复合函数的性质与图象
高一数学复合函数
高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念,它在函数学习的过程中起着关键作用。
本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x),则复合函数记作f(g(x)),表示先用g(x)对x进行映射,然后再将结果代入f(x)进行映射。
2. 复合函数的性质(1)复合函数的定义域:复合函数的定义域取决于中间函数的定义域,要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。
(2)复合函数的值域:复合函数的值域取决于最后一个函数的值域,要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。
(3)复合函数的可逆性:当复合函数中的所有函数都是可逆函数时,复合函数才是可逆的。
(4)复合函数的性质:复合函数满足结合律,即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。
3. 复合函数的应用举例(1)物理问题:假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t),而时间与位置的函数关系为s(t),则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。
(2)经济问题:假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x),而销量与利润的函数关系为l(x),则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。
(3)生物问题:假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t),而时间与增长率的函数关系为r(t),则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。
4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x)),可以利用链式法则来求导。
链式法则规定,复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
通过链式法则,可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。
5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像,并根据复合函数的定义进行变换得到。
具体来说,先画出中间函数的图像,然后根据复合函数的定义,将中间函数的输出作为最后一个函数的输入,再画出最后一个函数的图像。
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则, 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x,找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律,即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律,即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x,它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x,即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则,以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系,介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数, 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如,如果有两个函数f(x)和g(x),则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系,帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计,提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算,将一个函数的输出作为输入,返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
三角函数的复合函数与反函数
三角函数的复合函数与反函数三角函数是高等数学中重要的基础概念之一,而复合函数和反函数则是处理函数关系中常见的操作。
本文将介绍三角函数的复合函数和反函数的概念及其在数学中的应用。
一、复合函数的定义与性质复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。
对于两个函数f(x)和g(x),它们的复合函数可以表示为(g∘f)(x),读作g 的f。
复合函数的定义如下:设函数f(x)的定义域为A,值域为B,函数g(x)的定义域为B,值域为C,则f和g的复合函数(g∘f)(x)定义如下:(g∘f)(x) = g(f(x)), x∈A复合函数的性质如下:1. 复合函数满足结合律,即(h∘(g∘f))(x) = ((h∘g)∘f)(x)2. 复合函数满足分配律,即(h∘(g+f))(x) = (h∘g + h∘f)(x)二、三角函数的复合函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数,常见的三角函数有正弦函数sin(x),余弦函数cos(x),正切函数tan(x),割函数sec(x),余割函数csc(x),和余切函数cot(x)。
三角函数的复合函数在数学中有着广泛的应用,例如在解析几何、三角方程以及物理学等领域。
以正弦函数sin(x)为例,我们可以讨论其与其他函数的复合函数。
设函数f(x)为x的平方根函数,函数g(x)为x的倒数函数,则sin(f(x))和sin(g(x))分别表示正弦函数和平方根函数,以及正弦函数和倒数函数的复合函数。
类似地,我们还可以讨论其他三角函数与不同函数之间的复合函数。
三、反函数的定义与性质反函数是指将一个函数的输入和输出进行互换得到的新函数。
对于函数f(x),如果存在函数g(x),使得f(g(x))=x且g(f(x))=x,那么称g(x)为f(x)的反函数,记作f^(-1)(x)。
反函数的定义如下:设函数f(x)的定义域为A,值域为B,则函数g(x)的定义域为B,值域为A,且满足以下条件:f(g(x)) = x, x∈Ag(f(x)) = x, x∈B反函数的性质如下:1. 函数与其反函数互为镜像,即y=f(x)与y=f^(-1)(x)关于y=x对称;2. 函数与其反函数的图像关于直线y=x对称;3. 函数与其反函数的复合函数等于自变量,即(f∘f^(-1))(x) = x,(f^(-1)∘f)(x) = x;4. 函数为一对一函数时,才存在反函数。
复合函数知识点总结初中
复合函数知识点总结初中一、函数的概念函数是一种数学关系,其描述了自变量和因变量之间的对应关系。
在函数中,自变量的取值范围和对应的因变量的取值范围是函数的定义域和值域。
函数的图象是自变量与因变量之间的对应关系在坐标系中的表现,用曲线或者直线来表示。
二、函数的运算函数之间的运算包括函数的加、减、乘、除,以及函数的复合等。
这些运算是在函数的基本运算规则的基础上进行的,需要注意各种函数之间的运算规则,尤其是函数的定义域和值域的确定。
三、复合函数的定义和性质1. 复合函数的定义对于两个函数 f(x) 和 g(x),如果 f 的值域是 g 的定义域,那么复合函数 f(g(x)) 定义为f(g(x)) = f(g(x)),表示先对自变量进行 g 函数的运算,再对结果进行 f 函数的运算。
复合函数的定义域与值域需要根据具体的函数来确定。
2. 复合函数的性质复合函数具有一些特殊的性质,包括结合律和对合律等。
结合律表示对于函数 f(g(x)) 和h(x),有 f(g(x)) = f(g(h(x)));对合律表示 f(g(x)) 和 g(f(x)) 不一定相等,需要具体分析。
