chapter8 异方差性
金融计量学第八章
8.1 异方差性对OLS的影响 8.2 OLS估计后的稳健推断 8.3 对异方差的检验 8.4 加权最小二乘估计 8.5 再议线性概率模型
1
8.1 异方差性对OLS的影响
无偏性 一致性 拟合优度R^2
有效性
2
8.2 OLS估计后的稳健推断
3
4
5
对异方差稳健的LM test
6
8.3 对异方差的检验
7
8
9
White test 误差平方项与所有自变量、所有自变量的 平方、所有自变量的交叉乘积都不相关
误差平方项与拟合值、拟合值平方都不相 关
10
11
8.4 加权最小二乘估计
除一个常数倍数外异方差是已知情况
12
13
广义最小二乘(GLS)估计量 加权最小二乘(WLS)估计量
WLS后，异方差-稳健的标准误。
20
8.5 再议线性概率模型
21
22
Min
14
Байду номын сангаас
权重具有一定的任意性。但是有一种情况 所需的权重来自其模型本身。 E.g., 确定一个工人对其养老金计划参与数额 与该计划慷慨程度之间的函数关系？
15
异方差是未知情况：FGLS 模型化函数h，利用数据来估计h中的参数， 从而得到 ，再使用GLS。 一种特殊的、相当灵活的方法是：
其中v的条件均值为1
16
17
18
FGLS不再是无偏估计量，不过FGLS仍然是 一致的，而且比OLS更渐近有效。
OLS和WLS之间的差异太大，可能意味着其 他假设是错误的，尤其是零条件均值的假 设。
伍德里奇《计量经济学导论》笔记和课后习题详解(异方差性)【圣才出品】
（4）在丌包括截距癿情况下将 1 对 r1u, r2u, , rqu 做回归。异斱差-稳健癿 LM 统计
χ 量就是 n－SSR1，其中 SSR1 是最后这个回归通常癿残差平斱和。在 H0 下 LM 渐近服从
2 q
分布。
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变量乊类癿情况出现则具有这种影响。
2．异斱差性对拟合优度癿影响
对拟合优度指标 R2 和 R2 癿解释丌受异斱差性癿影响。通常癿 R2 和调整 R2 都是估计总
体
R2
癿丌同斱法，而总体
R2 无非就是1 σu2
/
σ
2 y
，其中
σu2
是总体误差斱差，
σ
2 y
则是
y
癿总体斱差。关键是，由亍总体 R2 中这两个斱差都是无条件斱差，所以总体 R2 丌受
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令 uˆi 表示原来 y 对 x 做回归所得到癿 OLS 残差。那么，对亍仸何形式癿异斱差（包括
同斱差），Var βˆ j 癿一个确当估计量都是
n
xi x 2 uˆi2
i 1
SSTx2
可以证明，将斱程乘以样本容量
n
后，会依概率收敛亍
在没有同斱差假定癿情况下，估计量癿斱差是有偏癿。由亍 OLS 标准误直接以这些斱
差为基础，所以它们都丌能用来构造置信区间和 t 统计量。
4．对统计检验癿影响
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在出现异斱差性癿情况下，在高斯-马尔可夫假定下用来检验假设癿统计量都丌再成立。 （1）在出现异斱差性时，通常普通最小二乘法癿 t 统计量就丌具有 t 分布，使用大样 本容量也丌能解决这个问题。 （2）F 统计量也丌再是 F 分布。 （3）LM 统计量也丌服从渐近 χ2 分布。
伍德里奇8-异方差性（习题解答）
伍德里奇8-异方差性（习题解答）C8.1(i) 01var(|)u X male σσ=+,亦可以其他形式出现。
(ii) 首先估计sleep 方程，得到残差平方序列，再以该残差平方为被解释变量对变量male 回归看其回归系数。
use sleep75reg sleep totwrk educ age agesq yngkid malepredict r1, rg r1sq=r1*r1reg r1sq male其系数为负，说明男性的方差比女性要低。
(iii)从回归结果中看，系数不显著，说明误差方差在男性和女性之间的差别不显著。
