北京四中 2019-2020 学年度第二学期高三年级统练数学学科PDF无答案
北京四中2019-2020学年度第二学期高三统练1数学学科
数 学 试 卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =I （A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{2,1,0}-- （D ）{2,1,0,1}--2. 直线10x y +-=与圆2222ππcos cos 36x y +=+的公共点的个数 （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）不能确定3. 若复数z 满足23i z z +=-（z 是z 的共轭复数），则||z =（A ）2（B（C（D ）34. 设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则 （A ）R Q P << （B ）P R Q << （C ）Q R P <<（D ）R P Q <<5. 给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. “sin 0α=”是“sin20α=”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个 （A ）新加坡（570万） （B ）希腊（1100万） （C ）津巴布韦（1500万） （D ）澳大利亚（2500万）8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（A ）83 （B ）23（C ）43（D ）29. 已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪<⎩≤≤则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(1,1]-内的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）310.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M >，那么下列命题正确的是 （A ）若{}n a M >，则数列{}n a 各项均不小于M （B ）若{}n a M >，{}n b M >，则{}2n n a b M +>（C ）若{}n a M >，则22{}na M > （D ）若{}n a M >，则{21}21n a M ++>二、填空题共5题，每题5分，共25分。
北京市西城区第四中学2020届高三上学期10月月考数学试题Word版含解析
由函数 y f x 的周期性和奇函数的性质可得出
C. 1 f 2019 f 1
D. 2 f 1 ，代入解析
式可得出 f 2019 的值 .
【 详解】 由于函 数 y f x 定义在 R 上 周期 为 4 的奇 函数，且 当 x 0,2 时， f x x2 ln x ，
f 2019 f 4 505 1 f 1
A. 14
B. 21
C. 28
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质得到 a4 4 ，再计算 a1 a2
a7 7a4 得到答案 .
D. 35
【详解】数列 { an} 是等差数列，则 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 ；
a1 a2
a7 7a4 28
故选： C
【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用
1 时计算得到答案 .
【详解】 f x
）
2
A. x﹣ 2y＝ 0
B. x﹣ y﹣ 1＝ 0
C. x﹣ 2y﹣ 1＝0
﹣3＝ 0
【答案】 C
【解析】
【分析】
D. 2x﹣ 2y
求导得到 y '
1 2 x 1 ，当 x
2 时， y
1 ,y'
2
1
，计算得到切线方程 .
2
【详解】 y
1 ln（ x 1） y ' 2
1 2 x 1 ，当 x
2 时， y
，得
sin2
sin 2 k
sin 1
4
2
成立；反之，若
sin2 1，则
2 2k 2
k 4
，
得
sin cos ，故 ?sin cos ?是 “sin2 1?的充分必要条件 .
北京市人大附中2019-2020学年第二学期高三数学统练五试卷(无答案)
（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记 2012—2016 年中城镇人均住房面积的方差为 s12 ，农村人均住房面积的方差为 s22 ，判断 s12 与 s22 的大小．（只需写出结论）．
19. 设函数 f (x) = mex − x2 + 3 ，其中 m R ．
（Ⅰ）如果 f ( x) 同时满足下面三个条件中的两个：① f ( x) 是偶函数；② m = 1；③ f ( x) 在 (0,1) 单调递减.
