9 138 0.8 =560.4 （元）.11 .（云南省昆明市中考题）某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：例2 （1）（五城市竞赛题）一艘轮船从水需8小时，若在静水条件下，从C . 66A 港到B 港顺水航行，需 A 港到B 港需（）小时.6小时，从B 港到A 港逆进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏）60100（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若A 型台灯按标价的九折出售， B 型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？【答案】（1）A 型台灯购进30盏，B 型台灯购进20盏；（2）这批台灯全部售完后，商场共获利 720元.12.（重庆市中考题）某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品 C 的销售金额占总销售金额的 40% .由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少 20%，因而高新产品 C 是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品 C 的销售金额应比去年增加多少？【答案】设去年总销金额为 a ，则高新产品 C 的销售金额为0.4a , A 、B 的原销售金额为0.6a ,今年的销售金额为0. 6 （1-20% 0a4,8设高新产品C 的增长率为x ,由 0.4a （1x 片 0.4cA a 得 x =0.3 =30% . 13.（海南省竞赛题）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超过300元时，按该次购物全额 9折优惠，超过300元的其中300 元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了 94.5元和282.8元，则小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？【答案】注意到100 0.9 =90 <94.5 <100, 300 0.9 =270 ：：： 282.8设小美第二次购物的原价为 x 元，贝U （x -300） 0.8 300 0.9 =282.8，解得 x =316 .（1）若小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过 300元，则小丽应付（316+94.5-300） 0. 8+300 0. 9=358 . 4 （元）.（2）若小美第一次购物原价超过 100元，第二次购物原价超过 300元，购第一次物原价超过100元，第二次购物原价超过 300元，则第一次购物原价为 94.5」0.9 =105 （元），则小丽应付（316+105-300）0.8 300 0.9 =366.8 （元）.多变的行程问题（微探究）例1（1）（"希望杯”邀请赛试题）在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km/h 、70km/h 、50km/h 的速度匀速行驶， A 从甲站开往乙站，同时， B 、C 从乙站开往甲站. A 在与B 相遇2小时后又与C 相遇，则甲、乙两站相距 __________ km . （2）（浙江省竞赛题）小王沿街匀速行走，他发现每隔6min 从背后驶过一辆18路公交车；每隔3min 迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆 18路公交车行驶速度相同，而且 18路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为 ____________________ min .一—-2 = 一—,解得 x =1950 .80 70 80 50（2） 4设18路公交车的速度是 xm/min ,小王行走的速度是 ym/min ,同向行驶的相邻两车6x -6y =s的间距为sm .则Qx +3y = s【答案】（1） 1950设甲、乙两站相距 x 千米，则解得s = 4x ,即—=4 .x甲A 、C 同时沿正方形的边开始移动.甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4倍，则它们第2000次相遇在边（）.A . AB 上 B . BC 上 C . CD 上D . DA 上【答案】（1） C 设船在静水中的速度为 x ，水流速度为 y ，则6（x • y ） = 8（x_y ）,解得x=7y , 6（x y）= 6（7y y ）= 6-6x 7y 7 ■（2） A 设正方形边长为 a ，第2000次相遇共行了 2a （2000 -1） 4a=7998a ，设甲的路程为 y ，甲的速度为 x ，则》=7998a -y ，解得 y =i599.6a =4a 399 - 3.6a .x 4x例3有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙.如果它们从同一点同时出发沿相返方向行驶，那么每隔11分钟相遇一次.现在，它们从同一点同出 3发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了 4圈，此时它们行驶了多少分钟？【答案】设环形跑道长为 S ，甲和乙的速度分别是 v 甲，v 乙.因为当甲、乙同时同地同向出发，甲首次追上乙时，乙行驶了 4圈，所以当甲追上乙时，甲行驶了 5圈.这说明竺二5,v 乙 4 代入到4 （v 甲 v 乙） =S 中，得4 9v 乙二S ,即v 乙二S ，于是所球时间为甞=12 （分钟）3 34 3 S3 例4 （“祖冲之杯”邀请赛试题）甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，在距离 B 地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达 B 地、A 地后,又在距A 地4千米处相遇.求 A 、B 两地相距多少千米？解法一第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是 A 、B 两地相距的路程，即当甲、乙合走完A 、B 间的全部路程时，乙走了 6千米.第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为 6 3=18 （千米）.考虑到乙从B 地走到A 后又返回了 4千米，所以A 、B 两地间的距离为18-4=14 （千米）.解法二甲、乙两人同时动身，相向而行，至躺遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了（全程-6 ）千米，乙走了 6千米；到第二次相遇，甲走了（ 2全程-4 ）千米，乙走了（全程 +40）千米.解得s =14 , s =0 （舍去），所以A 、B 两地相距14千米.解法三设全程为s 千米，甲、乙两人速度分别为 w , v 2 .则设全程为s ，易得到下列方程s -6 2s - 46 s 4 '（甲）② ①B（乙）33 —5— 33—10—接乙走的路程为 33 -2s 2 =33 -10X .故有3 --------------- -- ---------- =x ，解得x =1.8，甲乘车的时20 25 间为詈七（小时），故甲从学校到博物馆共用「8 “2二3 （小时）. 练一练"s —6 6 V i V 22s -4 s 亠4V i- V①②，①“②得 s —662s —4 s 亠4解得s =14或s =0 （舍去）.例5 （“希望杯”邀请赛试题）老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为 25千米/时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为 20千米/时，学生步行的速度为 5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过3个小时.分析若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等, 关键.解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人.乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆.如图，设老师带甲乘摩托车行驶了 x 千米，用了—小时，比乙多行了 — （20-5）=3X （千米）•这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙,20 20 4 3 X遇到乙时，用了 — x 〒（25亠5） —（小时）.乙遇到老师时，已经步行了 20 40米）,离博物馆还有 33中（千米）.要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有 3x =33 X ，解得x =24 .即甲先乘摩托车824千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时.因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3个小时.另解：设乙先步行的时间为—小时，步行的路程为s 2，则s 2 =5x （千米），此时老师带甲走的路程为33-S 2 =33 -5X （千米），老师返回学校博物馆甲（师）乙s iS 2S 2乙（师）1. （江苏省竞赛题）甲、乙两人从两地同时出发,则b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行,【答案】b -a （乙）师2.（“希望杯”邀请赛试题）一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 __________ 小时. 【答案】243. _________________ 甲、乙两列客车的长分别为 150m 和200m ，它们相向行驶在平行的轨道上.已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为 10秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 ____ .【答案】7. 5先求出甲、乙两车速度和为 200 =20 （米/秒）104. ______________ （“希望杯”邀请赛试题）甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行，2小时后中途相遇.甲、乙步行速度都提高了 1千米/时，当甲到达B 地后立刻按原路向 A 地返行，当乙到达 A 地后也立刻按原路向 B 地返行.甲、乙两人在第一次相遇后 3小时36分又再次相遇，则A 、B 两地的距离是 _________ 千米.【答案】36设A 、B 两地相距skm ,甲、乙两人速度和为 v ，贝U 2V，解得（2s = （v+2）汉 3.6s =36 .5•甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从 A 到B ，甲需要30分钟，乙需要40分钟.如果乙比甲早出发6分钟，则甲出发后经 _________ 分钟可以追上乙.【答案】18 6.（北京市“迎春杯”竞赛题）甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有 5米，丙距终点还有10米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有 _______ 米.5V 19 【答案】5—设甲跑全程需时1 ,则v 乙t =95 , v 丙 t =90,,又设乙跑完全程需时t2 ,19v 丙 18则 v 乙t 2 =100, v 丙t^18v 乙t 2 =1800，此时丙离终点为19 19 7. （广西南宁市中考题）小李骑自行车从 A 地到B 地，小明骑自行车从 B 地到A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午 8时同时出发，到上午 10时，两人还相距 36千米，到中午 12时，两人又相距 36千米，求A 、B 两地间的路程. 【答案】设A 、B 两地间的路程为x 千米，由匸色二乞空,得x=108（千米）.2 4 &（浙江省嘉兴市中考题）目前自驾游已成为人们出游的重要方式.“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途径舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了 4.5小时；返回时平均速度提高了 10千米/时，比去时少用了半小时回到舟山.（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表:大桥名称舟山跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度 48千米 :36千米过桥费100元80元1001800 19据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y （元）的计算方法为：y =ax • b • 5，其中a （元/千米）为高速公路里程费，x（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b（元）为跨海大桥过桥费.若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为速公路里程费a .【答案】（1） 360千米；（2） a =0.4元/千米.9. （河北省竞赛题）铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人的速度为 10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了 22秒，通过骑车人用了 26秒.问这列火车的车身长为多少米？【答案】设火车的速度为x 米/秒，则（x_1） 22=（x _3） 26，解得x =14，从而火车的车身长为（14 _1） 22 =286 （米）.10.如图，甲、乙两人分别在 A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向 B 地行走，乙则休息了 14分钟，再继续向A 地行走•甲和乙到达 B 和A 后立即折返，仍在E 处相遇.已知甲每分钟行走 60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两地相距多少米？（“华罗庚杯”邀请赛试题）【答案】 AE ： BE =60： 80 =3： 4, 设 AE =3x , BE =4x , 7x 亠4乂 7 x 亠3x14, 得x =240，故A 、B 两地距离是240 7 =1680 （米）.60 80 11. 某单位有135人要到50千米外的某地参观，因为步行时速只有 5千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人 50名、时速25千米的大客车.于是早晨6时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步行与乘车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求出到达该地的时刻，画出汽车往返的运行图. 【答案】如图所示，设第①组先乘车的路程为S ,，后步行的路程为2S 2，则第②组应为先步行S 2，然后乘车，再步行 S 2 ；第③组为先步行2S 2，再乘车到达目的地.设第②组步行S 2所需时间为x 小时，则3=5x （千米），则车送第①组及返回接第②组的时间和也为x 小时，行驶的路程为 25x 千米，此时2S=5x + 25x ，S =15x .30 d 门 1.2 25（小时），步行时间为2 2=4（小时）•第①组到家达目的地（即全程）所需时间为:4・1.2=5.2（小时），即11时12分到达.12. “希望杯”邀请赛试题） A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，前，C 在后，B 在A 、C 正中间.10分钟后，C 追上B ;又过了 5分钟，C 追上A . 过多少分钟，B 追上A ?【答案】设开始时B 与A , C 的距离均为s , C , B , A 的速度分别为c , b , a ,从开始到295.4元，求轿车的高从而A B =7 x （米），由由S 2S 2 =50，解得x =2 （小时），所以S =30 （千米），于是第①组乘车时间为A 在问再① ②。