C8.2clearuse hprice1reg price lotsize sqrft bdrmsestimates store reg1reg price lotsize sqrft bdrms, robustestimates store robustesttab reg1 robust, b(%8.6f) se mtitlereg lprice llotsize lsqrft bdrmsestimates store reg2reg lprice llotsize lsqrft bdrms, robustestimates store robust2esttab reg2 robust2, b(%8.6f) se mtitleC8.6clearuse crime1g arr86=(narr86>0)g lavgsen=log(avgsen)reg arr86 pcnv lavgsen tottimepredict arr86hatsum arr86hat/*加权最小二乘*/g h=arr86hat*(1-arr86hat)reg arr86 pcnv avgsen tottime ptime86 qemp86 [aw=1/h]C8.9(i)-(ii)clearuse smokereg cigs lincome lcigpric educ age agesq restaurnpredict r1, rg lr1sq=log(r1^2)reg lr1sq lincome lcigpric educ age agesq restaurnpredict ghatg hhat=exp(ghat)reg cigs lincome lcigpric educ age agesq restaurn [aw=1/hhat](iii)predict uhat, rpredict yhatg uhatsq=uhat^2drop uhatsqg utild=uhat/(hhat^0.5)g ytild=yhat/(hhat^0.5)g utildsq=utild^2g ytildsq=ytild^2reg utildsq ytild ytildsqwhitetst, fitted/*表明仍然存在异方差*/(iv)第(iii)部分的结论表明，使用可行的加权最小二乘方法没有消除异方差性，对方差形式存在误设。
第八讲异方差性
同方差性：
概 率 密 度
X：受教育年限
Y：工资
Y
X
异方差性：
概 率 密 度
X：受教育年限
Y：工资
Y
X
异方差性：
概 率 密 度
X：时间
Y：打字正确率
Y
X
异方差在散点图中的反应
0
Y 递减的异方差
X
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . .. ..
1 1 1 1
1 1 E xx xu uxxx
2
xx
1
xE uu x xx
1
xx 1 xx xx 1
ˆ
2
xx 1
由此可见，在存在异方差的条件下， 或缩小真实的方差，使得
2 xx 1 会夸大
找到一种方法正确地估计出OLS估计量的方差，那么同样可以进
行t检验和F检验。
对于大样本数据，在假定MLR.1-4下，可以通过一定的方法
得到OLS估计量的方差的正确估计量，并进而得到OLS估计量的
标准误。通过这种方法得到的标准误称为异方差-稳健性标准误
（heteroskedasticity-robust standard error），或简称稳健性标准 误（robust standard error ）。
不再确定，所以，
ˆ 的t统计量和置信区间 j
异方差性及其检验
异⽅差性及其检验异⽅差性及其检验I 概念对于多元线性回归模型同⽅差性假设为如果出现即对于不同的样本点，随机⼲扰项的⽅差不再是常数，⽽是互不相同，不具有等同的分散程度，则认为出现了异⽅差（Heteroskedasticity ） II 类型同⽅差性假定是指，回归模型中不可观察的随机误差项i u 以解释变量X 为条件的⽅差是⼀个常数，因此每个i u 的条件⽅差不随X 的变化⽽变化，即有2()i i f X σ=≠常数在异⽅差的情况下，总体中的随机误差项i u 的⽅差 2i σ不再是常数，通常它随解释变量值的变化⽽变化，即异⽅差⼀般可归结为三种类型：01122 1,2,,i i i k ki i Y X X X i n ββββµ=+++++=2(), 1,2,...,i Var i n µσ==2(), 1,2,...,i i Var i nµσ==2()i i f X σ=异⽅差类型图：III来源（1）截⾯数据（不同样本点除解释变量外其他影响差异⼤）（2）时间序列（规模差异）（3）分组数据、异常值等（4）模型函数形式设置不正确和数据变形不正确（5）边错边改学习模型IV影响计量经济学模型⼀旦出现异⽅差，如果仍然⽤普通最⼩⼆乘法估计模型参数，会产⽣⼀系列不良后果。
