代数发展史
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自然数(其实是正整数) 非负数(加入了数字”0”)
整数(加入了负整数) 有理数(加入了分数) 实数(加入了无理数)
复数(加入了虚数)
提问：
• 你知道第一次数学危机是因为哪个数的 产生而引发的吗？可以说说关于它的故 事吗？
3.1 数学符号
• 数学符号的发展跨越了1千多年的历史，从第一阶段的” 文字叙述代数”(公元三世纪以前)到第二阶段的”简化代 数”(约为公元三世纪到16世纪)最后再到第三阶段的”符 号代数”。
两只老鼠相遇的 2 3.75 3 0.5 2 2
天数(单位:天)：
3.75 0.5
17
相会时，大、小老鼠分 1 2 4 2 3 8
别穿墙(单位:尺)：
17 17
1 1 1 2 1 9 2 4 17 17
1.2 数的进制
• 在人类的记数史上，许多民族先后创造了许多 记数符号和记数方法，同时也建立了相应的进 位制度，如十进制，五进制，二进制等等。而 其中最为重要的当然是十进制记数法。
1.1.3 “盈不足术”
•对于两鼠穿墙问题，《九章算术》给出的解法便是享誉 古今的“盈不足术”。(回忆一下，这是我们小学时学过 •的)具体解法如下：
• 解：假设两只老鼠打洞2天，则仍差5寸(1寸为0.1 尺)，不能把墙打穿，假设打洞3天，就会多 出3尺7寸半，这样一来，便化繁为简，成为 了典型的“盈不足”问题：
• 三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡 丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。
• 卡丹公式(三次方程)： x3 px q( p, q R; p, q 0)
• 方程的解为：
x a b,
a 3 q (q)2 ( p)3 ,b 3 q (q)2 ( p)3
4.1.1 多元一次方程组的解法
• 对于多元一次方程组的问题，睿智的古 代数学家们早已给出了解决的办法， 《九章算术》中就有专门的一章”方程” 来求解此类问题。运算采用的是被称为” 遍乘直除”的方法，而这种方法实际上 便是现在我们常用解决多元一次方程组 的加减消元法。
4.1.2 一元二次方程的解法
4.2.1 阿贝尔
• 厄米特评价阿贝尔： “他工作中丰富的数 学思想可以让数学家 们忙碌500年。”
• 他的论文《高于四次 的一般方程的代数求 解不可能性的证明》 是代数学发展史上里 程碑式的重大突破。
4.2.2 伽罗瓦
• 罗素说，他的死使数学的发 展推迟了几十年。
• 伽罗瓦最主要的成就是提出 了群的概念，并用群论彻底 解决了根式求解代数方程的 问题，而且由此发展了一整 套关于群和域的理论，为了 纪念他，人们称之为伽罗瓦 理论。
• 十进制产生的原因与人有十个指头有关，因为 当人类尚处于屈指数“数”的阶段时，人们利 用手指的屈或伸，记不大于十的数目是不会有 什么困难的，而对于大于十的数目，就感到屈 指难数了。于是，“十”就成了记数的一个关 键点，它迫使人们去创造一种可以记十以上数 的办法。
1.2.1 十进制的发明
• 在伊朗考古学家发现距今五千年前人们使用小泥锥体 来表示1，而用大一些的泥球来表示10，这应该是世 界上最早的十进制的发源地。
22 3
22 3
• 含二次项的三次方程可以化为不含二次项的三次方程，只需令 其中的x=y+a,其中a待定。
• 而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。
4.1.4 韦达定理和代数基本定理
• 韦达定理是在我们的学习中极其重要的定理，但是完整的韦达定 理我们却并不熟悉：
• 韦பைடு நூலகம்定理：对n次方程，
• 代数作为世界上最长寿的科学，在历史长河中 总是熠熠放光，她带给我们的财富和启迪是取 之不尽的，而她的历史也将继续灿烂下去！
a0 xn a1xn1 an1x an 0(a0 0)
• 它的n个根 x1,K , xn 满足公式：
n
i 1
xi
a1 , a0 i j
xi x j
a2 , a0
xi x j xk
i jk
a3 a0
,
,
x1 x2
xn
(1)n
1.1.1 中国古代数学的伟大成就—
《九章算术》
• 《九章算术》我国古代最著名的传世数学之作，又是 中国古代最重要的数学典籍，而这部著作大约成型于 汉代(约为公元1世纪)后经刘徽，李淳风，祖冲之，杨 辉(主要是前两人)等人作注，为世界数学的发展添上 了浓墨重彩的一笔。而这部著作的巨大贡献体现在著 作本身蕴涵的数学意义和后人对该书所作的注释中所 蕴涵的数学思想，这极大的影响了后世的数学家。
代数发展史
福州屏东中学实习教师 周韧
总述
• 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100多个分支的“共和国”，这个“共和国” 中的“三大联邦”就是代数学，几何学以及分 析学，而我们今天所要学习的就是代数这个最 古老的分支的历史，从古老的算术，到丢番图， 笛卡尔发明的初等代数，到现如今的高等代数， 抽象代数，数论，代数学是巴比伦人，希腊人， 阿拉伯人，中国人，印度人，西欧人一棒接着 一棒而完成的伟大成就。