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第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解•前者是通法，后者是技巧.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题【例1】方程5x 6 6x 5的解是 ____________（重庆市竞赛题）思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.A • 5B • 4C •3 D . 2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征, 解题途径.注：形如ax b ex d 的绝对值方程可变形为 ax b 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验. 【例3】解方程：x 3x 1 4;思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：（1） x 3 x 1 x 1 （北京市“迎春杯”竞赛题）（2）x 1 x 5 4 • （ “祖冲之杯”邀请赛试题）思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.【例5】已知关于x 的方程x 2 x 3 a ，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论. 思路点拨方程解的情况取决于 a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究.【例2】适合2a 7 2a 18的整数a 的值的个数有（借助数轴也许能找到简捷的 (ex d)且 ex d 0 ,学力训练1 •方程3（ X 1）— 1的解是_________ ;方程3x 152•已知3990X 1995 1995，那么x= ____________ •3.已知，X X 2，那么19x99+3x+27的值为 _____________ •4.关于X的方程ax a 1 x的解是x=0 ,则a的值_的解是x=1，则有理数a的取值范围是 ____________ .5•使方程3x 2 2 0成立的未知数x的值是（）.2 —A • —一2B • 0C •D .不存在36.方程x 5 x 5 0的解的个数为（）•A .不确定B .无数个C • 2个D • 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）17.已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足x — 12 2 2A. 10 或—B . 10 或—C . 10 或— D .5 5 5（山东省竞赛题）& 若2000x 2000 20 2000，则x 等于（）.A . 20 或一21B . 一20 或21 C. —19 或21（重庆市竞赛题）9.解下列方程：（1）3x 5 4 8;⑵ 4x 3 2 3x 4 ；⑶ x 2x 1 3;⑷ 2x 1 x 2 x 1 .10.讨论方程|x 3 2 k的解的情况•11.方程x 2 1 2的解是_________ 2x 1的解是_______ ._；关于x的方程a x a 1 x0，则m的值是（）210或-512 •若有理数x 满足方程1 X 1 X ，则化简X 1的结果是 __________________ 13.若a 0,b0 ,则使x a x b a b 成立的x 取值范围是 ___________________14•若0 x 10，则满足条件 x 3 a 的整数a 的值共有 ______________ 个，它们的和是 15•若m 是方程2000 x 2000 x 的解，则m 2001等于（）.A . m 一 2001B .一 m 一 2001C . m+2001两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（）.m>n>k B . n> k>m C . k>m>n D . m>k>n17 .适合关系式3x 4 3x 2 6的整数x 的值有（）个.A . 0B . 1C . 2D .大于2的自然数18 .方程x 5 3x 7 1的解有（）.A . 1个B . 2个C .3个 D .无数个19 .设a 、b 为有理数，且 a 0,方程|x a b3有三个不相等的解，求 b 的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20 .当a 满足什么条件时，关于 x 的方程x 2 x 5 a 有一解？有无数多个解？无解?21 .已知x 21 x 9 y 5 1 y ，求x+y 的最大值与最小值.（江苏省竞赛题）22 . （1）数轴上两点表示的有理数是 a 、b ,求这两点之间的距离；⑵是否存在有理数x ，使x 1 x 3 x ?⑶是否存在整数x ,使x 4 x 3 x 3 x 414?如果存在，求出所有的整数 x ；如果不存在，说明理由.参考答案ED 亀对售与一元一次方程｛鶴團琳解】9T 1上知1提頁》（办樫沁+6工知—一弭或从总十鼻趴5工+占U0讨论，« >逢H 握术：由已知即在救轉丄糧禾加酌点郢一丁少+L 的匪直利等于E+折IU 玄苦示一了刊】之同的偶散.#IJ或l 寻師禺方和qmmmwi —<D .一 m+200116.若关于x 的方程2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解, 4x 5fl 4 （妇擢臥：半Y-m Bj，S（方程It为hl■耳十（『一1〉一£出］.* †簿*= 一筑当'3^z<l 时"原方Stt；* J+3+J-1=JT^I.^ X=-I r肖1>1吋“區方科化肖r+3-（j—l> = .r+l，祁心雷琮匕知原方程的辭为_r=-脇亠1』.<2^^i方程舲几何尊丸罟"•袖匕朝示地I的成51表亦敘t朋弓的產离和尊亍4.禹出数（•期得甥足*并的埶为L咗上殆5*就釘为原冇輕的H.ffls腿示：數•上讒示联」的AFJftM上农审蠡氛3的苣的即■和的it小蹴为1 .曲it可禅穴•的<n il f ^>i »hlS方害幅为『=疑*\斗aVL耐+环育程朮鲜一I学力训嫌】I 土学*2或0 二Q或一1 」” &4. - L,u iaO M^idJlu + ll" l«|-^t ^dXl>O.W^>0氛（J «. B A 鼠D†H U1 J~3<J-~ i<Z 1J RT J"-------------- i⑶』-手史■（-Hi M】拇丽i为J W E I*-X JT U当■1'|"忑『田』即皿沖t#况井剧£掉越轴如符号U方秤当常廊列*乓ri'2 W +S方帰ft冲口"一1「（j-Z>-J±l-flP 1 = 1.ije 亍怕等武'说啊凡址擠足+石丄石孝的才俺肺雄方理酌馨.10.气J6<0时■原方ex*4当fc=V H4.5C方程有苒■討=一L « T=-S*^ 0<*<Z时.囁力程化为|z十J| =2±*・Jt时I# 布稈旳円齋一诣土口土出hF * = Z»h匣方程化为J*3 =富±2,此时质方梶有吒解w=l戒工=一7或:r-一*眉* >2时，駅方用有两常订+』-±刎2+4,IL ±S U+1-J IX 提朮用附配対値的/L啊畫艾・-14. ?,SI nJ .«!W !-^-i'」』-z = d”u 韵解垦X冇骂3忑时•輯疽&的荊％2+3+W.5+乩I$H D 赛示：e总Q 1«, A 17. C ■示F-EW計耳4 IS- H】■•撮示、斎yb * lit足"和的.丽孔如星菖中」牛内辛■刖用3中（WMu舉荐不屁¥.则用t个馆.統血與检由炬对僅此弭点丈孙咐.肓程朝一■僅<1・±3财■方輕有无唧奏r»h豈*A皆战dU —3时•占界无・.Ik提贰,巴知第式町址为r J+2 + |x-n+ |^+1|+ Iy-5| ^9.由意玮值料几何童史知•当一PWzWL赴一10，燼3时* 上式曲立■故寺占工一氛$工一1时，丁十*哲号小價冉一卄当£=1,』=$时* + ,的鼎丸軌为骚U.（nk-A|iC»不祚TTM3H-士社±趴± 叽0。