指出这两个条件，并求函数 h(x) = xf (x) 的极值； （Ⅱ）若函数 f (x) 在区间[−2 , 4] 上有三个零点，求 m 的取值范围．
17. 如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂直，
AF // DE ， DE ⊥ AD ， AD ⊥ BE ， AF = AD = 1 DE = 1 ， AB = 2 ． 2
（Ⅰ）求证： BF // 平面 CDE ；
E
（Ⅱ）求二面角 B − EF − D 的余弦值；
若对任意 x (−, m] ，都有 f (x) − 8 ，则 m 的取值范围是 ____． 9
三、解答题 16. 在 △ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b，c ， b = 2 3 ， c = 3 ， cos B = − 1 ．
3 （Ⅰ）求 sinC 的值；
（Ⅱ）求 △ABC 的面积．
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
北京四中2020届高三数学10月统练试题 文 (无答案)北师大版
2020～2020学年第一学期北京四中统练1高三数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}1,2,3,4A =，集合{}1,3,5,7B =，则A B =U （ ） 2．下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上是增函数的是（ ） 3．已知a 、b 为实数，则“22a b >”是“22log log a b >”的（ ） 4．函数2log y x =的图象按向量a 平移后可以得到函数2log (2)3y x =-+的图象，则（ ） 5．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（a 是不为0的实数），那么{}n a （ ）6．设a 、b 是两个非零向量（ ）（A ）{}1,3（B ）{}1,2,3,4,5,7 （C ）{}5,7（D ）{}2,4,5,7（A ）2xy =（B ）32y x x =+（C ）sin y x =- （D ）1y x=-（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）(2,3)=a（B ）(2,3)=-a（C ）(2,3)=-a（D ）(2,3)=--a（A ）一定是等差数列 （B ）一定是等比数列（C ）或者是等差数列，或者是等差数列 （D ）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 （A ）若||||||=-a +b a b ，则⊥a b （B ）若⊥a b ，则||||||=-a +b a b（C ）若||||||=-a +b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a （D ）若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||=-a +b a b7．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根 其中正确命题的个数为（ ） 8．已知函数()f x 的定义域是{|(}2x x x k k ππ∈≠+∈R Z 且，函数()f x 满足()()f x f x π=+，当(,)22x ππ∈-时，()2sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．9． 已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28cos()a a +的值为 ． 10．函数2()log (21)f x x =+-的定义域是 ． 11．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos(),sin())33ππαα=++b ，则||-=a b ．12．已知点(,)A m n 在直线220x y +-=上，则24mn+的最小值为 ．13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且满足1a b c ++=，sin sin A B C +=，则c = ；若3C π=，则ABC ∆的面积S = ．14．已知关于x 的不等式220x ax -+>，若此不等式对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是 ；若此不等式对于任意的(2,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（A ）a c b << （B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知x ∈R ，向量2(cos ,1)OA a x =u u r ，(2,sin 2)OB x a =-u u u r ，()f x OA OB =⋅uu r uu u r ， 0a ≠．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为5，求实数a 的值．16．（本小题满分13分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =． （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值．17．（本小题满分13分）已知函数32()2f x x ax =++，若()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．（Ⅰ）求导函数()f x '及实数a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值和最小值．18．（本小题满分13分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且1323(2,)n n a a n n n *-=-+≥∈N ．（Ⅰ）求23,a a ，并证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求12a a ++…n a +的值．19．（本小题满分14分）设函数32()5f x x bx cx =+++，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求实数c 的值；（Ⅱ）判断是否存在实数b ，使得方程2()0f x b x -=恰有一个实数根．若存在，求b 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有12121212()()3333f x x f x f x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数2()f x x =是否为定义域上的C 函数，并说明理由； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x（12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数．已知()f x 是R 上的π函数．m 是给定的正整数，设()n a f n =，0,1,2,n =…,m ，且00a =，2m a m =，记12f S a a =++…m a +．对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020～2020学年第一学期北京四中统练1 高三数学（文科）答题卡○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线39（1）○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ 学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________ 密封线。
北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题
北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A Bð等于 CA .{|11}x x -<≤B .{|11}x x -<<C .{|1}x x <-C .{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12ii z +=对应的点位于 DA . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 CA ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是 DA . 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B . 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C . 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D . 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟. 5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A A . 3:1 B . 4:1 C . 5:1D . 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m // 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 CA ．152π；B ．203π；C ．1521π-；D ．