3.2 代数运算
• 引入数学符号之后，人们开始对于方程，方程组的叙 述做到了简约而不简单，而这个极大的简化也正式将 代数运算推上了历史的舞台。
• 而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是 大大的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和 科学研究中占据重要地位的数学问题的研究，最终导 致了新的数学学科的发现。
提问：
• 你知道证明代数基本定理的第一人是谁 吗？
• 你还知道哪些高等代数或是抽象代数中 的数学概念呢？
• 伽罗瓦利用代数方法证明了三大几何作 图问题的不可作给我们什么启发呢？
小结
• 从古老的算术的纯数字运算发展到如今代数已 经成为一门关于形式运算的一般学说了，现在 我们认为代数是研究一般代数系统的一门科学。
2.1 数的表示
• 历史上数的表示由繁至简经历了非常漫长的过 程。
• 中国甲骨文数字，罗马数字，玛雅数字是不同 地域的数的表示法。
• 阿拉伯数字则是阿拉伯数学家花拉子米在印度 游学后向西方推广的，最终在补充了”0”之后 成为了使用最广的数字表示法。
2.2 数的扩充
• 历史上的数经历了这样的一个扩充过程：
• 而我国也是较早使用十进制记数的国家，早在三四千 年前，我国的祖先已经发明了在龟甲和兽骨上刻写的 数码字，并且采用十进制记数了，甲骨文数码共有九 个：
另有四个表示十、百、千、万的位值符号：
提问：
• 你还可以说出哪些中国古代的数学名著 呢？
• 你还知道哪些中国古代数学的著名方法 呢？
• 除了十进制现在还有哪种进制方式也在 深刻地影响着我们的生活呢？
an a0
• 而另一个在代数史上占有重要地位的便是代数基本定理：复系数n 次代数方程在复数范围内有n个根。而这两个定理也为代数方程的 理论研究带来了极大的便利。而这之后数学史上最具浪漫色彩的两 位数学家的诞生也揭开了抽象代数神秘的面纱。
4.2 抽象代数的萌芽
• 抽象代数也是人们研究代数方程的产物。
• 而公元3世纪，中国数学家赵爽则对于一元 二次方程 x2 kx c
给出了一个根的公式 x 1 (k k2 4c)
2
• 而我们现在熟知的一元二次方程的求根公 式是由花拉子米在600年后建立的:
ax2 bx c 0, x b b2 4ac 2a
4.1.3 一元三次，四次方程的解法
• 今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺， 小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半， 问几何日相逢？各穿几尺？
• 用今天的办法，设大鼠和小鼠在x日后相逢：
• 我们得出这样的一个用数列求和的等式：
1 2 4 2x
1
1 1 24
1 2x
5
1.1.3 求解过程
• 由数列求和公式得：
1 2x 1 2
1 (1)x
2
1 (1)
2
5
• 做变换：令 2x t
• 得方程：t2 4t 2 0
• 解之，得：t 2 6
• 这里不仅涉及到数列求和的问题，还有超越方程的问 题！求解这样的一个方程可能对于现在的我们都有一 定的困难，但是《九章算术》却巧妙的解出了此题。
• 18世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根 的方法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表 论文《关于代数方程解的思考》，他认为次数不低于 五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图 证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这 件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到 证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论 都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代。
整体脉络
• 1.算术与数的进制 • 2.数的表示与数的扩充 • 3.数学符号与代数运算 • 4.方程求解与抽象代数
1.1 算术
• 高斯说：“算术给予我们一个用之不竭、 充满乐趣的宝库。”
• 中国古代的政治制度，很大程度决定了 中国数学中“算”占据了最主要的地位， 所以毋庸置疑的是，中国古代数学对于 算术的重视程度和取得的成就都是世界 上数一数二的，而传承下来的著作，解 决掉的难题和让人拍案叫绝的计算方法 仍是当今数学界的瑰宝。
• 可以说，数学符号和代数运算不仅仅是一个简单的用 符号代替繁琐的文字的过程，而更是与各种数学思想 方法一样，都是人类智慧的伟大结晶。
4.1 方程求解