绝对值方程详解及答案

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程5665-=+x x 的解是．(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2( “希望杯；邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．(天津市竞赛题)【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．学力训练1．方程15)1(3+=-xx 的解是；方程1213+=-x x 的解是．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 (山东省竞赛题)8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一21(重庆市竞赛题)9．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有个，它们的和是．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值． (“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．参考答案。

绝对值的题目及答案

绝对值的题目及答案绝对值是数学中的一个重要概念，指数值与零点的距离，一般用两个竖线表示。

在日常生活中，绝对值常用于计算温度、距离等物理量，也可用于求解方程、不等式等数学问题。

下面列举几个绝对值的题目及答案：题目一：求 |-5| + |3|解答：根据绝对值的定义，|-5| = 5，|3| = 3，所以 |-5| + |3| = 5 + 3 = 8。

题目二：求解方程 |2x - 1| = 5解答：根据绝对值的定义，当 2x - 1 > 0 时，|2x - 1| = 2x - 1；当 2x - 1 < 0 时，|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1。

根据以上推理，可以列出如下的方程：2x - 1 = 5 时，解得 x = 3。

-2x + 1 = 5 时，解得 x = -2。

所以方程 |2x - 1| = 5 的解为 x = 3 或 x = -2。

题目三：求解不等式 |x - 3| < 4解答：根据绝对值的定义，当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3；当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3。