2031π-8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：12x x y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x =+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为 B A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9．曲线()2x f x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为 20x y -+= ．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为28 ．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m na ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += 44 ．12. 已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm 的值为 xe .13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=__－3__．14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 911-或 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n nS a a n N =+∈． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b的前n 项和n T ．解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．详细分析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n =（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+.（1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值．16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Zπϕπ⨯+=∈22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<<∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bxx-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ，ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑，a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6301020x y ==，解得2,4x y ==在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD =又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥， 又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ， 且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭， 即四面体ACDE -的体积为89.12分19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B两点．若OAB △的面积为，求直线l 的方程．（1）因为椭圆C 的焦点为12(FF ，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB的面积为，所以1262AB OP=，从而7AB =． 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+，所以()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=， 所以()()2022216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则212y =，因此P 的坐标为22⎛ ⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．(1)由()32f x x x bx=++，得()232f x x x b'=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，所以()232f x x x b'=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++-⎪⎝⎭， ∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-. (2)由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩- 11 - 假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*)是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解，①当01t <<时，方程(*)为∴()()232320t t t t t -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解； ②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a =+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++， 显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数， ∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。
2019届北京市四中高三高考调研卷(二)文科数学试卷及解析
2019届北京市四中高三高考调研卷（二）
文科数学试卷
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.）
【答案】C
【解析】
【分析】
可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．
故选：C
2.）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
.
则复数z，位于第四象限.
本题选择D选项.
3.）
A. 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
B. 把2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
C. 把纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
D. 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【详解】对于选项A, 2倍，纵坐标不变，再
项A是错误的；
对于选项B, 2倍，纵坐标不变，再把得到的
所以选项B是错误的；
对于选项C,纵坐标不变，
得到曲线
所以选项C是正确的；
对于选项D,
D
是错误的.
4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种。
北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三测试数学试题(含答案)2.13
（D） x2 y2 1 12 4
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
（A） 2 3
（C） 8 3
（B） 4 3
（D） 16 3
9．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有 1个这种细菌和 200 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要
（A）6 秒
（A）4
（B）5
（C）6
（D）8
4．已知 a,b R ，则“ a b ”是“ log2 a log2 b ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
5．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所 示是一位猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子 上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是
17．（本小题满分 14 分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随
机抽取 10 天的数据，制表如下：
甲公司某员工 A
乙公司某员工 B
396583 3 23 4 66 6 77
0 14 4 22 2
．
15．已知向量 e1 ， e2 是平面 内的一组基向量， O 为 内的定点，对于 内任意一点 P ，当
OP x e1 +y e2 时，则称有序实数对 (x, y) 为点 P 的广义坐标，若点 A , B 的广义坐标分别为
(x1, y1) , (x2 , y2 ) ，对于下列命题：
① 线段 AB 中点的广义坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) ；
2020年4月北京市第四中学高三下学期月考数学试卷(解析)
与
则“
”是
”的否定是“
，
，即
”，∴ 选 ，
，但
不一定成立，错误；
如下图，阴影部分是 所在区域，
的必要条件，正确．
故选 D .