复合函数的性质可以帮助我们更好地理解和运用复合函数。
四、复合函数的应用复合函数在数学、物理、化学等学科中有着广泛的应用,如利用复合函数来描述两个物体的运动、分析化学反应的速率等。
在实际应用中,复合函数有着丰富的内涵和灵活的运用,需要学生熟练掌握其应用技巧。
通过对上述的内容进行总结,相信学生们可以更加全面地了解和掌握复合函数的知识。
同时,在学习过程中,需要多做一些例题,加深对复合函数的理解和运用。
希望本文能够对学生的学习有所帮助,让他们更好地掌握复合函数的知识。
复合函数单调性课件
复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时,该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点, 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$,这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处,该函数取得极小值点;而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内,该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$,$u = g(x)$,则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续,即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续,则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导,则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$,都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$(或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$),则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增(或单调递减)。
举例
设 $f(x) = x^2$,$g(x) = frac{1}{x}$,$h(x) = log_2(x)$ ,考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内,该复合函数是单调递增的 ,而在 $0 < x < 1$ 的区间内, 该复合函数是单调递减的。
复合函数与反函数
复合函数与反函数复合函数和反函数是数学中常用的概念,它们在函数的组合和逆运算中起着重要的作用。
本文将介绍复合函数和反函数的定义、性质以及它们的应用。
一、复合函数的定义与性质复合函数是指把一个函数的输出作为另一个函数的输入,从而得到一个新的函数。
设有函数f(x)和g(x),则它们的复合函数记作(f o g)(x),读作“f合g(x)”或“f在g(x)的基础上”。
具体而言,设有函数f(x)和g(x),则(f o g)(x) = f(g(x))。
在计算复合函数时,首先对g(x)进行计算,然后将其结果作为f(x)的输入。
例如,若f(x) = 2x,g(x) = x + 1,则(f o g)(x) = f(g(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2。
复合函数的性质如下:1. 结合律:对于函数f(x),g(x)和h(x),有(f o g) o h = f o (g o h)。
2. 唯一性:对于函数f(x)和g(x),若(f o g)(x) = x,则g(x)为f(x)的反函数,而f(x)为g(x)的反函数。
二、反函数的定义与性质反函数是指一个函数与其自身的复合函数互为逆函数的关系。
设有函数f(x),若存在函数g(x),使得(g o f)(x) = x和(f o g)(x) = x,则g(x)为f(x)的反函数。
具体而言,设有函数f(x),则其反函数记作f^(-1)(x)。
反函数的定义满足以下条件:1. f^(-1)(f(x)) = x,对于所有在f(x)的定义域上的x成立。
2. f(f^(-1)(x)) = x,对于所有在f^(-1)(x)的定义域上的x成立。
反函数的性质如下:1. 反函数的导数:若f(x)在某一区间上连续且可导,则f^(-1)(x)在相应的区间上也连续且可导,并且(f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))。
2. 反函数的图像:若f(x)的图像关于y = x对称,则f(x)的反函数的图像与f(x)的图像关于y = x对称。
复合函数的性质
复合函数的性质文/董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展,在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识,在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现,但现行中学数学教材中没有作出系统研究.本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的性质及其应用.一、基础知识1.定义.设函数y=f(u),当u∈P时,f(u)∈Q;u又是x的函数,u=g(x),当x∈M时,u∈P.从集合M中每一个给定的x,通过P中唯一的元素u与集合Q中唯一的元素y相对应,则y也是x的函数,称为这两个函数的复函数,记为y=f[g(x)].其中y=f(u)叫做复合函数的外函数,u=g(x)叫做复合函数的内函数,集合M叫做这个复合函数的定义域.形如fn(fn-1(fn-2(…f2(f1(x))…)))的函数叫做多重复合函数,它可以看成是函数u=fn-i(fn-i-1(…f2(f1(x))…))与y=fn(fn-1…fn-i+1(u)…)的复合函数.2.单调性.函数u=g(x)在集合M上有定义,u∈P;y=f(u)在P上有定义.如果g(x)在M上递增,f(u)在P上递增(减),那么f[g(x)]在M上也递增(减);如果g(x)在M上递减,f(u)在P上递增(减),那么f[g(x)]在M上递减(增).3.奇偶性.如果u=g(x)为奇函数,y=f(u)为奇(偶)函数,则复合函数y=f[g(x)]为奇(偶)函数;如果u=g(x)为偶函数,y=f(u)有意义,则复合函数y=f[g(x)]必为偶函数.4.反函数.如果内函数u=g(x)和外函数y=f(u)都分别是其定义域到值域上一一对应的函数,那么复合函数y=f[g(x)]的反函数为y=g-1[f-1(x)].证明见文[1].5.周期性.函数u=g(x)是集合R上的周期函数,u∈M;f(u)在M上有定义,则复合函数f[g(x)]也是R上的周期函数.内函数为周期函数,复合函数必为周期函数;若外函数为周期函数,复合函数却未必是周期函数.例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题,问sin(x2)是周期函数吗?回答显然是否定的.综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性,不难发现复合函数还有以下性质:6.若内函数u=g(x)的最小正周期为T0,u∈D,外函数y=f(u)是D上的单调函数,则复合函数y=f[g(x)]也是最小正周期为T0的周期函数.7.若函数f(u)的最小正周期为T0,g(x)=ax+b(a≠0),则复合函数f[g(x)]也为周期函数,最小正周期为T0/|a|.8.若g(x)为奇函数,当f(x)与φ(x)均为偶函数时,复合函数φ(x)=f[g(x+a)](a≠0)为周期函数,2a是它的一个周期;当f(x)与φ(x)奇偶性相异时,复合函数φ(x)=f[g(x+a)](a≠0)也为周期函数,4a是它的一个周期.9.若g(x)为偶函数,f(x)在R上有定义,当φ(x)为偶函数时,复合函数φ(x)=f[g(x+a)](a≠0)为周期函数,2a是它的一个周期;当φ(x)为奇函数时,复合函数φ(x)=f[g(x+a)](a ≠0)也为周期函数,4a是它的一个周期.