湖南师大附中高一(上)期中数学试卷
(整理版)师大附中高一上学期期中考试试题(数学)
师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。
湖南师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题
数学试题第Ⅰ卷（共100分）一、选择题：本大题共11个小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则 ()U C AB =（ ）A ．{}1,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}42. 已知70.60.70.6,7,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 3. 下列各组函数中，()f x 与()g x 为相同函数的是（ ） A ．()()2,f x x g x x ==B ．()()2,f x x g x x ==C ．()()32,x f x x g x x == D ．()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩4. 已知函数()()11,22x x f x x g x x =+=+，则下列结论正确的是 （ ） A ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 B ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 C. ()f x 和 ()g x 都是偶函数 D ．()f x 和()g x 都是奇函数5. 已知函数()2,1,ln ,1x x f x e x x ⎧≤=⎨>⎩为自然对数的底数，则()f f e =⎡⎤⎣⎦（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．ln 2e 6. 已知幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．14-B ．14C.4- D ．47. 函数()()23xf x x =+的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()0,1 C.()1,0- D ．()1,2 8. 函数()()23201x x f x a a -++=<<的单调递增区间是 （ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9. 函数()()lg 1f x x =-的大致图象是 （ ）A ．B ． C. D ．10. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递减，则不等式()()lg 2f x f >-的解集是 （ ）A ．1,100100⎛⎫⎪⎝⎭B ．()100,+∞ C.1,100⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11. 已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为4xP =；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为)02aQ x a =>，若投资20万元时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为（ ）A 5．52 D ．2二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）12. 已知1005,102ab==，则2a b += _________. 13. 函数()12xf x =- __________.14. 若函数()22xf x m =--有两个同的零点，则实数m 的取值范围是 __________.三、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分8分）（1）计算：22log 332231272log log 3log 48-⨯+⨯；（2）已知 01x <<，且13x x-+=，求1122x x --的值.16.（本小题满分10分）已知{}{}22|220,|30A x x ax B x x x b =++==+-=，且{}2A B =.（1）求,a b 的值; （2）设全集U AB =，求 ()()U UC A C B .17.（本小题满分12分）已知函数()()0,1,xf x b a a a b R =>≠∈且的图象经过点()()1,6,3,24A B .（1）设()()1136g x f x =-+，确定函数()g x 的奇偶性;（2）若对任意(],1x ∈-∞，不等式21xa mb ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.第Ⅱ卷（共50分）一、本大题共2小题，共12分.18.（本小题满分16分）设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}|4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是A ．02016A ∈B ．31A -∈C ．若,k k a A b A ∈∈，则 0a b A -∈D ． 3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈ 19.（本小题满分16分）若函数()()()lg 1lg 1f x ax x =---在区间[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________. 二、本大题共3小题，共38分.20.（本小题满分12分）已知函数()2426f x x ax a =+++.（1）若函数()2log y f x =的最小值为2，求a 的值;（2）若对任意x R ∈，都有()0f x ≥成立，求函数()23g a a =-+的值域.21.（本小题满分13分）今年入秋以来, 某市多有雾霾天气, 空气污染较为严重. 市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x (时)的函数关系为:()()[]25log 121,0,24f x x a a x =+-++∈, 其中a 为空气治理调节参数，且()0,1a ∈. （1）若12a =,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低; （2）規定每天中()f x 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3,则调节参数a 应控制在什么范围内？22.（本小题满分13分）已知函数()()3f x g x ax ==-.（1）当1a =时，确定函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上的单调性;（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共55分）1-5. BCDAC 6-10.DCBBD 11.A 二、填空题（每小题5分，共15分）12.1 13. (),0-∞ 14. ()0,2 三、解答题15.解：（1）原式()()2332322333log 2log 3log 2933220-=-⨯+⨯=-⨯-+=.（2） 因为13x x -+=，则21112221x x x x --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，因为01x <<，则11220x xx x x--=-=<，所以11221x x --=-.17.解：（1）由已知，()()16,324f f ==，则3624a b b a =⎧⎨=⎩ ，解得2,3a b ==，所以()32x f x =，由题设，()1112112132********xx x xg x -⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭，显然()g x 的定义域为R ，又 ()()112121621612x x x xg x g x -----===-++， 所以()g x 为奇函数. （2）设()23x xa h xb ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当(],1x ∈-∞时，()21h x m ≥+恒成立，所以()min 21h x m ≥+，因为()h x 在R 上为减函数，则当(],1x ∈-∞时，()()min 213h x h ==.由2213m +≤，得16m ≤-，所以m 的取值范围是1,6⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18.解：D 19.解： 1,12⎛⎫⎪⎝⎭20.解：（1）()()222264f x x a a a =+++-. 据题意，()f x 的最小值为4,则22644a a +-=,即2210a a --=，即()()2110a a +-=,所以1a =或12-.（2）因为()0f x ≥恒成立，则()2164260a a ∆=-+≤,即2230a a --≤,即()()2310a a -+≤,所以312a -≤≤.()()2231723233224g a a a a a a a a ⎛⎫=-+=-+=--+=-++ ⎪⎝⎭.因为()g a 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()()max min 31914,24g a g g a g ⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭.所以函数()g a 的值域是19,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1） 因为12a =,则()()251log 1222f x x =+-+≥.当()2f x =时，()251log 102x +-=,得121255x +==，即4x =.所以一天中晩上4点该市的空气污染指数最低.（2）设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.设()[]21,0,1g t t a a t =-++∈,则()31,01,1t a t ag t t a a t -++≤≤⎧=⎨++≤≤⎩,显然()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =,因为()()031,12g a g a =+=+,由()()01210g g a -=->,得12a >. 所以()max12,02131,12a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩, 当102a <≤时，52232a <+≤<,符合要求; 当112a <<时，由 313a +≤, 得1223a <≤. 故调节参数a 应控制在20,3⎛⎤⎥⎝⎦内.22.解：（1）当1a =时，()3h x x =+. 设120x x >>,则()()()121212h x h x x x x x -==-=()2212x x --()121x x ⎛⎫⎪=--⎪⎭.因为12x x >=>=,12x x >+,得1<,10<. 又120x x ->, 则()()120h x h x -<, 即()()12h x h x <,所以()h x 在()0,+∞上是减函数.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈, 则[]299,25x +∈, 所以()f x 的值域是[]3,5.当[]2,2x ∈-时，设函数()g x 的值域为M .据题意，[]3,5M ⊆. ①当0a =时，()3g x =-,不合题意.②当0a >时，()g x 在[]2,2-上是增函数，则()()2523g g ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩, 即2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩,解得4a ≥.③当0a <时，()g x 在[]2,2-上是减函数，则()()2523g g -≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，即2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩, 解得4a ≤-. 综上，a 的取值范围是(][),44,-∞-+∞.。
2020-2021学年湖南师大附中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷1.已知集合M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=()A. {−2,−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}2.命题“”的否定是()A. B.C. ∀x>0,xx−1≤0 D. ∀x<0,0≤x≤13.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克．()A. 5730B. 11460C. 22920D. 458404.下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是()A. f(x)=x−1，g(x)=x2−1x+1B. f(x)=√x33，g(x)=(√x)2C. f(x)=1，g(x)=(x+1)0D. f(x)=|x+1|，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−15.下列说法正确的是()A. a>b⇒ac2>bc2B. a>b⇒a2>b2C. a>b⇒a3>b3D. a2>b2⇒a>b6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，则a的最小值是()A. 0B. −2C. −52D. −37.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为()A. 2B. 3C. 4D. 58.若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x，则有()A. f(x)=12(e x−e−x) B. g(x)=12(e x+e−x)C. f(2)<g(0)<f(3)D. g(0)<f(2)<f(3)9. 设函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0则f(f(−1))的值为 ．10. 已知p ：x 2−8x −33>0，q ：|x −1|>a(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ． 11. 化简求值．(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+eln2．12. 已知函数f(x)=ae x +1+1为奇函数．(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f(x)在R 上是增函数； (2)求不等式f(t 2)+f(2t −3)≤0的解集．13. 已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)+f(y)=f(x +y)，且x >0时，f(x)<0．(1)求证：f(x)在R 上是奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．14. 已知函数f(x)=x 2+bx +c(b,c ∈R)，且f(x)≤0的解集为[−1,2]．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)，其中m ∈R ．15. 设f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)16. 已知函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是( )A. [25,3)B. (25,3]C. (−∞,3)D. [25,+∞)17. 下列命题中正确的有( )A. |x|2+|x|−2=0有四个实数解B. 设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，则ac >0C. 若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1D. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4√x 2+4的最小值为218. 设函数f(x)=x|x|+bx +c ，给出如下命题，其中正确的是( )A. c =0时，y =f(x)是奇函数B. b =0，c >0时，方程f(x)=0只有一个实数根C. y =f(x)的图象关于点(0,c)对称D. 方程f(x)=0最多有两个实根19. 已知f(x)=e x−1+e 1−x +2a 只有一个零点，则a = ．20. 设关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0，(a ∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 ．21. “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)=411+3kx+b (x ≥0)． 树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米． (1)求f(x)的解析式；(2)问从种植起，第几年树木生长最快？22. 已知函数f(x)=e 2x +(t +1)e x +t ．(1)当t =−e 时，解不等式f(x)≥0的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，求t 的最大值； (3)对于函数g(x)，若∀a ，b ，c ∈R ，g(a)，g(b)，g(c)为某一三角形的三边长，则称g(x)为“可构造三角形函数”，已知函数g(x)=f(x)(e x +1)2是“可构造三角形函数”，求实数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．进行交集的运算即可．【解答】解：∵M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，∴M∩N={−1,0,1}．故选：B．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全称量词命题的否定，属于中档题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可．【解答】>0即x>1或x<0，解：xx−1>0”的否定是“”，故命题“∀x>0,xx−1故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．由题知，碳14的半衰期为5730年，要使其质量从0.5克消耗到0.125克，则再经历两个半衰期即可．【解答】解：由题可知，碳14的半衰期为5730年，则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】根据定义域相同，对应关系也相同，即可判断两函数为同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，f(x)=x−1，定义域为R，g(x)=x2−1x+1=x−1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f(x)=√x33=x，定义域为R，g(x)=(√x)2=x，定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)=1，定义域为R，g(x)=(x+1)0=1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f(x)=|x+1|={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质．【解答】解：选项A，当c=0时，由a>b，不能推出ac2>bc2，故错误；选项B，当a=−1，b=−2时，显然有a>b，但a2<b2，故错误；选项C ，当a >b 时，必有a 3>b 3，故正确；选项D ，当a =−2，b =−1时，显然有a 2>b 2，但却有a <b ，故错误． 