2.3 正弦量的相量表示法-J
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正弦交流电路的相量表示法
直观，但不便于分析计算。
便于完成正弦量的加减乘除运算
【 重点与难点 】
1.正弦量的三要素。
2.正弦量各种表达方法之间的互相转换
Im
对应
新中国成立后，我国的整个工业行业师从前苏联，电力行业也不例外，完全执行前苏联的国家标准。苏联当时采用的频率是50赫兹，这个标准与IEC国际电工委员会推荐值之一，并不矛盾，所以我国一直采用50赫兹。 这是一种国家制定的标准,从此以后,所有生产的发电及用电设备,都按50赫芝控制.这样全国就统一了,就不会乱.否则你北京造的电视机是50HZ的,天津造的是30HZ的,上海造的是100HZ的.那不乱套了嘛.这就和秦始皇统一汉字,度量衡是一个目的.现在有的日本电器,是60HZ的.在中国用还要连接变频器,多麻烦啊! 其实其它频率也是有的，以前日本在东北使用的是25Hz；我国电网是50Hz；香港沿袭英国的习惯使用60Hz。 使用低于50Hz的电网供电时的照明光源往往存在一个频闪问题；如果给电机供电其同步速仅为1500rpm。 50或60是有政治因素的，学苏联的肯定不可能学日本的， 100，1000高频率的话对硅钢片材料的要求更高，危险性更大，损耗大，那将是现在技术不行的， 如果现在提高频率肯定不利的，大量设备将不能用。
知识链接
相量的加、减、乘、除运算公式
设：U1、U2均为正实数。
U1±U2 =
(U1a±U2a)＋j ( U1b±U2b)
ψ1＋ ψ2
U1×U2 =
U1×U2
U1÷U2 =
ψ1－ ψ2
U1÷U2
有U1=U1 ψ1=U1a+jU1b；
U2=U2 ψ2=U2a+jU2b；
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。
正弦量的相量法表示法资料
①三角函数表示法： u +
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)
0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V
(2) I (60 80 j ) A
(3) U m 20045V
解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j
极坐标式为：A r 5
B
5 6
6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A
解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)
0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V
(2) I (60 80 j ) A
(3) U m 20045V
解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j
极坐标式为：A r 5
B
5 6
6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A
解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
电工电子技术基础知识点详解2-1-正弦量的相量表示法(1)
电压的有效值相量
注意:
(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关系。
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Im ψ
正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不 能划等号！
(2) 只有正弦周期量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。
三角式
r a2 b2b ψ arctan
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量。
+j
b
A
r
(1) 复数表示形式
O
a +1
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
cos ψ
,
2
可得: ej ψ cosψ jsin ψ
1.正弦量的表示方法
u
波形图
O
t
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ V
必须
重点
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦量的相量表示法
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 (1) 复数表示形式
设A为复数
代数式 A =a + jb
+j b
r
O
A a +1
式中: a r cos ψ b r sinψ
正弦量的相量表示法
3. 相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ Uψ U(cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量在复平面中用有向线段表示出来
U1 220 20V U2 110 45V
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
正弦量的相量表示及运算
蒸发操作的类型
1. 按二次蒸气的利用情况分：单效蒸发和多效蒸发
单效蒸发：将二次蒸气不在利用而直接送到冷凝器冷凝以除去的蒸发 操作。 多效蒸发：若将二次蒸气通到另一压力较低的蒸发器作为加热蒸气， 则可提高加热蒸气（生蒸气）的利用率，这种串联蒸发操作称为多效 蒸发。
一、正弦量的相量表示
1. 复数的表示形式 用相量来表示相对应的正弦量的方法称为相量表示法。 相量本身就是复数。 一个复数可用下面4种形式来表示： 设A为复数 (1) 代数式A =a + jb
式中:
r a2 b2
arctan b
a
a r cos
复数的模 复数的辐角
b r sin
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
2．复数的四则运算 设有两个复数分别为：A1 r1a a1 jb1 A2 r2b a2 jb2
