合肥工业大学工程硕士矩阵理论及应用笔记第二章
工程光学第二,三 章(合肥工业大学)
R
1.5 1 1.5 1 l '1 R
l1 ' 3R
图2-12a
即无穷远物体经第一面后成实像，是一个实物成实像的过 程，其像位于距玻璃球前表面的右侧3R处，同时位于距第 二面的右侧R处。由于第一面的像是第二面的物，又因为 其位于第二面的右侧，因此对于第二面而言是个虚物。
第一节 理想光学系统的共线理论
例3-1 如图3-1，已知Q、Q′为某理想光学 系统的一对共轭面， 并且已知该共轭面的垂 轴放大率，同时已知该系统的另外两对共轭 物像点C、C′和D、D′，试求图中任一物点P 的像点。
图 3-1
第一节 理想光学系统的共线理论
解：由P点过C点和D点分别作两条光线⑴和⑵，交Q 面于A点和B点,由于共轭面的垂轴放大率已知，根据 推论③，故容易得到Q′面上的A′点和B′点，即AB 和A′B′为这对共轭面上的一对共轭物像。根据推 论①，光线⑴的共轭光线⑴′必经过A′点和C′点， 光线⑵的共轭光线⑵′必经过B′点和D′点，得到 光线⑴′和⑵′的相交点P′,即为所求之像。
第四节 共轴球面系统的成像
l 2 l '1 d 3R 2R R ，r2 R 第二次成像， ' n2 1.5 ， n2 1
代入公式得
1 1.5 1 1.5 l2 ' R R
得 l2 ' R 2 即最终会聚于第二面的右侧 R 2 处，对第二 面而言，是一个虚物成实像的过程。
1 1 2 R 代入公式：l ' R R ，得 l 2 ' 2 3
R/2 R/3
R
即经第二面反射后成像于反射面左 图2-12b 侧 R 3 处，虚物成实像 第三次成像，光线从右到左，为了与符号规则一致，可将系统翻转 180°来计算第三次成像,此时有 l3 5R 3 , r3 R， n 1.5，n3 ' 1 1 1.5 1 1.5 代入公式得 l ' 5R / 3 R 得 l3 ' 5R / 2 2.5R
第二章第二章矩阵的相似及应用矩阵的相似及应用
x1 x2 = ( α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ Μ x n
x1 x2 λξ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ x n
T ξ = λξ
T(α1,α2 ,Λ ,αn )x = λ(α1,α2 ,Λ ,αn )x
(α1,α2 ,Λ ,αn )Ax= (α1,α2,Λ ,αn )λx
,α
n
x1 x2 其中 x = Μ x 坐标。 n
x1 x2 ( A λ I ) Μ x n
= 0
(2.1.4)
是特征向量 ξ 在基
s 下的
（2.1.4）有非零解 x 的充分必要 条件是：
( λ ) = det( λ I A ) = 0
定义2.1.2 λ I A 为矩阵 A 的特征矩阵，
T
酉矩阵 U ，使得 u1是它的第1列量。
定理 2.1.6
（Schur定理) A 设 n 为
阶方阵，λ1 ,λ 2 ,Λ , λn 是 A 的特征值，不论 它们是实数还是复数，总存在相似酉矩 阵 U 使得
A = UTU H ,
其中
T
为三角矩
λ 阵，对角线上的元素1 ,λ 2 ,Λ , λn
是
.
推论 1
x1 x1 x2 x2 (α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ Μ x x n n （２ １ . ３） .
（2.1.3）成立可以等价于 α 1 , α 2 , Λ
ξj 在变换
T 下满足：
Tξ j = λ jξ j
定义2.1.1 ξ ≠ 0 是线性空间 V 中的 向量，如果对于线性变换
Tξ = λξ λ ∈Ｐ
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设1V 和2V 分别是齐次方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===的解空间，证明12V V V =⊕。
证明：因方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===，只有零解，故{}120V V = ，从而21V V +=21V V ⊕，且21V V ⊕是V 的子空间，即21V V ⊕≤V 。
又1V 的维数是n-1，2V 的维数是1故21V V ⊕的维数是n 维，所以12V V V ⊕=。
注：任给一个V 的子空间1V ，可以找到子空间2V 使得：12V V V =⊕此式称为V 的一个直和分解，1V ，2V 称为互补空间2、 线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V 的线性变换T 的象空间和核都是V 的子空间 证明：V (),,,,()()()()()V 0k e r ()k e r (),k e r (),0,()0,k e r ()(),k e r ()k e r ()VT V x y V P x y V x V Tx Ty T x y T V Tx T x T V T V T T x y T P Tx Ty T x y Tx Ty x y T T x Tx x T T λλλλλλλλ∀∈∀∈+∈∈+=+∈=∈∈∀∈∀∈==+=+=+∈=∈因为非空，所以非空故是是的线性子空间因为所以非空因为所以非空则于是故故因此是的线性子空间。
例题2:线性空间V 中的线性变化T 的象空间和核的维数之和等于V 的维数 dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s 即可取ker(T)的一组基12s ,,...,x x x 再添加n-s 个向量将这组向量扩充为V 的一组基12s 122,,...,,,,...,,s s s x x x y y y +++112211n n112211n n11n n111...............(){,,...,}s s s s s s s s s s s s s x V x x x x y y Tx Tx Tx Tx Ty Ty Ty Ty T V Span Ty Ty Ty λλλμμλλλμμμμ+++++++++∀∈=++++++=++++++=++=对则现在只需证明12,,...,s s n Ty Ty Ty ++线性无关。
矩阵理论复习总结 PPT课件
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1
max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A
max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )
1T
T 2
T n
111T
2
2
T 2
n
n
T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).