故选：C ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立，求得最小值，令−a 不大于最小值即可． 【解答】解：不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立， 即有−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立． 由于y =x +1x ，当0<x <1时，函数y 递减． 则当x =12时，y 取得最小值且为52， 则有−a ≤52，解得a ≥−52． 则a 的最小值为−52． 故选：C ．7.【答案】ABC【解析】 【分析】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题． 求出二次函数的对称轴方程，可知当m =2时函数有最小值，再由x =0时y =−4，结合二次函数的对称性可得m 的可能取值． 【解答】解：函数y =x 2−4x −4的对称轴方程为x =2， 当0<m ≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x =0时取最大值−4，x =m 时有最小值m 2−4m −4=−8，解得m =2．则当m >2时，最小值为−8，而x =0时y =−4，由对称性可知，x =4时y =−4，故m ≤4． 综上，实数m 的取值范围为2≤m ≤4． ∴实数m 的值可能为2，3，4． 故选：ABC ．8.【答案】AD【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，与f(x)−g(x)=e x 联立，解可得f(x)与g(x)的解析式，进而求出f(2)、f(3)、g(0)的值，比较可得其大小，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算． 【解答】解：根据题意，函数f(x)，g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x ，①则f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，②， 联立①②可得：f(x)=12(e x −e −x )，g(x)=−12(e x +e −x )，故A 正确，B 错误； 则f(2)=12(e 2−e −2)，g(0)=−12×(1+1)=−1，f(3)=12(e 3−e −3)， 则有g(0)<f(2)<f(3)，故C 错误，D 正确； 故选：AD ．9.【答案】2【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f(−1)=1，进而可得f(f(−1))=f(1)，计算可得答案． 本题考查分段函数的函数值求解，属于基础题． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0，则f(−1)=−(−1)=1，则f(f(−1))=f(1)=1+1=2； 故答案为：210.【答案】(0,4]【解析】 【分析】根据不等式的解法求出p ，q 的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，为一般题． 【解答】解：由x 2−8x −33>0得(x +3)(x −11)>0得x >11或x <−3， 由|x −1|>a(a >0)得，x −1<−a 或x −1>a ， 得x >1+a 或x <1−a ， 若p 是q 的充分不必要条件， 则{1+a ≤111−a ≥−3即{a ≤10a ≤4得a ≤4， 又a >0，则0<a ≤4， 即实数a 的取值范围是(0,4]， 故答案为(0,4]．11.【答案】解：(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6=8+1−8+22×33=109．(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2 =lg2lg 14+lg(16×58)+2 =−12+1+2=52．【解析】本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．12.【答案】解：(1)∵f(x)=ae x+1+1是奇函数，定义域为R，∴f(0)=a2+1=0，则a=−2，f(x)=−2e x+1+1，证明：任取x1,x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=−2e x1+1+1+2e x2+1−1=2(e x1−e x2)(e x1+1)(e x2+1)，由x1<x2，可得e x1<e x2，则e x1−e x2<0，e x1+1>0,e x2+1>0∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．(2)由(1)可知f(x)为R上单调递增的奇函数，不等式f(t2)+f(2t−3)≤0可化为f(t2)≤−f(2t−3)=f(3−2t)，∴t2≤3−2t，即t2+2t−3≤0，解得−3≤t≤1，故不等式的解集{t|−3≤t≤1}．【解析】(1)根据奇函数的性质f(0)=0代入可求a，然后结合函数单调性的定义即可证明；(2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为t2≤3−2t，解之即可得结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．13.【答案】(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0得f(0)=0，令y=−x得f(−x)=−f(x)，∴f(x)在R上是奇函数；(2)证明：在R上任取x1>x2，则x1−x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1−x2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是减函数．(3)解：∵f(x)是R 上减函数，∴f(x)在[−3,3]上也是减函数，∴f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值分别为f(−3)和f(3)，而f(3)=3f(1)=−2，f(−3)=−f(3)=2，∴f(x)在[−3,3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判定，突出考查赋值法，考查运算能力．(1)由于f(x)+f(y)=f(x +y)，分别令x =y =0，可求得f(0)=0，再令y =−x ，即可证得f(x)在R 上是奇函数；(2)任取x 1>x 2，利用单调函数的定义法，作差f(x 1)−f(x 2)后转化，利用x >0时，f(x)<0即可证得f(x)在R 上是减函数；(3)利用(1)(2)知，奇函数f(x)为R 上的减函数，再利用f(1)=−23，即可求得f(x)在[−3,3]上的最大值为与最小值;14.【答案】解：(1)因为f(x)≤0的解集为[−1,2]，所以x 2+bx +c =0的根为−1，2，所以{−1+2=−b −1×2=c； 解得，b =−1，c =−2；所以f(x)=x 2−x −2．(2)mf(x)>2(x −m −1)，即(mx −2)(x −1)>0，所以当m =0时，不等式的解集为(−∞,1)，当m ≠0时，方程(mx −2)(x −1)=0的根为2m ,1，所以当m <0时，不等式的解集为(2m ,1)，当0<m <2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(2m ,+∞)，当m =2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)，当m >2时，不等式的解集为(−∞,2m )∪(1,+∞)．【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及应用，考查了含参数的一元二次不等式解法，用到分类讨论的思想方法，属于拔高题．(1)由不等式的解集，可知二次函数的根，由韦达定理可得解析式；(2)对m 进行分类讨论，解不等式即可．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．易判断f(x)在(−∞,0)上的单调性及f(x)图象所过特殊点，作出f(x)的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上递减，∴f(x)在(0,+∞)上递减，由f(−2)=0，得f(−2)=−f(2)=0，即f(2)=0，由f(−0)=−f(0)，得f(0)=0，作出f(x)的草图，如图所示：由图象，得xf(x)>0⇔{x <0f(x)<0或{x >0f(x)>0， 解得−2<x <0或0<x <2，∴xf(x)>0的解集为(−2,0)∪(0,2)，故选：D ．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，分段函数的应用．由一次函数、二次函数的性质，得不等式，解出即可．【解答】解：函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数， ∴函数f(x)是R 上的增函数，∴3−a >0，解得：a <3，且当x =1时，(3−a)−4a ≤1，解得：a ≥25，综上a 的取值范围是：[25,3)．故选：A ．17.【答案】BC【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，考查基本不等式，方程的解，不等式的基本性质的判断．通过解方程可得|x|=1，判断A 的正误；由二次方程ax 2+bx +c =0无实根可得a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，判断B 即可；利用不等式的基本性质判断C 即可；利用基本不等式成立的条件，判断选项D 即可．【解答】解：|x|2+|x|−2=0解得|x|=1或|x|=−2舍去，所以x =±1，故方程有2个实数解，所以A 不正确；设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，可知a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，可得ac >0，所以B 正确；a >b ，因为c 2+1>0，所以a c 2+1>b c 2+1，所以C 正确；若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4 ≥2√√x 2+4⋅√x 2+4=2，当且仅当x 2+4=1时取等号，等式显然不成立，所以选项D不正确．故选：BC．18.【答案】ABC【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性判断A的正误；利用函数的零点判断B；函数的图象的对称性判断C；举例通过零点的个数判断D．本题考查函数的零点与方程根的关系，是中档题．【解答】解：当c=0时，f(x)=x|x|+bx，此时f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b=0，c>0时，f(x)=x|x|+c，若x≥0，f(x)=0无解，若x<0，f(x)=0有一解x=−√c，B正确；因为y=x|x|+bx是奇函数，关于原点对称，f(x)=x|x|+bx+c可由y=x|x|+bx经过上下平移得到，所以y=f(x)的图象关于点(0,c)对称，故C正确；当b=−1，c=0时，f(x)=x|x|−x，方程f(x)=0，即x|x|−x=0，解得x1=−1，x2=0，x3=1，故D不正确．故选：ABC．19.【答案】−1【解析】【分析】原问题可转化为方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，构造函数g(x)=e x−1+e1−x，利用基本不等式的性质求出其最小值即可得解．本题考查函数的零点、基本不等式的性质，理解函数的零点与方程的根之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：∵函数f(x)=e x−1+e1−x+2a只有一个零点，∴方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，令g(x)=e x−1+e 1−x ≥2√e x−1⋅e 1−x =2，当且仅当e x−1=e 1−x ，即x =1时，等号成立，∴−2a =2，解得a =−1．故答案为：−1．20.【答案】−10【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是确定a 的值，求出相应 一元二次不等式的解集．先确定a <0，再利用0为其中的一个解，a ∈Z ，求出a =−1或−2，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．【解答】解：当a =0时，显然不符合题意；当a ≠0时，设y =ax 2+8(a +1)x +7a +16，其图象为抛物线．关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0整数解只有有限个，所以a <0． 因为0为其中的一个解可以求得a ≥−167，又a ∈Z ，所以a =−2，−1．当a =−2时，不等式为−2x 2−8x +2≥0，解得−√5−2≤x ≤√5−2，此时不等式的整数解为：−4，−3，−2，−1，0；当a =−1时，不等式为−x 2+9≥0，解得−3≤x ≤3，此时不等式的整数解为：−3，−2，−1，0，1，2，3；综上所述，全部不等式的整数解的和为−10．故答案为：−10．21.【答案】解：(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，由题意，f(0)=12，f(1)=4128，得{12=411+3b 4128=411+3k+b ，解得k =−1，b =4． ∴f(x)=411+34−x (x ≥0)；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，则g(x)=f(x +1)−f(x)=411+33−x −411+34−x =82⋅33−x (1+33−x )(1+34−x )．令33−x =u(0<u ≤27)，则ℎ(u)=82u (1+u)(1+3u)=82u 3u 2+4u+1=823u+1u +4．令φ(u)=3u +1u ，则φ(u)在(0,√33)上单调递减，在[√33,27]上单调递增， ∴当u =√33时，φ(u)有最小值，得ℎ(u)有最大值， 由33−x =3−12，得x =72，又x ∈N ，故x 的值可能为3或4，又g(3)=414，g(4)=414，g(3)=g(4)，因此，从种植起，第4年或第5年树木生长最快．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于拔高题．(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，结合f(0)=12，f(1)=4128列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，则f(x)的解析式可求；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，求得g(x)=f(x +1)−f(x).利用换元法及函数的单调性求最值得答案．22.【答案】解：(1)当t =−e 时，不等式f(x)≥0，即(e x +1)(e x −e)≥0，即e x ≥e ，解得x ≥1，故不等式的解集是[1,+∞)；(2)不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，即e 2x +(t +1)e x +t <e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，所以t <1(e x +1)2−4(e x +1)对任意x ∈R 恒成立，记ℎ(x)=1(e x +1)2−4(e x +1)(x ∈R)，因为当x ∈R 时，1e x +1∈(0,1)，所以ℎ(x)=(1e x +1−2)2−4∈(−3,0)， 所以t ⩽−3，故t 的最大值为−3；(3)由于函数g(x)=f(x)(e x+1)2=e x+te x+1=1+t−1e x+1是“可构造三角形函数”，首先，必有t≥0才能保证g(x)>0，其次，必需g(x)max<2g(x)min，所以当0≤t<1时，函数g(x)是R上的增函数，则g(x)的值域是(t,1)，由1≤2t，得12≤t<1，当t=1时，g(x)=1，符合题意，当t>1时，函数g(x)是R上的减函数，则g(x)的值域是(1,t)，由t≤2，得1<t≤2，综上实数t的取值范围为t∈[12,2]．【解析】(1)代入t的值，问题转化为(e x+1)(e x−e)≥0，求出不等式的解集即可；(2)问题转化为t<1(e x+1)2−4(e x+1)对任意x∈R恒成立，记ℎ(x)=1(e x+1)2−4(e x+1)，根据二次函数的性质求出t的最大值即可；(3)问题转化为必需g(x)max<2g(x)min，通过讨论t的范围，求出函数的值域，得到关于t的不等式，解出即可．本题考查了解不等式问题，不等式恒成立问题，函数的新定义，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
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湖南省师大附中高一上学期期中考试（数学）一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}{}4,3,1,6,5,4,3,2,1==A U ，则A C U =（ ）A 、{}6,5B 、{}4,3,2,1 C 、{}6,5,2 D 、{}6,5,4,3,2 2、若函数4)2()(2+++=x b x x f 是R 上的偶函数，则（ ） A 、2-=b B 、2=b C 、2-≠b D 、0=b3、函数222+-=x x y 的的单调递增区间为（ ）A 、()+∞∞-,B 、),1(+∞C 、()1,∞-D 、),2(+∞-4、设32-=a ，817log 3=b ，132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）A 、c b a >>B 、c b a <<C 、c a b <<D 、a c b << 5、函数23)(-+=x x f x在),0(+∞上零点的个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个6、设集合{}{}a y y B x x x A <-=<--=1,062，若B B A = ，则实数a 的取值范围为（ ） A 、]2,0( B 、]2,(-∞ C 、]3,0( D 、[]3,2二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上。
7、计算：=+5lg 24lg 。
8、函数)3lg()(-=x x f 的定义域为 。
9、某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，第x )(*∈N x 年的年产量为=y 。
10、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤<+>-=10lg 30111)(x xx x x x f ，则=))101((f f 。
11、若1)12(log 2<-a ，则实数a 的取值范围为 。
12、方程04254=+⋅-xx的解集为 。
2019-2020学年湖南师大附中高一上学期期中考试 数学