根据以上推理，可以列出如下的不等式：x - 3 < 4 时，解得 x < 7。

-x + 3 < 4 时，解得 x > -1。

所以不等式 |x - 3| < 4 的解为 -1 < x < 7。

除了上述题目外，还有很多与绝对值相关的问题，如求绝对值函数的图像、讨论绝对值不等式的解集等等。

在解决这些问题时，需要深入理解绝对值的概念，掌握相关的计算方法，才能做出准确的答案。

综上所述，绝对值是数学中重要的概念之一，广泛应用于各种问题中。

通过练习多个绝对值的题目，不仅可以提高自己的数学水平，还能训练自己的思维能力和解决问题的能力。

因此，在学习数学时，应该多关注绝对值，并勤加练习。

绝对值方程应用题及答案

绝对值方程应用题及答案题目一一个水池里有两种鱼：甲和乙。

甲种鱼的重量是乙种鱼的两倍。

某天，我们在水池中捕获了一对鱼，它们的总重量是10千克。

求甲种鱼的重量。

解答：设甲种鱼的重量为x千克，则乙种鱼的重量为2x千克。

根据题意，x + 2x = 10。

合并同类项得到3x = 10，解方程可得x = 10 / 3。

所以甲种鱼的重量约为3.33千克。

题目二一个小餐馆每天午饭供应三种套餐：甲、乙和丙。

甲套餐的价格是乙套餐价格的两倍，乙套餐的价格是丙套餐价格的3倍。

某天中午，餐馆卖出了15份套餐，总收入为300元。

求甲套餐的价格。

解答：设丙套餐的价格为x元，那么乙套餐的价格就是3x元，甲套餐的价格就是6x元。

根据题意，甲 + 乙 + 丙 = 300，即6x + 3x + x = 300。

合并同类项得到10x = 300，解方程可得x = 300 / 10。

所以甲套餐的价格为6 * (300 / 10) = 18元。

题目三一个中装有一定质量的盐水。

我们从这个中取出了100千克的盐水，并在剩余的盐水中加入了25千克的纯水。

现在，整个里的盐水的质量是原来的3倍。

求原始盐水质量。

解答：设原始盐水的质量为x千克，剩余盐水的质量为(x - 100)千克。

根据题意，剩余盐水中加入了25千克的纯水，所以剩余盐水的质量为(x - 100 + 25)千克。

根据题意，整个里的盐水的质量是原来的3倍，所以3x = x - 100 + 25。

整理方程可得2x = 125，解方程可得x = 125 / 2。

所以原始盐水的质量为62.5千克。

以上是关于绝对值方程应用题的解答。

希望对你有帮助！。

七级数学思维探究(九)绝对值与方程(含答案)