A1、A2加、减、乘、除时运算公式如下： A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 • A2 r1r2a b
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 3.004 j0.6156A
A1 A2 1030845 108(30 45) 8075A
A1 1030 10 (30 45) 1.25 15A A2 845 8
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
正弦量的表示方法
2. 初相位：在t=0时旋转矢量和横坐标轴间的夹角
3. 角频率 ω ：旋转矢量绕坐标原点 O 沿逆时针方向旋 转的角速度
旋转矢量任意时刻在纵坐标(Y轴)上的投影,就是这个 矢量所代表的正弦函数在同一时刻的瞬时值： i=Imsin(ωt+ψi)A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2 正弦量的表示方法 2.2.1 旋转矢量表示法 2.2.2 相量表示法 2.2.3 复数表示法
2.2.1 旋转矢量表示法
如果用正弦量的解析式和波形图来分析和 计算正弦交流电路，则很不方便。
所以，总是寻求能使分析和计算都得到简 化的表示方法。利用三要素，我们可以找到多 种表示正弦量的方法，以方便计算。
旋转矢量就是最形象的方法之一。
正弦量的旋转矢量表示
j t Im
P1
a1 a2
Im
P0 t 0
i I m sin( t u ) A
b b1
t1
P1
t 2 0
i
a
1
i
0 t1
t 2
t
P2
b2
Im
P2
旋转矢量完整地表达了正弦函数的三要素：
1. 旋转矢量的长度等于正弦函数的最大值
3. 角频率 ω ：旋转矢量绕坐标原点 O 沿逆时针方向旋 转的角速度
旋转矢量任意时刻在纵坐标(Y轴)上的投影,就是这个 矢量所代表的正弦函数在同一时刻的瞬时值： i=Imsin(ωt+ψi)A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2 正弦量的表示方法 2.2.1 旋转矢量表示法 2.2.2 相量表示法 2.2.3 复数表示法
2.2.1 旋转矢量表示法
如果用正弦量的解析式和波形图来分析和 计算正弦交流电路，则很不方便。
所以，总是寻求能使分析和计算都得到简 化的表示方法。利用三要素，我们可以找到多 种表示正弦量的方法，以方便计算。
旋转矢量就是最形象的方法之一。
正弦量的旋转矢量表示
j t Im
P1
a1 a2
Im
P0 t 0
i I m sin( t u ) A
b b1
t1
P1
t 2 0
i
a
1
i
0 t1
t 2
t
P2
b2
Im
P2
旋转矢量完整地表达了正弦函数的三要素：
1. 旋转矢量的长度等于正弦函数的最大值
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
最新2.3 正弦量的相量表示法-J
2）.实际应用中幅度更多采用有效值，则为有效值相量：
有效值相量U、I 包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
设正弦量: uU m si(ω ntψ )
用相量表示:
U Ujψ eUψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
P37 例2.10)
（1） U • 22 0 45V,f 5H 0 z
(2)
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平行四边形法则
＋j
A＋B
0
B
A ＋1
三角形法则(加法)
＋j
B A
0 A－B －B ＋1 三角形法则(减法)
有效值相量U、I 包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
设正弦量: uU m si(ω ntψ )
用相量表示:
U Ujψ eUψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
P37 例2.10)
（1） U • 22 0 45V,f 5H 0 z
(2)
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平行四边形法则
＋j
A＋B
0
B
A ＋1
三角形法则(加法)
＋j
B A
0 A－B －B ＋1 三角形法则(减法)
正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。 Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
0
2T
I
Im 2
0.707Im
U
Um 2
0.707Um
Um 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有：5
Im
sin wT 4
60 A
5
Im
sin
2
3
A
则有：I
＝
m
5
sin5
/ 6
5 1
10A
2
I I m 7.07A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3
A
O
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
3.2 正弦量的相量表示法
所以：i sin(t 30 ) sin(t 150 )
3、 = 2–1=90°正交
(1)用相量图叠加
如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°)
求和
则： Im= Im12 + Im22 = 5
θ =arctan(对边/邻边) = 53°
(本例）=1+θ =83° i=5sin(ωt+83°)
现有复数A =|A| e j
相量图
A
+1
若令：A• j =|A| e j ·e j 90° 则有：A• j = |A|e j ( + 90°)
由此知，A j使A逆时针旋转90°
相量图 Aj
90°
A
同理， A（- j）使A顺时针旋转90° 故：复平面中，j 是旋转90°的算子符。
+1
接3.3
4.复数的极坐标形式 A = A
复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 +j
一、正弦量的相量表示法
b(t)
