计算流体力学电子教案

A
写出一维条件下的奥氏公式
通用变量方程
(
t
)
div(u)
div(
grad )
S
非定常项 对流项
扩散项
源项
(1 35)
瞬态扩散方程
稳态扩散方程
瞬态对流扩散方程
( )
t
div( grad)
S
div( grad ) S 0
(
t
)
div(u)
div(
wenku.baidu.com
grad )
S
稳态对流扩散方程 div(u) div( grad) S
式中aW
w
xWP
Aw
,
aE
e
x PE
Ae ,
aP
aW
aE SP
注： SV Su S P P
方法二：也可通过对控制方程的积分推导出离散方程， 同例2.1的过程，以下用方法求离散方程。
d dx
(
d dx
)
S
0
(2 1)
本题：d (k dx
dT dx
)
q
0
V
d dx
(
d dx
)dV
SdV V
dT dx
)w
qx
0
由
得控制体2、3、4、 1、5的离散方程为
(k
dT dx
)e
(k
dT dx
)w
qx
0
0.5 T3 - T2 0.004
0.5
T2 - T1 0.004
106
0.004
0
0.5 T4 - T3 0.004
0.5 T3 - T2 0.004
106
0.004
0
0.5 T5 - T4 0.004
3T1 T2 2TA 2T2 T1 T3 2T3 T2 T4 2T4 T3 T5 3T5 T4 2TB
TA=100ºC， TB=500ºC
第三步 解线性方程组
T1 140 T2 220 T3 300 T4 380 T5 460
本问题的解析解为：T=800x+100
例2.2用有限体积法求解有内热源一维稳态导热问题
aW
aE SP
SP
2k x
A，Su
2k x
A
TA
同理可对右边界控制体进行处理，得
aPTP aWTW aETE Su （2 14）
式中 aE
0 , aW
k x
A,
aP
aW
aE SP
SP
2k x
A，Su
2k x
A
TB
根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：
左端控制体
(A
d
dx )e
(A
d
dx )w
SV
0
积分方程中的下标e、w表示控制体的界面（不 是节点处），意味着我们需要知道扩散系数
___和场变量 的梯度在控制体东西边界上的值。
这些值可由节点处的值插值得到。若采用线性 插值(近似处理)，对于均匀网格有：
w
W
P 2
,
e
P
E 2
同理，有：
d E P dx e x e xPE d P W dx w x w xWP
例2.1用有限体积法求解无热源一维稳态导热问题
图示绝热棒长0.5m，截面积A=10-2m2 ，左右端温度保持 为TA=100ºC， TB=500ºC 。棒材料导热系数 k=1000W/(m·K) 。求绝热棒在稳定状态下的温度分布。
解：本问题的控制微分方程为
d (k dT ) 0 （本问题有解析解） dx dx
(y
y
) cos
0 cos
]dS
SdV
V
0
式中：S为控制体表面，α、β、γ为S 上任一微小表面的外法线与xyz轴的夹角
积分上式得：
[(x
) cos
x
(y
y
) cos ]dS
SdV
V
0
[e
Ae
(
x
)e
w
Aw
(
x
)
w
]
[n
An
(
y
)n
s
As
(
y
)s ]
SV
0
用线性插值方法，可将上式第一~四 项中的偏导数表示为：
d dx
(k
dT dx
)
q
0
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
aPP aWW aEE Su （2 8）
aW
w
xWP
Aw ,
aE
e
x PE
Ae ,
aP
aW
aE SP
第二步：构造离散方程 方法一：可以直接套用公式(2-8) ，但边界节点需特殊处 理。
aP P aW W aE E Su （2 8）
5个未知数，3个方程。可见不引入边界条件 是没法求解的
对求解域中的边界节点1、5的离散方程需作特殊处理。
方法仍然是对微分方程在边界控制体内积分。微分方程
为：
d (k dx
dT ) dx
0
上式在左边界控制体上积分，得：
kA(TE
TP x
)
kA(TP TA ) x / 2
0
(2 12)
即
kA(T2 T1 ) x
0.5 T4 - T3 0.004