4. C 【解析】 由题意知：
，
又∵
，
，
，由
，
得 ∴ 当 故选 ．
时，
，当且仅当
时，等号成立，
，
有最小值，最小值是 ．
5. D
【解析】 由三视图可知：几何体是对角线长为 的正方形， 侧棱垂直于底面的四棱锥， 侧棱长为 ，则该几何体的体积是 ．
则由
是函数 的对称轴，
知，
，
即
，所以
，
由 在区间
上单调知
，
即
，
两者矛盾，则假设不成立，
假设这 个条件是①③，
则由 的周期为 ，
得
，即
，
又
，
所以
，
，
得
，
，
因为
，
所以不存在满足条件的 值，则假设不成立，
所以
满足的条件是①②，
由函数 的周期为 ，
得
，即
，
由
是函数 的对称轴，
得：
，
，
即
，
，又
，所以
，
所以 的解析式为
．
所以
．
由 的任意性知， 的取值集合为
．
6. A
【解析】 由
的图象知
，
令，∴，， Nhomakorabea即
，
∴
，
令
，
∴
，
，
即
，
∴
，
2020年北京四中第二学期高三年级统练
（Ⅱ）若 x [0, π ] ，求函数 f (x) 的值域． 3
北京四中 2019-2020 学年度第二学期高三年级统练数学学科
第5页
18．（本小题满分 14 分）
某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维
修．工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必
图1
图2
17．（本小题满分 14 分） 已知函数 f (x) sin(x ) ( 0, π) 恰好满足下列三个条件中的两个条件： 2
① 函数 f (x) 的最小正周期为 π ；
② x π 是函数 f (x) 的对称轴； 6
③ f ( π) 0 且在区间 ( π , π) 上单调，
4
62
（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数 f (x) 的解析式；
为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为
（A） 1 5
（B） 6 25
（C） 8 25
（D） 2 5
8．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线与抛物线
y2
2 px( p
0) 的准线分别交于
A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2， △AOB 的面积为 3 ，则 p =
（Ⅲ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x) 在区间 (1, ) 内恒成立．
21．（本小题满分 14 分） 如图，设 A 是由 n n 个实数组成的 n 行 n 列的数表，其中 aij (i, j 1, 2,3, , n) 表示位于第i
行第 j 列的实数，且 aij {1, 1}.记 S( n, n) 为所有这样的数表构成的集合．
北京四中2019-2020学年度第二学期高三统练2数学学科 含答案
（A）21
（B）42
（C）63
3．下列选项中，说法正确的是 （A）“ x0 R, x02 − x0 0 ”的否定是“ x R, x2 − x 0 ” （B）若向量 a,b 满足 a b 0 ，则 a 与 b 的夹角为钝角 （C）若 am2 bm2 ，则 a b （D）“ x (A B) ”是“ x (A B) ”的必要条件
的取值范围是
（A） (0, ) 3
（B） (0, ] 3
（C）[ , ] 3
（D） ( , ) 3
10． ABCD − A1B1C1D1 单位正方体，黑白两个蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱 称 为 “ 走 完 一 段 ” ． 白 蚂 蚁 爬 地 的 路 线 是 AA1 → A1D1 → ， 黑 蚂 蚁 爬 行 的 路 线 是 AB → BB1 → ，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i + 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直 线（ i N* ）．设白，黑蚂蚁都走完 2020 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白 两蚂蚁的距离是
某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如下表：
日期
1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日
元件 A 个数 9
15 12 18 12 18
9
9
24 12
日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日
2
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D）0
二．填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组 5 名同学成绩的平均
北京市第四中学2019届高三数学调研卷(二)文(含解析)
北京市第四中学2019届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
已知全集,，，那么等于（）A。
B.C. D。
【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，,。
故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得:z=2−i，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：z=1+2ii =i+2i2i2=i−2−1=2−i，则复数z对应的点为(2,−1)，位于第四象限。
本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则,各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线C1:y=sinx，C2:y=sin(2x−2π3)，则下面结论正确的是( ）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2C。
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2D。
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A, 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线y=sin12(x−π3)=sin(12x−π6),所以选项A是错误的；对于选项B, 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线y=sin12(x+π3)=sin(12x+π6),所以选项B是错误的；对于选项C，曲线C1:y=sinx,把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,得到y=sin2x，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2:y=sin(2x−2π3),所以选项C是正确的；对于选项D, 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线y=sin2(x+π3)=sin(2x+2π3)，所以选项D是错误的。
北京市第四中学2019届高三高考热身练习数学(理)试题(PDF版)
