教案图与网络最小费用流PPT课件
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运筹学
讲课教师：汤建影
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
第五节 最小费用流问题
什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法
3
一、什么是最小费用流
给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流在 网络上的最佳分布，使总费用最小。
c为弧的容量，b为弧上通过单位流量的费用
min b ( f )
b ij f ij
( i , j ) A
f sj
f js v ( f )
( s , j ) A
( j ,s ) A
f tj
f jt v ( f )
v (fi j,ci j,bi j) j
（0，5，1）
vt
（0，5，2）
（0，2，6）
0， 8， 1）
（0，4，2）
（0，10，3）
v2
v3
8
第一次剩余网络最短路
v1
4
D=4
1
vs
2
6
vt
1 2
3
v2
v3
9
第一次调整网络流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
（5,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 5,8,1）
vt
（0,4,2）
（0,10,3）
v2
v3
10
第二次剩余网络最短路
v1
4
D=6
-1
vs
-2
6
vt
1 -1
3
v2
2
v3
11
第二次调整网络流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
（5,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
vt
（3,4,2）
（3,10,3）
v2
v3
12
第三次剩余网络的最短路
v1
4
D=7
将求最短路的标号法和求最大流的标号 法相结合，即在求增广链的标号后加上 一个距离标号，成为一组三标号，距离 标号应采用修正标号法。并采用T标号和 P标号的记法。
下面以前例为例来说明符合标号的应用。
18
第一次迭代
vi
v (fi j,ci j,bi j) j
T (v1) v[1vs ,10,4] [v2,5,3] P
v1
（0,10,4）
Biblioteka Baidu（5,5,1）
T (vt ) [v3,3,6] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 5,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,3,1] P
vt
（0,4,2）
v3 T (v3) [v2,3,4]
第三次迭代
T(v1) [vs,10,4] P
23
结束语 CONCLUSION
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程 后会发放课程满意度评估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和 意见，也请写在上边，来自于您的声音是对我们最大的鼓励和帮助， 大家在填写评估表的同时，也预祝各位步步高升，真心期待着再次相 会！
24
感谢聆听
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,1,7] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（3,10,3）
v2
T (v2 ) [v1,5,2] P
vt
（3,4,2）
v3
T (v3) [v1,6,6] [v2,5,5] P
最后结果
如何求最小费用增广链？
生成最小费用可行流的剩余网络：
将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权
为该弧费用的相反数
剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋 权图。
最小费用增广链对应剩余网络的最短路
最小费用流的实例
v1
（0，10，4）
vs（
vi
( t , j ) A
( j ,t ) A
f ij
f ji 0 , i s , t
( i , j ) A
( j ,i ) A
0 f ij C ij
二、求解最小费用流的赋权图法
基本思想： 从零流量开始，在始点到终点的所有可能增加流
量的增广链中寻求总费用最小的链，并首先在这 条链上增加流量，得到流量为 f (1) 的最小费用流。 再对 f (1) 寻求所有可能增加流量的增广链，并在 其中总费用最小的增广链上继续增加流量，得到 流量为 f (2 ) 的最小费用流。 依此类推，直到网络中不再存在增广链，不能再 增加流量为止。
v1
vi
v (fi j,ci j,bi j) j
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
（4,10,3）
vt
（4,4,2）
v2
v3
Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
（0,10,4）
（0,5,1）
T (vt ) [v1,5,6] P
（0,5,2）
（0,6,2）
vs（ 0,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,8,1] P
vt
（0,4,2）
v3
T (v3) [v2,8,4]
第二次迭代
T (v1) [vs ,10,4] P
-1
vs
-2
6
vt
-1
2
3
v2
-3
v3
13
第三次调整网络流
v1
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
（4,10,3）
v2
vt
（4,4,2）
v3
14
剩余网络已不存在最短路
v1
-4
-1
4
vs
2 -2
6
vt
-1
-2
3
v2
v3
-3
15
最小费用最大流
制定一个总运量为7且总运费最小的运输 方案：最小费用流问题
二、求解最小费用流的赋权图法
增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链
调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增
广链，若存在，则沿该增广链调整网络流， 直到达到给定的网络流或不存在增广链为 止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。
制定使运量最大且总运费最小的运输方 案：最小费用流问题
若规定网络流为7，则第二次调整量应为 2，而不是3。
最小费用与网络流的关系是凸的，即随 着流的增加，单位流的费用在增加。请 见下页的图。
16
费 50 用
40
30 20 10
流量f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17