现证明一种情形.f(x)为奇函数,g(x)、φ(x)均为偶函数时,由φ(-x)=f[g(-x+a)]=f[g(x-a)],又φ(x)=f[g(x+a)],得f[g(x-a)]=f[g(x+a)],即φ(x-2a)=φ(x).φ(x)为周期函数,2a是它的一个周期.其余情形类似可证.例1 P(x)和Q(x)为二实系数多项式,它们对一切实数x满足恒等式P[Q(x)]=Q[P(x)],若方程P(x)=Q(x)无实数解,证明:方程P[P(x)]=Q[Q(x)]亦无实数解.导析:学生观察题目后,容易闪现出一个念头,即设出多项式P(x)和Q(x),但P[P(x)]、Q[Q(x)]等难以表示.思维受阻后,学生转而考虑反证法.假设P[P(x)]=Q[Q(x)]有解,设其解为a,则由P[P(a)]=Q[Q(a)]很难确定下一步证题方向,同样无功而返.这时教师可提醒学生:P(x)=Q(x)无实数解的实质是什么?学生很快想到P(x)-Q(x)或者恒为正,或者恒为负.不妨设P(x)>Q(x),由此P[P(x)]>Q[P(x)],P[Q(x)]>Q[Q(x)].又P[Q(x)]=Q[P(x)],得P[P(x)]>Q[Q(x)].这已是学生熟悉的问题,可由学生整理完成.例2 已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,如果f[f(a)]=f(1993)+1,求a.导析:从条件看,多数同学会想到f(1993)=f(1992+1)=-2,由此f(a)=|a-2|-|a|,f[f(a)]=||a-2|-|a|-2|-||a-2|-|a||.现在要去掉绝对值符号,就非常困难了.教师适时引导学生:如果先去绝对值符号呢?f(x)=|x-2|-|x|=由于f[f(a)]=f(1 993)+1=-2+1=-1,学生便会想到此时0≤f(a)≤2,从而2-2f(a)=-1,a=1/4.例3函数f(x)在R上有定义,且满足:①f(x)是偶函数,f(0)=993;②g(x)=f(x-1)是奇函数.试求f(1992)的值.导析:学生很容易想到f(1992)=g(1993)=-g(-1993)=-f(1994).本来求f(1992)就很烦,化成f(1994)更显繁,不少学生畏难而退.能否找出函数变化规律呢?也就是说把数据一般化,能否证得f(x)=-f(x+2)呢?学生会恍然大悟,f(x)是周期为4的函数!至此思路已经畅通.由特殊到一般,再由一般到特殊,这是人类认识世界、改造世界的规律,也是解竞赛题的常用策略.本题也可直接用基础知识8,只要令φ(x)=x,则f(x)=g[φ(x+1)]即可求解.二、综合应用复合函数是单一函数的整合与拓展,它以代数式、数列、几何等知识为支撑,以方程、不等式等形式为载体,以函数的性质为纽带,加之应用广泛,在竞赛命题中自然就颇受青睐.复合函数问题常通过换元法、待定系数法、特殊值法变形求解,与自然数有关的命题也可通过数学归纳法获证.例4是否存在函数f∶R→R;g∶R→R,使得对所有的x∈R,都有f[g(x)]=x2,g[f(x)]=x3?导析:既然对所有x∈R,都有这两个函数关系,学生首先想到用特殊值去验证.根据本题特点选择0和1,得f[g(0)]=0,g[f(0)]=0;f[g(1)]=1,g[f(1)]=1.现在问题转化为要求f(0)、f(1)、g(0)、g(1).经过一番“折腾”,学生摸索出f(0)=f{g[f(0)]}=[f(0)]2,f(1)=f{g[f(1)]}=[f(1)]2.那么f(0)究竟等于0还是1?f(1)又等于几?f(x)表达式又是什么?这时学生能够推得f(x3)=f{g[f(x)]}=[f(x)]2,这是一个一般性结论,学生还能观察出f(-1)=[f(-1)]2.这样f(0)、f(1)、f(-1)的值都只能在0和1中选择,因此f(0)、f(1)、f(-1)至少有两个相等,究竟又是哪两个相等呢?正当“山穷水尽”之时,再揣摩一下题目中的“是否存在”,这是不是意味着上述结论不一定成立?至此问题的解决进入最后阶段,由于g[f(0)]、g[f(1)]、g[f(-1)]不等,故f(0)、f(1)、f(-1)也互不相等.更一般地,对于任意x1≠x2,f(x1)≠f(x2),因此满足条件的函数关系不存在.例5确定所有的函数f:R→R,其中R是实数集,使得对任意x,y∈R,恒有f[x-f(y)]=f[f(y)]+xf(y)+f(x)-1成立.(1999年第四十届IMO试题)导析:和上题一样,先用特殊值代入验算.学生自然先考虑x=y=0的情形.得出f[-f(0)]=f[f(0)]+f(0)-1.f(0)的值又如何求呢?学生仍然会考虑特殊情况,再令x=f(y),得f(0)=2f(x)+x2-1,从而f(0)=1.容易验证f(x)=1-x2/2符合题意.这是从特殊情形推出的结果,现在还需要解决的问题是有没有满足条件的其他函数?不妨设函数f像的集合为A.我们的目标是求f(x)表达式.令y=0,则f(0)∈A且为常数,记为m,则f(x-m)-f(x)可以表示为x的一次函数:f(x-m)-f(x)=mx+f(m)-1.也就是说对任意x∈R,mx+f(m)-1∈R,f(x-m)-f(x)∈R.换句话讲对任意x∈R,都存在y1,y2∈A,使得x=y1-y2.因此f(x)=f(y-y2)=f(y1)+f(y2)+y1y2-1.①那么f(y1)、f(y2)又如何表示?由上述1分析知只要令x=f(y),便得f(x)=(-x2+m+1)/2.② 把f(y1)、f(y)表达式代入①,即可求得f(x)=m-x2/2.再令x=0,则m=1.从而对任意x∈R,2都有f(x)=1-x2/2.例6设n为自然数集合,k∈N,如果有一个函数f:N→N是严格递增的,且对于每一个n∈N,都有f[f(n)]=kn.求证:对每一个n∈N,都有2kn/(k+1)≤f(n)≤(k+1)n/2.导析:条件是关于复合函数的等式,结论却是关于f(x)的不等式,学生首先能考虑寻找f(n)与f[f(n)]之间的关系.由已知,f(n)≥n,则f[f(n)]≥f(n)≥n,故k≥1,而2kn/(k+1)=n/(1/2+1/2k)≥n,这对证题没有帮助.再回到已知“f严格递增且取自然数值”,就是说f(n+1)≥f(n)+1,进而对任意m∈N,都有f(n+m)≥f(n)+m.既然f(n)≥n,不妨设f(n)=n+m(m是非负整数),则f[f(n)]≥f(n)+m=f(n)+f(n)-n,从而f(n)≤(k+1)n/2.对于左式,实质是要证明f[f(n)]≤(k+1)f(n)/2,这已是水到渠成的事情.本题多次运用换元思想,进行“换位思考”,这也是解复合函数竞赛试题的常用手段.例7设f(n)为一个在所有正整数集合N上有定义且在N上取值的函数.证明:如果对每一个n,f(n+1)>f[f(n)],则对每一个n,f(n)=n.导析:本题和上题恰好相反,是由不等关系推相等关系.根据所求,学生较易想到的是反证法.假设f(n)≠n,不妨先考虑f(n)>n的情形,得f[f(n)]>f(n),而f(n+1)≥f(n)+1,至此已别无它法.调整思路,比较本题和上题,上题已知f是N→N上严格增函数,本题结论函数f也是单调增函数.所以可以尝试先证明m≥n时,f(m)≥f(n).由于是与自然数有关的命题,可以考虑用数学归纳法证明.当n=1时,f(2)>f[f(1)],而f[f(1)]≥f(1)又怎么证?这又回到上面老路上.退一步讲,对任意m≥n,欲证f(m)≥f(n)比较困难,能否证得f(m)≥n?事实上如果证得f(m)≥n,则f(n)≥n也必定成立,这离f(n)=n反而更接近.当n=1时结论显然成立.设n=k(k∈N)时结论成立,即m≥k时,f(m)≥k.则当n=k+1,即m≥k+1时,m-1≥k,f(m-1)≥k,从而f(m)>f[f(m-1)]≥k.由于f(m)取值为正整数,因此f(m)≥k+1,命题成立.这样f(n)≥n.现在证明f(n)>n不可能.若f(n)>n,即f(n)≥n+1,则f[f(n)]≥f(n+1),这与已知矛盾.接下来,就由学生对上述思路进行梳理、整合.三、强化训练1.若=x,求F(x).2.已知f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],求方程f{f[f(x)]}=(1/2)x的解的个数.3.若a>0,a≠1,F(x)为R上的奇函数,判定函数G(x)=的奇偶性.4.设f(x)=(1+x)/(1-3x),f1(x)=f[f(x)],f2(x)=f[f1(x)],…,fn(x)=f[fn-1(x)],…,求f1991(4.7).5.设y=f(x)是定义在R上的函数,且对任意a,b∈R,都有f[af(b)]=ab,求f(2000).6.设f(x)是定义在R上的函数,M={x|f(x)=x},N={x|f[f(x)]=x}.(1)求证MN;(2)若f(x)在R上是增函数,判断M=N是否成立,并证明你的结论.7.全体正整数集是两个不相交子集{f(1),f(2),…,f(n),…}与{g(1),g(2),…,g(n),…}的并集,其中f(1)<f(2)<…<f(n)<…,g(1)<g(2)<…<g(n)<…,且对于所有n>1,有g(n)=f[f(n)]+1,求f(240).参考答案与提示1.(1-x)/(1+x).提示:用换元法.2.8个.提示:分类讨论.先分两类:f(x)=对于f[f(x)],也可类似分成四个区间讨论,因为f(x)在上述两区间值域仍为[0,1].至于f{f[f(x)]}要分八个区间分别求解.3.奇函数.提示:可先证明是奇函数.4.4.7.提示:由f1(x)=(x-1)/(3x+1),f2(x)=x,f3(x)=f(x),f4(x)=f1(x),由此可以类推,归纳出规律,f3m+k(x)=fk(x)(m,),从而f1991(4.7)=f3×663+2(4.7)=f2(4.7)=4.7.5.±2000.提示:用特殊值法.先令a=1,得f[f(b)]=b;再令a=f(b),得f[f2(b)]=bf(b).而f[bf(b)]=b2=f{f[f2(b)]}=f2(b),故|f(b)|=|b|.6.(1)对任一x∈M,f(x)=x,于是f[f(x)]=f(x)=x,即x∈N,故MN.(2)成立.设f(x)为增函数,若xM,则f(x)>x或f(x)<x;前者导出f[f(x)]>f(x)>x,后者导出f[f(x)]<f(x)<x,故总有xN,因此NM.结合(1),M=N.7.388.解答见文[2].参考文献1.甘大旺.复合函数的反函数.中学数学,2000,22.单土尊.数学奥林匹克题典.南京:南京大学出版社,1995(本期“高中竞赛初级讲座”特邀编辑刘康宁)。
高一复合函数知识点总结
高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一,它是由两个或多个函数组合而成的函数。
在高一阶段学习复合函数时,需要掌握一些基本知识点和技巧。
本文将对高一复合函数的相关知识进行总结,包括定义、性质和常见解题方法等方面。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。
设有函数f(x)和g(x),则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换,再对结果进行f(x)的变换。
可以用以下形式表示:f(g(x)),也可以写作(f ∘g)(x)。
2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x)),求解的方法如下:Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域,保证f(g(x))有意义。
Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中,得到f(g(x))的表达式。
Step 3: 综合以上结果,确定f(g(x))的定义域和值域。
3. 复合函数的性质(1)复合函数的定义域:复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中,使得g(x) ∈ f(x)的值域。
(2)复合函数的值域:与内层函数g(x)的值域相对应,即g(x)的值域是f(g(x))的值域。
(3)复合函数的奇偶性:若f(x)是奇函数,g(x)是任意函数,则f(g(x))也是奇函数;若f(x)是偶函数,g(x)是任意函数,则f(g(x))也是偶函数。
(4)复合函数的单调性:若f(x)在[a, b]上单调增加(或单调减少),g(x)是单调函数,则f(g(x))在[a, b]上也单调增加(或单调减少)。
4. 复合函数的常见解题方法(1)求函数的复合逆:对于复合函数f(g(x)),若要求它的复合逆,可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x),然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。
(2)复合函数的导数:若已知内层函数g(x)可导,外层函数f(x)在g(x)的值域上可导,则可以利用链式法则求得复合函数的导数。
(3)复合函数与反函数的关系:若复合函数f(g(x))恒等于x,且g(x)为f(x)的反函数,则f(x)和g(x)互为反函数。
复合函数的性质
复合函数的奇偶性: 复合函数的奇偶性: 若函数f ( x), g ( x), f [ g ( x)]的定义域都
关于原点对称,那么由u = g ( x), y = f (u ) 的奇偶性得到y = f [ g ( x)]的奇偶性规律
u = g(x) 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 y = f (u) 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
2
复合函数的单调性 求复合函数y= 的单调区间的步骤: 求复合函数 =f[g(x)]的单调区间的步骤: 的单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域 )确定函数的定义域 分解成基本函数: (2)将复合函数 )将复合函数y=f[g(x)]分解成基本函数: 分解成基本函数 y=f(u) , u=g(x) 确定分解成的 (3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调 )分别确定分解成的两个基本初等函数的单调 区间 单调性相同, (4)若这两个函数单调性相同,则y=f[g(x)]为增 )若这两个函数单调性相同 为 函数, 单调性相反, 函数,若单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数, 为减函数, 同增异减” 即“同增异减”
3 所以函数f ( x)在区间(−∞, ]上为增函数 2 3 在区间( , +∞)上为减函数。 2
例:求 y = 3
x 2 − 2 x −1
的单调区间
练习:求函数f ( x) = x + x − 6的
2
单调区间
例.求函数y=log4 (x2-4x+3)的单调区间:
求y = 7 − 6 x − x 的单调区间和最值
x 2 + 2 x −3
(a > 0且a ≠ 1)的
求复合函数y = log 1 (2 x − x )的单调区间
复合函数总结复习
复合函数总结复习复合函数是高中数学中的重要概念,也是数学建模、微积分等领域的基础知识之一、复合函数的概念在数学中具有广泛的应用,能够帮助我们更好地理解、推导和解决各种数学问题。
1.复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数通过其中一种运算相结合形成的函数。
如果有两个函数f(x)和g(x),则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x),读作“f环g”。
2.复合函数的基本性质(1)结合律:对于三个函数f(x),g(x)和h(x),有[(f∘g)∘h](x)=[f∘(g∘h)](x),即复合函数的结合顺序不影响最终的结果。
(2)非交换性:一般情况下,复合函数是不可交换的,即[f∘g](x)≠[g∘f](x)。
这是因为函数运算是有顺序的,不同的函数组合可能会产生不同的结果。
(3)单位元:对于任何函数f(x),有[f∘g](x)=[g∘f](x)=f(x),其中g(x)是一个恒等函数,即g(x)=x。
这意味着恒等函数在复合运算中充当单位元的作用。
(4)反函数:如果f(x)和g(x)互为反函数,则[f∘g](x)=[g∘f](x)=x。
这是因为反函数的复合运算等于恒等函数。
3.复合函数的求导法则对于复合函数的导数求解,有以下几个常用的法则:(1)链式法则:设 y = f(u) 和 u = g(x) 为两个函数,若 f(x)和 g(x) 都可导,则复合函数 y = f(g(x)) 的导数为 dy/dx = (dy/du)* (du/dx),其中 dy/du 表示 f(u) 对 u 的导数,du/dx 表示 g(x) 对x 的导数。
(2)反函数法则:设 y = f(x) 和 x = f^(-1)(y) 为两个互为反函数的函数,若 f(x) 可导,则反函数 f^(-1)(y) 在点 y 处的导数为dy/dx = 1 / (dx/dy)。
(3)指数函数和对数函数的导数:设 y = a^x 和 y = log_a x 分别为指数函数和对数函数,其中 a>0,且a ≠ 1,则有 dy/dx = lna* a^x 和 dy/dx = 1 / (lna * x)。
复合函数题型及解法
复合函数题型及解法一、引言复合函数是高中数学中的重要知识点,也是考试中经常出现的题型。
本文将详细介绍复合函数的概念、性质、求导法则以及解题方法,希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
二、概念1. 复合函数的定义设有两个函数f(x)和g(x),则当g(x)的值域恰为f(x)的定义域时,可以构成一个新的函数h(x),称为f(x)与g(x)的复合函数,记作h(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的图像复合函数h(x)=f(g(x))在平面直角坐标系上的图像可以通过以下步骤确定:(1)先画出g(x)在x轴上对应的图像;(2)将g(x)在x轴上对应的点代入f(x)中求出相应y值;(3)将得到的所有点连成一条曲线即为h(x)在平面直角坐标系上对应的图像。
三、性质1. 复合函数具有结合律,即(h◦g)◦f=h◦(g◦f)2. 若f(x)和g(x)都可导,则(f◦g)(x)'=f'(g(x))·g'(x)四、求导法则1. 链式法则设y=f(u),u=g(x),则y=f(g(x)),有:dy/dx=dy/du·du/dx=f'(u)·g'(x)2. 反函数求导法则设y=f(x)的反函数为x=g(y),则有:dy/dx=1/(dx/dy)3. 对数函数求导法则设y=loga(u),u=g(x),则y=loga(f(x)),有:dy/dx=[loga(e)/loga(u)]·du/dx五、解题方法1. 确定复合函数的形式根据题目所给条件,确定复合函数的形式,即确定f(x)和g(x)。
2. 求出复合函数的导数根据链式法则或其他求导法则,求出复合函数的导数。
3. 利用已知条件解方程将所求未知量代入已知条件中,解出方程。
4. 检验答案是否符合实际意义将所得答案代入原方程中检验是否符合实际意义。
六、例题分析1. 已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2-1,求f(g(2))解:将g(2)=2^2-1=3代入f(x)中得到f(g(2))=2×3+3=9。
高中复合函数
高中复合函数复合函数是数学中一种重要的函数,它把两个函数泛化为一个函数,二者在实践中有着许多有用的应用。
高中复合函数在数学教师的课堂中是常见的,分为数学考试题的考试内容。
本文将介绍复合函数的定义、性质、图象表示与常见高中复合函数,以帮助读者全面了解复合函数的内容。
一、定义复合函数的定义是把两个函数f(x)和g(x)结合起来构成一个新的函数,叫做复合函数。
通常形式为:h(x)=f(g(x))。
若f (x)、g(x)是定义在A和B上的函数,则复合函数h(x)也是定义在A上的函数。
二、性质1.合函数的定义域和值域分别是两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域的交集,并且复合函数h(x)的定义域可以更小。
2.果复合函数h(x)=f(g(x)),函数f(x)和g(x)可以互换,而新的复合函数H(X)=g(f(x))也是复合函数。
3.合函数可以看作由函数f(x)所包含的所有函数组成的集合,这些函数的参数都是有限的,由函数g(x)的值决定。
三、图象表示图象表示一个复合函数的形式是把每一步的函数用图形表示出来。
例如复合函数h(x)=f(g(x)),把f(x)和g(x)图象放在一起,它们的结合就可以表示复合函数h(x)的定义域和值域。
四、常见的高中复合函数1. 一阶复合函数:形式为h(x)=f(g(x)),其中f(x)和g (x)都是一阶函数,例如h(x)=x2+3x+3。
2. 二阶复合函数:形式为h(x)=f(g(x)),其中f(x)和g (x)都是二阶函数,例如h(x)=x3+3x2+3x+1。
3. 三阶复合函数:形式为h(x)=f(g(x)),其中f(x)和g (x)都是三阶函数,例如h(x)=x4+4x3+6x2+4x+1。
4.式复合函数:形式为h(x)=f(g(x)),其中f(x)和g(x)都是多项式,例如h(x)=x3+2x+1。
五、结论高中复合函数是数学考试的重要考察内容,其定义、特征、图象表示及常见的高中复合函数等有助于高中生更好的认识复合函数的内容,从而更高效的复习复合函数的内容。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行,始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中,复合函数是一种常见的概念,并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结,并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义:设有函数f和g,对于g的定义域中的每个x,存在f的定义域中的y,使得y=g(x),则有一个复合函数h(x)=f(g(x)),它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤:1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域,并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中,得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质:1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解:1. 简单的复合函数求导:例题1:已知f(x)=x²和g(x)=2x+1,求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍,金石可镂。
解析:首先计算g'(x)=2,然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则,h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数:例题2:已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x),求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析:首先计算g'(x)=1/x,然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则,h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数:例题3:已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²,求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
全面剖析复合函数及性质
全面剖析复合函数及性质山东省汶上县第一中学 (272500) 丁阳会一、复合函数的定义.一般地,对于两个函数y =f (u )和u =g(x),如果通过u ,y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y =f (u )和u =g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)),其中函数y =f (u )称为外函数,函数u =g(x)称为内函数,u 称为中间变量。
复合函数可以分解为几个简单函数即内函数和外函数,例如复合函数21x y -=由外函数u y =和内函数21x u -=两个基本初等函数复合而成的。
二、复合函数的定义域.复合函数))((x g f y =可以分解为⎩⎨⎧==(内函数)(外函数)),(),(x g u u f y , 该复合函数的对应关系可以理解为自变量x 以u 为中间变量通过g f 与两个对应关系对应到y ,即y u x f g −−−→−−−−→−对应关系对应关系,其中外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域,外函数)(u f y =的值域是复合函数))((x g f y =的值域,内函数)(x g u =的定义域是复合函数))((x g f y =的定义域。
(一)已知)(x f 的定义域,求))((x g f 的定义域。
已知函数)(x f 的定义域为[a,b],则函数))((x g f 的定义域是指满足不等式a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围; 例1.已知)(x f 的定义域为[1,2],求函数)1(2x f y +=的定义域.分析:)1(2x f y +=可以分解为⎩⎨⎧+==21)(xu u f y ,外函数)(u f y =的定义域[1,2]是内函数21x u +=的值域,求复合函数的定义域,只须解不等式2112≤+≤x ,便可求出其定义域.解: 由2112≤+≤x 得1≤x ,即1≤x ,11≤≤-∴x∴函数)1(2x f y +=的定义域是[-1,1]。
复合函数的性质及解析方法
复合函数的性质及解析方法复合函数是高中数学中一个重要的概念,也是初学微积分的基础,本文将从复合函数的定义、性质及解析方法三个方面介绍这个概念。
一、复合函数的定义所谓复合函数,就是由两个函数组成的一个新函数。
设有函数$f(x)$ 和 $g(x)$,则它们的复合函数 $F(x)$ 定义为:$$F(x)=f[g(x)]$$其中,$x$ 是自变量,$g(x)$ 是 $x$ 的函数,$f(x)$ 是 $g(x)$ 的函数。
二、复合函数的性质1. 复合函数的可交换性:设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都有定义域 $X$ 和值域 $Y$,则当 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ 均有定义时,有:$$f[g(x)]=g[f(x)]$$这被称为复合函数的可交换性,也就是说,多次复合函数的结果与复合的次序无关。
2. 复合函数的可微性:如果 $f(x)$ 在点 $g(a)$ 处可导,$g(x)$ 在点$a$ 处可导,则复合函数 $F(x)$ 在点 $a$ 处也可导,且有:$$F'(a)=f'[g(a)]\cdot g'(a)$$这个公式被称为复合函数求导法则或链式法则。
3. 复合函数的反函数:如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是一对反函数,即$f[g(x)]=x$,$g[f(x)]=x$,则有:$$F^{-1}(x)=g^{-1}[f^{-1}(x)]$$其中,$F^{-1}(x)$ 表示 $F(x)$ 的反函数。
三、复合函数的解析方法有些复合函数的解析比较简单,比如 $F(x)=\sqrt{1+e^{2x}}$ 就可以直接分解成 $F(x)=f[g(x)]$ 的形式,其中 $f(x)=\sqrt{1+x}$,$g(x)=e^{2x}$,从而应用函数复合的定义进行计算。
对于一些较为复杂的复合函数,我们需要运用一些解析方法进行求解,如下面几种方法:1. 基本初等复合函数:这种复合函数是由基本初等函数(包括正弦、余弦、指数、对数、幂、三角函数等)和加、减、乘、除等运算所组成的。
离散数学复合函数f°g例题a到a
离散数学复合函数f°g例题a到a摘要:1.离散数学中的复合函数概念2.复合函数的性质3.例题:复合函数f°g在集合a到a上的应用正文:离散数学中的复合函数是指将两个函数f和g组合在一起,形成一个新的函数。
复合函数的定义为:若f是从X到Y的函数,g是从Y到Z的函数,则复合函数f°g是从X到Z的函数。
具体地,对于X中的元素x,我们有f(x)在Y中的像,然后这个像在g的作用下得到Z中的元素f(x)°g(x)。
复合函数具有以下性质:1.结合律:对于任意的函数f、g和h,有(f°g)°h = f°(g°h)。
2.交换律:对于任意的函数f和g,有f°g = g°f。
3.单位元:对于任意的函数f,有id°f = f,其中id是恒等函数。
4.逆函数:若f是从X到Y的函数,g是从Y到X的函数,且f°g = id (恒等函数),则g°f是f的逆函数。
现在我们来看一个复合函数f°g在集合a到a上的例题。
题目:设f和g分别是集合a上的函数,且f(x)°g(x) = x。
解题步骤如下:1.首先,我们需要找到f(x)和g(x)的表达式。
由于f(x)°g(x) = x,我们可以设f(x) = a,g(x) = b,其中a和b是未知的函数。
2.接下来,我们需要求解a和b的关系。
将f(x)和g(x)的表达式代入f(x)°g(x) = x,得到a°b = x。
根据复合函数的性质,我们知道a°b = ab。
因此,我们有ab = x。
3.根据ab = x,我们可以得到b = x/a。
由此,我们知道g(x) = x/a。
4.将g(x) = x/a代入f(x)°g(x) = x,得到f(x)°(x/a) = x。
解这个方程,我们可以得到f(x) = a。
复合函数课件
复合函数图像的绘制方法
步骤四:绘制图像
根据得到的点,使用平滑的曲线连接这些点,绘制出复合函数的图像。
复合函数图像的变换
平移变换
当复合函数的内部函数在自变量上加减一个常数时,图像会沿x轴方向平移。
复合函数图像的变换
01
伸缩变换
02
当复合函数的内部函数在自变量 上乘以或除以一个常数时,图像 会沿x轴或y轴方向伸缩。
如果存在一个常数T,对于定义域内 的所有x,都有f(x+T)=f(x),则函数 为周期函数。复合函数的周期性由内 外函数共同决定。
复合函数的对称性
总结词
对称性描述了函数图像的对称性质。
详细描述
复合函数的对称性与内外函数的对称性和对应关系有关。例如,如果内外函数都是轴对称的,那么复合函数可能 是轴对称的;如果内外函数都是中心对称的,那么复合函数可能是中心对称的。
的角色。
深化理解
通过研究复合函数,可以深入理 解函数的性质和变化规律,进一
步加深对函数概念的理解。
拓展思维
复合函数可以拓展人们的思维方 式和解题思路,对于提高数学素
养和思维能力有很大的帮助。
02
复合函数的性质
复合函数的单调性
总结词
单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。
详细描述
复合函数的单调性取决于内外函数的单调性以及它们的对应关系。如果内外函 数单调性相同,则复合函数为增函数;如果单调性相反,则复合函数为减函数 。
分部积分法
换元积分法
换元积分法是通过引入新的变量来简 化定积分的计算方法。
分部积分法是一种通过将两个函数的 乘积进行求导来计算定积分的方法。
积分在复合函数中的应用
复合函数求导法则
复合函数
复合函数复合函数是中学数学里,深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具,是进一步学习高等数学的重要基础,也是历年高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍,而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义,因此,高一数学教学与高考数学复习中,介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们常见的复合函数的描述性定义是:如果y 是u 的函数,而u 又是x 的函数,即)(u f y =,)(x g u =,那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 和g 的复合函数,u 叫做中间变量。
