新课标版数学选修2-1作业11高考调研精讲精练

课时作业(十一)

1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2

＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相切或相交

答案 C

2．过椭圆x 24＋y 2

＝1的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则|AB|等

于( ) A ．4 B ．2 3 C ．1 D ．4 3 答案 C

3．椭圆4x 2＋9y 2＝144内一点P(3，2)，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程为( ) A ．3x ＋2y －12＝0 B ．2x ＋3y －12＝0 C ．4x ＋9y －144＝0 D ．9x ＋4y －144＝0 答案 B

解析 设弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又弦AB 中点为P(3，2)，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4.

又因为4x 12＋9y 12＝144，① 4x 22＋9y 22＝144，②

①－②整理可得y 1－y 2x 1－x 2＝－23，即k AB ＝－23，所以弦AB 所在直线方程为y －2＝－2

3(x －3)，

即2x ＋3y －12＝0.故选B.

4．直线y ＝x 与椭圆x 24＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则|AB|等于( )

A ．2 B.455 C.4

510 D.85

10 答案 C

解析 应用弦长公式，得|AB|＝

1＋k 2·|x A －x B |.

5．过椭圆x 24＋y 2

3＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别是( )

A ．8，6

B ．4，3

C ．2， 3

D ．4，2 3

答案 B

解析 最长为2a ，弦垂直于x 轴时最短(即通径最短)．

6．经过椭圆x 22＋y 2

＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为

坐标原点，则OA →·OB →

等于( ) A ．－3 B ．－13

C ．－1

3或－3

D ．±13

答案 B

7．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦，F 2(

c ，0)是其右焦点，则△ABF 2的面积的最

大值是( ) A ．bc B ．ab C ．ac D ．b 2 答案 A

解析 S △ABF 2＝12|OF 2|·|y A －y B |＝1

2c·|y A －y B |，当AB 与x 轴垂直时|y A －y B |＝2b.

∴S △ABF 2的最大值为bc.

8．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为3

3，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的

值为( ) A ．±1 B ．± 2 C ．±

33

D ．±3 答案 C

解析 因为椭圆的离心率为

33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23

a 2.当x ＝

b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb)，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即2

3＋k 2

＝1，k 2＝13，所以k ＝±3

3

.选C.

9．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|

＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________． 答案 4

10．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过右焦点F 2作倾斜角为π

4的弦AB ，则△F 1AB 的

面积等于_____________________________________________________________________． 答案 4

3

解析 S △ABF 1＝1

2

|F 1F 2|·|y A －y B |＝c·|y A －y B |.

11．若P 满足x 24＋y 2

＝1(y ≥0)，则y －2x －4的最小值是________．

答案

4－76

解析 设k ＝y －2

x －4

，则y －2＝k(x －4)．

由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），x 24＋y 2

＝1，

得(4k 2＋1)x 2＋16k(1－2k)x ＋16(1－2k)2－4＝0. 由Δ＝0得12k 2－16k ＋3＝0，∴k ＝4±76.

又∵y ≥0，∴k ＝4－76(k ＝4＋7

6舍)．

故y －2x －4

的最小值为4－7

6.

12．过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M

是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案

2

2

解析 利用点差法，设而不求，建立方程组求解． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩

⎨⎧x 12a 2＋y 12

b 2

＝1， ①x 22a 2＋y 22

b 2

＝1， ②

①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）

b 2＝0.

∴y 1－y 2x 1－x 2

＝－b 2a 2·x 1＋x 2

y 1＋y 2.

∵y 1－y 2x 1－x 2＝－1

2，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，

∴－b 2a 2＝－1

2

.

∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22

.

13．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN|＝42

3，则k ＝________．

答案 ±1

解析 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，

x 22＋y 2＝1，消去y 并化简得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，

所以x 1＋x 2＝－4k

1＋2k 2

，x 1x 2＝0.

由|MN|＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝32

9

，

所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329.

化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.

14．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1，0)和(1，0)． (1)求这个椭圆的标准方程；

(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，

x 24＋y 23＝1，

消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.

若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2

3

＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m 2－12)>0，即