第15讲 正比例函数(培优课程讲义例题练习含答案)

正比例函数（提高）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、k xy=（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、若函数22432m ny xm n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（春•凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值．【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k =∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系．【答案】解：由题意，y kx =，z m kx =+ ,∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5∴z ＝－2x ＋5.类型二、正比函数的图象和性质3、（•眉山）若函数y=（m ﹣1）x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m ﹣1≠0，计算出m 的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案． 【答案与解析】解：由题意得：|m|=1，且m ﹣1≠0， 解得：m=﹣1， 函数解析式为y=﹣2x ， ∵k=﹣2＜0，∴该函数的图象经过第二、四象限．【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx （k 是常数，k≠0），当k ＞0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小． 举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，那么t 的取值范围是（ ） A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12D ．不确定 【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t －1＜0，t ＜12． 类型三、正比例函数的应用4、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P 点纵坐标的绝对值，利用面积等于12求解. 【答案与解析】解：依题意：1122PS OA y =⋅⋅=∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6 ∴4,44p P P y y y ===-∴或41,(1,4)P y x P ==当时，此时；41,(1,4)P y x P =-=---当时，此时P 1414-综上：点的坐标为（，）或（-，）【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.【巩固练习】 一.选择题1．下列说法中，不正确的是（ ）．A ．在21y x =+中，y 是x 的正比例函数B ．在12y x =-中，y 是x 的正比例函数 C ．在xy ＝3中，y 是1x的正比例函数D ．正方形的边长与周长为正比例关系2. 1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）A ．1y ＞2yB ．1y ＜2yC ．当1x ＜2x 时，1y ＞2yD ．当1x ＜2x 时，1y ＜2y 3.（秋•松江区校级期中）在水管放水的过程中，放水的时间x （分）与流出的水量y （立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（•丽水）在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ） A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B ．M （﹣2，3），N （4，6） C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6） 5. 正比例函数2y k x =-（k ≠0），下列结论正确的是（ ） A ．y ＞0 B ．y 随x 的增大而增大 C ．y ＜0 D ．y 随x 的增大而减小6. 已知正比例函数y kx =（k ≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k 值可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题 7．（春•山西校级月考）已知y 与x+1成正比例，且x=1时，y=2．则x=﹣1时，y 的值是 ． 8．如图所示，直线1l 、2l 、3l 的解析式分别为1y ax =，2y bx =，3y cx =，则a 、b 、c 三个数的大小关系是________．9. 若函数()239y a x a =-+-是正比例函数，则a ＝________，图象过第______象限.10. 已知函数（k 为常数）为正比例函数，则k ＝____．此函数图象经过第______象限；y 随x 的增大而__________．11.（春•晋江市期末）在正比例函数y=（k ﹣2）x 中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ．12. 已知点A （1，－2），若A ，B 两点关于x 轴对称，则B 点的坐标为______,若点（3，n ）在函数2y x =-的图象上，则n ＝_______. 三.解答题13. 已知5y +与34x +成正比例，当1x =时，2y =，（1）求y 与x 的函数关系式； （2）求当1x =-时的函数值；（3）如果y 的取值范围是05y ≤≤，求x 的取值范围。

14.（秋•江东区校级月考）已知两个正比例函数y 1=k 1x 与y 2=k 2x ，当x=2时，y 1+y 2=﹣1；当x=3时，y 1﹣y 2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式； （2）当x=4时，求的值．15.有一长方形AOBC 纸片放在如图所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA ：AC ＝2：1.（1）求直线OC 的解析式；（2）求出x ＝－5时，函数y 的值； （3）求出y ＝－5时，自变量x 的值；（4）画这个函数的图象；（5）根据图象回答，当x 从2减小到－3时，y 的值是如何变化的？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】根据定义，y 与x 的解析式可以写为形如y kx = (k 是常数，k ≠0)的形式. 2. 【答案】C ；【解析】根据k ＜0，得y 随x 的增大而减小．3. 【答案】D ；【解析】解：∵水管每分钟流出的水量是0.2立方米，∴流出的水量y 和放水的时间x 的函数关系为：y=0.2x ， ∵放水的过程共持续10分钟，∴自变量的取值范围为（0≤x≤10）， 故选D ．4. 【答案】A ；【解析】设正比例函数的解析式为y=kx ，根据4个选项中得点M 的坐标求出k 的值，再代入N 点的坐标去验证点N 是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．5. 【答案】D ； 【解析】因为x 的取值范围是全体实数，所以y 的值不确定，因为2k -＜0，所以选D. 6. 【答案】B ；【解析】根据图象，得2k ＜6，3k ＞5，解得k ＜3，k ＞53，所以53＜k ＜3．只有2符合.二.填空题7. 【答案】0；【解析】解：∵y 与x+1成正比例，∴设y=k （x+1）， ∵x=1时，y=2， ∴2=k×2，即k=1， 所以y=x+1．则当x=﹣1时，y=﹣1+1=0． 故答案为0． 8. 【答案】;a b c <<【解析】可用赋值法，令x ＝1，则123,,y a y b y c ===，观察图象可知a b c <<. 9. 【答案】－3，二、四；【解析】由题意23090a a -≠⎧⎨-=⎩，故a ＝－3，图象经过二、四象限.10.【答案】－2；二、四；减小； 【解析】由题意可知：且，所以：k ＝－2. 原函数即4y x =-，经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.11.【答案】k ＞2；【解析】∵正比例函数y=（k ﹣2）x 中，y 随x 的增大而增大∴k ﹣2＞0∴k ＞2. 12.【答案】（1，2），－6；【解析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ）．将点（3，n ）代入函数即可求得n 的值． 三.解答题13.【解析】解：（1）由题意()534y k x +=+，把1x =，2y =代入解得k ＝1，所以y 与x 的函数关系式为31y x =-； （2）当x ＝－1时，y ＝3×（－1）－1＝－4； （3）由题意0315x ≤-≤，解不等式得123x ≤≤. 14.【解析】 解：（1）根据题意得，解得，所以两正比例函数的解析式分别为y 1=x ，y 2=﹣x ； （2）当x=4时，y 1=x=7，y 2=﹣x=﹣9，所以=﹣=．15.【解析】 解：（1）设C 点的坐标为(x , y ),因为长方形的两边的比为OA ：AC ＝2：1. 所以2y x =；（2）将x ＝－5代入2y x =，得y ＝－10； （3）将y ＝－5代入2y x =，得x ＝－2.5; （4）函数图象如下所示：（5）当x从2减小到－3时，y的值从4减小到－6.。