• 作为中学数学课程中的主要内容的初等 代数，中心内容之一便是方程理论，而 作为方程理论中最为基本和重要的方程 求解问题的一般性结论也是从古至今数 学家们一直在追寻的。
• 在这其中，丢番图，以及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了 巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用 x,y,z代表未知量，用a,b,c代表已知量。
• 而其他的另外一些学者，则引入了：
" ","","",""," "," "," "
• 这些我们已经非常熟悉的运算符号，至此，代数 也走进了她的下一个时代。
• 作为这个理论的推论，可以 得出五次以上一般代数方程 根式不可解，以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任 意角和作倍立方体不可能等 结论。(即三大几何作图问题)
4.2.3 抽象代数简述
• 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 • 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学
科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向 量、矩阵、变换等，这些物集分别是依它们各有的演 算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把 共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就 诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群、环、伽罗瓦 理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产 生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的 数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用 语言。
• 《九章算术》实际上是246道应用题及其解法的汇编， 而在这246道应用题中蕴涵了许多在世界上遥遥领先 的数学成果，如勾股定理，方程思想，数列求和，正 负数，而汉朝数学家们运用极为精妙的算术方法一一 为看似不可能在那个时代解决的问题给出了正确的解 答。
1.1.2 《九章算术》第196题： 两鼠穿墙问题
整数(加入了负整数) 有理数(加入了分数) 实数(加入了无理数)
复数(加入了虚数)
提问：
• 你知道第一次数学危机是因为哪个数的 产生而引发的吗？可以说说关于它的故 事吗？
3.1 数学符号
• 数学符号的发展跨越了1千多年的历史，从第一阶段的” 文字叙述代数”(公元三世纪以前)到第二阶段的”简化代 数”(约为公元三世纪到16世纪)最后再到第三阶段的”符 号代数”。
两只老鼠相遇的 2 3.75 3 0.5 2 2
天数(单位:天)：
3.75 0.5
17
相会时，大、小老鼠分 1 2 4 2 3 8
别穿墙(单位:尺)：
17 17
1 1 1 2 1 9 2 4 17 17
1.2 数的进制
• 在人类的记数史上，许多民族先后创造了许多 记数符号和记数方法，同时也建立了相应的进 位制度，如十进制，五进制，二进制等等。而 其中最为重要的当然是十进制记数法。
1.1.3 “盈不足术”
•对于两鼠穿墙问题，《九章算术》给出的解法便是享誉 古今的“盈不足术”。(回忆一下，这是我们小学时学过 •的)具体解法如下：
• 解：假设两只老鼠打洞2天，则仍差5寸(1寸为0.1 尺)，不能把墙打穿，假设打洞3天，就会多 出3尺7寸半，这样一来，便化繁为简，成为 了典型的“盈不足”问题：
• 三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡 丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。
• 卡丹公式(三次方程)： x3 px q( p, q R; p, q 0)
• 方程的解为：
x a b,
a 3 q (q)2 ( p)3 ,b 3 q (q)2 ( p)3
4.1.1 多元一次方程组的解法
• 对于多元一次方程组的问题，睿智的古 代数学家们早已给出了解决的办法， 《九章算术》中就有专门的一章”方程” 来求解此类问题。运算采用的是被称为” 遍乘直除”的方法，而这种方法实际上 便是现在我们常用解决多元一次方程组 的加减消元法。
4.1.2 一元二次方程的解法
4.2.1 阿贝尔
• 厄米特评价阿贝尔： “他工作中丰富的数 学思想可以让数学家 们忙碌500年。”
• 他的论文《高于四次 的一般方程的代数求 解不可能性的证明》 是代数学发展史上里 程碑式的重大突破。
4.2.2 伽罗瓦
• 罗素说，他的死使数学的发 展推迟了几十年。