2019—2020学年度湖南师大附中高一第一学期期中考试数学试题湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期中考试数 学时量：120分钟 满分：150分得分：____________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{}x |x －2≤1，x ∈N *，则集合A 的真子集个数是A ．3B ．6C ．7D ．82．图中阴影部分所表示的集合是A ．B ∩∁U ()A ∪C B.()A ∪B ∪()B ∪C C.()A ∪C ∩()∁U BD ．∁U ()A ∩C ∪B3．函数f ()x ＝2x －2x－a 的一个零点在区间()1，2内，则实数a 的取值范围是A.()1，3B.()1，2C.()0，3D.()0，24．函数f ()x ＝1ln ()x ＋1＋9－x 2的定义域为A.[)－3，0∪(]0，3B.()－1，0∪(]0，3C.[]－3，3D.(]－1，35．下列幂函数中，既是奇函数，又在区间()－∞，0上为减函数的是A ．y ＝x 12B ．y ＝x 13C ．y ＝x 23D ．y ＝x －136．已知f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧()a －2x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C.()2，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫138，27．函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为8．下列命题中错误的个数为①f ()x ＝12＋12x －1的图像关于(0，0)对称；②f ()x ＝x 3＋x ＋1的图像关于(0，1)对称；③f ()x ＝1x 2－1的图像关于直线x ＝0对称．A ．1B ．2C ．3D ．09．已知函数f ()x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则函数f ()x ＋1的反函数的图象可能是10．函数f ()x 是定义在R 上的奇函数，且f ()－1＝0，若对于任意x 1，x 2∈()－∞，0，且x 1≠x 2时，都有x 1f ()x 1－x 2f ()x 2x 1－x 2<0成立，则不等式f ()x <0的解集为A.()－∞，1∪()1，＋∞B.()－1，0∪()0，1C.()－∞，－1∪()0，1D.()－1，0∪()1，＋∞11．已知函数f (x )＝||1－||1－x ，若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＝0有n 个不同的实根，则n 的值不可能为A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义域为D 的函数f (x )，若对任意x ∈D ，存在正数M ，都有|f (x )|≤M 成立，则称函数f (x )是定义域D 上的有界函数．已知下列几个函数：①f (x )＝52x 2－4x ＋3；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝3＋x 4－x；④f (x )＝1－3x .其中有界函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．413．化简0.064－13＋⎝⎛⎭⎫－180＋21＋log 25的结果为________．14．已知函数f ()x ＝a ||x ＋1＋||x －2a ()a>0，a ≠1为偶函数，则a ＝________．15．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则用“<”连接a ，b ，c 为________． 16．设a ，b ，c 为实数，f(x)＝(x ＋a)(x 2＋bx ＋c)，g(x)＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)，记集合S＝{x|f(x)＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①|S |＝1，|T |＝0；②|S |＝1，|T |＝1；③|S |＝2，|T |＝2；④|S |＝2，|T |＝3.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝1x －1，B ＝{}y |y ＝3x －1. (Ⅰ)求A ∩B ；(Ⅱ)若M ＝{}x |mx ＋4<0且(A ∩B)⊆M ，求实数m 的取值范围．设f ()x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f ()x ＝x 2. (Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若对任意的x ∈[]a ，a ＋2，不等式f ()x ＋a ≥2f ()x 恒成立，求实数a 的取值范围．设f (x )＝log 121－axx －1为奇函数，a 为常数．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)证明：确定f (x )在区间(1，＋∞)内的单调性；(Ⅲ)设A ＝[3，4]，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |f （x ）>⎝⎛⎭⎫12x＋m ，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．设二次函数f ()x ＝ax 2＋bx ＋c ()a ，b ，c ∈R 满足下列条件：①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0，且图像关于直线x ＝－1对称；②当x ∈()0，5时，x ≤f ()x ≤2||x －1＋1恒成立．(Ⅰ)求f ()x 的解析式；(Ⅱ)若f ()x 在区间[]m －1，m 上恒有⎪⎪⎪⎪f ()x －x 24≤1，求实数m 的取值范围．对于在区间[]p ，q 上有意义的两个函数f ()x 和g ()x ，如果对于任意的x ∈[]p ，q ，都有|f ()x －g ()x |≤1，则称f ()x 与g ()x 在区间[]p ，q 上是“接近”的两个函数，否则称它们在[]p ， q 上是“非接近”的两个函数．现有两个函数f ()x ＝log a ()x －3a ，g ()x ＝log a 1x －a()a >0，且a ≠1，给定一个区间[]a ＋2，a ＋3.(Ⅰ)若f ()x 与g ()x 在区间[]a ＋2，a ＋3都有意义，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)讨论f ()x 与g ()x 在区间[]a ＋2，a ＋3上是否是“接近”的两个函数．如图，某油田计划在铁路线CD 一侧建造两家炼油厂A 、B ，同时在铁路线上建一个车站Q ，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线QP ，再从P 分叉，分别向两个炼油厂铺设管线P A 、PB .图中各小写字母表示的距离(单位：千米)分别为a ＝5，b ＝8，l ＝15.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为k km ，总的输油管道长度为s km.(Ⅰ)若k ＝0，请确定车站Q 的位置，使得总的输油管道长度为s 最小，此时输油管线铺设费用是多少？(Ⅱ)请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案(精度为0.1千米)．(参考数据：225＋132＝19.85，225＋122＝19.21，225＋112＝18.60，225＋102＝18.03，225＋92＝17.49，225＋82＝17.00，225＋72＝16.55，225＋62＝16.16，225＋52＝15.81，225＋42＝15.52，225＋32＝15.30.)湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期中考试数学参考答案－湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.3.C 【解析】根据指数函数和反比例函数的性质可知，函数f ()x ＝2x －2x－a 在区间()1，2内是增函数，又有一个零点在区间()1，2内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ()1<0f ()2>0⇒0<a<3，故选C .4．B 【解析】由⎩⎨⎧x ＋1>0ln ()x ＋1≠09－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1x ≠0－3≤x ≤3⇒－1<x ≤3且x ≠0.5．D 【解析】考查幂函数的性质．6．C 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧a －2>02()a －2≥⎝⎛⎭⎫122－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>2a ≥138⇒a>2，故选C . 7．B 【解析】函数f ()－x ＝e －x －e x ()－x 2＝－e x －e －x x 2＝－f ()x ，函数f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，当x ＝1时，f ()1＝e －1e >0，排除D ，当x →＋∞时，f ()x →＋∞，排除C .8．D 【解析】①f ()x ＋f ()－x ＝0，②f ()x ＋f ()－x ＝2，③f ()－x ＝f ()x ，所有命题都正确．9．D 【解析】考查反函数和图像的平移．10．C 【解析】令F ()x ＝xf ()x ，因为函数f ()x 是定义在R 上的奇函数，所以f ()x ＝－f ()－x ，则F ()－x ＝－xf ()－x ＝xf ()x ＝F ()x ，所以F ()x 是偶函数，因为任意x 1，x 2∈()－∞，0，且x 1≠x 2时，都有x 1f ()x 1－x 2f ()x 2x 1－x 2<0成立，所以F ()x 在()－∞，0上是单调递减，在()0，＋∞上是单调递增，又因为f ()－1＝0，所以F ()－1＝－f ()－1＝0＝F ()1.当x <－1时，F (x )>F (－1)＝0，因为x <0，∴f (x )<0；因为当－1<x <0时，F ()x <F ()－1＝0，因为x <0，所以f ()x >0； 当0<x <1时，F ()x <F ()1＝0，因为x >0，所以f ()x <0； 当x >1时，F ()x >F ()1＝0，因为x >0，所以f ()x >0. 所以不等式f ()x <0的解集为()－∞，－1∪()0，1.故选C. 11．A 【解析】因为函数⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥22－x ，1≤x <2x ，0≤x <1－x ，x <0，作出f (x )的图像如下：由[f (x )]2＋af (x )＝0得：f (x )＝0或f (x )＝－a ，所以方程[f (x )]2＋af (x )＝0的解的个数，即为函数f (x )与x 轴以及直线y ＝－a 交点个数， 由图像可得：f (x )与x 轴有2个交点，①当－a <0，即a >0时，函数f (x )与直线y ＝－a 无交点，故原方程共2个解； ②当－a ＝0，即a ＝0时，原方程可化为f (x )＝0，故原方程共2个解；③当0<－a <1，即－1<a <0时，函数f (x )与直线y ＝－a 有4个交点，故原方程共6个解； ④当－a ＝1，即a ＝－1时，函数f (x )与直线y ＝－a 有3个交点，故原方程共5个解； ⑤当－a >1，即a <－1时，函数f (x )与直线y ＝－a 有2个交点，故原方程共4个解； 综上，原方程解的个数可能为2，4，5，6.故选A.12．B 【解析】①②共2个.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.272(或13.5) 14.1215．a>c>b 【解析】解法一，先比较b ，c ，构造函数f ()x ＝⎝⎛⎭⎫25x，∵0<25<1，∴f ()x ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数，且25<35，c>b ，再比较a ，c ，a c＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1，a>c ，综上，可得a>c>b ； 解法二，先比较a ，c ，构造函数f ()x ＝x 25，0<25<1，f ()x ＝x 25为增函数，∵35>25，∴a>c ，同理可得c>b ，综上，可得a>c>b.16．①②③ 【解析】|T|＝3时，必有a ≠0，c ≠0，b 2－4c>0，设x 0为g(x)＝0的一根，则x 0≠0，且f ⎝⎛⎭⎫1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋a ⎝⎛⎭⎫1x 20＋b 1x 0＋c ＝1x 30g(x 0)＝0，故1x 0为方程f(x)＝0的根．此时f(x)＝0有三个根，即|T|＝3时，必有|S|＝3，故不可能是|S|＝2，|T|＝3.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解析】(Ⅰ)由A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝1x －1，B ＝{}y |y ＝3x －1， 得A ＝()1，＋∞，(2分) B ＝()0，＋∞，(4分) A ∩B ＝()1，＋∞；(6分)(Ⅱ)由(A ∩B)⊆M ，得()1，＋∞⊆M ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<0－4m ≤1⇒m ≤－4.(10分)18．【解析】(Ⅰ)由题意知，f(0)＝0.设x<0，则－x>0，故f(－x)＝(－x)2＝x 2， 又因为f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝－x 2，所以f ()x ＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0.(4分)(Ⅱ)由2x 2＝()2x 2，等价于f ()x ＋a ≥f ()2x ，因为f ()x 在R 上是增函数，(6分)∴x ＋a ≥2x ，即a ≥()2－1x ，(8分)∵x ∈[]a ，a ＋2，∴当x ＝a ＋2时，[()2－1x ]max ＝()a ＋2()2－1，(10分) 得a ≥2，故实数a 的取值范围是[)2，＋∞.(12分)19．【解析】(Ⅰ)∵f (－x )＝－f (x )，∴log 121＋ax －1－x ＝－log 121－ax x －1＝log 12x －11－ax .(2分) ∴1＋ax －x －1＝x －11－ax，即(1＋ax )(1－ax )＝－(x ＋1)(x －1)恒成立，∴a ＝－1.(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知f (x )＝log 12x ＋1x －1＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋2x －1(x >1或x <－1)．(5分)记u (x )＝1＋2x －1，由定义可以证明u (x )在(1，＋∞)上为减函数，(7分)∴f (x )＝log 12x ＋1x －1在(1，＋∞)上为增函数．(8分) (Ⅲ)设g (x )＝log 12x ＋1x －1－⎝⎛⎭⎫12x.(9分)由于f (x )＝log 12x ＋1x －1在(1，＋∞)上为增函数且y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，所以g (x )在[3，4]上为增函数．(10分)∵g (x )>m 对x ∈[3，4]恒成立，∴m <g (x )min ＝g (3)＝－98.(11分)故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－98.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)在②中令x ＝1，有1≤f ()1≤1，故f ()1＝1.(2分)当x ∈R 时，f (x )的最小值为0且二次函数关于直线x ＝－1对称， 故设此二次函数为f ()x ＝a ()x ＋12()a >0.(3分) ∵f ()1＝1，∴a ＝14.(5分)∴f ()x ＝14()x ＋12.(6分)(Ⅱ)f ()x －x 24＝14()x ＋12－x 24＝12x ＋14，(7分)由⎪⎪⎪⎪f ()x －x 24≤1即|12x ＋14|≤1，得－52≤x ≤32.(9分) ∵f ()x 在区间[]m －1，m 上恒有⎪⎪⎪⎪f ()x －x24≤1， ∴只须⎩⎨⎧m －1≥－52m ≤32，解得－32≤m ≤32，(11分)∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，32.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)要使f ()x 与g ()x 有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －3a >0x －a >0a >0且a ≠1⇒x >3a (2分)要使f ()x 与g ()x 在[]a ＋2，a ＋3上有意义，则x >3a 对x ∈[a ＋2，a ＋3]恒成立，所以a ＋2>3a ，(4分)又因为a >0，故0<a <1.(6分)(Ⅱ)|f ()x －g ()x |＝|log a []()x －3a ()x －a |， 令|f ()x －g ()x |≤1，得－1≤log a []()x －3a ()x －a ≤1.(*)(7分)因为0<a <1，所以[]a ＋2，a ＋3在直线x ＝2a 的右侧． 所以h ()x ＝log a []()x －3a ()x －a 在[]a ＋2，a ＋3上为减函数． 所以h ()x min＝h ()a ＋3＝log a ()9－6a ，h ()x max＝h ()a ＋2＝log a ()4－4a .(9分)于是⎩⎨⎧log a ()4－4a ≤1log a()9－6a ≥－10<a <1，∴0<a ≤9－5712.所以当a ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，9－5712时，f ()x 与g ()x 是接近的；(11分)当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫9－5712，1时是非接近的．(12分)22．【解析】(Ⅰ)作A 关于CD 的对称点A ′，连A ′B ，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ，由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为l 2＋（a ＋b ）2，这是最短的，此时CQ ＝a a ＋b l .将数据代入，得s ＝225＋132＝19.85 km ，x ＝513×15＝7513＝5.77 km ，输油管线铺设费用是7.2s ＝7.2×19.85＝142.92万元．(4分)(Ⅱ)设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km.在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点A ′，连A ′B ，则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为l 2＋[（a －k ）＋（b －k ）]2，这是在确定k 的前提下最短的．(6分)以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为s ＝k ＋l 2＋[（a －k ）＋（b －k ）]2(7分) 三条管道交叉点的坐标为(x ，k )，x ＝a －k（a －k ）＋（b －k ）l .k ＝0相当于不铺设公用管道的情形．(8分)将数据代入上式有s ＝k ＋225＋（13－2k ）2，x ＝15×5－k13－2k (10分)对于不同的k ，分别计算管道的铺设长度得，于是，不妨取k＝2，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为19.49×7.2＝140.328万元，比较不铺设公用管道所花的费用19.85×7.2＝142.92万元要节省2.592万元．这时三条管道交叉点位于(5，2)处．(12分)。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
20．已知 f (x) 是定义在区间[1,1] 上的奇函数，且 f (1) 1，若 a,b [1,1]，a b 0 时，
有
f
(a) f ab
(b)
0.
（1）判断函数 f (x) 在[1,1] 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若 f (x) m2 5mt 5 对所有 x [1,1]， t [1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围.