（1）参数估计量⾮有效（2）OLS估计的随机⼲扰项的⽅差不再是⽆偏的（3）基于OLS估计的各种统计检验⾮有效（4）模型的预测失效V检验异⽅差性，即相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机⼲扰项具有不同的⽅差，那么检验异⽅差性，也就是检验随机⼲扰项的⽅差与解释变量观测值之间的相关性。
⼀般检验⽅法如下：（1）图⽰检验法（2）帕克(Park)检验与⼽⾥瑟(Gleiser)检验（3）G-Q（Goldfeld-Quandt）检验（4）F检验（5）拉格朗⽇乘⼦检验（6）怀特检验（具体步骤随后介绍）VI修正⽅法加权最⼩⼆乘法定义：加权最⼩⼆乘法是对原模型加权，使之变成⼀个新的不存在异⽅差性的模型，然后采⽤OLS法估计其参数。
异方差性实验
1.2 实验二 异方差性及其性质1.2.1 实验目的我们已经知道，在经典条件下，线性模型回归参数的OLS 估计是具有最小方差的线性无偏估计量。
随机误差项的异方差性，是线性回归模型中常见的不满足经典条件的情形。
与满足经典条件的情形相比，当模型中出现异方差性时，模型参数的普通最小二乘（OLS ）估计的统计性质将发生什么样的变化？如何理解和把握这些变化？如何纠正模型估计因为异方差性而产生的问题？通过本实验，可以帮助学生理解异方差性本身的概念、存在异方差性时模型参数的OLS 估计量的性质、加权最小二乘法等。
1.2.2 实验背景与理论基础1. 异方差性本实验以二元线性回归模型为例进行说明。
线性回归模型01122i i i i Y X X u βββ=+++，1,2,,i n =假设模型满足除“同方差性”之外的所有经典假设：（1）E()0i u =，1,2,,i n = ，或表示为()E =U 0，从而有()E =Y X β； （3）Cov(,)0,i j u u i j =≠，随机误差无序列相关； （4）解释变量是确定性变量，与随机误差项不相关：Cov(,)0j ij u X =，1,2i =，1,2,,j n =（5）自变量之间不存在精确（完全）的线性关系。
矩阵X 是列满秩的：rank()3=X 。
（要求样本容量3n >） （6）随机误差的正态性：2(0,)i u u N σ ，1,2,,i n = 。
2. 异方差性条件下OLS 估计量的统计性质（1）ˆβ的无偏性： 模型回归参数012,,βββ 的OLS 估计量为:0112ˆˆˆ()ˆβββ-⎛⎫ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭β=X X X Y 可以证明，即使在异方差性条件下，上述估计量依然满足无偏性：0112ˆ()ˆˆE()()ˆ()E E E ββββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭β==β （2）ˆβ的方差及协方差： 在模型满足经典条件时，OLS 估计量的方差—协方差矩阵为21ˆVar()()uσ-'=βX X ，但是在异方差性条件下，不存在独立于X 的随机误差项方差2u σ，因此不再存在这一简单公式。
《异方差性》课件
03
异方差性的后果
模型预测的准确性下降
异方差性会导致模型的预测值偏 离真实值，降低预测的准确性。
在异方差性存在的情况下，模型 的预测结果可能变得不可靠，因 为模型没有充分考虑到数据的不
确定性。
异方差性可能导致模型在预测新 数据时表现不佳，因为模型没有 充分学习到数据的内在结构和变
化规律。
模型推断的可靠性降低
详细描述
