(完整版)北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定二(提高)

【学习目标】

全等三角形判定二（SAS ）（提高）

1. 理解和掌握全等三角形判定方法 4——“边角边”；

2. 能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定 4——“边角边”

1. 全等三角形判定 4——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果 AB ＝ A ' B ' ，∠A＝∠

A ' ，AC ＝ A 'C ' ，则△ABC≌△

A '

B '

C ' . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合， 故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

要点二、判定方法的选择

1.

选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

要点三、如何选择三角形证全等 1. 可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

2. 可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

3. 由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 已知条件 可选择的判定方法

一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA

AAS

两边对应相等 SAS SSS

4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

要点四、全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.

1.证明线段相等的方法：

(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3)等式性质.

2.证明角相等的方法：

(1)利用平行线的性质进行证明.

(2)证明两个角所在的两个三角形全等.

(3)利用角平分线的判定进行证明.

(4)同角（等角）的余角（补角）相等.

(5)对顶角相等.

3.证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4.辅助线的添加:

(1)作公共边可构造全等三角形；

(2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；

(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.

5.证明三角形全等的思维方法:

（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定 4——“边角边”

1、如图，AD 是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．

【思路点拨】延长 AD 到点E，使AD＝DE，连接 CE．通过证全等将 AB 转化到△CEA中，同时也构造出了 2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.

【答案与解析】

证明：如图，延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 CE．

在△ABD 和△ECD 中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．

∴△ABD≌△ECD（SAS ）．

∴AB＝CE ．

∵AC＋CE ＞AE ，

∴AC＋AB ＞AE ＝2AD ．即 AC ＋AB ＞2AD ．

【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形 的两边之和大于第三边．要证明 AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就 是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换， 把△ABD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△CED，也就把 AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．

2、已知，如图：在△ABC 中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，

求证：AB ＝CD －BD ．

【思路点拨】在 DC 上取一点 E ，使 BD ＝DE ，则△ABD≌△AED，所以 AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．

【答案与解析】

证明：在 DC 上取一点 E ，使 BD ＝DE ∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE 在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ． ∴△ABD≌△AED（SAS ）．

∴AB＝AE ，∠B＝∠AED． 又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．

∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC ．

∴AB＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．

A

B D E

C 【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明 AB ＝C

D －BD ， 把 CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿 AD 翻折，使线段 BD 运动到 DC 上，从而构造出 CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB，从而拉近了与∠C 的关系.

举一反三：

【变式】（2014 秋•利通区校级期末）如图，AC 和 BD 相交于 O 点，若 OA=OD ，用“SAS”证明△AOB≌△DOC 还需（ ）