2
f 3 2x f x 2 的解集是（ ）
A．
,
1 3
C．
,
1 3
5,
B．
1 3
,
D．
1 3
,
5
8．函数 f x loga 2x 3 1（ a 0 且 a 1）的图象恒过定点 Am, n ，若对任意正数
x
、
y
都有
mx
+
ny
=
4 ，则
1 x 1
2 y
的最小值是（
）
A． 2
Q
其中
R
为实数集，
Q
为有理数
集．则关于函数 f (x) 有如下四个命题，正确的为（ ）
A．对任意 x R ，都有 f x f x 0
B．对任意 x1 R ，都存在 x2 Q ， f x1 x2 f x1
C．若 a 0 ， b 1，则有x f (x) a x f (x) b
3．三个数 40.2 , 30.4 , log0.4 0.5的大小顺序是
A． 30.4 <40.2 log0.4 0.5
B． 30.4 < log0.4 0.5<40.2
C． log0.4 0.5 30.4 40.2
D． log0.4 0.5 4 0.2 30.4
湖南师范大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}*|21,A x x x N =-≤∈，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】先确定集合A 中元素个数，进而可得出结果. 【详解】因为{}{}{}**|21,3,1,2,3A x x x Nx x x N =-≤∈=≤∈=，共含有3个元素，因此其真子集个数为3217-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查求集合真子集的个数，熟记求真子集个数的公式即可，属于基础题型. 2．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．B∩[∁U （A ∪C ）]B ．（A ∪B ）∪（B ∪C ） C ．（A ∪C ）∩（∁U B ）D ．[∁U （A∩C ）]∪B【答案】A【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“不是A 的元素或C 的元素，且是B 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案． 【详解】由已知中阴影部分所表示的集合元素满足不是A 的元素或C 的元素，且是B 的元素 即不是A 并C 的元素，且是B 的元素，即是A 并C 的补集的元素，且是B 的元素， 故阴影部分所表示的集合是B∩[∁U （A ∪C ）]， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，属于基础题．3．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【解析】由题意得()()f 1f 20<，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】由条件可知()()()()f 1f 2?22a 41a 0=<－－－－，即a(a －3)<0， 解得0<a<3. 故选C ． 【点睛】本题考查利函数零点存在性定理的应用，解题的关键是根据函数在给定的区间两端点处的函数值异号得到不等式，考查应用能力和计算能力，属于容易题． 4．函数1()ln(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．[3,3]-B ．(1,0)(0,3]- C ．[3,0)(0,3]- D ．(1,3]-【答案】B【解析】求函数y 的定义域，首先分母不等于0，再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解. 【详解】1()ln(1)f x x =++，要使函数有意义，x 应满足2101190x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩解得10x -<<或03x <≤，故函数的定义域为：(1,0)(0,3]-，故选：B ． 【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0. 5．下列幂函数中，既是奇函数，又在区间(),0-∞上为减函数的是（ ） A ．12y x = B ．13y x = C ．23y x = D ．13y x -=【答案】D【解析】根据奇函数的概念，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，函数12y x =的定义域为()0,∞+，因此不是奇函数，排除A ；B 选项，函数13y x =的定义域为R ，且1133()-=-x x ，因此13y x =是奇函数；又103>，根据幂函数的单调性，所以函数13y x =在()0,∞+上单调递增，又其为奇函数，所以13y x =在(),0-∞上也单调递增；排除B ；C 选项，函数23y x =的定义域为R ，且2233()x x =-，所以函数23y x =是偶函数，排除C ；D 选项，函数13y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1133()---=-x x ，所以函数13y x -=是奇函数，又103-<，根据幂函数单调性，所以13y x -=在()0,∞+是减函数，根据奇函数的性质可得13y x -=在(),0-∞也是减函数；D 正确；故选：D 【点睛】本题主要考查判断函数奇偶性与单调性，熟记函数奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.6．已知()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()2,+∞D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据函数恒减，得到()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，求解即可得出结果. 【详解】因为()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，即2138a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以138a ≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查由分段函数的单调性求参数，解决此类问题的关键在于注意每一部分的单调性，以及结点位置的取值情况即可，属于常考题型.7．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则函数(1)f x +的反函数的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像恒过（0,1）点，函数(1)f x +的图像恒过（-1,1），则其反函数的图像恒过（1,-1）而选项A 恒过（0,0），选项B 恒过（2,0），选项C 恒过（1,0），故排除；所以正确选项为D 【考点】1、函数图像的平移；2、反函数的性质.9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f -=，若对于任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．()(),11,-∞+∞B ．()()1,00,1-UC ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C【解析】先令()()F x xf x =，根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，结合函数奇偶性的定义，判断()F x 是偶函数；根据题意，再判断()F x 在(),0-∞上是单调递减，在()0,∞+上是单调递增，由()10f -=，得到()()110-==F F ；根据函数单调性，分类讨论，即可求出结果； 【详解】令()()F x xf x =，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()()F x xf x xf x F x -=--==，所以()F x 是偶函数， 因为任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，所以()F x 在(),0-∞上是单调递减，在()0,∞+上是单调递增， 又因为()10f -=，所以()()()1101F f F -=--==. 当1x <-时，()()10F x F >-=，因为0x <，∴()0f x <；因为当10x -<<时，()()10F x F <-=，因为0x <，所以()0f x >； 当01x <<时，()()10F x F <=，因为0x >，所以()0f x <； 当1x >时，()()10F x F >=，因为0x >，所以()0f x >. 所以不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选:C 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性的概念即可，属于常考题型.10．已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()()20f x af x +=有n 个不同的实根，则n 的值不可能为（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】A【解析】先作出函数()11f x x =--的图像，根据()()20fx af x +=得()0f x =或()f x a =-，原方程根的个数，转化为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数；结合函数图像，即可得出结果. 【详解】因为函数()2,22,1211,01,0x x x x f x x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=--=⎨≤<⎪⎪-<⎩，作出()f x 的图像如下： 由()()20fx af x +=得：()0f x =或()f x a =-，所以方程()()20f x af x +=的解的个数，即为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数，由图像可得：()f x 与x 轴有2个交点，①当0a -<，即0a >时，函数()f x 与直线y a =-无交点，故原方程共2个解； ②当0a -=，即0a =时，原方程可化为()0f x =，故原方程共2个解；③当01a <-<，即10a -<<时，函数()f x 与直线y a =-有4个交点，故原方程共6个解；④当1a -=，即1a =-时，函数()f x 与直线y a =-有3个交点，故原方程共5个解； ⑤当1a ->，即1a <-时，函数()f x 与直线y a =-有2个交点，故原方程共4个解； 综上，原方程解的个数可能为2，4，5，6. 故选A【点睛】本题主要考查方程根的个数的判定，灵活运用转化与化归的思想，根据数形结合的方法即可求解，属于常考题型.11．已知定义域为D 的函数()f x ，若对任意x D ∈，存在正数M ，都有()f x M≤成立，则称函数()f x 是定义域D 上的有界函数．已知下列几个函数：①()25243f x x x =-+；②()f x =()34x f x x+=-；④()13x f x =-.其中有界函数的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据函数的性质，分别求出函数值域，结合题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 ①()22552432(1)1==-+-+f x x x x ，因为22(1)11-+≥x ， 所以()2552(1)1=≤-+f x x ，又()2502(1)1=>-+f x x ， 所以()(]0,5∈f x ；因此()5f x ≤，满足题意；①正确；②()f x =()1=≤f x ，满足题意；②正确； ③()374711444++-===-+≠----x x f x x x x，即()()(),11,∈-∞-⋃+∞f x ， 因此()1f x ≥，不满足题意；③错；④因为30x >，所以()131=-<xf x ，不满足题意，④错；故选：B 【点睛】本题主要考查函数的值域，熟记求函数值域的方法即可，属于常考题型.二、填空题12．化简2011log 5310.06428-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的结果为________． 【答案】272【解析】根据对数运算，以及指数幂运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】()2201131log 5log 103315270.06420.41211822⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+-+=++=+=⎪⎝⎭. 故答案为：272【点睛】本题主要考查指数幂与对数的化简求值，熟记运算法则即可，属于基础题型. 13．已知函数()()120,1x x af x a a a ++-=>≠为偶函数，则a =________．【答案】12【解析】根据题意，先确定函数定义域，再由函数为偶函数，得()()22f f -=，求出12a =，代入原函数检验，即可得出结果. 【详解】由题意，函数()()120,1x x af x aa a ++-=>≠的定义域为R ，因为函数()f x 为偶函数，所以()()22f f -=，即21222122-++--++-=a a a a ， 即122322++=+-a a ，即1=-a a ，解得：12a =， 所以当12a =时，()1112++-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x f x ，定义域是R ；且()()11111122-++--++-⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x f x f x ， 因此满足()f x 为偶函数；即12a =满足题意； 故答案为：12【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型. 14．设2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则用“<”连接a ，b ，c 为________．【答案】a c b >>【解析】先令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数单调性，得到()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，推出c b >，再比较a ，c ，由20533122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出结果.【详解】令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵2015<<，∴()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数， 又2355<，所以23552255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >；又2533122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c >，综上，可得a c b >>； 故答案为：a c b >> 【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数单调性即可，属于常考题型.15．设a ，b ，c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++，记集合(){}|0,S x f x x R ==∈，(){}|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =. 【答案】①②③【解析】①根据0T =，得到方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取2040a b c ≠⎧⎨-<⎩，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此求()0f x =根的个数，即可判断④. 【详解】①当0T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；当0a =，240b c -<时，()()2=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；故①成立； ②当2040a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a=-；即1T =；存在②成立；③当20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-或2=-x b；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则00x ≠，且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()03010g x x ==，故01x 为方程()0f x =的根．此时()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错； 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.三、解答题16．下列命题中错误的个数为（ ） ①()11221x f x =+-的图像关于()0,0对称； ②()31f x x x =++的图像关于()0,1对称； ③()211f x x =-的图像关于直线0x =对称． A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义，先判断()11221x f x =+-为奇函数，即可得出①正确；令3()=+g x x x ，先判断其为奇函数，再由()31()1=++=+f x x x g x ，即可得出②正确；根据偶函数的定义，直接判断()211f x x =-为偶函数，即可得出③正确；从而可确定结果. 【详解】 ①因为()11221x f x =+-，由210x -≠得，定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 所以()1112221212--=+=+--xx xf x ， 因此()111212()1022121221-+-=+++=+=---x xx xx f x f x ， 所以()()f x f x -=-；即函数()11221x f x =+-是奇函数，关于()0,0对称；①正确；②令3()=+g x x x ，定义域为R ，又3()()-=--=-g x x x g x ， 所以函数3()=+g x x x 是奇函数，关于()0,0对称，又()31()1=++=+f x x x g x ，所以其图像关于点()0,1对称；②正确；③因为()211f x x =-，由210x -≠得定义域为：()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞， 所以()()211-==-f x f x x ，因此函数()211f x x =-为偶函数，其图像关于直线0x =对称；③正确.故选：D 【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性判断函数的对称问题，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型.17．已知集合A x y ⎧⎫==⎨⎩，{}1|3x B y y -==. （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{}|40M x mx =+<且()A B M ⊆I ，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()1,AB =+∞（Ⅱ）4m ≤-【解析】（Ⅰ）先化简集合A B 、，再求交集，即可得出结果；（Ⅱ）先由()A B M ⊆I ，得()1,+∞⊆M ，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）由A x y ⎧⎫==⎨⎩，{}1|3x B y y -==， 得()1,A =+∞，()0,B =+∞， 所以()1,AB =+∞；（Ⅱ）由()A B M ⊆I ，得()1,+∞⊆M ，所以041m m<⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得4m ≤-.【点睛】本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数，熟记交集的概念，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（Ⅱ）)+∞ 【解析】（Ⅰ）先由函数奇偶性得()00f =；再设0x <，则0x ->，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果； （Ⅱ）先由题意，将不等式化为())f x a f+≥，再由函数单调性，得到x a +≥，推出)1a x ≥，求出)max1⎡⎤⎣⎦x ，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）由题意知，()00f =.设0x <，则0x ->，故()()22f x x x -=-=， 又因为()f x 是奇函数，故()()2f x f x x =--=-，所以()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩. （Ⅱ）由)222x =，不等式()()2f x a f x +≥，等价于())f x a f+≥，因为()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以其在R 上是增函数，∴x a +≥，即)1a x ≥，∵[],2x a a ∈+，∴当2x a =+时，)())max121x a ⎡⎤=+⎣⎦，得a ≥a的取值范围是)+∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型. 19．设()121log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：确定()f x 在区间()1,+∞内的单调性；（Ⅲ）设[]3,4A =，()1|2xB x f x m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，且A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1a =-（Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）9,8⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）根据函数为奇函数，得到112211log log 11+-=----ax axx x ，推出()()()()1111ax ax x x +-=-+-，从而可求出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭（1x >或1x <-），记()211u x x =+-，定义法证明()u x 在()1,+∞上的单调性，再由复合函数单调性的判定方法，即可证明结论成立；（Ⅲ）先设()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，根据（Ⅱ）的结果，以及指数函数单调性，判定()g x 在[]3,4上为增函数．再由题意，得到()g x m >对[]3,4x ∈恒成立，只需()min m g x <，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）∵()121log 1axf x x -=-为奇函数，所以()()f x f x -=-， ∴111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----.∴1111ax x x ax+-=---，即()()()()1111ax ax x x +-=-+-恒成立， ∴1a =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭（1x >或1x <-）． 记()211u x x =+-， 任取121x x <<，则()()()()()211212122221111--=-=----x x u x u x x x x x ， 因为121x x <<，所以110x ->，210x ->，210x x ->， 因此()()()()()2112122011--=>--x x u x u x x x ，即()()12u x u x >，所以()u x 在()1,+∞上为减函数， 又函数12log y x =是减函数，∴()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数． （Ⅲ）设()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由于()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数， 所以()g x 在[]3,4上为增函数．∵A B ⊆，[]3,4A =，所以()g x m >对[]3,4x ∈恒成立， ∴()()min 938m g x g <==-. 故m 的取值范围是9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，根据单调性的定义判断复合函数单调性，由集合的包含关系求参数，熟记奇偶性与单调性的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.20．设二次函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且图像关于直线1x =-对称；②当()0,5x ∈时，()211x f x x ≤≤-+恒成立．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在区间[]1,m m -上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()2114f x x =+（Ⅱ）33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）先在②中令1x =，得到()11f =，根据题意，设二次函数为()()()210f x a x a =+>，由()11f =，求出14a =，即可得出结果； （Ⅱ）先由（Ⅰ）得到()211424-=+x f x x ，由()214x f x -≤解得5322x -≤≤，再由题意，得到[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m ，进而可求出结果.【详解】（Ⅰ）在②中令1x =，有()111f ≤≤，故()11f =.当x ∈R 时，()f x 的最小值为0且二次函数关于直线1x =-对称， 故设此二次函数为()()()210f x a x a =+>.∵()11f =，∴14a =. ∴()()2114f x x =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()()222111144424x x f x x x -=+-=+，因此，由()214x f x -≤即11124x +≤，得5322x -≤≤； ∵()f x 在区间[]1,m m -上恒有()214x f x -≤，所以只需[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m ， ∴51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤，∴实数m 的取值范围为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式，以及由不等式恒成立求参数，熟记二次函数的性质，绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.21．对于在区间[],p q 上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对于任意的[],x p q ∈，都有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在区间[],p q 上是“接近”的两个函数，否则称它们在[],p q 上是“非接近”的两个函数．现有两个函数()()log 3a f x x a =-，()1log ag x x a=-（0a >，且1a ≠），给定一个区间[]2,3a a ++. （Ⅰ）若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++都有意义，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）讨论()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是否是“接近”的两个函数． 【答案】（Ⅰ）01a <<.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）先由题意，求使()f x 与()g x 有意义的x 的范围；根据()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义，得到23a a +>，从而可求出结果；（Ⅱ）先由题意，得到()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦，令()()1f x g x -≤，得到()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦，根据（Ⅰ）中范围，得到[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧，设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦，判断其在[]2,3a a ++上为减函数，求出最大值与最小值，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）要使()f x 与()g x 有意义，则有3010x a x a->⎧⎪⎨>⎪-⎩，又0a >且1a ≠，所以3x a >；要使()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义，则3x a >对[]2,3x a a ∈++恒成立，所以23a a +>，又因为0a >，故01a <<；（Ⅱ）由题意，()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦， 令()()1f x g x -≤，得()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦.(*)因为01a <<，所以[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧． 设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦，则()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦在[]2,3a a ++上为减函数．所以()()()min 3log 96a h x h a a =+=-，()()()max 2log 44a h x h a a =+=-.于是()()log 441log 96101a a a a a ⎧-≤⎪-≥-⎨⎪<<⎩，∴0a <≤所以当a ⎛∈ ⎝⎦时，()f x 与()g x 是接近的；当a ⎫∈⎪⎪⎝⎭时是非接近的．【点睛】本题主要考查由函数有意义求参数的范围，以及由绝对值不等式恒成立求参数范围，熟记具体函数定义域的求法，绝对值不等式的解法，会根据函数单调性求函数值域即可，属于常考题型.22．如图，某油田计划在铁路线CD 一侧建造两家炼油厂A 、B ，同时在铁路线上建一个车站Q ，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线QP ，再从P 分叉，分别向两个炼油厂铺设管线PA 、PB .图中各小写字母表示的距离（单位：千米）分别为5a =，8b =，15l =.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为k km ，总的输油管道长度为s km .（Ⅰ）若0k =，请确定车站Q 的位置，使得总的输油管道长度为s 最小，此时输油管线铺设费用是多少？（Ⅱ）请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案（精度为0.1千米）．19.85=19.21=18.60=，18.03=17.49=17.00=16.55=，16.16=15.81=15.52=15.30=.） 【答案】（Ⅰ） 5.77=CQ km ，输油管线铺设费用为142.92万元（Ⅱ）需要， 见详解. 【解析】（Ⅰ）当0k =时，Q 在CD 上，作A 关于CD 的对称点A '，连A B '，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ，根据图形可得，此时输油管道的总长度为'==s A B =+CQ al a b推出=+a CQ l a b ，代入数据，即可得出结果；（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点'A ，连'A B ，则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为这是在确定k 的前提下最短的．以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．得到=+=+s k k ，分别取不同的k 值，计算s ，比较大小，进而可确定大致区间，从而可确定结果.【详解】（Ⅰ）当0k =时，Q 在CD 上，作A 关于CD 的对称点A '，连A B '，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ， 由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为'=+==s QA QB A B这是最短的，此时=+CQ al a b，所以=+a CQ l a b .将数据代入，得19.85s km ==，57515 5.771313=⨯==CQ km ， 输油管线铺设费用是7.27.219.85142.92s =⨯=万元．（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点'A ，连'A B ， 则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．这是在确定k 的前提下最短的．以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为s k =+.三条管道交叉点的坐标为(),P x k ，()()a kx l a k b k -=-+-.0k =相当于不铺设公用管道的情形．将数据代入上式有s k =+515132kx k-=⨯-.对于不同的k ，分别计算管道的铺设长度得由数据可知，最短铺设长度值在()19.53,19.50内，这个区间长度小于0.1千米的精度，于是，不妨取2k =，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为19.497.2140.328⨯=⨯=万元要节省2.592万元．这万元，比较不铺设公用管道所花的费用19.857.2142.925,2处．时三条管道交叉点位于()【点睛】本题主要考查函数模型的综合应用，以及直线的应用，根据对称的方法求动点到两定点的距离的和即可，属于常考题型.。
湖南师大附中高一(上)期中数学试卷
)
A. (−3,0) ∪ (0,3] B. (−1,0) ∪ (0,3] C. [−3,3]
D. (−1,3]
5. 下列幂函数中，既是奇函数，又在区间(−∞,0)上为减函数的是( )
A.