社会数据在不同群体之间的分布往往存在显著的差异，这种差异反映了不同群体之间的异方差性。这 种异方差性可能与社会经济地位、文化背景等多种因素有关，需要深入分析其产生的原因和影响。
社会数据的异方差性分析
总结词
异方差性对社会政策制定和实施具有重 要影响。
VS
详细描述
社会政策的制定和实施需要考虑不同群体 的差异和特点，而异方差性的存在为社会 政策的制定提供了重要的参考信息。通过 对异方差性的分析和研究，我们可以更好 地了解不同群体的需求和诉求，制定更为 公正和有效的社会政策。
总结词
金融数据的异方差性分析有助于提高投资策略的有效性。
详细描述
通过对金融数据的异方差性进行分析，投资者可以更好地 理解市场的波动规律和风险特征，从而制定更为有效的投 资策略。这种基于异方差性的投资策略能够更好地适应市 场的变化，提高投资的收益和风险控制能力。
社会数据的异方差性分析
总结词
社会数据在不同群体之间存在显著的异方差性。
平方根变换
当数据分布不均，特别是偏度较大时，平方根变换可以改善数 据的正态性。
Box-Cox变换
是一种通用的数据变换方法，通过选择一个适当的λ值，使数据 达到最佳的正态分布状态。
模型选择和调整
混合效应模型
异方差性
：FGLS）法
o 在一般情况下，我们并不知道异方差的具体形式，需要 对异方差的函数形式做出估计，然后再进行加权最小二 乘估计，这种方法属于FGLS法 （伍德里奇，2000；赵国
庆，2001）
可行的广义最小二乘估计 对 yi B1 B2 x 2i B3 x 3i Bk x ki u i 。假定
同方差性
X：受教育年限
概 率 密 度
Y：工资
Y
X
异方差性
X：收入
概 率 密 度
Y：消费支出
Y
X
异方差性
X：时间
概 率 密 度
Y：打字错误
Y
X
产生异方差性的原因
原因 被解释变量：消费支出 解释变量：收入 解释变量与误差项相关 随着收入的增加，支出差异性更大
有重要的解释是影响支出的因素，物价上
对（1） ，各误差项方差相等
误差项方差未知 对 yi B1 B2 x 2i u i ， i2 未知 If E(u i2 ) = σ 2 x 2i ，则
yi x 2i B1. u 1 B2 . x 2i i x 2i x 2i
模型无截距项
令
* y* = B1.x1i + B2 .x * + u * i 2i i
一般地
对 yi B1 B2 x 2i B3 x 3i Bk x ki u i 2 ˆ 用OLS方法估计模型参数，计算得 e i 和 y i
构建模型
ˆ ˆ ei2 A1 A 2 yi A3 yi2 vi
计算得判定系数R 2 构造统计量 s nR 2 2 (2) 对原假设 H0 : σ12 = σ2 = = σ 2 = σ2 2 n 如果 s -统计量显著，则拒绝原假设，认为误差项异方差
计量经济学：异方差性
计量经济学：异方差性在现实经济活动中，最小二乘法的基本假定并非都能满足，上一章介绍的多重共线性只是其中一个方面，本章将讨论违背基本假定的另一个方面——异方差性。
虽然它们都是违背了基本假定，但前者属于解释变量之间存在的问题，后者是随机误差项出现的问题。
本章将讨论异方差性的实质、异方差出现的原因、异方差的后果，并介绍检验和修正异方差的若干方法。
第一节 异方差性的概念一、异方差性的实质第二章提出的基本假定中，要求对所有的i （i=1，2，…，n ）都有2)(σ=i u Var （5.1） 也就是说i u 具有同方差性。
这里的方差2σ度量的是随机误差项围绕其均值的分散程度。
由于0)(=i u E ，所以等价地说，方差2σ度量的是被解释变量Y 的观测值围绕回归线)(i Y E =ki k i X X βββ+++ 221的分散程度，同方差性实际指的是相对于回归线被解释变量所有观测值的分散程度相同。
设模型为n i u X X Y iki k i i ,,2,1221 =++++=βββ （5.2）如果其它假定均不变，但模型中随机误差项i u 的方差为 ).,,3,2,1(,)(22n i u Var i i ==σ (5.3)则称i u 具有异方差性。
由于异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化而变化的，如图5.1所示，所以进一步可以把异方差看成是由于某个解释变量的变化而引起的，则)()(222i i i X f u Var σσ== (5.4)图5.1二、产生异方差的原因由于现实经济活动的错综复杂性，一些经济现象的变动与同方差性的假定经常是相悖的。
