第4章 运动方程解例

整理得：
r 2 uz umax 1 r 2
（3-48）
管内抛物线速度分布 (层流) 式中:
umax C 2 1 dP 2 r2 r2 4 4 dz
由速度分布可进一步求得
① 截面平均速度
ub
wk.baidu.com
r2
0
u 2 r dr
联立求解，解得：
2 2 C ( r2 r1 ) D , 4 ln( r1 r2 )
C E 4
2 2 r r 2 2 1 ln r1 r1 ln (r1 r2 )
将D， E 代入通解，得特解：
将D， E 代入通解，得特解：
2 2 r2 r1 C r 2 2 uz (r r1 ) ln 4 ln (r2 r1 ) r1 环隙内速度分布
0
简化得：
绕轴流
连续性方程
1 uz 1 P (r ) C r r r z
3）边界条件
r r1 , uz 0 圆环隙 ① （ 内半径）
② r r2 , uz 0
（外半径）
圆管
u z umax ③ r r1 0 or duz 0 （管中心） dr r 0
② y l0 ,
C C 2 2 0 ( l 0 ) D( l 0 ) l 0 Dl0 2 2
整理得： 整理得：
ux 0
D0
代入通式，得
C 2 2 ux ( y l0 ) 2
C 2 y 2 u x l 0 1 ( ) 2 l0
y 2 u x umax 1 ( ) l0
umax g sin 2 g sin 2 2 ( 2 2l 0 2l 0 4l 0 ) l0 2v v
7）速度、平均速度、流量关系
仍以上下两平板均为固定板为例： 流过两板间的流量为
C
1 dp ( g x ) dx
2 3 Q u x dy 1 Cl 0 l0 3
L0 L0
x
下板
下板是一固定板
夹角
Z 轴垂 x-y 直面且无限宽，所以不考虑 Z 向流动, uz = 0。
uy = 0。 所以只是x 向的一维运动且不考虑进口端影响， ux = f (y)。
两板平行、且无孔，故也没有 y 向流动,
图 沿两倾斜平行平板间的流动
1）所论情况
① ρ=const
(见讲义P64)
所以，应力分布为：
yx
2.套管环隙与圆管中的一维稳定层流
本节讨论不可压缩流体在水平圆套管和圆直管内流动。讨论在远 离进、出口截面处的速度分布和考察管内外壁的受力情况。
套管环中流体沿轴向流动时的流速侧型
1）所论情况
① 恒密度流体
② 一维（仅为轴向uz）、稳态 ③ 远离入口端（即，充分发展的一维运动）
抛物线
对数分布
进一步求取对应速度最大时的半径位置，
由
du z dr
0
r rmax
代入环隙内速度分布式得：
2 2 r2 r1 C 1 1 0 2r 4 ln(r2 r1 ) ( r r 1 ) r1
r rmax

整理得对应速度最大时的半径位置 rmax ：
y l0
0
解得：
D Cl 0
再代回A式，得稳态明渠流动的速度分布：
整理
C 2 3 2 u x y Cl 0 y Cl 0 2 2
将坐标平移
令： Y y l 0
ux
C 2 3 2 y Cl 0 y Cl 0 2 2
则
y Y l0
代入上式得：
C 2 C u x (Y 4l 0Y ) (Y 2 2 HY ) 2 2

uz 2rdr 1 dP 2 2 2 ( r r 2 r 2 1 max ) 2 2 (r2 r1 ) 8 dz
r1
r2
2）流量
Q uz 2rdr um (r22 r12 )
r1
r2
3）单位管长压降
dP 1 8um ( 2 ) 2 2 dz r2 r1 2rmax
r22

1 1 dP 2 1 r2 umax 8 dz 2
(3-49)
② 单位管长压降
8 ub dP 2 dz r2
(3-51)
上式称为哈根-泊稷叶方程（Hagen-Poiseuille Equation） 是管内层流计算的基本方程。 ③ 流量
Q ub r
rz
2 2
此时，
g sin C ( 0 g x ) v 1
g sin ux ( 2 HY Y 2 ) 2v
稳态明渠流动的速度分布
整理得：
ux
g sin ( 2 HY Y 2 ) 2v
问：在何处速度达到最大？其值为？
在自由表面处（Y=2l0）速度达到最大，其值为：
4）剪切应力
duz 1 dp 2 r r rz max 2 dz dr
1 r
【思考题】：
若圆隙内外表面积之为1：5， 问内外管壁所受的剪切力也是否为1：5？ 若不等说明什么问题。
Ar 1 : Ar 2 1 : 5
Fr 1 1 答： 0.368 Fr 2 5
rmax
r2 r1 2 ln (r2 r1 )
2
2
将 rmax 代入环隙内速度分布得：
2 2 r r 1 dP r 2 1 uz rmax ln 2 dz r1 2
环隙内速度分布
求：平均速度、流量、单位管长压降、剪切应力的表达式。
1）平均速度 um
第四章
动量传递方程的解例
动量传递方程的若干解
通常对于液体或低速运动的气体可以采用不可压缩流
体的模型。 假定流体是均质的，各向同性的，即=常数。 本章用动量传递方程组求解速度和压力分布问题。
动量方程组
u 0
Du 2 g P u Dt
一．粘性流体的运动解例
Fr 1 : Fr 2 1 : 5
说明内管壁受力更大更易损坏。
6) 圆管内速度分布
C 2 uz r D ln r E 4
从通式出发，用 B.C.③ 和 B.C. ④，得 D 0,
uz C 2 r r22 4
C 2 E r2 4


