第15讲 正比例函数(培优课程讲义例题练习含答案)
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正比例函数(提高)
【学习目标】
1. 理解正比例函数的概念,能正确画出正比例函数y kx =的图象;
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质,解决简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义
一般的,形如y kx = (k 为常数,且k ≠0)的函数,叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式 (1)、y 是x 的正比例函数; (2)、y kx =(k 为常数且k ≠0); (3)、若y 与x 成正比例; (4)、
k x
y
=(k 为常数且k ≠0). 要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数y kx =(k 是常数,k ≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y kx =.当k >0时,直线y kx =经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x 的增大y 也增大;当k <0时,直线y kx =经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x 的增大y 反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数y kx =(k 为常数,k ≠0 )中只有一个待定系数k ,故只要有一对x ,
y 的值或一个非原点的点,就可以求得k 值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
1、若函数22432m n
y x
m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数,求m 、n 的值.
【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠,要特别注意定义满足0k ≠,x 的指数
为1.
【答案与解析】 解:由题意,得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 1
1.5
m n =⎧⎨=⎩
∴当1, 1.5m n ==时,y 是x 的正比例函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征:(1)k 不等于零;(2)
x 的指数是1. 举一反三: 【变式】(春•凉州区校级月考)x 、y 是变量,且函数y=(k+1)x |k|是正比例函数,求K 的值.
【答案】解:根据正比例函数的定义可得:k+1≠0,|k|=1,解得;k=1.
2、设有三个变量x 、y 、z ,其中y 是x 的正比例函数,z 是y 的正比例函数 (1)求证:z 是x 的正比例函数;
(2)如果z =1,x =4时,求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】
解:(1)由题意,设11(0)y k x k =≠,22(0)z k y k =≠,12,k k 为常数
12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠
∴120k k ≠且为常数
∴z 是x 的正比例函数;12z k k x =∴12(0)k k ≠
(2)当z =1,x =4时,代入12z k k x = ∴121
4
k k =
∴z 关于x 的函数关系式是14
z x =
. 【总结升华】在本题中,按照题意,比例系数要设为不同的12,k k ,不要都设为k ,产生混淆.
举一反三:
【变式】已知z m y =+,m 是常数,y 是x 的正比例函数,当x =2时,z =1;当x =3时,z =-1,求z 与x 的函数关系.
【答案】
解:由题意,y kx =,z m kx =+ ,
∵x =2时,z =1;当x =3时,z =-1, ∴1=m +2k ,-1=m +3k 解得k =-2,m =5
∴z =-2x +5.
类型二、正比函数的图象和性质
3、(•眉山)若函数y=(m ﹣1)x |m|是正比例函数,则该函数的图象经过第 象限.
【思路点拨】根据正比例函数定义可得:|m|=1,且m ﹣1≠0,计算出m 的值,然后可得解析式,再根据正比例函数的性质可得答案. 【答案与解析】
解:由题意得:|m|=1,且m ﹣1≠0, 解得:m=﹣1, 函数解析式为y=﹣2x , ∵k=﹣2<0,
∴该函数的图象经过第二、四象限.
【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质,关键是掌握形如y=kx (k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数;正比例函数y=kx (k 是常数,k≠0),当k >0时,直线y=kx 依次经过第三、一象限,从左向右上升,y 随x 的增大而增大;当k <0时,直线y=kx 依次经过第二、四象限,从左向右下降,y 随x 的增大而减小. 举一反三:
【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点(1x ,1y ),且1x 1y <0,那么t 的取
值范围是( ) A. t <
12 B .t >12 C .t <12或t >1
2
D .不确定 【答案】A ;
提示:因为1x 1y <0,所以该点的横、纵坐标异号,即图象经过二、四象限,则2t -1<0,t <
1
2
. 类型三、正比例函数的应用
4、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6,0),O 为坐标原点,且△PAO 的面积等于12,你能求出P 点坐标吗?
【思路点拨】画出草图,可知三角形的底边长为|OA|=6,高为P 点纵坐标的绝对值,利用面积等于12求解. 【答案与解析】
解:依题意:1122
P
S OA y =⋅⋅=
∵O (0,0),A (6,0)∴OA =6 ∴4,44p P P y y y ===-∴或
41,(1,4)P y x P ==当时,此时;41,(1,4)P y x P =-=---当时,此时
P 1414-综上:点的坐标为(,)或(-,)
【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长,利用面积即可求出垂线段的长.
【巩固练习】 一.选择题
1.下列说法中,不正确的是( ).
A .在21y x =+中,y 是x 的正比例函数
B .在1
2
y x =-
中,y 是x 的正比例函数 C .在xy =3中,y 是1
x
的正比例函数
D .正方形的边长与周长为正比例关系
2. 1P (1x ,1y ),2P (2x ,2y )是正比例函数y x =-图象上的两点,则下列判断正确的是( )
A .1y >2y
B .1y <2y
C .当1x <2x 时,1y >2y
D .当1x <2x 时,1y <2y 3.(秋•松江区校级期中)在水管放水的过程中,放水的时间x (分)与流出的水量y (立方米)是两个变量.已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米,放水的过程共持续10分钟,则y 关于x 的函数图象是( )