三、求解最小费用流的复合标号法
讲课教师：汤建影
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
第五节 最小费用流问题
什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法
3
一、什么是最小费用流
给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流在 网络上的最佳分布，使总费用最小。
c为弧的容量，b为弧上通过单位流量的费用
min b ( f )
b ij f ij
( i , j ) A
f sj
f js v ( f )
( s , j ) A
( j ,s ) A
f tj
f jt v ( f )
v (fi j,ci j,bi j) j
（0，5，1）
vt
（0，5，2）
（0，2，6）
0， 8， 1）
（0，4，2）
（0，10，3）
v2
v3
8
第一次剩余网络最短路
v1
4
D=4
1
vs
2
6
vt
1 2
3
v2
v3
9
第一次调整网络流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
（5,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 5,8,1）
vt
（0,4,2）
（0,10,3）
v2
v3
10
第二次剩余网络最短路
v1
4
D=6
-1
vs
-2
6
vt
1 -1
3
v2
2
v3
11
第二次调整网络流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
（5,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
vt
（3,4,2）
（3,10,3）
v2
v3
12
第三次剩余网络的最短路
v1
4
D=7
将求最短路的标号法和求最大流的标号 法相结合，即在求增广链的标号后加上 一个距离标号，成为一组三标号，距离 标号应采用修正标号法。并采用T标号和 P标号的记法。
下面以前例为例来说明符合标号的应用。
18
第一次迭代
vi
v (fi j,ci j,bi j) j
T (v1) v[1vs ,10,4] [v2,5,3] P
v1
（0,10,4）
Biblioteka Baidu（5,5,1）
T (vt ) [v3,3,6] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 5,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,3,1] P
vt
（0,4,2）
v3 T (v3) [v2,3,4]
第三次迭代
T(v1) [vs,10,4] P
23
结束语 CONCLUSION
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程 后会发放课程满意度评估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和 意见，也请写在上边，来自于您的声音是对我们最大的鼓励和帮助， 大家在填写评估表的同时，也预祝各位步步高升，真心期待着再次相 会！
24
感谢聆听
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,1,7] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（3,10,3）
v2
T (v2 ) [v1,5,2] P
vt
（3,4,2）
v3
T (v3) [v1,6,6] [v2,5,5] P
最后结果
如何求最小费用增广链？
生成最小费用可行流的剩余网络：
将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权
为该弧费用的相反数
剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋 权图。
最小费用增广链对应剩余网络的最短路
最小费用流的实例
v1
（0，10，4）
vs（
vi
( t , j ) A
( j ,t ) A
f ij
f ji 0 , i s , t
( i , j ) A
( j ,i ) A
0 f ij C ij
二、求解最小费用流的赋权图法
基本思想： 从零流量开始，在始点到终点的所有可能增加流
量的增广链中寻求总费用最小的链，并首先在这 条链上增加流量，得到流量为 f (1) 的最小费用流。 再对 f (1) 寻求所有可能增加流量的增广链，并在 其中总费用最小的增广链上继续增加流量，得到 流量为 f (2 ) 的最小费用流。 依此类推，直到网络中不再存在增广链，不能再 增加流量为止。
v1
vi
v (fi j,ci j,bi j) j
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
（4,10,3）
vt
（4,4,2）
v2
v3
Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
（0,10,4）
（0,5,1）
T (vt ) [v1,5,6] P
（0,5,2）
（0,6,2）
vs（ 0,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,8,1] P
vt
（0,4,2）
v3
T (v3) [v2,8,4]
第二次迭代
T (v1) [vs ,10,4] P
-1
vs
-2
6
vt
-1
2
3
v2
-3
v3
13
第三次调整网络流
v1
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
（4,10,3）
v2
vt
（4,4,2）
v3
14
剩余网络已不存在最短路
v1
-4
-1
4
vs
2 -2
6
vt
-1
-2
3
v2
v3
-3
15
最小费用最大流
制定一个总运量为7且总运费最小的运输 方案：最小费用流问题
二、求解最小费用流的赋权图法
增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链
调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增
广链，若存在，则沿该增广链调整网络流， 直到达到给定的网络流或不存在增广链为 止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。
制定使运量最大且总运费最小的运输方 案：最小费用流问题
若规定网络流为7，则第二次调整量应为 2，而不是3。
最小费用与网络流的关系是凸的，即随 着流的增加，单位流的费用在增加。请 见下页的图。
16
费 50 用
40
30 20 10
流量f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17
三、求解最小费用流的复合标号法