平方差公式的几何背景-初中数学习题集含答案

平方差公式的几何背景（北京习题集）（教师版）

一．选择题（共4小题）

1．（2019春•石景山区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是

A ．

B ．

C ．

D ．

2．（2019秋•海淀区校级月考）如图所示，已知边长为的正方形纸片，减掉边长为的小正方形后，将剩下的三块拼接成一个长方形，则这个长方形较长的边长为

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（2019春•平谷区期末）根据如图可以验证的乘法公式为

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（2018秋•海淀区校级期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为

a b +a b -()a b >()4ab 2ab 2b 2a a b ()a b +a b -2a b +22a b +()22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+22()ab a b a b ab +=+a b ()a b >a b ()

A ．

B ．

C ．

D ．无法确定

二．填空题（共5小题）

5．（2019秋•朝阳区期末）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式 ．

6．（2019秋•丰台区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为 ．

7．（2019春•延庆区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是，另一条边长是 ．

8．（2019•平谷区一模）如图，从一个边长为的正方形的一角上剪去一个边长为的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含，的等式表示）．

222()2a b a ab b -=-+222()2a b a ab b +=++22()()a b a b a b -=+-4a +a (0)a >(3)a +a a ()b a b >a b

9．（2016春•门头沟区期末）在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是 ．

三．解答题（共5小题）

10．（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．

（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．

（2）计算： ；请画图说明这个等式．

11．（2017春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．

如图1，可以求出阴影部分的面积是；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是，宽是，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式．

a b ()()x a x b ++=22a b -a b +a b -22()()a b a b a b +-=-

（1）观察图3，请你写出，，之间的一个恒等式 ． （2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： ．

（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．

12．（2016春•顺义区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．

（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为，的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．

（2）计算： ；请画图说明这个等式．

13．（2016秋•西城区校级期中）观察图形，利用图形面积关系用写出一个代数恒等式．

14．（2015春•房山区校级期中）观察两个图形中阴影部分面积的关系．

2()a b +2()a b -ab 222()2a b a ab b +=++a b ()()x a x b ++=

（1）可以用这两个图形中阴影部分的面积解释的乘法公式是 ． （2）请你利用这个乘法公式完成下面的计算．

①；②

100.399.7⨯2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++

平方差公式的几何背景（北京习题集）（教师版）

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．（2019春•石景山区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用． 【解答】解：该长方形的面积， 故选：．

【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算． 2．（2019秋•海淀区校级月考）如图所示，已知边长为的正方形纸片，减掉边长为的小正方形后，将剩下的三块拼接成一个长方形，则这个长方形较长的边长为

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】由题意可求减掉后长方形的面积为：即可． 【解答】解：由题意可知减掉后长方形的面积为：， 长方形较长的边长为，

故选：．

【点评】本题考查平方差公式的应用；能够利用图形面积的关系，借助平方差公式求解是解题的关键． 3．（2019春•平谷区期末）根据如图可以验证的乘法公式为

a b +a b -()a b >()4ab 2ab 2b 2a 222222()()224a b a b a ab b a ab b ab =+--=++-+-=A a b ()a b +a b -2a b +22a b +22()()a b a b a b -=+-22()()a b a b a b -=+-∴a b +A ()