若，令复数A绕原点， 以ω的角速度、 逆时针方向旋转，
A
ω
A ωt
+1
则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为：
b(t)=|A|sin(ωt +)
形式完全相同
i(t)=Imsin(ωt +)
但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
三、相量表示法举例 例1. i=5 2 sin(ωt+30 °) 极大值相量式： Im=5 2∠30° 有效值相量式： I =5∠30°
相量图
5 Iω
30°
+1
电路分析基础：正弦量的相量表示法
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ125 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
Im
(t i )
正弦量
复数
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
正弦量的相量表示法及计算法
则：
U1 U2
U1 U2
1 2
（4）相等运算
设 U1 U2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2 （5）相反运算
设 I1 I2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 180 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2
[例3—2]见教材。
解：
I (3 j4) 3+j4=5(53.13 180 ) 5126.87 A
分析：求相反相量 就是将原相量旋转 180o ，相量图上两 相反相量对称于原 点，如图所示。
3.2.4 基尔霍夫定律的相量形式
对于正弦交流电路任一节点，有
i 0,u 0
一、KCL的相量形式： I 0
二、KVL的相量形式： U 0
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
A( 90)
“j”的数学意义和物理意义
旋转 90因子： j
j cos 90 jsin 90
设相量 A r
B +j
• 相量A 乘以 j ，
A
A 将逆时针旋转 90 得到 B
• 相量A 乘以 j ， A o
ψ
+ 1
将顺时针旋转 90，得到 C
C
3. 除法运算
设： U1 U11 U2 U22
《电工电子技术》——正弦交流电路
dt
dt
Im sin(wt 90)
1 电压与电流之间的频率关系 电容元件两端的端电压与电流是同频率的正弦电量。
2 电压与电流之间的数值关系
最大值
Im
wCU m
Um 1 /(wC )
有效值
I wCU U U 1/(wC) X c
X c 等于电压有效值与电流有效值之比，单位为欧[姆]，称为容 抗。
计算过程请参考书本，相量图为：
2.3单一参数交流电路
2.3.1单一电阻元件正弦交流电路 一、单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间的关系
i
u
R
i u U m sin(wt u )
R
R
2U R
sin(wt
u
)
单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间有如下几种关系：
1 电压与电流之间的频率关系 在单一电阻电路中，通过电阻元件的电流与其两端电压是 同频率的正弦电量。
I Ie j i I i
I 为有效值
二、相量图
在复数平面上，用几何图形表示正弦量的相量的图，称为相 量图。
已知正弦电压： 相应的电压相量为
u 220 2 sin(wt 45)
U 22045
已知正弦电流： 相应的电流相量为：
i 8 2 sin(wt 30)
字母 T 表示，单位是秒（s）。正弦量在1秒时间内重复变化的
周期数称为频率，用小写字母 f 表示，单位为赫兹（Hz），如 果1秒钟内变化一个周期，频率是1Hz。周期与频率互为倒数关 系：
f 1 T
在我国，发电厂提供的交流电的频率为50Hz，其周期 T 0.02， 这一频率称为工业标准频率，也称工频。
正弦量的相量形式,代数式
正弦量的相量形式,代数式
正弦量的相量形式 (Algebraic Form)
正弦量是一种用来描述特定事物的简单数学表示法，主要用于描述正弦函数（sine function）。
它常常被表示为Acos(ωt+φ)，其中A代表振幅，ω代表运动的角速度，t为时间，φ代表初始相位，即在t=0时的位置。
如果正弦量代表一个物理过程，其代数式可以写为：
y(t)=Acos(ωt+φ)
其中，y(t)代表在特定时刻t时，过程的取值，A为振幅，ω为运动角速度，φ为初始相位，t为时间。
此外，当把正弦量用于电气和通信领域时，它可以表示为：
v(t)=Em[Acos(ωt+φ)]
其中，v(t)代表在时刻t时的电压或电流的取值，E代表磁励磁场，m代表电流或电压的幅值，A为振幅，ω为运动角速度，φ为初始相位，t为时间。
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2、符号说明
瞬时值 --- 小写
u、iBiblioteka 有效值 --- 大写U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
相量（复数） --- 大写 + “.” U
27
作业题： P65 2.2 2.3 2.10 2.11(1) (3)
28
29
A=a+jb
5
1. 复数的图形表示 1） 复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
＋j
3
2
1
A1
A2
－ 3 － 2－ 1 0 1 2 3 ＋ 1
－1
－2
A4
A3
－3
6
2） 复数用矢量表示 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量
来表示。
矢量的长度称为模， 用r表示； 矢量与实正半 轴的夹角称为幅角， 用θ表示。 +j 模与幅角的大小决定了该复数的唯一性。
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
P37 例2.10)
•
（1） U 22045V , f 50Hz
•
(2) I 10120 A, f 100Hz