2 C 2 r r2 1 4 r2
1 2 1 dp r2 8 dz
④ 剪应力分布
duz r 1 dP umax (2 2 ) r dr 2 dz r2
以上无论是沿平板流动，还是沿圆管流动的速度分布
方程的建立都是从方程组简化获得。 我们也可以对所求情况直接衡算求得速度分布方程。 以环隙内流动为例，导出管内流动的速度分布通式 取圆环柱体为控制体，见图
C 2 u z r D ln r E 4
绕控制体作动量衡算：
因为只有Z向的动量变化，
在稳态情况下不变，故 Du Fz Dt 0
F
z
2rrP1 2 r rP2 2 r z rz r 2 r z rz
① y l 0 , u x 0 （下界面固定）
② y l0 , ③ y l0 ,
u x 0 （上界面固定）
u x u0 （上界面运动）
P64
P69
④ y l 0 , yx
dux P75 （上界面为自由界面） dy
4）方程求解 —— 通解
d u x 1 dp ( g x ) C 2 dx dy
2
u y
0
0
M .E x
0
0
0
0
ux ux ux 1 p ( g x ) v( 2 ) 2 2 x x y z 量级分析 Z 无限宽 简化整理得：
2 2
0
0
2 ux 1 dp ( g x ) C 2 dx y
3）边界条件
② 稳态，层流 ③ 充分发展的一维运动，即两板间的速度分 布不再发生变化 。
u y uz 0
ux ux ( y)
2）动量传递方程组的简化
C .E .
uz u x 0 x y z uy = 0 uz = 0
Dux u x u x u x u x ux uy uz Dt t x y z uy = 0 uz = 0 稳态 C.E.
uz uz ( r )
思考题：① 管径何处速度最大，即
umax
r ?
② 内、外管壁何处受力大？
2）动量传递方程组的简化
根据所讨论的对象，选柱坐标系方程 ① 连续性方程的简化
0
( ur ) 1 ( u ) ( uz ) r 0 t r r r z
可用于求解套管和圆管内的速度分布
通解
C 2 uz r D ln r E 4
① r r1 , uz 0 (内)
② r r2 , uz 0 (外)
5）特解 —— 圆管环隙内速度分布
C 2 由B.C.① 得： 0 r1 D ln r1 E 4 C 2 由B.C. ② 得： 0 r2 D ln r2 E 4
l0
平均速度为：
Q 1 2 um Cl 0 2l 0 3
平均速度与最大速度关系： um
umax
（4-10）
1 2 Cl 0 2 3 1 3 2 Cl 0 2
8）剪切应力分布
已知速度分布为：
C 2 2 ux ( y l0 ) 2
dux C y dy
剪应力分布
1．两平行平板间的稳定层流
2．套管环隙间的稳定层流
1．两平行平板间的稳定层流
流体流过具有一定倾斜度的两平行平板，讨论 平板间的速度分布，见图。
两平板中：
下界面是一固定板（壁面），
上界面可能是固定的、也可能是运动的、 甚至不存在上界面等三种情况。
y 上板 固定、运动、无上界面 三种情况。
整理得：
C 2 E l 0 Dl0 2
ux C 2 C 2 y Dy l 0 Dl0 2 2
代入通式，得
( A)
此式为下界面固定的通式，上界面可能是 静、动、自由等情况。
将边界条件 ② 代入上式 A式 得
C 2 C 2 u x y Dy l 0 Dl0 2 2
④
r r2 , uz 0
（外半径）
4）通解
上式改写为：
1 uz 1 P (r ) C r r r z
duz d (r ) Cr dr dr
duz Cr 2 D 一次积分得： r dr 2
r 移项后，再积分得：
C 2 uz r D ln r E 4
一次积分：
2
dux Cy D dy
C 2 y Dy E 二次积分： u x 2
----- 通解
通解
5）两固定平行平板（壁）间的流动
将下界面的边界条件① 代入通式，得
C 2 u x y Dy E 2
y l 0 , ux 0
C 0 ( l 0 ) 2 D( l 0 ) E 2
式中
或
（4-9）
速度分布为一抛物线
C 2 umax l 0 2
y 2 u x umax 1 ( ) l0
6）下界面固定，上界面为自由界面
------ 具有自由界面的稳态明渠流动 将边界条件④代入A式，
dux dy (Cy D ) y l (Cl 0 D ) 0
0 u
0
0
稳态
ur = 0
uθ = 0
简化为满足一维稳态流动的连续性方程：
u z 0 z
②
N-S简化, 且只考虑z向
0 0 0 0
uz uz u uz uz ( ur uz ) t r r z 稳态 连续性方程 ur = 0 uθ = 0
0 0
2 2 1 u z P 1 uz uz g z (r ) 2 2 2 z r r r r z 水平