绝密★启封前★机密2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）（本试卷共150分，考试时长120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z 的实部与虚部之和为（A ）2- （B ） 2 （C ） 1 （D ） 03．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）14. 设 a ∈R ，b > 0，则“3a b >”是“ 3log a b >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若变量,x y 满足约束条件1236x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，2z x y =+的最小值为（A ）185 （B ） 103（C ）3 （D ） 16. 在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AD AB ⋅的值为（A ）48 （B ） 24 （C ）12 （D ）6i =1，S =0开始i =i +1输出S 结束否是7. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则直线l 的斜率为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）1-8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时， 函数()y f x =的值域为（A ）[26,66] （B ）[26,18] （C ）[36,18] （D ）[36,66]二、填空题共6道小题，每小题5分，共30分9．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则2019a =______．10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．11．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______． （用数字作答）12. 已知双曲线2213x y -=，则该双曲线离心率e=_______，渐近线方程为______．13. 在ABC ∆中，3a =，26b =，2B A ∠=∠．cos A 的值为 ； c 的值为______．14. 已知函数21,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())f f x m =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的取值范围为________.侧(左)视图2 A BA 1B 1D C D 1 C 1P三、解答题共6道小题，共80分 15. （本小题13分）已知向量(3cos ,0)a x =，(0,sin )b x =，记函数2()()3sin 2f x a b x =++．求： (Ⅰ) 函数f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合； (Ⅱ) 函数f (x )的单调递增区间．16. （本小题14分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，45ABC ∠=，2AB AC ==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =.（Ⅰ）求证：直线//PB 平面MNC ； （Ⅱ）求证：平面MNC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值.17.（本小题13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :分钟/天DB(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18．(本小题13分)已知椭圆2222:1x y M a b +=（a ＞b ＞0）的一个顶点坐标为（2，0），y =x +m 交椭圆于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）设点C （1，1），当△ABC 的面积为1时，求实数m 的值．19.（本小题满分14分） 已知函数()ln 2f x x x =+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数2()g x x x=-，其中0x >. 证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方.20.（本小题13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．ξξ()E ξ答题纸班级_________ 姓名_________ 成绩__________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡上二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共6小题，共80分参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题15. （本小题满分13分） 解：（1）2()()3sin 2f x a b x =++212cos 2cos 222x x x x =++=+2sin(2)26x π=++当且仅当32262x k πππ+=+，即2()3x k k Z ππ=+∈时，f (x )min =0此时x 的集合是2|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数f (x )的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接NO在平行四边形ABCD 中，因为12MD BC =，所以12OD OB =，又因为2PN ND =，即12ND PN =，所以//ON PB ，又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以直线//PB 平面MNC .（Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD 所以PM ⊥平面ABCD在平行四边形ABCD 中，因为45ABC ∠=，2AB AC ==，所以AB AC ⊥如图，以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,2,0)B C ，(2,2,0),(1,1,0)D M -- 因为PM ⊥平面ABCD 设(1,1,)P t -(0)t >，则(1,1,)AP t =-，(1,1,0)CM =--，(2,2,0)AD =- 所以2200CM AD ⋅=-+=，1100CM AP ⋅=-+= 所以,CM AD CM AP ⊥⊥，又因为APAD A =所以CM ⊥平面PAD ，又因为CM ⊂平面MNC 所以平面MNC ⊥平面PAD .