商高是公元前11世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为3和4时，直角三角形的斜边就是5，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的． 9．绝对值与方程解读课标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有： 1．最简绝对值方程形如()0ax b c c +=≥是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程ax b c +=与ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．问题解决例1 方程525x x -+=-的解是________．试一试原方程变形为552x x -=--，再把此方程化为一般方程求解．例2 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系为（）．A ． m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >> 试一试从方程ax b c +=有解的条件入手．例3 解下列方程：（1）314x x -+=；（2）311x x x +--=+；（3）134x x ++-=．试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．例4 如图，数轴上有A 、B 两点，分别对应的数为a 、b ，已知()21a +与3b -互为相反数．点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P 到点A 、点B 的距离相等？试一试由绝对值的几何意义建立关于x 的绝对值方程．例5 讨论关于x 的方程25x x a -+-=的解的情况．分析与解 a 与方程中常数2、5有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2和5的点的距离和的最小值为3，由此可得原方程的解的情况是：（1）当3a >时，原方程有两解；（2）当3a =时，原方程有无数解()25x ≤≤；（3）当3a <时，原方程无解．数学冲浪知识技能广场-2-131．若9x =是方程123x m -=的解，则m =_______；又若当1n =时，则方程123x n -=的解是_____． 2．方程3121x x -=+的解是_______；x =_______是方程()3115xx -=+的解；解方程399019951995x +=，得x =_______．3．如果()2230x x y -+-+=，那么()2x y +的值为________．4．已知关于x 的方程()22ax a x +=-的解满足1102x --=，则a 的值为（）． A ．10或25 B ．10或25- C ．10-或25 D ．10-或25-5．若20042004202004x +=⨯，则x 等于（）．A ．20或21-B ．20-或21C ．19-或21D ．19或21- 6．方程880m m +++=的解的个数为（）A ．2个B ．3个C ．无数个D ．不确定 7．解下列方程（1）142132x -+=；（2）221x x -=-；（3）3548x -+=；（4）213x x -+=． 8．求关于x 的方程()21001x a a ---=<<的所有解的和． 9．解方程32x k +-=．10．已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d +=_______． 11．若1x 、2x 都满足条件21234x x -++=，且12x x <，则12x x -的取值范围是_______． 12．满足方程2006182006x --+=的所有x 的和为________． 13．若关于x 的方程21x a --=有三个整数解，则a 的值为（） A ．0 B ．2 C ．1 D ．314．方程27218a a ++-=的整数解的个数有（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．215．若a 是方程20042004a a -=+的解，则2005a -等于（） A ．2005a - B ．2005a -- C ．2005a + D ．2005a -+ 16．解下列方程（1）200520052006x x -+-=；（2）154x x -+-=．17．当a 满足什么条件时，关于x 的方程25x x a ---=有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园18．如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足()2210a b ++-=．（l ）求线段AB 的长；（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x -=+的解，在数轴上是否存在点P ，使得PA PB PC +=?若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分剐以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．ABO19．已知()()()12213136x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值．微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在33⨯的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在33⨯的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在33⨯的方格中填入9个不同的数，使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等，且为S ，若最中间数为m ，则3S m =．（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．例1 如图①，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图②）．例2 如图，在33⨯的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x ．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定x 的值，并给出一种填数法．试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即123456781233x x ++++++++=+为正整数，又2121233x xa b c d x +=+=+-=-，从估计a b +和c d+的最小值入手．整体核算法图①1319?图②1913x 4x 3x 2x 1xdcbax整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．例3 如图①，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么a d g ++的值是多少？分析与解设这个相等的和是S ，现将这9个小圆中()3927⨯=个数求和，可得：()()()912923129345135S a b c d e f g h i =++++⨯++++++++=⨯+++=⨯=，故15S =．先从9所在的小圆看，h 至少是1，i 最多只能是5，再从1所在的小圆看，a 最多只能是9，由于115i a ++=，所以必须5i =，9a =，由此可以求得图②．对照图①与图②中各数的位置，可看到93618a d g ++=++=．当然也可以有另一解法．将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内()3618⨯=个数求和，可得：()615124578a b c d e f g h i a d g ⨯=+++++++++++++++++，即9072a d g =+++，所以907218a d g ++=-=．练一练1．将2到10这9个自然数填入图中的9个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的3个数的和是_______．2．请构造“幻角”，将1~10这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好），使图中每个大三角123456789i h g f edc b a图①987654321987654321图②形内四数之和都等于25．3．请将4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，这9个数分别填入图中方阵的9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的和都是0．4．如图，a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求a b c d e f +++++的值．5．如图是一个33⨯的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求k 的值．6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值．7．幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行、3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用42-134 fedc b a 1211k64x32了对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方．8．把数字1，2，3，…，9分别填入图中的9个圈内，要求三角形ABC 和三角形DEF 的每条边上三个圈内数字之和都等于18．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．微探究商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．（1）100%=⨯利润利润率进价；（2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价×（1+利润率）．例1 一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润_______元．试一试从求出成本价切入．例2 某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（）． A ．25% B ．20% C ．16% D ．12.5% 试一试利用获利不变建立方程．例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了10%，为了赚钱，开发商把售价提高了0.5倍，利润率比原来增加了60%，求开发商原来的利润率．试一试因售价=成本×（1+利润率），故还需设出成本．例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠．图①图②98765321416151413121110987654321图③图④FE DCBA小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．情形l 当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元，又554450104=+，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，1040.8130÷=（元）．因此，554元所购物品的原价为130500630+=（元），于是购买小明花198630828+=（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付()5000.98285000.8712.4⨯+-⨯=（元）．情形2 当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为1980.9220÷=（元）．仿情形1的讨论，购220630850+=（元）物品一次性付款应为()5000.98505000.8730⨯+-⨯=（元）．练一练1．某商品的进价为x 元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为_______．2．某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为 _______元．3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共带省2800元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”，你认为售货员应标在标签上的价格为________． 5．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_______元．6．甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）．A ．盈亏平衡B ．盈利1元C ．盈利9元D ．亏损1.1元7．2008年爆发的世界金融危机，是自20世纪30年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下列所列方程正确的是（）． A ．()22001%148a += B ．()22001%148a -= C ．()20012%148a -= D ． ()22001% 148a -=8．某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（）． A ．25% B ．20% C ．16% D ．12.5%9．某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（）． A ．6新 B ．7折 C ．8折 D ．9折 10．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）． A ．522.8元 B ．510.4元 C ．560.4元 D ．472.8元B 两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：（2）若A 型台灯按标价的九折出售，B 型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？ 12．某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品C 的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C 是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品C 的销售金额应比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？微探究多变的行程问题行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下： 1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离． 2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．例1 （1）在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km/h 、70km/h 、50km/h 的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，同时，B 、C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇2小时后又与C 相遇，则甲、乙两站相距_____km ．（2）小王沿街匀速行走，他发现每隔6min 从背后驶过一辆18路公交车；每隔3min 迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______min ．试一试对于（2），“背后驶过与迎面驶来”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．例2 （1）一艘轮船从A 港到B 港顺水航行，需6小时，从B 港到A 港逆水需8小时，若在静水条件下，从A 港到B 港需（）小时．A ．7B ．172C ．667D ．162（2）甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）． A ． AB 上 B ．BC 上 C ．CD 上 D ．DA 上试一试对于（2），设正方形边长为a ，甲的速度为x ，相遇时甲行的路程为y ，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把y 用a 的代数式表示．例3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔113分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．例4 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，在距离B 地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B 地、A 地后，又在距A 地4千米处相遇，求A 、B 两地相距多少千米？解法一第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是A 、B 两地相距的路程，即当甲、乙合走完A 、B 间的全部路程时，乙走了6千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为6318⨯=（千米）．考虑到乙从B 地走到A 后又返回了4千米，所以A 、B 两地间的距离为18414-=（千米）．甲解法二甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程6-）千米，乙走了6千米；到第二次相遇，甲走了（2⨯全程4-）千米，乙走了（全程4+）千米．设全程为s ，易得到下列方程62464s s s --=+，解得114s =，20s =（舍去），所以A 、B 两地相距14千米．解法三设全程为s 千米，甲、乙两人速度分别为1v ，2v ．则 121266244s v v s s v v -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩①②，①÷②得66244s s s -=-+，解得14s =或0s =（舍去）．乘车方案例5 老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为25千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为20千米／时，学生步行的速度为5千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过3个小时．分析若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键．解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如图，设老师带甲乘摩托车行驶了x 千米，用了20x 小时，比乙多行了()3205204x x ⨯-=（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了()3255440xx ÷+=（小时）．乙遇到老师时，已经步行了3520408xx x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭（千米），离博物馆还有3338x -（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有3338x x =-，解得24x =．即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．另解：设乙先步行的时间为x 小时，步行的路程为2s ，则25s x =（千米），此时老师带甲走的路程为233335s x -=-（千米），老师返回接乙走的路程为23323310s x -=-．故有33533102025x xx --+=，解B （乙）（甲）A①②学校博物馆乙得 1.8x =，甲乘车的时间为335 1.220x-=（小时），故甲从学校到博物馆共用1.8 1.23+=（小时）．练一练1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______．2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时．3．甲、乙两列客车的长分别为150m 和200m ，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为10秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______． 4．甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行，2小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米／时，当甲到达B 地后立刻按原路向A 地返行，当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇，则A 、B 两地的距离是_______千米．5．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A 到B ，甲需要30分钟，乙需要40分钟．如果乙比甲早出发6分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有5米，丙距终点还有10米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米．7．小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A 、B 两地间的路程．8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／时，比去时少用了半小时回到舟山．（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y （元）的计算方法为：5y ax b =++，其中a （元／千米）为高速公路里程费，x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b （元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a ．9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米／时，骑车人的速度为10.8千米／时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒．问这列火车的车身长为多少米？10．如图，甲、乙两人分别在A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向B 地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A 地行走．甲和乙到达B 和A 后立即折返，仍在E 处相遇．已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两地相距多少米？乙11．某单位有135人要到50千米外的某地参观，因为步行时速只有5千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人50名、时速25千米的大客车．于是早晨6时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图．12．A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A 在前，C 在后，B 在A 、C 正中间．10分钟后，C 追上B ；又过了5分钟，C 追上A ．问再过多少分钟，B 追上A ?乙E BA9．绝对值与方程问题解决例1 由552x x -=--，得552x x -=--或()552x x -=---，所以0x =或10x =-．经检验知0x =时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为10x =-．例2 A 23x m -=-，34x n -=-，45x k -=-，由题意得0m -<，0n -=，0k ->，从而0m >，0k <．例3 （1）54x =-或32x =．原方程化为314x x -+=或314x x -+=-，即314x x +=-或314x x +=+．（2）当3x <-时，原方程化为()()311x x x -++-=+，得5x =-．当31x -<≤时，原方程化为311x x x ++-=+，得1x =-．当1x ≥时，原方程化为()311x x x +--=+，得3x =．综上知原方程的解为5x =-，1-，3．（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为13x -≤≤．例4 （1）1x =；（2）存在，32x =-或72（3）223或415数学冲浪1．1；9或3 2．2或0；107±；0或1- 3．494．A 5．D 6．C7．（1）1x =-或3x =-；（2）1x =；（3）3x =或13x =；（4）43x =-或2x =．8．()2101x a a -=±<<，()21x a -=±±，()21x a =±±，得13x a =+，23x a =-，31x a =+，41x a =-，故12348x x x x +++=．9．当0k <，原方程无解；当0k =时，原方程有两解：1x =-或5x =-；当02k <<时，原方程化为32x k +=±，此时原方程有四解：()32x k =-±±；当2k =时，原方程化为322x +=±，此时原方程有三解：1x =或7x =-或3x =-；当2k >时，原方程有两解：()32x k =-±+．10．0或1 2d a +≤，又a 、d 都是整数，得2d a +=，1，0．当2d a +=，则a b c d =-==-，即0d a +=矛盾；若1d a +=，令1a =，0b c d ===满足题意；若0d a +=，令1b =，0a c d ===满足题意．11．1220x x --<≤ 12．4012 13．C14．B 由数轴知72a -≤≤1，且2a 为偶数 15．D 0a ≤ 16．（1）1002或3008 可以得到220052006x -=；（2）15x ≤≤．17．由绝对值几何意义知：当33a -<<时，方程有一解；当3a =±时，方程有无穷多个解，当3a >或3a <-时，方程无解． 18．（1）2a =-，1b =，3AB =；（2）存在点P ，点P 对应的数为1-或3-；（3）()()''''53512A B B C t t -=+-+=，为常数．19．()12123x x x x ++-=--+-≥，同理213y y -++≥，314z z -++≥，得()()()12213136x x y y z z ++--++-++≥．当且仅当12x -≤≤，12y -≤≤，13x -≤≤时，上面各式等号成立．又()()()12213136x x y y z z ++--++-++=，由12123x y z -⎧⎪-⎨⎪⎩①②-1③≤≤≤≤≤≤ 得①+②2⨯+③3⨯，62315x y z -++≤≤，因此，23x y z ++的最大值为15，最小值为6-．从三阶幻方谈起（微探究）例l 由已知条件得：123413241319x x x x x x x x x x ++=++=++=++，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即1234123421319x x x x x x x x x ++++=+++++，21319x =+∴，得16x =．例2 a b +与c d +的最小值是123452+++=，所以21253x -≥，即212x ≤．而2123xa b +=-为整数，且x 是不同于1，2，3，4，5，6，7，8的正整数，故9x =．练一练1．2，6，10；15，18，21设中间的圆圈中的数是x ，同一直线上的3个数的和是y ，则43231054y x -=+++=，4183x y =-．2．如图3．如图：4．由条件得：41 9a -+=，39b c ++=，9d e f ++=．上述三式相加有627a b c d e f ++++++=，故21a b c d e f +++++=．5．如图，由121a k b a c ++=++及11121c d b d ++=++，得121k b c +=+，110c b =+，从而110121231k =+=（注：这个幻方是可以完成的，如第1行为6，231，111；第2行为221，116，11；第3行为121，1，226）．6．这9个数的积为31112481632646442⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为64，得1ac =，1ef =，2ax =，a 、c 、e 、f 分别为14、12、2、4中的某个数，推得8x =．7．略 8．（1）略（2）显然有12945x y z ++=+++= ①图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，得32618108z y x ++=⨯=． ② ②-①，得21084563x y +=-=． ③把AB 、BC 、CA 每一边上三圈中之数的和相加，得231854x y +=⨯=． ④ 联立③、④解得15x =，24y =，进而6z =．在1~9中三个数之和为24的仅有7，8，9，所以在D 、E 、F 三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法．显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也隧之确56379181024-1-2340-4-321dc b k a 11121。