106
0.004
0
厚度L=2cm，导热系数
0.5 T2 - T1 0.004
0.5 T1 - TA 0.002
106
0.004
0
k热=源0.5qW=1/(0m00·kKW) /，m板3,表内面均温匀度内A、0.5
TB - T5 0.002
0.5 T5 - T4 0.004
(
x
)e
E P xPE
(
x
)w
P W xWP
(
y
)n
N P yPN
(
y
)s
P S ySP
将以上四项的表达式代入积分方程，得：
[e
Ae
(E P xPE
)e
w
Aw
(P W xWP
)w
]
[n
An
(
N yPN
P
)n
s
As
(P ySP
S
)s]
SV
0
并对源项进行线性化处理，即：
SV Su SPP
0
V
d dx
(
d dx
)dV
SdV V
A
n(
d dx
)dA
SdV
V
(A
d dx
)e
(A
d dx
)w
SV
0
(2 2)
本题： (kA
dT dx
)e
(kA
dT dx
)w
qV
0
(2 21)
本题：(kA
dT dx
)e
(kA
dT dx
)w
qV
0
(2 21)
由于
V Ax
有
(k
dT dx
)e
(k
2-1一维稳态扩散问题的FVM计算格式 2-2 多维稳态扩散问题的FVM求解
预备知识：高斯公式(奥氏公式）
div(a)dV n adA
V
A
或： ( ax ay az )dV
V x y z
(cos ax cos ay cos az )dA
A
(axdydz aydxdz azdxdy)
将上式按张量运算法则展开得：
x
(x
)
x
y
(y
)
y
z
(z
z
)
S
0
由上式得二维条件下的稳态扩散方程：
x (x
x ) y (y
)S y
0
下面，对上式在控制体上进行积分
控制微分方程在控制体上积分：
[ V x
(x
x
)
y
(y
y
)]dV
SdV
V
0
应用高斯散度定理：
[(x
x
) cos
相关的尺寸定义
（约定：大写字母代表节点，小写字母 代表边界。）
第二步：由控制方程(积分形式)形成离散方程组
一维稳态扩散控制方程为：
d ( d ) S 0 (2 1)
dx dx
将此控制方程在某控制体上积分:
d ( d )dV SdV 0
V dx dx
V
则由奥氏公式或高斯散度定理有：
d d
kA(T2
x
T1
)
kA(T1 TA ) x / 2
0
右端控制体
kA(TB x
T5
/2
)
kA(T5 T4 ) x
0
(T2 T1) (2T1 2TA ) 0 (2TB 2T5 ) (T5 T4 ) 0
200T2 100T1 100T3 200T3 100T2 100T4 200T4 100T3 100T5
整理得：
[ w Aw
xWP
e Ae
xPE
s As
ySP
n An
yPN
SP ]P
(
w Aw
xWP
)W
( e Ae
xPE
)E
( s As
ySP
)S
( n An
yPN
) N
Su
写成通用形式
通用离散方程:
aPP aWW aEE aSS aNN Su
式中：
aW
w Aw ，
xWP
aE
e Ae ，
对于每一个节点（控制体）都可建立一个离散方程， 所有节点的离散方程构成一个方程组。
第三步：解方程组
aPP aWW aEE Su
由上式形成的方程组是三元一次的线性方程组，该方 程的特点是具有三条对角线，故称为三对角线性方程。 目前可暂用matlab中A\b语句求解（高斯消元法）。
下面用两个例题说明有限体积法如何求一维稳态扩散 问题。
图示厚度为L=2cm的无限大平板，导热系数 k=0.5W/(m·K) ，板内有均匀内热源q=1000kW/m3,表面温 度A、B分别保持为TA=100ºC， TB=200ºC 。求板内x向的 温度分布。
解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题 处理，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增 加了源项。即
压力速度耦合方程
( )
t
div(v)
div( grad)
p n
S
2-1 一维稳态扩散问题的FVM计算格式 2-1-1一维稳态扩散方程
由通用变量方程得稳态扩散方程为：
div( grad ) S 0 将上式按张量运算法则展开得：
x
(x
)
x
y