所以在计量经济分析中，往往会出现某些因素随其观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响，导致随机误差项的方差相异。
通常产生异方差有以下主要原因：1、模型中省略了某些重要的解释变量异方差性表现在随机误差上，但它的产生却与解释变量的变化有紧密的关系。
第8讲 异方差性
Ru2
0.1601, LM
88 0.1601 14.09
2 0.05
(
3
)
5.99
可以拒绝原假设，即认为存在异方差性
lprice β0 β1llotsize β2lsqrft β3bdrms u F (3,84) 1.41,p 0.245
显 著 的 ，说 明 可 以 拒 绝 原 假 设 ，即 存 在 异 方 差 性
怀特检验（White test）
例题8_4 ：住房价格（课本p261，例8.5）
lprice β0 β1llotsize β2lsqrft β3bdrm s u 一般检验：
F (9,78) 1.05,p 0.4053
3) t统计量不服从t分布，F统计量也不服从F分布，从而无法进 行假设检验和区间估计，也无法进行区间预测
如何解决可能存在的异方差性？
两种方法
o 其一，异方差性不影响OLS估计量的无偏性和一致性，只影 响OLS估计量的方差估计，因此，如果能找到一种方法（不 同于OLS估计）正确地估计出OLS估计量的方差，那么同样 可以进行假设检验。这种方法称为稳健性检验
稳健性t检验
o 一旦得到了稳健性标准误，就可以在此基础上构造稳健性t 统计量（robust t statistics） ，进而进行稳健性t检验。 稳健t统 性计量 OL 稳 估 S健 计性 值 假标 设准 值误
稳健性t检验
例题8_1：工资方程（课本p253，例8.1）
lwage
married_male married_female single_female educ exper expersq tenure tenursq _cons
异方差性
v i 就会随着 X增大而逐渐扩大 ，造成了模型关系不准确的
误差。
广告印象(Y)与广告支出(X)关系的研究
Y对X回归
广告印象(Y)与广告支出(X)关系的研究
Y对X和X2回归
第二节 异方差性产生的原因
1.模型省略了某些重要的解释变量
2.模型函数形式的设定误差
3.由于测量误差引起
4.横截面数据中总体各单位的差异
异方差性问题在横截面数据中比在时间序列数据中更
为常见。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会
大于同一对象不同时间的差异。 不过，在时间序列数据发生较大变化的情况下，也可 能出现比截面数据更严重的异方差。特别是一些比较大的 偶然因素比如自然灾害、金融危机、政策变动等，使经济
分析中经常会遇到异方差性的问题。
随着收入增加，储 蓄平均来说也增加。储 蓄的方差随收入水平的
增加而增加，即较高收
入的家庭不仅比低收入 的家庭平均而言有更多 的储蓄，而且在他们的 储蓄中有更大的变异。
第一节 异方差性的概念
一、异方差的含义
二、异方差的类型
二、异方差的类型
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大
其中
0 k
当 E(ui ) ki 时可以证明 也可能是有偏的不 一致的估计量。
1
违反假定3的原因主要是样本数据出现统计误差，以及模 型设定出现偏误。因此我们应尽量使样本数据者是经济统计的范畴，而后者是数理经济学重点研究的
课题。
当 E(ui ) ki 时可以证明 也可能是有偏的不 一致的估计量。
第一节 异方差性的概念
重点： 对异方差性的基本认识
第一节 异方差性的概念
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这些GLS估计量由 于满足高斯-马尔科 夫假定，所以比原 估计值更有效。
回到例子：
savi 0 1inci ui var(ui inci ) inci