解： (1) u 220 2 sin (2 50)t 45 V 220 2 sin 314t 45 V
（2） i 10 2 sin (2 100)t 120 A 10 2 sin 628t 120 A
25
小结：1、正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jb U e j U 26
但由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用
j表示虚部单位， j= 1
这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
3
复数表示
复数可以在复平面内用图形表示， 也可以用不同形式的表达式表示。
4
复平面介绍
下图为复平面图，横轴为实轴+1，纵轴为虚轴 j = 1
A = a + j b为复数， a是A的实部，b是A的虚部， A与实轴的夹角ψ称为辐角， r 为A的模。
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平 行 四边 形 法 则
＋j A＋B
0
B
A ＋1
三 角 形 法 则 (加 法 )
＋j
B A
0 A－B
－B ＋ 1
三 角 形 法 则 (减 法 )
b r
代数式：A=a+j b
极坐标式：A=r∠θ
0
a
+1
(矢量图)
7
由图可知， 复数用点表示法与用矢量表示法之 间的换算关系为
+j
r a2 b2
arctan b a
b
r
a r cos b r sin
0
a
+1
8
2. 复数的四种表达式 (1） 代数式: A=a+jb (2） 三角函数式： A=r cosθ+jr sinθ
解：
3）复数j的实部为0， 虚部为1，
其极坐标式为 j=1∠90°；
＋j
190
4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1，
11 8 0
其极坐标式为 –j =1∠-90°。
0
10 ＋1
（A = a + j b）
1 － 9 0
11
3. 复数的四则运算 （P35） 1） 加减运算 设有两个复数分别为 A=a1+jb1=r1∠θ1, B=a2+jb2=r2∠θ2 则 A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
21
4、
正弦量的相量表示法中，在表示相量 的大写字母上打点“·”是为了与一般 的复数相区别。 （课本P37）
22
5、 用一个复数表示一个正弦量的意义
在于： 把正弦量之间的三角函数运算变成
了复数的运算，使正弦交流电路的计算 问题简化
（课本P37）
23
6、 需要强调的是： 1）只有同频率的正弦量，其相量才能 相互运算，才能画在同一个复平面上。
设正弦量:u Umsin( ωt ψ)
用相量表示:
U Ue j ψ U ψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
Im θi
O
+1
(a) 以角速度ω旋转的复数
正弦量
i Im sin(t i )
2I sin(t i )
u Um sin(t u )
2U sin(t u )
i Im
θi O
ωt
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
相量
Im Imi I Ii
Um U mu U Uu 18
13
2） 乘除运算 （P36） 设有两个复数
A=r1∠θ1,
B=r2∠θ2
则
A·B=r1r2∠(θ1+θ2)
A B
r1 r2
(1
2)
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成 较为简便的极坐标式。
14
2.3.2 正弦量的相量表示法
1. 旋转因子： 把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。
2.3 正弦量的相量表示法
学习内容： 1. 2. 复数的运算 3. 正弦量的相量表示
1
正弦量的相量表示法 实质：用复数表示正弦量
所以先学习复数知识
2
2.3 正弦量的相量表示法
2.3.1 复数简介 复数定义： 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b
复数的为虚部， i 1称为虚部单位。
正弦量的相量表示法—小结
1、正弦量相量的两种形式
最大值
Um
有效值 U
1）. 表示正弦量的复数称为相量 。若其
幅度用最大值表示 ，则为幅值相量： Um、Im
2）.实际应用中幅度更多采用有效值，则为有效值相量：
有效值相量U、I包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
其极坐标式为1=1∠0°；
＋j
2）复数-1的实部为-1， 虚部为0，
190
其极坐标式为-1=1∠180°；
11 8 0 0
10 ＋1
（A = a + j b）
1 － 9 0
10
【补充例题1】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。
（参见课本P36 下至P37 上）
取任意复数A=r1 e j1 =r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ),
即任意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的 基础上增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。 见图。
＋j A ej
r1
r1
1
O
A
15
＋1
如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其 角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速旋转后 可惟一对应一正弦量：
Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)
正弦量的产生
16
2、正弦量的相量表示法 （课本P37） 正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi
是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电 流i，记为：
Im Ime j i I mi
并称其为相量。
17
+j ω