(y
)
y
z
(z
z
)
S
0
由上式得一维条件下的稳态扩散方程：
可将此式与（2-1）式比较,可采用三步求解方法。
d ( d ) S 0 (2 1)
dx dx
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
第二步：构造离散方程
对求解域中的2、3、4节点应用离散方程(2-8)
( ke x PE
Ae
kw xWP
Aw
S P )TP
( kw xWP
Aw )TW
P
)
w
Aw
(
P W xWP
)
(Su
SPP )
0
将上式按场变量的节点值进行整理，得：
( e
xPE
Ae
w
xWP
Aw
SP )P
( w
xWP
Aw )W
( e
xPE
Ae )E
Su
令
aW
w
xWP
Aw ,
aE
e
xPE
Ae ,
aP aW aE SP
得离散方程：aP P aW W aE E Su （2 8）
aP P aW W aE E Su （2 8）
式中aW
w
xWP
Aw ,
aE
e
x PE
Ae ,
aP
aW
aE SP
可知，边界条件可以转化成源项进入控制容积积分方程。 即左边界的离散方程可以写成：
aPTP aWTW aETE Su （2 14）
式中 aW
0 , aE
k x
A,
aP
d ( d ) S 0
dx dx
上式中,为通用变量，可为温度、速度等变量；
为扩散系数或粘性系数，S为源项。
2-1-2 求解一维稳态扩散问题的步骤
第一步 生成离散网格 第二步 由控制方程(积分形式)形成离散方程组 第三步 求解方程组
第一步：生成离散网格
控制体的划分 （先划分控制体后定节点,节点在控制体中心）
106
0.004
0
B分别保持为TA=100ºC， TB=200ºC 。求板内x向的温度 分布。
（打一4个字母的英文单词）
2-2 多维稳态扩散问题的FVM求解 2-2-1二维稳态扩散问题的有限体积法
第一步：生成离散网格
第二步：构造离散方程
由通用变量方程得稳态扩散方程为：
div( grad ) S 0
于是，通过界面的扩散流量为
(A
d
dx
)
e
e
Ae
(
E xPE
P
)
(A
d
dx
)w
w
Aw
(
P W xWP
)
接下来处理源项，源项可能为常数，也可能为场变量的函数，
对其进行线性化处理，得：
SV Su SPP
将以上三式代入积分后的控制方程（即下式）中
(A
d
dx
)e
(A
d
dx
)
w
SV
0
e
Ae
(
E xPE
kA(T1 TA x / 2
)
0
在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A
点和1点的温度线性相关
kA(TE TP ) kA(TP TA ) 0 (2 12)
x
x / 2
将（2-12）式按节点温度整理得：
(k x
A
2k x
A)TP
0 TW
(k x
A)TE
(2k x
A)TA
将上式与（2-8）式对照
计算流体力学电子教案
目录
• 第一章 绪论 • 第二章 扩散问题的有限体积法 • 第三章 对流扩散问题的有限体积法 • 第四章 差分格式问题 • 第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 • 第六章 有限体积法离散方程的解法 • 第七章 非稳态流动问题的有限体积法 • 第八章 边界条件处理
第二章 扩散问题的有限体积法
( ke x PE
Ae )TE
因kw ke k,Ae Aw A,xWP xPE x
故有： 式中：
aPTP aWTW aETE
aW
aE
k x
A
,
aP
2aW
由此得到 3个方程
aPTP aWTW aETE
aW
aE
k x
A
1000 0.01 0.1
100 ,
aP
2aW
200
对于2号控制体 200T2 100T1 100T3 对于3号控制体 200T3 100T2 100T4 对于4号控制体 200T4 100T3 100T5
d
( )dV SdV n( )dA SdV
V dx dx
V
A
dx
V
(A
d
dx
)e
(A
d
dx
)
w
SV
0
式中，控制体的体积为ΔV， 全部表面积为A，源项在控 制体中的平均值为S
上式有明确的物理意义：场变量的净增扩 散量（即自西侧界面流入的扩散流量减去 东侧界面流出的扩散流量）等于源项产生 的扩散流量。