푦
=
1
푥2
B.
푦
=
1
푥3
C. 푦 =
2 3
푥
D. 푦 =
1
−3
푥
{(푎−2)푥,푥 ≥ 2
6.
已知푓(푥) =
−(12)푥−1,푥
识的考查．
9.【答案】D
【解析】解：由푓(푥) = (12)푥，得푓(푥 + 1) = (12)푥 + 1 ， 可得푓(푥 + 1)的反函数为푦 = 푙표푔12푥−1，
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令푦 = 0可得푥 = 12，即图象过点(12,0)， 故选：D． 先求得푓(푥 + 1)的反函数，由图象的特殊点可得答案． 本题考查反函数的求解及其图象，属基础题．
∴ 函数푓(푥)
=
1 ln(푥 +
1)
+
9−푥2的定义域为(−1,0) ∪ (0,3]．
故选：B．
由分母中对数式的真数大于 0 且不等于 1，根式内部的代数式大于等于 0 联立不等式组
求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：푦
=
1
푥 为非奇非偶函数，不符合题意；
2
푦 = 푥1在(−∞,0)上为增函数，不符合题意；
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知集合퐴 = {푥|푦 = 푥1−1}，퐵 = {푦|푦 = 3푥−1}.
2017-2018学年湖南师大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=x+C．f（x）=D．f（x）=lg|x|3．（5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）A．B． C．D．4．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]5．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5分）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过（）年，剩余下的物质是原来的．A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．﹣1，1，3 B．，1 C．﹣1，3 D．1，38．（5分）已知a=ln，b=0.32，c=20.3，则a、b、c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a9．（5分）函数f（x）=2﹣x2+3x﹣2的单调递增区间是（）A．B．C．（1，]D．[，2）10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）偶函数y=f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（3a）﹣f（2a﹣10）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣10）B．（﹣∞，﹣10）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣10，2）12．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）三个变量y1、y2、y3随变量x变化的数据如表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y301 1.5852 2.322 2.585 2.8073…其中关于x呈指数型函数变化的变量是．14．（5分）已知2x=5y=10，则+=．15．（5分）已知f（x）=，若f（x）﹣a=0恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为．16．（5分）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有对．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求值：27﹣（）6+（）﹣1﹣log28+（﹣2017）0；（2）解关于x的不等式：a2x+1＞a x﹣1（a＞0且a≠1）．18．（10分）已知A={x|y=﹣}，B={y|y=log2x，≤x≤32}．（1）求A∩B；（2）若C={x|1﹣m≤x＜1+m，m＞0}，若C⊆A，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=log（x2﹣2ax+3）．（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间（，1）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（12分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+log2．（1）求f+f的值；（2）当x∈[﹣a，a]（其中a是给定的常数满足a∈（0，1））时，若m﹣e﹣x≤f（x）恒成立，求m的取值范围．22．（14分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．（1）试判断函数f（x）=是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）=2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数f（x）=lg为“可分拆函数”，试讨论关于x的方程（x﹣1）2﹣a=f（x）+lg[10（2x+1）]的根的个数．2017-2018学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=x+C．f（x）=D．f（x）=lg|x|【分析】在A中，f（x）=e x﹣1是非奇非偶函数，在（0，+∞）上单调递增；在B中，f（x）=x+是奇函数；在C中，是偶函数，在在（0，+∞）上单调递减；在D中，在（0，+∞）上单调递增．【解答】解：在A中，f（x）=e x﹣1是非奇非偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故A错误；在B中，f（x）=x+是奇函数，在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，是偶函数，在在（0，+∞）上单调递减，故C正确；在D中，f（x）=lg|x|是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的合理运用．3．（5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）A．B． C．D．【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，分析选项可得答案．【解答】解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A、B、D能满足此条件，C不满足．故选：C．【点评】本题考查二分法的定义，体现了数形结合的数学思想，是一道基础题．4．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]【分析】由即可求得函数的定义域．【解答】解：由题意得：，解得﹣1＜x≤3．故选：C．【点评】本题考查对数函数的定义域，关键是理解使函数成立的条件需要同时成立，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】由函数的解析式求得f（0）和f（1）的值，可得f（0）f（1）＜0，再根据函数零点的判定定理求得函数f（x）的零点所在区间【解答】解：∵函数f（x）=e x+x﹣2，∴f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，故有f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（0，1），故选：A．【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理的应用，属于基础题．6．（5分）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过（）年，剩余下的物质是原来的．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据每经过一年，剩余的物质为原来的，分别写出一年后，二年后，三年后，剩留物质的量，即可得出答案．【解答】解：经过一年，剩留物质为原来的，经过二年，剩留物质为原来的，经过三年，剩留物质为原来的=，则经过3年，剩余下的物质是原来的．故选：C．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识，考查数学建模能力，属于基础题．7．（5分）设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．﹣1，1，3 B．，1 C．﹣1，3 D．1，3【分析】根据幂函数的性质，我们分别讨论a为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知中的要求进行比照，即可得到答案．【解答】解：当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当a=1时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当a=3时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．【点评】本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数a的关系，是解答本题的关键．8．（5分）已知a=ln，b=0.32，c=20.3，则a、b、c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=ln＜0，b=0.32∈（0，1），c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）函数f（x）=2﹣x2+3x﹣2的单调递增区间是（）A．B．C．（1，]D．[，2）【分析】设t=﹣x2+3x﹣2，则y=2t，运用复合函数的单调性：同增异减，结合指数函数和二次函数的单调性，即可得到所求单调区间．【解答】解：设t=﹣x2+3x﹣2，则y=2t，由t在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，以及函数y=2t在R上递增，可得函数f（x）=2﹣x2+3x﹣2的单调递增区间是（﹣∞，），故选：A．【点评】本题考查复合函数的单调区间，注意同增异减的结论，考查指数函数和二次函数的单调性，属于中档题．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分析函数的单调性，及对称性，可得答案．【解答】解：∵y=e x为增函数，故函数f（x）=1﹣e x为减函数，故排除A，C，由函数f（x）=1﹣e x为非奇非偶函数，故函数图象不关于原点对称，故排除B，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的单调性和奇偶性，难度中档．11．（5分）偶函数y=f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（3a）﹣f（2a﹣10）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣10）B．（﹣∞，﹣10）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣10，2）【分析】根据已知中函数的奇偶性和单调性，可将f（3a）﹣f（2a﹣10）＜0转化为：（3a）2＞（2a﹣10）2，解得答案．【解答】解：∵偶函数y=f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，若f（3a）﹣f（2a﹣10）＜0，即f（3a）＜f（2a﹣10），则|3a|＞|2a﹣10|，即（3a）2＞（2a﹣10）2，即5a2+40a﹣100＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣10）∪（2，+∞）故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．12．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]【分析】由f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0，从而得到答案．【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则≥1；若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．若[x]=1，有＜a≤1；若[x]=2，有＜a≤1；若[x]=3，有＜a≤1；若[x]=4，有＜a≤1；若[x]=﹣1，有a＞1；若[x]=﹣2，有1≤a＜2；若[x]=﹣3，有1≤a＜；若[x]=﹣4，有1≤a＜综上所述，＜a≤或≤a＜，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了分类讨论思想，考查了新定义问题，是一道中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）三个变量y1、y2、y3随变量x变化的数据如表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y301 1.5852 2.322 2.585 2.8073…其中关于x呈指数型函数变化的变量是y1．【分析】观察题中表格，可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y1呈指数函数变化．【解答】解：从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1．故答案为：y1．【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，熟练掌握指数函数的图象和性质，是解答的关键．14．（5分）已知2x=5y=10，则+=1．【分析】首先分析题目已知2x=5y=10，求的值，故考虑到把x和y用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2x=5y=10，故x=log210，y=log510=1故答案为：1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．15．（5分）已知f（x）=，若f（x）﹣a=0恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．【分析】由题意可得y=f（x）的图象与y=a有4个不同的交点，作出y=f（x）的图象，通过图象观察，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=的图象如图，若f（x）﹣a=0恰有四个不同的实数根，可得y=f（x）的图象与y=a有4个不同的交点，由图象可得a的范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查方程的根的个数，注意运用数形结合思想方法以及转化思想，考查观察能力，属于中档题．16．（5分）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有1对．【分析】根据题意：“友好点对”，可知只须作出函数y=（）x（x＞0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=x+1（x≤0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=（）x（x＞0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=x+1（x≤0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：1．即函数f（x）=的“友好点对”有1个．故答案为：1【点评】本题考查函数的“友好点对”的个数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想、函数性质的合理运用三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求值：27﹣（）6+（）﹣1﹣log28+（﹣2017）0；（2）解关于x的不等式：a2x+1＞a x﹣1（a＞0且a≠1）．【分析】（1）化根式为分数指数幂，化0指数幂为1，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值；（2）对a分类，化指数不等式为一元一次不等式求解．【解答】解：（1）﹣（）6+（）﹣1﹣log28+（﹣2017）0==3﹣9+9﹣3+1=1；（2）由a2x+1＞a x﹣1，得当0＜a＜1时，有2x+1＜x﹣1，解得x＜﹣2；当a＞1时，有2x+1＞x﹣1，解得x＞﹣2．∴当0＜a＜1时，原不等式得解集为（﹣∞，﹣2）；当a＞1时，原不等式的解集为（﹣2，+∞）．【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查指数不等式的解法，是基础题．18．（10分）已知A={x|y=﹣}，B={y|y=log2x，≤x≤32}．（1）求A∩B；（2）若C={x|1﹣m≤x＜1+m，m＞0}，若C⊆A，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，进而根据交集的定义，可得A∩B；（2）若C={x|1﹣m≤x＜1+m，m＞0}，C⊆A，则，解得答案．【解答】解：（1）由得：﹣2≤x＜5，故A={x|y=﹣}=[﹣2，5），B={y|y=log2x，≤x≤32}=[﹣1，5]．故A∩B=[﹣1，5），（2）若C={x|1﹣m≤x＜1+m，m＞0}，若C⊆A，则，解得：m∈（0，3]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断及应用，交集运算，难度中档．19．（12分）已知函数f（x）=log（x2﹣2ax+3）．（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间（，1）上为增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）若函数f（x）=log（x2﹣2ax+3）的定义域为R，则x2﹣2ax+3＞0恒成立，进而得到答案；（2）若函数在区间（，1）上为增函数，则t=x2﹣2ax+3在区间（，1）上为减函数，且恒为正，进而得到答案；【解答】解：（1）若函数f（x）=log（x2﹣2ax+3）的定义域为R，则x2﹣2ax+3＞0恒成立，即△=4a2﹣12＜0，解得：a∈（﹣，）；（2）若函数在区间（，1）上为增函数，则t=x2﹣2ax+3在区间（，1）上为减函数，且恒为正，即，解得：a∈[1，2]【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．20．（12分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【分析】第一问能根据图象求出k、b的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战．【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+log2．（1）求f+f的值；（2）当x∈[﹣a，a]（其中a是给定的常数满足a∈（0，1））时，若m﹣e﹣x≤f（x）恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）利用函数的奇偶性可得f（x）为奇函数，由此求得f+f的值；（2）把m﹣e﹣x≤f（x）恒成立转化为m≤e﹣x+f（x）=e﹣x﹣x+log2，x∈[﹣a，a]恒成立，令g（x）=e﹣x﹣x+log2，x∈[﹣a，a]，利用定义证明函数g（x）为定义域内的减函数，求得最小值，则m的取值范围可求．【解答】解：（1）由，得（1﹣x）（1+x）＞0，∴﹣1＜x＜1，则函数f（x）=﹣x+log2的定义域为（﹣1，1），又f（﹣x）=x+=x﹣log2=﹣（﹣x+log2）=﹣f（x），∴函数f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，∵∈（﹣1，1），∴f+f=0；（2）由m﹣e﹣x≤f（x），x∈[﹣a，a]恒成立，得m≤e﹣x+f（x）=e﹣x﹣x+log2，x∈[﹣a，a]恒成立，令g（x）=e﹣x﹣x+log2，x∈[﹣a，a]，∵函数y=e﹣x在[﹣a，a]上为减函数，函数y=﹣x在[﹣a，a]上为减函数，令h（x）=，设x1，x2∈[﹣a，a]，且x1＞x2，则h（x1）﹣h（x2）===，∵﹣1＜﹣a≤x2＜x1≤a＜1，∴＜0，即h（x1）＜h（x2），即函数h（x）=在[﹣a，a]上为减函数，∴g（x）=e﹣x﹣x+log2，x∈[﹣a，a]为减函数，则，∴m≤，故m的取值范围是（﹣∞，≤]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利用定义证明函数的单调性，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．22．（14分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．（1）试判断函数f（x）=是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）=2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数f（x）=lg为“可分拆函数”，试讨论关于x的方程（x﹣1）2﹣a=f（x）+lg[10（2x+1）]的根的个数．【分析】（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得=+1，判断此函数是否有解即可得出．（2）令h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），则h（x）=2x+1+（x+1）2﹣2x﹣x2﹣2﹣1=2（2x﹣1+x﹣1），又h（0）=﹣1，h（1）=2，故h（0）•h（1）＜0，所以h （x）=0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，即可证明．（3）lg=lg+lg，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得=+1即x02+x0+1=0，而此方程的判别式△=1﹣4=﹣3＜0，方程无实数解，所以，f（x）不是“可分拆函数”．（2）证明：令h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），则h（x）=2x+1+（x+1）2﹣2x﹣x2﹣2﹣1=2（2x﹣1+x﹣1），又h（0）=﹣1，h（1）=2，故h（0）•h（1）＜0，所以h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）=0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，所以，f（x）=2x+x2是“可分拆函数”．…（7分）（3）因为函数f（x）=lg为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得lg=lg+lg，=×，且a＞0，所以，a==，令t=2，则t＞0，所以，a=，由t＞0得＜a＜3，即a的取值范围是（，3）．【点评】本题考查了抽象函数的单调性、不等式与方程的解法、新定义、函数零点判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷
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密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
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湖南师大附中2024-2025学年度高一第一学期期中考试数学试卷
晰起世国府感阳咐倒高师夫附中2024-2025号�承客，，第，，等翩翩中考试l
数学时量：120分钟
满分：150分得分：一、选择题（本题共8,J、题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）1.已知集合A ={xi Oζz《3},B ={xlx<l 或z二三3｝，则图中的阴影部分表示的集合为A.{xi 1运工《3}C. {xi 1《x<3}B .{xi l <x<3}D. {x l <x《3}像D 持I z .若集合M ={(x-y，工十y)I y =2功，则A. (3，一1）仨M B. (-1,3）ξM D. (2，一1）εM 固执 c.(-1,2）εM ；叫3设叫叫＇2a =2哺a 2=b 2明：布.g: A .充分不必要条件B.必要不充分条件c.充要条件D .既不充分也不必要条件悲苦辑：时4已知函数f(x ）的定义域是［-1,4］，则函数�的定义域是�／ .T 一－1草草惺咐耐比咱A . (1,5]C. [1,3] B. (1,4]D.(1,3]r x 2αx 5,x《1,J f C x1) f (xz) 5.
已知函数f(x）＝斗月且对任意X 1＃功，都有>O ，则α的取值范｜羊，x >l,X1 -x 2 l X 围是A. C 一＝，－2) B.（一＝，O)c.(-3，一2] D.[-3,-2]
6.已知f(x)=2x 2一l x l 十l,a = J ( log2_l ) ,b = J （主－) ,c = J(log32），则下列不等式成立的是
飞3I 飞2/A.c<b<a c.α＜b<c B.c ＜α＜b D .α＜c<b
高一数学试题（附中版）第1页（共6页）。
2018-2019学年湖南师大附中高一上学期期中数学试题带答案
2018-2019学年湖南师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,|M x x N x x a =>=>，且M N ⊆，则（ ） A ．1a ≤ B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >【答案】A【解析】根据M N ⊆，在数轴上作出,M N ，可得结果. 【详解】根据M N ⊆，在数轴上作出集合,M N ，如图：可得：1a ≤， 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题. 2．函数()213f x x =+的值域是（ ） A ．R B ．1|3y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭C ．1|3y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|03y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】根据不等式的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为221133033x x +≥⇒<≤+， 所以函数的值域为：1|03y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的性质求函数的值域，注意不等式两边取倒数时，不会改变两边的正负，所以2103x <+不能弄错，考查基本运算求解能力.3．函数()log 42a y x =-+(0a >且1a ≠)的图象必经过点（ ）A ．()0,1B ．()5,1C ．()5,2D ．()1,5【答案】C【解析】令对数的真数为1，求出,x y 的值，从而得到函数过的定点坐标. 【详解】令415x x -=⇒=，所以2y =， 所以函数过的定点坐标为(5,2). 故选C. 【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查对概念的理解，即只要对数的真数为1，不管底数如何变化，其对数值恒为1，考查基本运算求解能力.4．实数01lg 42lg52⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据指数，对数的运算计算即可. 【详解】解：()21lg 42lg51lg 451232⎛⎫-++=+⨯=+= ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】本题考查指数，对数的运算，是基础题.5．设22 log ,ln 3,a e b e c e -===（e 为自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ． c a b >>C ． b c a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】分析：根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较． 详解：21log 2e <<，ln32e >，2211e e-=<，∴b a c >>． 故选D ．点睛：比较大小时，能用一个函数的，可根据函数的单调性进行比较，不能归到一个函数的可借助于中间数比较，如0，1，2等等． 6．已知函数()ay xa R =∈的图象如图所示，则函数x y a -=与log a y x =在同一直角坐标系中的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由幂函数的图象得01a <<，则xy a -=为增函数，log ay x =为减函数，从而得到答案.【详解】由幂函数的图象得01a <<， 由1()xx y aa-==，得该函数单调递增， 由log a y x =，得该函数单调递减，故选：C. 【点睛】本题考查幂函数、指数函数、对数函数的图象，考查数形结合思想的运用，求解的关键是抓住函数的单调性.7．已知()()1,4{1,42xf x x f x x +<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()2log 3f ＝ （ ）A ．112 B ．124C ．14D ．12【答案】B【解析】试题分析：()2log 2422211log 3(log 6)(log 24)()224f f f =====L ,故选B ． 【考点】分段函数．8．已知()f x 是定义在(),0-∞上的减函数，且对任意()12,,0x x ∈-∞都有()()()1212f x f x f x x =+，则不等式()2122f x fx ⎡⎤⎛⎫->+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解集为（ ）A ．(),3-∞-B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()3,0-D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用函数单调性和运算关系，得到不等式组，解不等式即得答案。
2024-2025学年湖南省师范大学附属中学高一上学期期中数学试题及答案
湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟 满分：150分得分：__________.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.1. 已知集合{}03,{1A x xB x x =≤≤=<∣∣或3}x ≥，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. {}13xx ≤≤∣ B. {13}x x <<∣ C. {13}x x ≤<∣ D. {13}xx <≤∣2. 若集合(){},2M x y x y y x =-+=，则（ ）A. ()3,1M-∈ B. ()1,3M -∈C. ()1,2M-∈ D. ()2,1M-∈3. 设,a b ∈R ，则“22a b =”是“22a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数()f x 的定义域是[]1,4-）A. (]1,5 B. (]1,4 C. []1,3 D. (]1,35. 已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，且对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A (),2-∞- B. (),0-∞ C. (]3,2-- D. []3,2--6. 已知()()2231321,log ,,log 232f x x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=-+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等式成立的是（ ）A. c ba<< B. c a b<<.C. a b c <<D. a c b<<7. 已知函数()f x 对任意12,x x ∈R ，总有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦.若存在()1,x a a ∈-使得不等式()()23f a x f x a -≤+成立，则实数a 取值范围是（ ）A. []1,2- B. []0,1 C. ()(),01,-∞⋃+∞ D. (][),12,-∞-⋃+∞8. 已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，当*n ∈N 时，()*f n ∈N .若()3f f n n ⎡⎤=⎣⎦，其中*n ∈N ，则()4f =（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 已知甲､乙两城相距80km ，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有（ ）A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h ，晚到1hC. 骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者D. 骑摩托车者出发1.5h 后与骑自行车者速度一样10. 已知幂函数()()1af x m x =-图象经过点18,16⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论正确的有（ ）A. 2m =B. ()00f =C. ()f x 是偶函数D. 若()()321f x f x ->+，则2,43x ⎛⎫∈⎪⎝⎭11. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]1.22-=-，[]1.51=.已知()[]f x x x =+，则（ ）的在的A. 2233f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()f x 为奇函数C. 12x x ∀>，都有()()12f x f x >D. ()y f x =与512y x =-图象所有交点的横坐标之和为4三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12. ln523elog 3log 4lg200lg5-⋅++=______.13. 已知两个正实数,x y ，满足1x y +=，且不等式242x m m x y+≤-有解，则实数m 的取值范围是__________.14. 已知函数()f x 为[]1,1-上的奇函数，函数()243g x x x =-+，若()()g f x 在[]1,1-上的值域为[]1,15-，则()f x 在[]1,1-上的值域为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()21,f x x bx b b =-+-∈R .（1）求集合(){}0M xf x =≥∣；（2）设{},N xx M x =∈∈R Z ∣ð，若N 中恰好有2个元素，求实数b 的取值范围.16. 已知函数()224ax b f x x+=-是定义在区间()2,2-上的奇函数，且()213f =.（1）求,a b ；（2）判断()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式()()10f t f t -+<.17. 已知函数()()24,462x xa f x g x x x +==-+.（1）当1a =时，求()f x 在区间[)1,+∞上的最小值；（2）若[]11,4x ∀∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()21f x g x =，求实数a 的取值范围.18. 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-污物质量物体质量(含污物)）为0.8.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为()13a a ≤≤.设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是()0.811x x a x +>-+，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a++，其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.（1）分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当a 为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数()y f x =的定义域为D ，若对x D ∀∈，都有()()22f m x f x n -+=，则称函数()f x 为中心对称函数，其中(),m n 为函数()f x 的对称中心.比如，函数11y x=+就是中心对称函数，其对称中心为()0,1.且中心对称函数具有如下性质：若(),m n 为函数()f x 的对称中心，则函数()y f x m n =+-为奇函数.（1）已知定义在R 上函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称，且当1x >时，()()1f x x x =+，求()()0,1f f 的值.（2）已知函数()1113f x x x =+++为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；（3）求数组(),,a b c 的个数，其中20242024,,,a b c a b c -≤<<≤∈Z ，且()1111112g x x x x a x b x c=+++++++++为中心对称函数.的湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟 满分：150分得分：__________.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.1. 已知集合{}03,{1A x xB x x =≤≤=<∣∣或3}x ≥，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. {}13xx ≤≤∣ B. {13}x x <<∣ C. {13}x x ≤<∣ D. {13}xx <≤∣【答案】C 【解析】【分析】求出A B ⋂，再根据补集的含义即可得到答案.【详解】由题意得{|01A B x x ⋂=≤<或}3x =，由图知阴影部分表示的A B ⋂在A 中的补集，则阴影部分表示的集合为{13}xx ≤<∣.故选：C.2. 若集合(){},2M x y x y y x =-+=，则（ ）A. ()3,1M -∈B. ()1,3M -∈C. ()1,2M -∈D. ()2,1M-∈【答案】B 【解析】【分析】分别计算出每项中x 、y 的对应的值后，检验其是否符合2y x =即可得解.【详解】对A ：有31x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，由1x =时，2y =，故()3,1M -∉，故A 错误；对B ：有13x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，由1x =时，2y =，故()1,3M -∈，故B 正确；对C ：有12x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由12x =时，1y =，故()1,2M -∉，故C 错误；对D ：有21x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由12x =时，1y =，故()2,1M -∉，故D 错误.故选：B.3. 设,a b ∈R ，则“22a b =”是“22a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别得出22a b =及22a b =时的a 与b 的关系，结合充分条件与必要条件定义即可判断.【详解】由函数2xy =在R 上单调递增，故当22a b =时，有a b =，若22a b =，则a b =±，故“22a b =”是“22a b =”的充分不必要条件.故选：A .4. 已知函数()f x 的定义域是[]1,4-）A. (]1,5B. (]1,4 C. []1,3 D. (]1,3【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数定义域和被开方数大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得−1≤x +1≤4x−1>0，解得13x <≤，则其定义域为(]1,3.故选：D.5. 已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，且对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞- B. (),0-∞ C. (]3,2-- D. []3,2--【答案】D 【解析】【分析】由题意可得函数()f x 在R 上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组()121015a a a a -⎧-≥⎪⨯-⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎪⎩，解出即可得.