（Ⅲ）解：因为(2,0,0)AB =，(1,1,)AP t =- 设(,,)x y z =m 为平面ABP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-++=⎩不妨设(0,,1)t =-m因为(2,0,0)DC =，(1,1,)DP t =- 设(,,)x y z =n 为平面DCP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-+=⎩不妨设(0,,1)t =n因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以⊥m n ，所以210t ⋅=-=m n 以为0t > 所以1t =所以(3,1,1)BP =-，(0,1,1)=n ， 所以22sin cos ,112BP θ=<>==n 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为2211. x yzOCBDAM N17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为. ………3分(Ⅱ)甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，所以，随机变量的取值为.所以，，，.所以的分布列为的数学期望为. ……………10分(Ⅲ)X<甲X乙;2s>2s.……………13分18.（本小题满分13分）解：（1）由题意得，a=2，∵2ce ca===∴2221b a c=-=．所以椭圆M的方程为：2214xy+=（2）解：设1122(,),(,)A x yB x y，联立方程22141x yy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2258440x mx m++-=，21212844,55m mx x x x-+=-⋅=，0.65400.005102⨯⨯=400.015106⨯⨯=ξ0,1,2=ξ(0)==Pξ022628C C1528C=(1)==Pξ112628C C123287C==(2)==Pξ202628C C128C=ξξ()012287282=⨯+⨯+⨯=Eξ∵2226445(44)16800m m m ∆=-⨯-=-+>，∴25m <，即m <<线段AB 的长度||AB ==，点C 到直线AB 的距离d =，11||122ABCSAB d =⋅⋅==得m =，满足m <<综上所述，m =．19（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()ln 1f x x '=+， ………………………… 1分又因为(1)2f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设函数()()ln 2F x f x ax x x ax =+=++，求导，得()ln 1F x x a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，所以()ln 10F x x a '=++≥在区间(e,)+∞上恒成立， ………………………… 4分 即ln 1a x --≥恒成立. ………………………… 5分 又因为函数()ln 1h x x =--在区间(e,)+∞上单调递减， 所以()(e)2h x h <=-，所以2a -≥. ………………………… 8分 （Ⅲ）证明：设2()()()ln 2h x f x g x x x x x=-=+-+，0x >. …………………… 9分 求导，得22()ln h x x x '=-．设22()()ln m x h x x x '==-，则314()0m x x x '=+>（其中0x >）.所以当(0,)x ∈+∞时，()m x （即()h x '）为增函数. ………………………… 10分 又因为(1)20h '=-<，22(e)10e h '=->，所以，存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=． ………………… 11分 且()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0()()h x h x ≥． ………………………… 12分又因为0(1,e)x ∈，00202()ln 0h x x x '=-=， 所以000002()ln 2h x x x x x =+-+0042x x =-+42e 0e>-+>，所以()0h x >，即()g x 的图象在()f x 图象的下方. ………………………… 14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，所以 5{2,4,5}E =． （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i ik k S S +>，且1i k +是使得ik k S S >成立的最小的k ，所以 11i ikk S S +-≤.又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k kk S S a +++-=+ 1.i k S <+所以 11i ik k S S +-<．（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-， 同理 101k S S -<，且 mn k S S ≤．所以 12110()()()()mmm n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．。
2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题
绝密★启用前2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．tan570°=（ ） A ．3B ．-3C D ．22．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．843．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件4．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）……外……………………装……………………○………………○……※请※※不※※要※※在※※装※※答※※题※※……内……………………装……………………○………………○……A ．8B ．83C ．4D ．436．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．37．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．258．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．39．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一……○…………______班级：________……○…………条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1 BC D ．0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．11．在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答）12．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．13．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______. 三、解答题14．已知如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示。
北京市第四中学2020届高三数学下学期统练1试题(含解析)