解含绝对值的方程讲解学习

解含绝对值的方程“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。

解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。

下面举例说明解这类方程的几种常用方法。

. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程解：因为所以解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4 以上所以所以方程的解有无数个，故选（D）。

三.运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）解：因为所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。

四.运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。

五.运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x 的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：作的图象，如图1 所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x 轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。

故选（B）。

同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4 个解。

中考数学试题分类解析汇编专题1：实数、选择题1.（2012 广东省3 分）﹣5 的绝对值是【】A ．5 B．5 C ．D．﹣答案】A。

考点】绝对值。

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得| ﹣5|=5 。

故选A。

2.（2012 广东省3 分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】A ．0.64 ×107B．6.4 ×106C．64 ×54105 D．640 ×104【答案】B。

绝对值方程的解析

绝对值方程的解析绝对值方程是数学中常见的一种方程形式，其解析意味着我们能够通过一系列的步骤来求解方程，找到使方程成立的变量取值。

本文将围绕绝对值方程的解析展开，介绍求解绝对值方程的常用方法和技巧，并通过实例来说明。

希望读者通过本文的阅读，能够对绝对值方程的求解有更清晰的认识和理解。

一、什么是绝对值方程？绝对值方程是指方程中含有绝对值符号“| |”的方程。

绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

求解绝对值方程的目标是找到满足方程的x的取值。

1. 分类讨论法对于绝对值方程|ax + b| = c，可以分为两种情况进行讨论。

情况一：当ax + b ≥ 0 时，|ax + b| = ax + b，此时方程可以化简为ax + b = c，解得x = (c - b) / a。

情况二：当ax + b < 0 时，|ax + b| = -(ax + b)，此时方程可以化简为-(ax + b) = c，解得x = -(c + b) / a。