工程矩阵理论
双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1§1.2 线性变换及其矩阵 3§1.3 内积空间8§1.4 正交变换及其几何与代数特征§1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论§2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34 §3.5 矩阵分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间§4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25§5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49 第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。
研究生矩阵理论及其应用课后答案——黄有度
研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵.A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘运算：),,(),(),(ac d b c a d c b a +++=⊕)2)1(,(),(2a k k kb ka b a k -+= （4）设R +是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：,k a b ab k a a ⊕==其中,,a b R k R +∈∈；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设{}12sin sin 2sin ,,02k i V x x c t c t c kt c R t π==+++∈≤≤，V 中元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin ,sin 2,,sin t t kt 是V 的一个基，试确定i c 的方法.● 解 （1）是.● 令{}矩阵为是实系数多项式，n n x f f V ⨯=A A )()(1.由矩阵的加法和数乘运算知,●),()(),()()(A A A A A d kf h g f ==+● 其中k 为实数，)(),(),(x d x h x f 是实系数多项式.1V 中含有A 的零多项式，为1V 的零元素.)(A f 有负元1)(V f ∈-A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.● （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为),(),,(),,(g f d c b a ===γβα,以及任意实数l k ,,则有① αββα+=+++=⊕),(ac d b c a ; ② γγβα⊕+++=⊕⊕),()(ac d b c a))()(,)((f c a g ac d b f c a +++++++=))()(),((f c a cf g d b f c a +++++++= )(),(γβαα⊕⊕=+++⊕=cf f d f c ;③存在(0,0),使得),()00,0()0,0(),(b a a b a b a =+++=⊕,即(0,0)为零元;④存在),(2b a a --,使得)0,0())()(,(),(),(22=-+-+-=--⊕a a b a b a a b a a b a ,即),(2b a a --是),(b a 的负元;⑤),()2)11(11,1(),(12b a a b a b a =-+= ⑥)2)1(,()),(()(2a l l lb la k b a l k l k -+== α))(2)1()2)1((),((22la k k a l l lb k la k -+-+=α )(),()()2)1()(,(2kl b a kl a kl kl b kl kla ==-+=;⑦)2)1))((()(,)((),()()(2a l k l kb l k a l k b a l k l k -+++++=+=+ α )))(()2)1(()2)1((,(22la ka a l l lb a k k kb la ka +-++-++=)2)1(,()2)1(,(22a l l lb la a k k kb ka -+⊕-+= αα l k b a l b a k ++=+=),(),(;⑧),()(ac d b c a k k +++=⊕ βα))(2)1()(),((2c a k k ac d b k b a k +-++++= )))(()2)1(()2)1((,(22kc ka c k k kd a k k kb kb ka +-++-++=)2)1(,()2)1(,(22c k k kd kc a k k kb ka -+⊕-+=)()(βα k k ⊕=.（4）是.对任意a ，b ∈R +，有+∈=⊕R ab b a ；又对任意R k ∈和+∈R a ，有+∈=R a a k k ，即R +对所定义的加法与数乘运算封闭。
工程数学第二章矩阵课件
68 34
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结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
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结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
矩阵理论知识点整理
欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。
引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。
行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。
南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换课件
求 在自然基底 1,2,3 下的矩阵.