北京市第四中学2020届高三数学下学期统练试题1（含解析）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D.{2,1,0,1}--【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域求出集合B 的解集，再由集合交集的运算法则，求出答案.【详解】由题可知，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则其中定义域{|10}{|1}B x x x x =->=<又有集合{2,1,0,1,2}A =--，则{2,1,0}A B =-- 故选：C【点睛】本题考查集合表示的定义，求对数函数的定义域，还考查了集合的交集运算，属于基础题.2.直线10x y +-=与圆2222ππcoscos 36x y +=+的公共点的个数（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】表示圆的标准方程，进而表示圆心和半径，再由圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系，即可得答案.【详解】因为圆222222ππ1cos cos 1362x y ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为()0,0,1r =则圆心到直线10x y +-=的距离为12d ==< 所以公共点有2个 故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.3.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A. 2D. 3【答案】C 【解析】分析：设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模. 详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z = C.点睛：本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.4.()2323P ?log 3Q ?log 2R ?log log 2===，，，则( ) A. R<Q<P B. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q【答案】A 【解析】 试题分析：由对数函数的性质，()22323P ?log 3>log 21Q ?log 2(0,1)R ?log log 20===∈=<，，，故选A.考点：对数函数的性质 5.给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】①由线面平行的判定定理即可判定； ②由长方体与直棱柱的定义即可判定； ③构建特殊的例子，如图即可判定.【详解】①该直线与平面可能相交，位于平面两侧的两个点到平面α的距离也是相等的，故错误；②显然长方体的侧棱是垂直于底面的，故正确；③两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥就不是正棱锥，故错误.故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，直棱锥和正棱锥的定义，属于简单题. 6.“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 7.截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（ ） A. 新加坡（570万） B. 希腊（1100万） C. 津巴布韦（1500万） D. 澳大利亚（2500万） 【答案】C 【解析】 【分析】由指数幂的计算方式求得答案.【详解】由题可知，年增长率为0.001，则两年后全世界的人口有()275000010.001⨯+万， 则两年增长的人口为()275000010.0017500001500.75⨯+-=万 故选：C【点睛】本题考查指数式的计算，属于基础题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A. 83B.23C.43D. 2【答案】B 【解析】分析：根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积. 详解：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为11212S =⨯⨯=，高为2h =， 所以该三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选B.点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.9.已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<≤⎪=+⎨⎪<≤⎩则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用转化思想将零点问题转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，进而作图分析由数形结合思想即可得答案.【详解】函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点，可等价于方程()0f x mx m --=的根，进一步转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，作出分段函数的在区间(]1,1-内图象，因为直线()1y m x =+过定点()1,0A -且斜率102m <<，则直线必然与线段OB 相交于一点，故交点个数有2个， 所以函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为2.故选：C【点睛】本题考查利用转化思想与数形结合思想解决函数的零点个数问题，属于较难题. 10.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ∆，那么下列命题正确的是（ ）． A. 若{}n a M ∆，则数列{}n a 各项均大于或等于M ； B. 若{}n a M ∆，则{}22n a M ∆；C. 若{}n a M ∆，{}n b M ∆，则{}2n n a b M +∆；D. 若{}n a M ∆，则{}2121n a M +∆+； 【答案】D 【解析】 【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当 1.5M =时，判断A ；当3M =-时，判断B ；当数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =时，可判断C ；直接根据定义可判断D 正确.【详解】A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中， 1.5M =，数列{}n a 各项均大于或等于M 不成立，故A 不正确；B 中在数列1，2，1，2，1，2…中，3M =-，此时{}22n a M ∆不正确，故B 错误； C 中，数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =，而{}n n a b +各项均为3，则{}2n n a b M +∆不成立，故C 不正确；D 中，若{}n a M ∆，则{}21n a +中，21n a +与121n a ++中至少有一个不小于21M +，故{}2121n a M +∆+正确，故选D ．【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{}n a M ∆是解题的关键，属于中档题.二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.