2. 平方法对于绝对值方程|ax + b| = c，可以将方程两边的绝对值符号去掉，然后进行平方运算，得到(ax + b)² = c²。

解这个二次方程，得到两个解x₁和x₂，即为原方程的解。

三、绝对值方程的实例下面通过几个实例来进一步说明绝对值方程的解析方法。

例1：求解方程|2x + 1| = 7。

根据分类讨论法，当2x + 1 ≥ 0 时，方程化简为2x + 1 = 7，解得x = 3。

当2x + 1 < 0 时，方程化简为-(2x + 1) = 7，解得x = -4。

所以方程|2x + 1| = 7的解为x = 3和x = -4。

例2：求解方程|3 - 2x| = 5。

根据分类讨论法，当3 - 2x ≥ 0 时，方程化简为3 - 2x = 5，解得x = -1。

当3 - 2x < 0 时，方程化简为-(3 - 2x) = 5，解得x = 4。

绝对值与一元一次方程(含问题详解)-

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

含有绝对值符号的方程

含有绝对值符号的方程解含绝对值的方程的关键,是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号,把它化为一般的方程,从而解决问题.本文就近几年竞赛中可能出现的类型题加以研究解决,供参考.一,形如lax+bl=c的方程对此类方程可分三种情况讨论:(1)c<0,方程无解;(2)c=0,根据绝对值的定义,ax+b=0;f3)c>0,根据绝对值的定义,ax+b=+c.例1解方程12x+31=5.解:由绝对值的定义12x+31=51~1]2x+3=+5由2x+3=5解得x=l,由2x+3=一5解得=一4所以原方程的解为x=l或=一4..二,形如III盯一bl—cI—的方程此类型含有多层绝对值,求解时可以不断地利用例1的方法,从最外层开始,逐层去掉绝对值符号,最后化为一般的一次方程求解.例2解方程Illxl一21—11=3.解:根据绝对值的定义,由IIlxl一21—11=3得Ikl一21—1=±3,l~llllxl一21=4或一21=一2(无解),由IIxl一21=4,得Ixl一2=±4,l~1]lxl=6或Ixl=一2(无解),由Ixl=6~x=+6,所以原方程的解为x=6或=一6.三,形如lax+bl=cx+d的方程此类方程可将它变为:似+6=±(c+d)且cx+d~0.方程似+6=±(c+d)的根,只有同时满足cx+d~O,才是原方程的根,否则,就是增根,应当舍去.例3解方程14x+31=2x+9.解:由原方程得4x+3=+(2x+9),且2x+9I>0解+3=+9,得x=3.解4+3=一(2x+91,导=一2.由于x=3时,2x+9=15>0;=一2时,2x+9=5>0,所以原方程的解为x=3或一2.四,形如k~x+bl+lcx+dl=e的方程解此类方程有两种方法:(1)零点分段法;(2)绝对值几何意义法.例4解方程Ix一21+12x+11=8.11解:可用"零点法",即令一2=0,2x+l=O分别得到x=2,一÷,用2,一÷将数轴分成三段:戈<一1,一÷≤<2,I>2,就可去掉绝对值符号再求解. 111(1)当<一÷时,原方程为一一2)一(+1)=8,解得一/,在<一÷之内,当海浪拍打在岸边的礁石上,它们都在唱一支动人心弦的歌.杨金字绝对值符口所以是原方程的解.(2)当一÷≤<2时,原方程为一一2)+(+1)=8,解=5,它不在一÷≤<2之内,因此舍去.(3)当I>2时,原方程为一2)+(+1)=8,解-~x=3,在所给的范围内,所以x=3是原方程解.综上得,原方程解为=3或=一÷.例5求适合13x一41+13+21=6的整数的值.解:式子13x一41+13x+21=6的几何意义是:数轴上表示数3x的点到表示数4及一2的点的距离之和等于6,显然一2≤3≤4,所以一÷≤≤4,因此适合条件的整数有两个,即戈:0,:1.通过例5可以看出:利用绝对值的几何意义解此类型题更形象,直观,简捷.五,形如lax+bl—Icx+dl=ex+fllCJ方程解此类型方程只能用零点分段法.例6解方程12x+31一Ix一11=4x一3.解:易知零点分别为=一要和x=l,所以把的取值范围分为:≤一3,一3≤1和>1.(1)当≤一妄时,原方程化为一(+3)一(一一1)]=缸一3,解得x1,不在≤一丢内,舍去.(2)当一要≤1时,原方程化为(+3)一-(x一1)]=舐一3,解得=5,它不在一≤1之内,舍去.(3)当x>l时,原方程化为(+3)～一1)=4x一3,解得=了7,~Ex>l之内,所以=÷是原方程的解.综上得,原方程的解为=_=-/.≥六,求参数型此类型一般利用绝对值意义,约去参量,从而求出参量或参量范围.例7若关于的方程I一21—11=a有三个整数解,求a的值.解:当a<Ol~,-J",原方程无解;当口≥0时,由绝对值的定义知Ix一21—1=±口,所以Ix～21=l+a.(1)若a>l,解Ix一21=1一a<O,无解.所以ix一21=l+a,只能有两解x=3+a~x=l-a; (2)若0≤口≤1,则由Ix一21=1+a,得x=l—a或x=3+a,由Ix一21=1～a,导=1+(威=3一ck原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,口必为整数,所以a只能取0 或1.当a=0时,原方程的解为x=3和x=l,两个解与题设不符,所以口≠0;当a=l时,原方程的解为x=4,0,2---"个解.综上得a=1.【练习】解方程1.I4x一51=82.IJ一21+11+31=123.I5一31—3x=24.I2x+51+14x一31+12x一21=85.+1I+一2l+一3I+I2y—4I+I),+1I=76.Ix+31—13x一21=5x+87.已知方程Ixl=ax+l有一负根,且无正根,求a的取值范围.【练习答案】=÷2.=一6或x=lO;3丢或x=18;4÷或X-----1;5.=2,y=2;6.:～13:37.a≥1.我携文学同行,走向壮丽人生.陈旭。

63含绝对值符号一元一次方程全部详细的答案解析

6.3含绝对值符号一元一次方程全部(详细的答案解析)一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，即未知数的最高次数为1。

而含有绝对值符号的一元一次方程可以分为两种情况：一种是绝对值内含有未知数的情况，另一种是绝对值外含有未知数的情况。

下面将详细解析这两种情况。

1. 绝对值内含有未知数的情况：这种情况下，方程的形式为 |ax + b| = c，其中a、b、c为已知数且a≠0，x为未知数。

首先，我们需要注意绝对值的定义：|m| = m (当m≥0)，|m| = -m (当m<0)。

根据这个定义，我们可以将上述方程分为两种情况来进行讨论。

情况1：ax + b ≥ 0，即ax + b的值大于等于0。

此时，方程可以简化为 ax + b = c，解得 x = (c - b) / a。

情况2：ax + b < 0，即ax + b的值小于0。

此时，方程可以简化为 -(ax + b) = c，解得 x = (b - c) / a。

因此，绝对值内含有未知数的一元一次方程的解为 x = (c - b) / a 或 x =(b - c) / a，具体取决于ax + b的值是大于等于0还是小于0。

2. 绝对值外含有未知数的情况：这种情况下，方程的形式为 a|x + b| = c，其中a、b、c为已知数且a≠0，x为未知数。

同样地，我们需要注意绝对值的定义：|m| = m (当m≥0)，|m| = -m (当m<0)。

根据这个定义，我们可以将上述方程分为两种情况来进行讨论。

情况1：x + b ≥ 0，即x + b的值大于等于0。

此时，方程可以简化为 a(x + b) = c，解得 x = (c / a) - b。

情况2：x + b < 0，即x + b的值小于0。

此时，方程可以简化为 -a(x + b) = c，解得 x = -((c / a) + b)。

因此，绝对值外含有未知数的一元一次方程的解为 x = (c / a) - b 或 x = -((c / a) + b)，具体取决于x + b的值是大于等于0还是小于0。

绝对值习题精讲答案与解析

绝对值习题精讲答案与解析1、已知m ，n 为整数，|m-2|+|m-n|=0，求m+n 的值。

解：由绝对值的非负性可知，m-2=0，m-n=0，得：m=2，n=2，求得m+n=42、已知m ，n 为整数，|m-2|+|m-n|=1，求m+n 的值。

解：由于m ，n 均为整数，所以|m-2|与|m-n|必定一个为0，一个为1，所以需分类讨论。

① |m-2|=0 ② |m-2|=0|m-n|=1 |m-n|=1 由这两大类又可分为四小类⑴ m-2=0 ⑵ m-2=0m=2,n=1,m+n=3; m=2,n=3,m+n=5;m-n=-1⑶ m-2=1 ⑷m=3,n=3,m+n=6; m=1,n=1,m+n=2;m-n=03、若|x-1|与|y+2|互为相反数，求（x+y ）2012 。

解： |x-1|+|y+2|=0，所以|x-1|=0，|y+2|=0，所以x=1，y=-2，x+y=-1，所以原式等于1.4、若a b <，求15b a a b -+---的值。