【详解】由对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，故函数()f x 在R 上单调递增，故有()121015a a a a -⎧-≥⎪⨯-⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎪⎩，解得32a --≤≤.故选：D6. 已知()()2231321,log ,,log 232f x x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=-+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等式成立的是（ ）A. c b a << B. c a b <<C. a b c << D. a c b<<【答案】A 【解析】【分析】结合偶函数定义与二次函数单调性，可得()f x 为偶函数及其单调性，则可结合31log 214<<，()221log log 33a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，log 23>32从而得解.【详解】()f x 定义域为R ，有()()()222121f x x x x x f x -=---+=-+=，.故()f x 为偶函数，则()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，当0x ≥时，有()221721248f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，故()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，由log 23=12log 232=12log 29>12log 28=32，又31log log 214<<<，即log 23>32>log 32>14，故c b a <<.故选：A.7. 已知函数()f x 对任意12,x x ∈R ，总有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦.若存在()1,x a a ∈-使得不等式()()23f a x f x a -≤+成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,2-B. []0,1C. ()(),01,-∞⋃+∞D. (][),12,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】由题意可得函数()f x 在R 上单调递增，即可得存在()1,x a a ∈-，使得2023a a x +-≥成立，即有2023a a a +->恒成立，解出即可得.【详解】由函数()f x 对任意12,x x ∈R ，总有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，故()f x 在R 上单调递增，即存在()1,x a a ∈-，使得23a x x a -≤+，即2023a a x +-≥成立，即有()20231a a a a a -=-+>恒成立，解得()(),01,a ∈-∞+∞ .故选：C.8. 已知函数()f x 是定义在()0,∞+上增函数，当*n ∈N 时，()*f n ∈N .若()3f f n n ⎡⎤=⎣⎦，其中*n ∈N ，则()4f =（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8的【答案】C 【解析】【分析】根据题意，用列举法一一验证即可.【详解】由题意可知()11f ≥，所以()()131f f f ⎡⎤=≥⎣⎦，即()13f ≤，所以()113f ≤≤．若()11f =，得()()11f f f ⎡⎤=⎣⎦，所以()13f =，矛盾．若()13f =，得()()13f f f ⎡⎤=⎣⎦，所以()33f =，这与()f x 是(0,+∞)上的增函数矛盾．所以()12f =．所以()()12f f f ⎡⎤=⎣⎦，得()23f =；所以()()23f f f ⎡⎤=⎣⎦，得()36f =；所以()()36f f f ⎡⎤=⎣⎦，得()69f =．因为()()()()3456f f f f <<<，且()4f ，()*5N f ∈，从而()47f =，故选：C.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 已知甲､乙两城相距80km ，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有（ ）A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h ，晚到1hC. 骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者D. 骑摩托车者在出发1.5h 后与骑自行车者速度一样【答案】BC 【解析】【分析】根据路程与时间的函数图象，由v st =知摩托车是匀速运动；两函数交点说明行驶路程相等；图象与x 轴交点横坐标为出发时间，与 80y =的交点横坐标为到达时间，即可判断选项正误.【详解】对A ：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，故A 错误；对B ：由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点及其所对应的时间值，可得骑自行车者比骑摩托车者早出发3h ，晚到1h ，故B 正确；对C ：两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，结合图象知C 正确；对D ：骑摩托车者在出发1.5h 后追上自行车，而它们的车速不同，故D 错误.故选：BC.10. 已知幂函数()()1af x m x =-的图象经过点18,16⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论正确的有（ ）A. 2m =B. ()00f =C. ()f x 是偶函数D. 若()()321f x f x ->+，则2,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】由幂函数定义可得A ；结合图象经过点18,16⎛⎫⎪⎝⎭可得()f x 解析式及其定义域，即可得B ；结合偶函数的定义计算即可得C ；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D.【详解】对A ：由题意可得111816a m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得243m a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()43f x x -=，故A 正确；对B ：由()43f x x-=，其定义域为()(),00,∞∞-⋃+，故B 错误；对C ：由()()()4433f x x x f x ---=-==，故()f x 是偶函数，故C 正确；对D ：由()43f x x-=，故()f x 在(0,+∞)上单调递减，又()f x 是偶函数，故可得32132010x x x x ⎧-<+⎪-≠⎨⎪+≠⎩，对321x x -<+，即有()()22321x x -<+，整理得()()3240x x --<，解得243x <<，由320x -≠、10x +≠可得32x ≠、1x ≠-，故233,,4322x ⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC.11. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]1.22-=-，[]1.51=.已知()[]f x x x =+，则（ ）A. 2233f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()f x 为奇函数C. 12x x ∀>，都有()()12f x f x >D. ()y f x =与512y x =-图象所有交点的横坐标之和为4【答案】ACD 【解析】【分析】A 、B 由函数新定义及奇偶性定义判断；C 作差法比较大小；D 令[]512x x x +=-可得[]312x x =-，结合新定义求得02x <≤，讨论x 求5()12f x x =-的根，即可判断.【详解】A ：22222033333f ⎛⎫⎡⎤=+=+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对；B ：()[][]1()f x x x x x f x -=-+-=---≠-，错；C ：12x x >，则()()121212()([][])f x f x x x x x -=-+-，对于12x x ∀>，都有12120,[][]0x x x x ->-≥，故()()12f x f x >，对；D ：令[][]531122x x x x x +=-⇒=-，又[]1x x x -<≤，所以3112x x x -<-≤，可得02x <≤，当2x =时，满足5()12f x x =-，即2为图象交点的横坐标；当12x <<时，()1f x x =+，则541123x x x +=-⇒=，即43为图象交点的横坐标；当1x =时，()2f x =，则5212≠-，故1不为图象交点的横坐标；当01x <<时，()f x x =，则52123x x x =-⇒=，即23为图象交点的横坐标；综上，图象所有交点的横坐标之和为422433++=，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D 选项，注意令5()12f x x =-结合分类讨论求对应根为关键.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12. ln523elog 3log 4lg200lg5-⋅++=______.【答案】6【解析】【分析】根据对数的运算法则和性质计算即可.【详解】ln523elog 3log 4lg200lg5-⋅++2352log 3log 2lg2lg100lg5=-⋅+++52lg10lg100=-++52126=-++=.故答案为：6.13. 已知两个正实数,x y ，满足1x y +=，且不等式242xm m x y+≤-有解，则实数m 的取值范围是__________.【答案】][(),24,-∞-⋃+∞【解析】【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式242xm m x y+≤-有解等价于228m m -≥有解，解出即可得.【详解】由,x y 均为正实数，且1x y +=，故()444=448x y x x y x x y x y x y +++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即223x y ==时，等号成立，则不等式242x m m x y+≤-有解等价于228m m -≥有解，即有()()228420m m m m --=-+≥，解得2m ≤-或4m ≥.故答案为：][(),24,-∞-⋃+∞.14. 已知函数()f x 为[]1,1-上的奇函数，函数()243g x x x =-+，若()()g f x 在[]1,1-上的值域为[]1,15-，则()f x 在[]1,1-上的值域为__________.【答案】[]22-,【解析】【分析】由奇函数的对称性可设()f x 的值域为[−m,m ](m >0)，结合题意及二次函数的性质可得[][],2,6m m -∈-且2m -=-或6m =，解出即可得.【详解】()()224321g x x x x =-+=--，若()[]1,15g x ∈-，则[]2,6x ∈-，由函数()f x 为[]1,1-上的奇函数，则可设()f x 的值域为[−m,m ](m >0)，则有[][],2,6m m -∈-且2m -=-或6m =，解得2m =，经检验，2m =满足题意，故()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,.四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()21,f x x bx b b =-+-∈R .（1）求集合(){}0M xf x =≥∣；（2）设{},N xx M x =∈∈R Z ∣ð，若N 中恰好有2个元素，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析； （2）10b -≤<或45b <≤.【解析】【分析】（1）分2b =、2b >、2b <解出不等式()()110x x b ⎡⎤---≥⎣⎦即可得解；（2）结合（1）中所得分类讨论，结合N 中恰有2个整数元素即可得解.【小问1详解】()()()2111f x x bx b x x b ⎡⎤=-+-=---⎣⎦，令()()110x x b ⎡⎤---≥⎣⎦，解()()11101x x b x ⎡⎤---=⇒=⎣⎦或21x b =-.当2b =时，有()210x -≥恒成立，故M =R ；当2b >时，有11b <-，故{1M x x =≤或}1x b ≥-；当2b <时，有11b -<，故{1M x x b =≤-或}1≥x .综上所述，当2b =时，M =R ；当2b >时，{1M x x =≤或}1x b ≥-；当2b <时，{1M x x b =≤-或}1≥x .【小问2详解】当2b =时，M =R ，则N =∅，不符合要求；当2b >时，{1M x x =≤或}1x b ≥-，则{}11,N x x b x =<<-∈Z ，由N 中恰好有2个元素，故{}2,3N =，则314b <-≤，解得45b <≤；当2b <时，{1M x x b =≤-或}1≥x ，则{}11,N x b x x =-<<∈Z ，由N 中恰好有2个元素，故{}0,1N =-，则211b -≤-<-，解得10b -≤<；综上所述，10b -≤<或45b <≤.16. 已知函数()224ax b f x x +=-是定义在区间()2,2-上的奇函数，且()213f =.（1）求,a b ；（2）判断()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式()()10f t f t -+<.【答案】（1）1a =，0b =（2）()f x 在区间()2,2-上单调递增，证明见解析 （3）112t -<<【解析】【分析】（1）结合奇函数性质与()213f =计算即可得解；（2）结合函数单调性定义，令1222x x -<<<，得到()()12f x f x -的正负即可得；（3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解.【小问1详解】由函数()224ax bf x x +=-是定义在区间()2,2-上的奇函数，可得()004bf ==，即0b =，由()213f =，则()221413a f ==-，解得1a =，故()224xf x x =-，检验：当()2,2x ∈-时，有()()224xf x f x x--==--，函数()224xf x x =-是定义在区间()2,2-上的奇函数，符合要求，故1a =，0b =；【小问2详解】()f x 在区间()2,2-上单调递增，证明如下：由（1）得()224xf x x =-，令1222x x -<<<，则()()()()()()2212211212222212122424224444x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()()()()()()2211221212121222221212244244444x x x x x x x x x x x x x xx x --+⎡⎤-+-⎣⎦==----()()()()121222122444x x x x x x +-=--，由1222x x -<<<，故1240x x +>、120x x -<、2140x ->、224x -，故()()1212221222044x x f x f x x x -=-<--，即当1222x x -<<<时，()()120f x f x -<，故()f x 在区间()2,2-上单调递增；【小问3详解】由()()10f t f t -+<，即()()()1f t f t f t -<-=-，由()f x 在区间()2,2-上单调递增，故有122212t t t t -<-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩，解得112t -<<.17. 已知函数()()24,462x xa f x g x x x +==-+.（1）当1a =时，求()f x 在区间[)1,+∞上的最小值；（2）若[]11,4x ∀∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()21f x g x =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）52（2）[160,0]a ∈-【解析】【分析】（1）令2x t =，求出()h t 的单调性，求出()f x 在区间[)1,+∞上的最小值；（2）由题意得()g x 在[1,4]的值域包含于()f x 在[1,4]的值域，分0a =、0a <和0a >三种情况并结合单调性求解.【小问1详解】41()2x x f x +=，令2x t =，[2,)t ∈+∞，所以1()h t t t=+，()h t 在[2,)+∞单调递增，所以min 5()(2)2h t h ==，所以()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为52；【小问2详解】由题意得()g x 在[1,4]的值域包含于()f x 在[1,4]的值域，由二次函数的性质得()g x 的值域为[2,6]，当0a =时，,()2[216]x f x =∈符合题意，当0a <时，()22xxaf x =+，可知函数单调递增，所以[2,162(16)f x a a∈++，所以22216616a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，所以[160,0)a ∈-，当0a >时，()f x 为对勾函数，()22xx af x =+≥，所以2≤，01a <≤，此时[2,162(16)f x a a∈++，所以22216616a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又01a <≤，可知无解；综上，[160,0]a ∈-.18. 对1个单位质量含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-污物质量物体质量(含污物)）为0.8.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为()13a a ≤≤.设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是()0.811x x a x +>-+，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a++，其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.（1）分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当a 为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？【答案】（1）两种方案的用水量分别为19和43a +，方案乙的用水量较少 （2）第一次与第二次用水量分别为1-和a 时，用水量最小【解析】【分析】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为,x z ，由0.80.991x x +=+求出x ，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次的用水量y 满足方程，从而可求出y ，从而比较可得结论；（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，求出x 和y 的关系式，当a 为定值时结合基本不等式求出x y +的最小值即可得.【小问1详解】设方案甲与方案乙的用水量分别为,x z ，的则由题意得0.80.991x x +=+，解得19x =，由0.95c =，可令0.80.951m m +=+，解得3m =，即方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足0.950.99y ay a+=+，解得4y a =，所以43z a =+，即两种方案的用水量分别为19和43a +，因为13a ≤≤时，19434(4)0x z a a -=-+=->，所以>x z ，所以方案乙用水量较少；【小问2详解】设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（1）得54,(99100)5(1)c x y a c c -==--，所以54(99100)5(1)c x y a c c -+=+--1100(1)15(1)a c a c =+----，当a为定值时，11x y a a +≥--=-+，当且仅当1100(1)5(1)a c c =--时取等号，此时1c =+1(0.8,0.99)c =，将1c =-代入54,(99100)5(1)c x y a c c -==--，得11,x a y a =->-=-，所以1c =-的此时第一次与第二次用水量分别为1和a ，最少用水量为()11T a a a =-+=-+-.19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数()y f x =的定义域为D ，若对x D ∀∈，都有()()22f m x f x n -+=，则称函数()f x 为中心对称函数，其中(),m n 为函数()f x 的对称中心.