• 伽罗瓦最主要的成就是提出 了群的概念，并用群论彻底 解决了根式求解代数方程的 问题，而且由此发展了一整 套关于群和域的理论，为了 纪念他，人们称之为伽罗瓦 理论。
• 十进制产生的原因与人有十个指头有关，因为 当人类尚处于屈指数“数”的阶段时，人们利 用手指的屈或伸，记不大于十的数目是不会有 什么困难的，而对于大于十的数目，就感到屈 指难数了。于是，“十”就成了记数的一个关 键点，它迫使人们去创造一种可以记十以上数 的办法。
1.2.1 十进制的发明
• 在伊朗考古学家发现距今五千年前人们使用小泥锥体 来表示1，而用大一些的泥球来表示10，这应该是世 界上最早的十进制的发源地。
22 3
22 3
• 含二次项的三次方程可以化为不含二次项的三次方程，只需令 其中的x=y+a,其中a待定。
• 而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。
4.1.4 韦达定理和代数基本定理
• 韦达定理是在我们的学习中极其重要的定理，但是完整的韦达定 理我们却并不熟悉：
• 韦பைடு நூலகம்定理：对n次方程，
• 代数作为世界上最长寿的科学，在历史长河中 总是熠熠放光，她带给我们的财富和启迪是取 之不尽的，而她的历史也将继续灿烂下去！
a0 xn a1xn1 an1x an 0(a0 0)
• 它的n个根 x1,K , xn 满足公式：
n
i 1
xi
a1 , a0 i j
xi x j
a2 , a0
xi x j xk
i jk
a3 a0
,
,
x1 x2
xn
(1)n
1.1.1 中国古代数学的伟大成就—
《九章算术》
• 《九章算术》我国古代最著名的传世数学之作，又是 中国古代最重要的数学典籍，而这部著作大约成型于 汉代(约为公元1世纪)后经刘徽，李淳风，祖冲之，杨 辉(主要是前两人)等人作注，为世界数学的发展添上 了浓墨重彩的一笔。而这部著作的巨大贡献体现在著 作本身蕴涵的数学意义和后人对该书所作的注释中所 蕴涵的数学思想，这极大的影响了后世的数学家。
代数发展史
福州屏东中学实习教师 周韧
总述
• 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100多个分支的“共和国”，这个“共和国” 中的“三大联邦”就是代数学，几何学以及分 析学，而我们今天所要学习的就是代数这个最 古老的分支的历史，从古老的算术，到丢番图， 笛卡尔发明的初等代数，到现如今的高等代数， 抽象代数，数论，代数学是巴比伦人，希腊人， 阿拉伯人，中国人，印度人，西欧人一棒接着 一棒而完成的伟大成就。
3.2 代数运算
• 引入数学符号之后，人们开始对于方程，方程组的叙 述做到了简约而不简单，而这个极大的简化也正式将 代数运算推上了历史的舞台。
• 而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是 大大的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和 科学研究中占据重要地位的数学问题的研究，最终导 致了新的数学学科的发现。
提问：
• 你知道证明代数基本定理的第一人是谁 吗？
• 你还知道哪些高等代数或是抽象代数中 的数学概念呢？
• 伽罗瓦利用代数方法证明了三大几何作 图问题的不可作给我们什么启发呢？
小结
• 从古老的算术的纯数字运算发展到如今代数已 经成为一门关于形式运算的一般学说了，现在 我们认为代数是研究一般代数系统的一门科学。
2.1 数的表示
• 历史上数的表示由繁至简经历了非常漫长的过 程。
• 中国甲骨文数字，罗马数字，玛雅数字是不同 地域的数的表示法。
• 阿拉伯数字则是阿拉伯数学家花拉子米在印度 游学后向西方推广的，最终在补充了”0”之后 成为了使用最广的数字表示法。
2.2 数的扩充
• 历史上的数经历了这样的一个扩充过程：
• 而我国也是较早使用十进制记数的国家，早在三四千 年前，我国的祖先已经发明了在龟甲和兽骨上刻写的 数码字，并且采用十进制记数了，甲骨文数码共有九 个：
另有四个表示十、百、千、万的位值符号：
提问：
• 你还可以说出哪些中国古代的数学名著 呢？
• 你还知道哪些中国古代数学的著名方法 呢？
• 除了十进制现在还有哪种进制方式也在 深刻地影响着我们的生活呢？
an a0
• 而另一个在代数史上占有重要地位的便是代数基本定理：复系数n 次代数方程在复数范围内有n个根。而这两个定理也为代数方程的 理论研究带来了极大的便利。而这之后数学史上最具浪漫色彩的两 位数学家的诞生也揭开了抽象代数神秘的面纱。
4.2 抽象代数的萌芽
• 抽象代数也是人们研究代数方程的产物。
• 而公元3世纪，中国数学家赵爽则对于一元 二次方程 x2 kx c
给出了一个根的公式 x 1 (k k2 4c)
2
• 而我们现在熟知的一元二次方程的求根公 式是由花拉子米在600年后建立的:
ax2 bx c 0, x b b2 4ac 2a
4.1.3 一元三次，四次方程的解法
• 今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺， 小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半， 问几何日相逢？各穿几尺？
• 用今天的办法，设大鼠和小鼠在x日后相逢：
• 我们得出这样的一个用数列求和的等式：
1 2 4 2x
1
1 1 24
1 2x
5
1.1.3 求解过程
• 由数列求和公式得：
1 2x 1 2
1 (1)x
2
1 (1)
2
5
• 做变换：令 2x t
• 得方程：t2 4t 2 0
• 解之，得：t 2 6
• 这里不仅涉及到数列求和的问题，还有超越方程的问 题！求解这样的一个方程可能对于现在的我们都有一 定的困难，但是《九章算术》却巧妙的解出了此题。
• 18世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根 的方法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表 论文《关于代数方程解的思考》，他认为次数不低于 五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图 证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这 件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到 证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论 都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代。
整体脉络
• 1.算术与数的进制 • 2.数的表示与数的扩充 • 3.数学符号与代数运算 • 4.方程求解与抽象代数
1.1 算术
• 高斯说：“算术给予我们一个用之不竭、 充满乐趣的宝库。”
• 中国古代的政治制度，很大程度决定了 中国数学中“算”占据了最主要的地位， 所以毋庸置疑的是，中国古代数学对于 算术的重视程度和取得的成就都是世界 上数一数二的，而传承下来的著作，解 决掉的难题和让人拍案叫绝的计算方法 仍是当今数学界的瑰宝。
• 可以说，数学符号和代数运算不仅仅是一个简单的用 符号代替繁琐的文字的过程，而更是与各种数学思想 方法一样，都是人类智慧的伟大结晶。
4.1 方程求解
• 作为中学数学课程中的主要内容的初等 代数，中心内容之一便是方程理论，而 作为方程理论中最为基本和重要的方程 求解问题的一般性结论也是从古至今数 学家们一直在追寻的。
• 在这其中，丢番图，以及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了 巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用 x,y,z代表未知量，用a,b,c代表已知量。
• 而其他的另外一些学者，则引入了：
" ","","",""," "," "," "
• 这些我们已经非常熟悉的运算符号，至此，代数 也走进了她的下一个时代。
• 作为这个理论的推论，可以 得出五次以上一般代数方程 根式不可解，以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任 意角和作倍立方体不可能等 结论。(即三大几何作图问题)
4.2.3 抽象代数简述
• 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 • 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学
科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向 量、矩阵、变换等，这些物集分别是依它们各有的演 算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把 共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就 诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群、环、伽罗瓦 理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产 生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的 数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用 语言。
• 《九章算术》实际上是246道应用题及其解法的汇编， 而在这246道应用题中蕴涵了许多在世界上遥遥领先 的数学成果，如勾股定理，方程思想，数列求和，正 负数，而汉朝数学家们运用极为精妙的算术方法一一 为看似不可能在那个时代解决的问题给出了正确的解 答。
1.1.2 《九章算术》第196题： 两鼠穿墙问题