2
savi inci
0 / inci 1 inci ui
*
系数的解释不变（还应放在原方程中解释），β 还是收入的边际储蓄倾向
0.286 (50.031)
149.48 (100.54)
21.75 (41.31)
计算F统计量
black
截距 n R2
_
-124.84 (655.39) 100 0.0621
_
-124.95 (480.86) 100 0.0853
518.39 (1308.06)
-1605.42 (2830.71) 100 0.0828
SSTj (1 R ) 如果存在异方差则方差的恰当估计为
2 j
ˆ Var ( j )
2
(3.27)
ˆ Var ( ij )
注意到：
ˆ SSTj ui
2
2 2
SSTj (1 R j )
ˆij2就是x j 对其他解释变量的残差 平方和， r
i 1 n
n
ˆij2 SSRj SST（ R 2j） r j 1
计算异方差-稳健的LM检验
异方差-稳健的F统计量并不方便计算，此时可以 利用稳健的LM统计量来代替。 回顾LM统计量的构造过程：对于有q个约束的虚 拟假设，有 ~ ~ ~ ~ y 0 1 x1 ... k q xk q u ~ u 对x , x ,..., x 进行回归
ˆ price 21.77 0.00207lotsize 0.123sqrft 13.85bdrms (29.84) (0.00064) n 88, (0.013) (9.01) R 2 0.672
残差平方对所有自变量回归所得到R2为0.1601
R2 / k =5.34，p值=0.002 F 2 (1 R ) /(n k 1)
拒绝原假设，说明存在异方差性
思考题：对于如下工资方程，你认为log(wage)的方 差与educ、exper、tenure都无关，而担心log(wage) 的方差在已婚男性、已婚女性、单身男性、单身女 性这四个人口组之间会不同。为了检验异方差性， 该做什么样的回归？F检验的自由度是多少？
ˆ log( wage) 0.321 0.213marrmale 0.198marrfem 0.110sin gfem (0.100) (0.055) 0.00053tenure2 (0.00023) n 526, R 2 0.461 (0.058) (0.056) 0.079educ 0.027 exp er 0.00054exp er 2 0.029tenure
i 1
ˆ Var ( ij )
ˆ SSTj ui
2
2 2
SSTj (1 R j )
ˆij2 SSRj SST（ R 2j） r j 1
i 1
n
ˆ Var ( ij )
ˆ SSTj ui
2
2 2
SSTj (1 R j )
ˆ (1 R j ) SSTj ui
LM统计量就是n - SSR 1 ~ 2 q
8.3 对异方差性的检验 8.3.1 Breusch-Pagan检验
满足假定MLR.1-MLR.4的线性模型如下
y 0 1x1 k xk u
H0 : var(u x1, x2 ,xk )
H0 : E(u x1, x2 ,xk )
第八章 异方差性
8.1异方差性对OLS所造成的影响 8.2OLS估计后的异方差—稳健性推断 8.3对异方差性的检验 8.4加权最小二乘估计
8.1异方差性对OLS所造成的影响
异方差性不会会导致OLS估计量出现偏误或不 一致。 异方差性也不会影响R2的准确性。 但异方差会导致估计量的方差有偏，进而t统计 量、F统计量、LM统计量都不在服从t分布、F 分布、χ 2分布。 出现异方差性，则OLS估计量就不是BLUE，也 不是渐进有效的。
1
例子：家庭储蓄模型
自变量 (1) OLS (2) WLS (3) OLS (4) WLS
inc
size
0.147 (0.058)
_
0.172 (0.057)
_
0.109 (0.071)
67.66 (222.96)
0.101 (0.077)
-6.87 (168.43)
educ
age
_
_
_
_
151.82 (117.25)
2 2
(7.1)
检验虚拟假设：假定MLR.5是正确的，即
2
(7.3)
由于零条件均值假定，该虚拟假设等价于：