解：
( 1 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 1 )
(2 ) ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 1 )
(3 ) ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , 0 )
这里 k1k2≠0 。 对于特征值 -6，解齐次线性方程组
(6IA)X0
得到一个基础解系：
1 2 2T
从而 A 的属于 -6 的极大线性无关特征向量组是
312223
于是 A 的属于 -6 的全部特征向量
k3, kK
这里 k 为数域 F 中任意非零数。
例 2.4.2 对于多项式
f ( x ) x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的 正交变换：
一般形式的Givens矩阵为：
1
G(i,
j)
1 cos
sin
1
1
sin
cos
1
第i 列
第j 列
1
对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换。
Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维 向量，通过有限次Givens变换，可将其后任意r 个分 量变为零，特别地，r=n-1时，得
称 nn矩阵 C 为多项式 f ( x ) 的友矩阵，这里
0 1
0 0
0 0
0 0
an an1
C
0
1
0
0
an2
0
0
0
1
a0
求C的特征多项式
研究生矩阵理论知识重点
《矩阵理论》知识重点一．概况1．开课学院（系）和学科：理学院数学系2．课程代码：3．课程名称：矩阵理论4．学时/学分：51学时/3学分5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
三、课程的教学内容和要求矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章矩阵代数（复习，2）1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
合肥工业大学 数电 第二章 逻辑代数和逻辑函数(1)
33 MHz
2、 从逻辑函数式写出真值表
方法：一般按二进制的
ABC F 000 0
顺序，输出与输入状 0 0 1 0
态一一对应，列出所 0 1 0 0
有可能的状态。
011 0 100 0
例如：
101 1
110 1
F ABC ABC ABC 1 1 1 1
33 MHz
3、 从逻辑函数式画出逻辑图 方法：图形符号代替式中的运算符号即可
吸收律: 吸收多余（冗余）项，多余（冗 余）因子被取消、去掉 被消化了。)
（1）原变量的吸收： A AB A
证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A
长中含短， 留下短。
（2）反变量的吸收： A A B A B
证明：A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基 本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两 个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。
0和1表示两个对立的逻辑状态。
例如：电位的低高（0表示低电位，1表示 高电位）、开关的开合等。
33 MHz
A 为原变量， A 为反变量
1. 基本运算公式(0-1律，还原律)
用处：实现互补运算（求反运算）。
33 MHz
例1： F1 A B C D 0
F1 A B C D 0
注意
括号 F1 (A B) (C D) 1
F1 AC BC AD BD
注意括号
与或式
33 MHz
例2： F A B C D E 2
F2 A B C D E
例：已知 A B A B, Z A C 则得到 A B C AC B A B C
矩阵分析课件chapter2 范数理论及其应用例题详解
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔ x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何线性空间在一组基下都代数同构于常用的n维向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维向量空间就足够了。
范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数。
即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 若||⋅||f和||⋅||g为线性空间V上的两个向量范数，则(1). ||⋅||f+ ||⋅||g为V上向量范数。
(2). max{ ||⋅||f, ||⋅||g } 为V上向量范数。
性质4. 若||⋅||f和||⋅||g分别为线性空间V上两个线性交集为0的子空间V1和V2上的两个向量范数，则对任意x∈V1⊕V2,存在唯一分解x= u+v, 其中u∈V1,v∈V2,定义||x||1=||u||f+ ||v||g ,||x||2=max{||u||f,||v||g}则||x||1和||x||2为V1⊕V2上的向量范数。
性质5. (范数与凸集) 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，集合Ω={x: ||x||≤ 1}为V上凸集。
反之，若Ω为V上的均衡闭凸集，即x∈Ω,则λ⋅x∈Ω,其中|λ|≤1.其中Ω含有内点，即包含一个小的单位球。
部分章节小结
多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环. 2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律. (2))).(())(())()(())),(()),((max())()((0000x g x f x g x f x g x f x g x f ∂+∂=∂∂∂≤+∂(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积. 二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设(),()[]f x g x F x ∈，()0,()|()()()()1g x g x f x g x f x r x ≠⇔=除的余式.因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素.(1) 最大公因式,互素的概念. (2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法. (3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,则)()()()()(x d x v x g x u x f =+.反之不然. (4) 1)()()()(:)(),(1))(),((=+∃⇔=x v x g x u x f x v x u x g x f .(5) ()|()(),((),())1()|().f x g x h x f x g x f x h x =⇒()|(),()|(),((),())1()()|().f x h x g x h x f x g x f x g x h x =⇒三、 因式分解理论1.不可约多项式 (1) 不可约多项式的概念. (2) 不可约多项式p(x)有下列性质:).(|)()(|)()()(|)(,1))(),((),(|)(][)(x g x p or x f x p x g x f x p x f x p or x f x p x F x f ⇒=⇒∈∀(3) 整系数多项式在有理数域上可约⇔它在整数环上可约. (4) 艾森斯坦判断法.2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯一性定理. (2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积. (3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式 (1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式. (3) )(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f . (4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.7.根的个数定理.F[x]中n 次多项式)0(≥n 在数域F 中至多有n 个根.8.多项式函数相等与多项式相等是一致的. 重点:一元多项式的因式分解理论.难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.线性变换(小结)线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.一、线性变换及其运算1. 基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象与核是V 的子空间.若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成,而A 的秩+A 的零度=n ,且A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}.二、线性变换与矩阵1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。