解：a-b<0,所以a-b-5<0; b-a>0,所以 b-a+1>0；所以原式=b-a+1+a-b-5=-4.5、若a b <-且0a b>，化简a b a b ab -+++ 解：因为a b <-，所以a+b<0；因为0a b>，所以a 、b 同号；所以a 、b 均为负数，且ab>0 所以原式化简=-a+b-（a+b ）+ab=-2a+ab6、如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 C 、D 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）7、化简523x x ++-解：零点值：当x=a 时，|x-a |=0，此时a 是|x-a|的零点值零点分段讨论的步骤：① 找零点 ②画数轴分区间③定符号去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．Ⅰ找零点 x+5=0，x=-5； 2x-3=0，x=1.5. 所以零点分别是-5、1.5.Ⅱ画数轴分区间Ⅲ定符号去绝对值符号①当x ≦-5时，原式等于 -（x+5）+（3-2x ）=-3x-2 ② 当-5<x ≦1.5时，原式等于 x+5+3-2x=8-x③ 当x>1.5时，原式等于 x+5+2x-3=3x+2-3x-2 （x ≦-5）综上所述原式= 8-x （-5<x ≦1.5）3x+2 （x>1.5）8、化简|x+1|-|x-2|9、化简|1-a|+|2a+1|+|a|解：①当x ≦-0.5时，原式等于1-a-（2a+1）-a=-4a②当-0.5<x ≦0时，原式等于1-a+（2a+1）-a=2③当0<x ≦1时，原式等于1-a+（2a+1）+a=2a+2④当x>1时，原式等于-（1-a ）+（2a+1）+a=4a-4a （x ≦-0.5）综上所述原式= 2 （-0.5<x ≦0）2a+2 （0<x ≦1）4a （x>1）10、化简||x-1|-2|+|x+1|解：① 当x ≦-1时，原式等于-x-1-x-1=-2x-2②当-1<x ≦1时，原式等于-（-x-1）+x+1=2x+2③当1<x ≦3时，原式等于3-x+x+1=4④当x>3时，原式等于x-3+x+1=2x-2② -2x-2 （x ≦-1）综上所述原式= 2x+2 （-1<x ≦1）4 （1<x ≦3）2x-2 （x>3） 11、如果有理数a ，b ，c 满足26a b -≤，7b d -≤，13a b d --=，求2a b b d -+-的值。

绝对值方程解答及答案

绝对值方程解答及答案什么是绝对值方程？绝对值方程是含有绝对值符号的方程。

绝对值表示数的正值，即使数本身是负数。

绝对值方程的一般形式为：|x| = a其中，x是未知数，a是一个给定的实数。

解绝对值方程的步骤要解决绝对值方程，可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值方程中的绝对值表达式。

2. 根据绝对值的特性，将绝对值分成两种情况，并分别去掉绝对值符号。

3. 解每个情况下的线性方程。

4. 检查每个解是否满足原始绝对值方程。

绝对值方程的例子例子1解方程 |2x + 1| = 3根据步骤2，我们有两种情况：1. 当2x + 1 >= 0 时，去掉绝对值符号，得到 2x + 1 = 3，解得x = 1.2. 当2x + 1 < 0 时，去掉绝对值符号并取负数，得到 -(2x + 1) = 3，解得 x = -2.通过检查步骤4，我们可以验证这两个解是否满足原始方程。

例子2解方程 |-3x + 4| = 5根据步骤2，我们有两种情况：1. 当-3x + 4 >= 0 时，去掉绝对值符号，得到 -3x + 4 = 5，解得x = -1/3.2. 当-3x + 4 < 0 时，去掉绝对值符号并取负数，得到 -(-3x + 4) = 5，解得 x = 3/2.通过检查步骤4，我们可以验证这两个解是否满足原始方程。

结论解绝对值方程的关键是将绝对值方程转化为两种情况下的线性方程，并解这些线性方程。

然后通过检查每个解是否满足原始绝对值方程，确定最终的解答。

希望本文能够帮助您理解和解决绝对值方程。

初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组

含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】解：若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

绝对值方程

绝对值方程NO1.【一元一次绝对值方程】背景介绍只有一个未知数，未知数次数为一，且绝对值中含有未知数的方程叫做一元一次绝对值方程。

绝对值方程的主要解法为零点分段法和绝对值的几何意义法NO2.【解一元一次绝对值方程】原理一元一次绝对值方程可以大体分为三类：第一类：-(0)x a m m =≥第二类：()x a k x b a b −=−≤第三类：()x a x b n n a b −+−=≥−A ．零点分段法：第一类方程可化为：;x a m x a m −=−=−，分别解这两个一元一次方程即可求得绝对值方程的根对于第二类方程：当x a ≤时，原方程可化为：()a x kb x −=−当a x b ≤≤，原方程可化为：()x a k b x −=−当x b ≥ ，原方程可化为：()x a k x b −=−分别解以上方程即可求出x 的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解）对于第三类方程：当x a ≤时，原方程可化为：a x b x n −+−=当a x b ≤≤，原方程可化为：x a b x n −+−=当x b ≥ ，原方程可化为：x a x b n −+−=分别解以上方程即可求出x 的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解）B ．几何意义法对于第一类方程可以理解为在数轴上到点a 的距离等于m 的点，观察发现这样的点有两个，分别为m a m a +−和对于第二类方程可以理解为在数轴上到点a 和点b 的距离之比等于k 的点，当k=1时，该点是点a 和点b 的中点，当k ＞1时，在ab 之间靠近点a 处有一个点，它把数轴在ab 之间的线段，分成两部分，比为1：k ，那么这个点时（k+1）分点，近点a 处；在ab 两点之外则该点在点b 右侧，与b 的距离等1()1b a k −−。

对于第三类方程可以理解为在数轴上到点a 和点b 的距离之和等于n 的点，发现在ab 之间的点，距离之和为定值，等于b a −，若n=b a −，则在ab 之间的点的任意一点都符合题意，如果n>b a −,则需要在ab 两侧，与点a 和点b 距离分别为2n b a −+的点上，经过计算分别为2n b a ++和2n b a −++；若n<b a −,则不存在这样的点，相应的这个方程无解。

绝对值方程(组、应用)基本知识及习题(四合一)

绝对值方程(组、应用)四合一（请做课后的学力训练）≮知识纵横≯四合一早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程．虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性。

一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论。

解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。

当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论：1．当a ≠0时，方程有唯一解x=ab 。

2．当a=0且b ≠0时，方程无解。

3．当a=0且b=0时，方程有无数个解。

绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程。

解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解。

前者是通法，后者是技巧。

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值的符号法则、非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法。

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的。

“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法。

解一些复杂的方程组（如未知数系数较大、方程个数较多等），需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧。