复合函数的性质与图象

复合函数的性质与图象

深圳中学 许苏华

中学数学教材中会系统介绍一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象与性质，但不会系统讲述形如的图象与性质，其中和是基本初等函数，我们称或为复合函数.对于复合函数，我们称对应的为外函数，为内函数.此文中的外函数和内函数也有非基本初等函数的，即不是中学数学教材中系统介绍的基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数，与基本初等函数一起，统称为初等函数.

与复合函数有关的数学题会经常出现在我们面前，而且难度较大，为了使得我们不再畏惧，也使得我们解题能力、数学核心素养都得以提升，因此把复合函数及其相关难点加以研究，是非常必要的，也是非常有价值的.

类比于教材研究基本初等函数的过程，我们尝试理清复合函数的图象与性质.当一个函数图象是我们见过的或者容易用描点法画出来的时候，我们可以先研究函数图象，再研究函数性质.当一个函数图象没有见过时，或者很难通过几个点完整画出来时，其实我们可以先研究函数性质，通过其性质还原其图象，再根据图象，猜想并证明新的性质.研究复合函数的图象与性质，我们可采取第二种路径.

选择几个最简的最美的基本初等函数，如、、，用于复合，以期以点带面.，两个基本初等函数复合竟然是一个更简单的基本初等函数，因此后面我们只研究、、和这四个及其类似的复合函数.

一、函数的性质与图象

1. 定义域和值域

(())y f g x =()y f x =()y g x =(())y f g x =(())y g f x =(())y f g x =()y f x =()y g x =ln y x =x y e =22y x x =+ln ln x x y e e x ===2ln(2)y x x =+()2ln 2ln y x x =+22x x y e +=22x x y e e =+2ln(2)y x x =+

内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.要使复合函数的解析式有意义，则，从而求得复合函数的定义域为，值域为.

如果内函数为，定义域是，值域则为，可见此时值域是外函数定义域的真子集，因此复合函数始终有意义，则复合函数的定义域依然是，值域为.

如果内函数为，定义域为，值域与外函数定义域是相等集合，因此复合函数的定义域为，值域为. 通过上述三个例子，可以发现内函数的定义域决定了内函数的值域，内函数的值域与外函数的定义域决定了复合函数的定义域，再由复合函数的定义域决定复合函数的值域.

2. 奇偶性

复合函数的定义域为，定义域没有关于原点对称，因此该复合函数为非奇非偶函数.复合函数的定义域为，也是非奇非偶函数.

虽然复合函数的定义域是，记，则，则不是奇函数，，举特殊值可以发现并不恒成立，所以也不是偶函数，因此复合函数亦是非奇非偶函数.

难道就没有外函数是的复合函数是奇函数或者偶函数吗？形如22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+220x x +>(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞[ln 2,)

+∞y =(0,)+∞(0,)+∞ln y x

=ln

y =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞

U ln

y =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞2()ln(23)h x x x =++(0)0h ≠2()ln(23)h x x x -=-+()()h x h x -=2ln(23)y x x =++ln y x =

的复合函数，其中，或者，易证此复合函数为偶函数.形如的复合函数，利用对数的运算性质化简，并记为，易证，因此复合函数为奇函数.

证明一个函数是奇函数或偶函数，首先要说明定义域是关于原点对称，再证明在定义域内，对于任意，都有或，则是偶函数或奇函数.如果证明一个函数是非奇非偶函数，则首先判断定义域是否关于原点对称，如果不是，则为非奇非偶函数.如果定义域关于原点对称，则可以举反例，说明并不恒成立，或者直接证明.

3. 单调性

我们再来研究复合函数的单调性，它的定义域为，内函数在上单调递减，在上单调递增，而外函数在整个定义域内单调递增，根据众所周知的“同增异减”，因此在上单调递减，在上单调递增. 为什么“异减”？令，由在上单调递减可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递减.内函数递减时，外函数递增，复合函数递减，因此“异减”.

为什么“同增”？令，由在上单调递增可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递增.内函数递增时，外函数递增，复合函数递增，因此“同增”.

判断复合函数单调性的“同增异减”法，其实都可以用定义法解释.如果能够2ln()y ax c =+0ac <00a c >>且2ln(1)x y x =+2()ln(1)h x x x =+()()h x h x -=-2()ln(1)h x x x =+()f x x ()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x ()()f x f x -=±()()0f x f x -±≠2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U 22y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(2)y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞122x x <<-22y x x =+(,2)-∞-221122220x x x x +>+>ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +>+2ln(2)y x x =+(,2)-∞-120x x <<22y x x =+(0,)+∞221122022x x x x <+<+ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +<+2ln(2)y x x =+(0,)+∞