比如，函数11y x=+就是中心对称函数，其对称中心为()0,1.且中心对称函数具有如下性质：若(),m n 为函数()f x 的对称中心，则函数()y f x m n =+-为奇函数.（1）已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称，且当1x >时，()()1f x x x =+，求()()0,1f f 的值.（2）已知函数()1113f x x x =+++为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；（3）求数组(),,a b c 的个数，其中20242024,,,a b c a b c -≤<<≤∈Z ，且()1111112g x x x x a x b x c=+++++++++为中心对称函数.【答案】（1）()02f =-，()12f = （2）对称中心为()2,0-，证明见解析 （3）2024【解析】【分析】（1）由题意可得()()24f x f x -+=，借助赋值法，分别令1x =、0x =，结合所给函数计算即可得；（2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明()()40f x f x --+=即可得；（3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为(),m n ，则得到其定义域关于(),0m 中心对称，从而得到{}{},,,21,22a b c m m m =-----，再结合,,a b c 范围，分a m =-、b m =-、c m =-分类讨论后解出相应不等式组即可得.【小问1详解】由函数()f x 图象关于点()1,2中心对称，故有()()24f x f x -+=，令1x =，则有()214f =，故()12f =，的令0x =，则有()()204f f +=，又当1x >时，()()1f x x x =+，故()()22216f =+=，故()()042462f f =-=-=-，即()02f =-，()12f =；【小问2详解】对称中心为()2,0-，证明如下：由()1113f x x x =+++，则有1030x x +≠⎧⎨+≠⎩，解得1x ≠-且3x ≠-，()()11114414313f x f x x x x x --+=+++--+--+++111103113x x x x =--++=++++，故函数()1113f x x x =+++的对称中心为()2,0-；【小问3详解】设()g x 的对称中心为(),m n ，则该函数定义域关于(),0m 中心对称，由()1111112g x x x x a x b x c=+++++++++，则有1x ≠-、2x ≠-，则有21x m ≠+，22x m ≠+，又x a ¹-、x b ≠-、x c ≠-，a b c <<，则必有{}{},,,21,22a b c m m m =-----，若a m =-，则22b m =--，21c m =--，则有202422212024m m m -≤-<--<--≤，解得202522m -≤<-，又a ∈Z ，故10121m -≤≤-，此时数组(),,a b c 有1012个；若b m =-，则22a m =--，21c m =--，则有202422212024m m m -≤--<-<--≤，此时m 不存在整数解，故不符合要求；若c m =-，则22a m =--，21b m =--，则有202422212024m m m -≤--<--<-≤，解得11011m -<≤，即01011m ≤≤，此时数组(),,a b c 有1012个；综上所述，数组(),,a b c 的个数为2024.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而得到{}{},,,21,22a b c m m m =-----.。
2016-2017学年湖南师大附中高一(上)期中数学试卷
2016-2017学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．（5分）三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a3．（5分）下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x，C．f（x）=x2，D．f（x）=|x|，g（x）=4．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数B．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数C．f（x）和g（x）都是偶函数D．f（x）和g（x）都是奇函数5．（5分）已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 26．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）A．B．C．﹣4 D．47．（5分）函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）8．（5分）函数f（x）=a（0＜a＜1）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣，+∞）9．（5分）函数f（x）=ln（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）的解集是（）A．（，100）B．（100，+∞）C．（，+∞）D．（0，）∪（100，+∞）11．（5分）已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=（a＞0）．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（）A．B．5 C．D．2二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若100a=5，10b=2，则2a+b=．13．（5分）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）（1）计算：27﹣2×log2+log23×log34；（2）已知0＜x＜1，且x+x﹣1=3，求x﹣x的值．16．（10分）已知A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x﹣b=0}，且A∩B={2}．（1）求a，b的值；（2）设全集U=AUB，求（∁U A）U（∁U B）．17．（12分）已知函数f（x）=b•a x（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）设g（x）=﹣，确定函数g（x）的奇偶性；（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围．一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．（6分）设所有被4除余数为k（k=0，1，2，3）的整数组成的集合为A k，即A k={x|x=4n+k，n∈Z}，则下列结论中错误的是（）A．2016∈A0B．﹣1∈A3C．a∈A k，b∈A k，则a﹣b∈A0D．a+b∈A3，则a∈A1，b∈A219．（6分）若函数f（x）=lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣1）在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．三、本大题共3个大题，共38分．（本小题满分38分）20．（12分）已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．（1）若函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）=2﹣a|a+3|的值域．21．（13分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a=，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．（13分）已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣3．（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2}，∴A∪B={1，2}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={3，4}，故选：B2．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵0＜a=0.67＜1，b=70.6＞1，c=log0.76＜0，∴c＜a＜b，故选：C．3．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x，C．f（x）=x2，D．f（x）=|x|，g（x）=【解答】解：A、可知g（x）=，f（x）=x，两个函数对应关系不一样，故不是同一函数，故A错误；B、f（x）=x，x∈R，g（x）=（）2=x，x＞0，定义域不一样，故B错误；C、f（x）=x2，x∈R，g（x）=，x≠0，f（x）与g（x）定义域不一样，故C 错误；D、f（x）=|x|=，与g（x）定义域，解析式一样，故f（x）与g（x）表示同一函数，故D正确；故选D；4．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数B．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数C．f（x）和g（x）都是偶函数D．f（x）和g（x）都是奇函数【解答】解：函数f（x）=x+，定义域为{x|x≠0}关于原点对称．由f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数；g（x）=2x+，定义域为R，由g（﹣x）=2﹣x+2x=g（x），则g（x）为偶函数．故选：A．5．（5分）（2016秋•秦州区校级期末）已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 2【解答】解：函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=f（lne）=f（1）=2．故选：C．6．（5分）（2016秋•桃城区校级期中）已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）A．B．C．﹣4 D．4【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴，解得α=﹣2．∴f（x）=x﹣2．则f（）==4．故选：D．7．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）=（）x+3x，可得f（﹣2）=＜0，f（﹣1）=＜0，f（0）=1＞0，f（1）＞0，故选：C．8．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）函数f（x）=a（0＜a＜1）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣，+∞）【解答】解：设t=g（x）=﹣x2+3x+2，则y=a t，0＜a＜1为减函数，若求f（x）=a（0＜a＜1）的单调递增区间，则等价为求t=g（x）=﹣x2+3x+2的单调递减区间，∵t=g（x）=﹣x2+3x+2的单调递减区间为（，+∞），∴函数f（x）=a（0＜a＜1）的单调递增区间是（，+∞），故选：B9．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）函数f（x）=ln（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=ln（|x|﹣1）是偶函数，所以选项C，D不正确；当x＞1时，函数f（x）=ln（x﹣1）是增函数，所以A不正确；B正确；故选：B．10．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）的解集是（）A．（，100）B．（100，+∞）C．（，+∞）D．（0，）∪（100，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是单调递减，∴在区间（0，+∞）上为增函数，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）等价为f（|lgx|）＞f（2）即|lgx|＞2，∴lgx＜﹣2或lgx＞2，∴0＜x＜或x＞100，故选D．11．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=（a＞0）．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（）A．B．5 C．D．2【解答】解：设投资甲商品20﹣x万元，则投资乙商品x万元（0≤x≤20）．利润分别为P=，Q=（a＞0）∵P+Q≥5，0≤x≤20时恒成立则化简得a≥，0≤x≤20时恒成立（1）x=0时，a为一切实数；（2）0＜x≤20时，分离参数a≥，0＜x≤20时恒成立∴a要比右侧的最大值都要大于或等于∵右侧的最大值为∴a≥故选A．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）若100a=5，10b=2，则2a+b=1．【解答】解：∵100a=5，10b=2，∴=，b=lg2，∴2a+b=lg2+lg5=1．故答案为1．13．（5分）（2016秋•宿迁期末）函数f（x）=的定义域是（﹣∞，0）．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1，解得x＜0．则定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．14．（5分）（2016秋•岳麓区校级期中）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：由f（x）=|2x﹣2|﹣m=0，得|2x﹣2|=m，画出函数y=|2x﹣2|与y=m的图象如图，由图可知，要使函数f（x）=|2x﹣2|﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）（2016秋•岳麓区校级期中）（1）计算：27﹣2×log2+log23×log34；（2）已知0＜x＜1，且x+x﹣1=3，求x﹣x的值．【解答】解：（1）原式=﹣×+=9﹣×（﹣3）+2=11+3．（2）∵x+x﹣1=3，∴=x+x﹣1﹣2=3﹣2=1，∵0＜x＜1，∴x＜x﹣1，∴x﹣x=﹣1．16．（10分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x﹣b=0}，且A∩B={2}．（1）求a，b的值；（2）设全集U=AUB，求（∁U A）U（∁U B）．【解答】解：（1）把x=2代入A中方程得：8+2a+2=0，解得：a=﹣5，把x=2代入B中方程得：4+6﹣b=0，解得：b=10；（2）由（1）得：A={，2}，B={﹣5，2}，∴全集U=A∪B={﹣5，，2}，∴∁U A={﹣5}，∁U B={}，则（∁U A）U（∁U B）={﹣5，}．17．（12分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知函数f（x）=b•a x（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）设g（x）=﹣，确定函数g（x）的奇偶性；（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：，⇒a=2，b=3．∴f（x）=3•2x；故g（x）=；g（x）定义域为R；∵g（﹣x）=；==；=﹣g（x）；所以，g（x）为奇函数．（2）设h（x）==，则y=h（x）在R上为减函数；∴当x≤1时，h（x）min=h（1）=；∵h（x）=≥2m+1在x≤1上恒成立：∴h（x）min≥2m+1⇒m≤；故m的取值范围为：（﹣∞，]．一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．（6分）（2016秋•岳麓区校级期中）设所有被4除余数为k（k=0，1，2，3）的整数组成的集合为A k，即A k={x|x=4n+k，n∈Z}，则下列结论中错误的是（）A．2016∈A0B．﹣1∈A3C．a∈A k，b∈A k，则a﹣b∈A0D．a+b∈A3，则a∈A1，b∈A2【解答】解：有题意得：对于A，2016÷4=504…0，故A对；对于B，﹣1=4×（﹣1）+3，故B对；对于C，∵a=4n+k，b=4n′+k，故a﹣b=4（n﹣n′）+0，故C正确，故选D．19．（6分）（2016秋•岳麓区校级期中）若函数f（x）=lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣1）在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是＜a＜!．【解答】解：有题意可得：f（x）=lg，∵y=lgx在定义域上是单调增函数，且函数f（x）=lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣1）在区间[2，+∞）上是增函数，∴y=在[2，+∞）上是增函数，∴a﹣1＜0，∴a＜1，当0＜a＜1时，函数的定义域为（），∴，∴a＞，当a≤0时，定义域为∅，∴＜a＜!，故答案为：＜a＜!三、本大题共3个大题，共38分．（本小题满分38分）20．（12分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．（1）若函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）=2﹣a|a+3|的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；∵f（x）=x2+4ax+2a+6=（x+2a）2+2a+6﹣4a2≥4；∴2a+6﹣4a2=4⇒a=1 或a=；（2）∵函数f（x）≥0恒成立，∴△=16a2﹣4（2a+6）≤0，计算得出：﹣1；∴g（a）=2﹣a|a+3|=2﹣a（a+3）=﹣（a+）2+；∵g（a）在区间[﹣1，]单调递减；∴g（a）min=g（）=﹣，g（a）max=g（﹣1）=4．∴函数g（a）的值域为[﹣，4]．21．（13分）（2016秋•黄州区校级期末）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a=，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【解答】解：（1）a=时，f（x）=|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|=0，解得x=4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1=，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）=3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）=3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）=a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．联立，解得0＜a≤．可得a∈．因此调节参数a应控制在范围．22．（13分）（2016秋•岳麓区校级期中）已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣3．（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）=）=﹣x+3．∵x∈（0，+∞）则=＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（2）由题意：x∈[0，4]上函数f（x）=的值域M=[3，5]，设函数g（x）=ax﹣3的值域N．∵x0∈[﹣2，2]，g（x）=ax﹣3．当a=0时，g（x）=﹣3，即值域N={﹣3}，∵M⊆N，∴不满足题意．当a＞0时，函数g（x）在定义域内为增函数，其值域N=[﹣2a﹣3，2a﹣3]，∵M⊆N，∴需满足，解得：a≥4．当a＜0时，函数g（x）在定义域内为减函数，其值域N=[2a﹣3，﹣2a﹣3]，∵M⊆N，∴需满足解得：a≤﹣4．综上所得：对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；沂蒙松；小张老师；双曲线；qiss；maths；lcb001；sxs123；sllwyn；wzhlq；静静；左杰（排名不分先后）huwen2017年4月20日。