(7.4) 是想检验u2是否与 一个或多个解释变 量相关
假定一个线性函数
u2 0 1x1 2 x2 k xk v
同方差性的虚拟假设是：
(7.5)
H0 : 1 2 k 0
White检验的一个缺陷： 回归元过多，检验3个变 量需要9个回归元。
当模型包含k=3个自变量时，White检 验则基于如下估计：
2 2 ˆ 2 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x12 5 x2 6 x3 u
7 x1 x2 8 x1 x3 9 x2 x3 v
137.28 (844.59)
-1854.81 (2351.80) 100 0.1042
应用实例：
当个体层次的方程满足高斯-马尔科夫假定，那 么人均方程中的误差方差就与人口规模的倒数 成正比。
GPAi , j 0 1agei , j ui , j , i为学校，j为学校中的某一学生 GP Ai 0 1agei ui , u
ui
mi
, mi为该校的人数规模， （ui） var
2
mi
8.4.2异方差形式未知：可行的GLS
在大多数情况下，异方差的确切形式并不可知， 即h（x）的形式不可知
建造函数h的 模型，并利用 数据估计这个 模型中的未知 参数。从而得 到每个h的估 计值， h-hat
2 2 i 2 2
yi
hi 0
hi 1 ( xi1
hi ) 2 ( xi 2
hi ) ik ( xik
hi ) ui
hi
yi
hi 0
hi 1 ( xi1
hi ) 2 ( xi 2
hi ) k ( xik
hi ) ui
hi
(7.14)
(x x )
i 1 i
n
(2.47)
2
所以，一个恰当的估计量就为
ˆ ) SST x i Var ( 1 2 SST x
(x x)
2 i
2 i
SST x
2
2
(x ˆ Var ( )
1
iБайду номын сангаас
ˆ x ) ui
2 2
SST x
对于一个多元回归模型
2
2
SSR
2
ˆ v ar( j )
ˆ ˆ r u
i 1
n
2 2 ij i 2 j
SSR
ˆ 此式的平方根被称为 j (7.2) 异方差-稳健性标准误， 或稳健性标准误。
Example：对数工资方程的稳健标准误
ˆ log( wage) 0.321 0.0213marrmale 0.198marrfem (0.058) 稳健标准误 (0.100) (0.055) [0.109] [0.057] [0.058] 0.110sin gfem 0.0789educ 0.026 exp er (0.056) (0.0067) (0.0055) [0.057] [0.0074] [0.0051] 0.00054 exp er 2 0.0291tenure 0.00053tenure 2 (0.00011) (0.0068) (0.00023) [0.00011] [0.0069] [0.0024] n 526, R 2 0.461
如果原模型除了同方 差假定未被满足，其 他假定都满足，则式 (7.14)满足CLM假定
n
可以用OLS来估计，即最小化
ˆ ( yi 0 1 xi1 k xik )2 / hi ˆ ˆ
i 1
(7.15)
由最小化式(7.15)所得到 的估计量叫做广义最小二 乘估计量(GLS)，或者加 权最小二乘估计量(WLS)
1 2 k
2 q个被约束的自变量对其 c, 则拒绝零假设。 别进行回归， 他不受约束的自变量分 LM nRu2 ~ q : 如果LM 得到q个残差（~ , ~ , ~） r1 r2 rq 1对~u , ~ u ,, ~ u 做回归，此回归的残差 r~ r ~ r~ 平方和为SSR
1 2 q 1
2
(7.10)
h(x)大于0，已知 是解释变量的函数
假定
为估计σ2，对于总体中的一个随机抽样，有
i2 var(ui xi ) 2hi
(7.11)
Example：储蓄函数
savi 0 1inci ui var(ui inci ) inci
2
误差方差与收入 水平成正比：收 入越高，储蓄的 变异度就越高
h( x) h(inc) inc
由于误差的方差具有如下形式： var(u x) 2h( x) (7.10)