例如x y 2sin =它与x y sin =不同,不是基本初等函数,而是由三角函数u y sin =和一次函数x u 2=经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定,因而很多同学对复合函数的概念似是而非,含混不清,为此,我们精读这个定义,字斟句酌,纠错补缺,以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起,结合起来”的意思,但在复合函数的定义中,对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起,例如用四则运算把它们结合起来,得到的形如)()(x g b x f a ⋅±⋅或)()(x g b x f a ⋅⋅⋅的函数,而是专指把几个映射,像工厂中的生产流水线,依先后顺序合在一起,对同一自变量逐次映射,构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同,也可以不同,但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射,一直到通过全部映射。
例如,复合函数x y 2sin =是自变量x 先“乘2”(第一次映射),再“取正弦”(第二次映射),最后得到y 关于x 的一个函数x y 2sin =,因此有人说复合函数是函数的函数。
为了叙述和应用的方便,我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。
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复合函数的性质与图象深圳中学 许苏华中学数学教材中会系统介绍一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象与性质,但不会系统讲述形如的图象与性质,其中和是基本初等函数,我们称或为复合函数.对于复合函数,我们称对应的为外函数,为内函数.此文中的外函数和内函数也有非基本初等函数的,即不是中学数学教材中系统介绍的基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数,与基本初等函数一起,统称为初等函数.与复合函数有关的数学题会经常出现在我们面前,而且难度较大,为了使得我们不再畏惧,也使得我们解题能力、数学核心素养都得以提升,因此把复合函数及其相关难点加以研究,是非常必要的,也是非常有价值的.类比于教材研究基本初等函数的过程,我们尝试理清复合函数的图象与性质.当一个函数图象是我们见过的或者容易用描点法画出来的时候,我们可以先研究函数图象,再研究函数性质.当一个函数图象没有见过时,或者很难通过几个点完整画出来时,其实我们可以先研究函数性质,通过其性质还原其图象,再根据图象,猜想并证明新的性质.研究复合函数的图象与性质,我们可采取第二种路径.选择几个最简的最美的基本初等函数,如、、,用于复合,以期以点带面.,两个基本初等函数复合竟然是一个更简单的基本初等函数,因此后面我们只研究、、和这四个及其类似的复合函数.一、函数的性质与图象1. 定义域和值域(())y f g x =()y f x =()y g x =(())y f g x =(())y g f x =(())y f g x =()y f x =()y g x =ln y x =x y e =22y x x =+ln ln x x y e e x ===2ln(2)y x x =+()2ln 2ln y x x =+22x x y e +=22x x y e e =+2ln(2)y x x =+内函数的定义域为,值域为.外函数的定义域为,值域为.要使复合函数的解析式有意义,则,从而求得复合函数的定义域为,值域为.如果内函数为,定义域是,值域则为,可见此时值域是外函数定义域的真子集,因此复合函数始终有意义,则复合函数的定义域依然是,值域为.如果内函数为,定义域为,值域与外函数定义域是相等集合,因此复合函数的定义域为,值域为. 通过上述三个例子,可以发现内函数的定义域决定了内函数的值域,内函数的值域与外函数的定义域决定了复合函数的定义域,再由复合函数的定义域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为,定义域没有关于原点对称,因此该复合函数为非奇非偶函数.复合函数的定义域为,也是非奇非偶函数.虽然复合函数的定义域是,记,则,则不是奇函数,,举特殊值可以发现并不恒成立,所以也不是偶函数,因此复合函数亦是非奇非偶函数.难道就没有外函数是的复合函数是奇函数或者偶函数吗?形如22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+220x x +>(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞[ln 2,)+∞y =(0,)+∞(0,)+∞ln y x=lny =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U lny =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞2()ln(23)h x x x =++(0)0h ≠2()ln(23)h x x x -=-+()()h x h x -=2ln(23)y x x =++ln y x =的复合函数,其中,或者,易证此复合函数为偶函数.形如的复合函数,利用对数的运算性质化简,并记为,易证,因此复合函数为奇函数.证明一个函数是奇函数或偶函数,首先要说明定义域是关于原点对称,再证明在定义域内,对于任意,都有或,则是偶函数或奇函数.如果证明一个函数是非奇非偶函数,则首先判断定义域是否关于原点对称,如果不是,则为非奇非偶函数.如果定义域关于原点对称,则可以举反例,说明并不恒成立,或者直接证明.3. 单调性我们再来研究复合函数的单调性,它的定义域为,内函数在上单调递减,在上单调递增,而外函数在整个定义域内单调递增,根据众所周知的“同增异减”,因此在上单调递减,在上单调递增. 为什么“异减”?令,由在上单调递减可知,又由在整个定义域内单调递增可知,因此在上单调递减.内函数递减时,外函数递增,复合函数递减,因此“异减”.为什么“同增”?令,由在上单调递增可知,又由在整个定义域内单调递增可知,因此在上单调递增.内函数递增时,外函数递增,复合函数递增,因此“同增”.判断复合函数单调性的“同增异减”法,其实都可以用定义法解释.如果能够2ln()y ax c =+0ac <00a c >>且2ln(1)x y x =+2()ln(1)h x x x =+()()h x h x -=-2()ln(1)h x x x =+()f x x ()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x ()()f x f x -=±()()0f x f x -±≠2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U 22y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(2)y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞122x x <<-22y x x =+(,2)-∞-221122220x x x x +>+>ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +>+2ln(2)y x x =+(,2)-∞-120x x <<22y x x =+(0,)+∞221122022x x x x <+<+ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +<+2ln(2)y x x =+(0,)+∞用定义法证明复合函数单调性,并能用“同增异减”法直接说明复合函数单调性,这样才是知其然知其所以然.4. 图象通过上述研究发现,复合函数的定义域为,值域为,非奇非偶函数,在上单调递减,在上单调递增.再根据几个特殊值、1的正负性,以及当自变量由大到小靠近于0时,或者当由小到大靠近于时,函数值都趋于,由此可以判断出函数图象大致如下图图1所示:图1至此,复合函数的性质与图象,我们基本理清楚.而且我们还发现,该函数图象关于直线自对称.二、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为,值域为.外函数的定义域为,值域为.因此复合函数的定义域为,值域也是. 如果内函数为,相当于的图象在平面直角坐标系中向下2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞(,2)-∞-(0,)+∞3-x x 2-y -∞2ln(2)y x x =+1x =-()2ln 2ln y x x =+ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞ln 100y x =-ln y x =平移了100个单位得到的图象对应的函数,可见的定义域依然为,值域依然为.那么复合的定义域依然为,值域依然是.如果内函数为,相当于的图象在平面直角坐标系中向左平移了2个单位得到的图象对应的函数,易得的定义域为,值域则依然为.那么复合的定义域为,值域则依然是.综上,可以发现,只要内函数的值域为,那么该类复合函数的值域就是,定义域则与内函数的定义域相同.2. 奇偶性因为复合函数的定义域为,所以为非奇非偶函数.对于任何一个非奇非偶函数,其实我们都很容易把它改造成偶函数,比如对解析式中的所有加绝对值符号,即此时函数为.其实,我们也很容易把它改造成奇函数,比如这个分段函数 3. 单调性内函数整个定义域内单调递增,外函数在上单调递减,在上单调递增,此时根据“同增异减”,你或许一头雾水.令(内函数因变量等于外函数的单调区间分界值),解得,其实我们可以考虑和这两个区间.当时,则ln 100y x =-(0,)+∞(,)-∞+∞2(ln 100)2(ln 100)y x x =-+-(0,)+∞[1,)-+∞ln(2)y x =+ln y x =ln(2)y x =+(2,)-+∞(,)-∞+∞2(ln(2))2ln(2)y x x =+++(2,)-+∞[1,)-+∞(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞x 2(ln )2ln y x x =+22(ln )2ln ,0,0,0,(ln())2ln(),0.x x x y x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪----<⎩ln y x =(0,)+∞22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞ln 1x =-1x e =1(0,)e 1(,)e +∞1210x x e<<<,则,因此复合函数在上单调递减.此时内函数为增函数,外函数为减函数,则“异减”.当时,则,则,复合函数在上单调递减.内函数为增函数,外函数为增函数时,则“同增”.用“同增异减”法判断此类复合函数的单调性时,需要注意复合函数的定义域,以及内函数的值域与外函数的单调区间的对应.4. 图象复合函数的定义域为,值域是,在上单调递减,在上单调递减.并根据几个特殊值,1对应的函数值,以及当自变量由大到小靠近于0时,函数值趋于,由此确定复合函数的图象如下图图2所示:图2可以发现复合函数的图象是个非常漂亮的“V ”字.12ln ln 1x x <<-221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +>+()2ln 2ln y x x =+1(0,)e121x x e<<121ln ln x x -<<221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +<+()2ln 2ln y x x =+1(,)e +∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞1(0,)e1(,)e +∞1ex y +∞()2ln 2ln y x x =+()2ln 2ln y x x =+三、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为,值域为.外函数的定义域为,值域为.复合函数的定义域为,值域为. 如果内函数改为,定义域依然为,值域为.复合函数的定义域仍为,值域为.如果内函数为,定义域为,值域为.复合函数定义域为,值域则为.综上,外函数为的复合函数的定义域,和内函数的定义域相同,并由内函数的值域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为,现在还不能确定是否为非奇非偶函数.但是根据上述值域的确定过程中发现,当时,复合函数取得最小值,可见复合函数的图象不可能关于轴对称,也易发现没有关于原点中心对称,因此它为非奇非偶函数.对于复合函数,因为定义域为,且,所以为偶函数.对于复合函数,由可知,为非奇非偶函数. 综上,外函数为的复合函数的奇偶性,和内函数的奇22x x y e +=22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞223x x y e ++=(,)-∞+∞2[,)e +∞y =(0,)+∞(0,)+∞y =(0,)+∞(1,)+∞x y e =()g x y e =()y g x =()g x y e =22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞1x =-22x xy e +=22x x y e +=y 2x y e =(,)-∞+∞22()x x e e -=2x y e =3x y e =33()1x x e e -=3x y e =x y e =()g x y e =()y g x =偶性存在关联,如果内函数是偶函数,那么复合函数是偶函数,如果内函数不是偶函数,则复合函数则为非奇非偶函数.3. 单调性外函数是增函数,而内函数在上单调递减,在上递增.对于复合函数,我们讨论和两个区间上的单调性.令,则,则,因此在上单调递减.这里外函数是增函数,内函数是减函数,根据“异减”,则复合函数为减函数.令,则,则,因此在上单调递增.这里外函数是增函数,内函数是增函数,根据“同增”,则复合函数为增函数.4. 图象由上述分析知复合函数的定义域为,值域为,可以发现图象与轴没有交点.在上单调递减,在上单调递增.同时当时,.可以确定图象如下图图3所示.()y g x =()g x y e =()y g x =()g x y e =x y e =22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞121x x <<-221122221x x x x +>+>-221122221x x x x e e e ++->>22x x y e +=(,1)-∞-121x x -<<221122122x x x x -<+<+221122221x x x x e e e ++-<<22x x y e +=(1,)-+∞22xx y e +=(,)-∞+∞1[,)e +∞x 22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞0x =1y=图3根据复合函数的图象,我们还能猜想并证明直线是其图象的对称轴.该图象而且很像一个“U ”字.四、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为,值域为.外函数的定义域为,值域为.复合函数的定义域为,值域为.2. 奇偶性,因此复合函数为非奇非偶函数. 3. 单调性内函数是增函数,外函数在上单调递增,那么在当然也单调递增,根据“同增”,从而复合函数为增函数.4. 图象根据前面的性质分析,可以得到如下图图4所示的图象:22x x y e +=1x =-22x x y e e =+x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞22x x y e e =+(,)-∞+∞(0,)+∞22122x x x x e e e e--+=+22x x y e e =+x y e =22y x x =+(1,)-+∞(0,)+∞22x x y e e =+图4研究复合函数的值域,也就是研究它的最大值和最小值,如果最大值不存在,或最小值不存在,那么值域对应着开区间或者无穷大.求得复合函数的定义域和值域,要考虑内外函数的定义域和值域.确定奇偶性要根据函数的定义域是否关于原点对称,以及在定义域关于原点对称的情况下,对于定义域中任意都有或者,来判断是否偶函数、奇函数还是非奇非偶函数.对于单调性,首先要确定所有的单调区间,这里依据内函数单调区间的边界值,以及内函数函数值与外函数单调区间边界值相等,求得新边界值,根据所有边界值,对复合函数的定义域进行划分,然后依据“同增异减”法或者定义法,判断或证明单调性.根据定义域和值域,奇偶性,单调性,以及特殊点的坐标,从而较为准确地确定复合函数的图象,再根据图象,猜想并证明一些新的结论性质.x (())(())f g x f g x -=(())(())f g x f g x -=-11。