已知函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】因为函数()f x （[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=又因为该二次函数的对称轴为22a x +=-，所以2a =-，故2b =. 故答案为：2【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题. 12.函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____. 【答案】π 【解析】 【分析】利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期2T πω=求得答案.【详解】因为函数21cos 231cos 2sin cos 2cos 2222x y x x x x -=-=-=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.13.已知(1)nx +的展开式各项系数之和为64，则n =_____，展开式中含2x 项的系数为_____.【答案】 (1). 6 (2). 15 【解析】 【分析】利用赋值法，令1x =，则(1)nx +的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含2x 项的系数.【详解】令1x =，则(1)nx +的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =； 其中通项16rrr T C x +=⋅，令2r ，则2223615T C x x =⋅=，故2x 项的系数为15.故答案为：(1). 6；(2). 15【点睛】本题考查求二项展开式中指定项的系数，还考查了赋值法的应用，属于基础题. 14.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .【答案】 (1). 4【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai1i +，()1A i +的长度为21i i a ++=，所以，数列{}n a为公比的等比数列， 由题意知4A52=，5a ∴=，51242a a ∴===⎛ ⎝⎭所以，0A纸的面积为(22211S ===，又22n n S a =，222111122n n n n n a S a S a +++⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以为首项，以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 . 【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为4的正方形，11A C 与11B D 交于点N ，1BC 与1B C 交于点M ，且AM BN ⊥.（Ⅰ）证明：//MN 平面1A BD ； （Ⅱ）求1AA 的长度；（Ⅲ）求直线AM 与DN 所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1AA 的长度等于22（Ⅲ）2211【解析】 【分析】（Ⅰ）在以11A BC ∆中，利用中位线定理证明1//MN A B ，再由线面平行的判定定理得证； （Ⅱ）由已知说明DA ，DC ，1DD 两两垂直，进而可建立空间直角坐标系，再分别表示点坐标，即可表示AM ，BN 的坐标，由向量垂直的数量积为零构建方程求得答案； （Ⅲ）由数量积的坐标运算求夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：由已知，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11BCC B 与四边形1111D C B A 是平行四边形，所以M ，N 分别是1BC ，11A C 的中点.所以11A BC ∆中，1//MN A B .因为MN ⊄平面1A BD ，所以//MN 平面1A BD . （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ，11//DD AA ，所以1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AD ⊥，1DD CD ⊥，又正方形ABCD 中AD CD ⊥，所以以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设1AA t =，所以(4,0,0)A ，(2,4,)2tM ，(4,4,0)B ，(2,2,)N t ，(2,4,)2tAM =-，(2,2,)BN t =--.因为AM BN ⊥，所以2(2)(2)4(2)4022t t AM BN t ⋅=-⨯-+⨯-+⨯=-+=，解得t =，所以1AA的长度等于（Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,AM =-，(2,2,DN =， 设直线AM 与DN 所成角为θ， 所以||22cos |cos ,|11||||AM DNAM DN AM DN θ⋅=<>==. 即直线AM 与DN 所成角的余弦值为11. 【点睛】本题考查空间中线面平行的证明，还考查了利用空间向量求棱长与异面直线所成角，属于简单题.17.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===.所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 18.现给出三个条件：①函数()f x 的图象关于直线π3x =对称；②函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；③函数()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.已知函数())f x x =ω+ϕ（0>ω，π||2ϕ<），_____，_____.求函数()f x 在区间ππ[,]26-上的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】 【分析】方案①③与②③，都有周期2T πω=可求得ω，再由sin 型函数的对称轴2k ππ+与对称中心(),0k π求得ϕ，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴π3x =与对称中心π(,0)6-可构建方程组，分别表示ω与ϕ，利用分类讨论6πϕ=-和6π时ω的情况，其中若T 小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.【详解】方案一：选①③.由已知，函数()f x 的最小正周期πT =，所以2ππω=，2=ω，所以())f x x ϕ=+.令π2π2x k ϕ+=+，得ππ422k x ϕ=-+，k ∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为ππ422k x ϕ=-+，k ∈Z .令πππ4223k ϕ-+=，k ∈Z ，由π||2ϕ<，得π6ϕ=-.综上，π())6f x x =-.因为ππ[,]26x ∈-，所以π7ππ2[,]666x -∈-. 所以当π7π266x -=-或π6，即π2x =-或π6时，max ()f x =当ππ262x -=-，即π6x =-时，min ()f x =. 方案二：选②③.由已知，函数()f x 的最小正周期πT =， 所以2ππω=，2=ω，所以())f x x ϕ=+.所以ππ())063f ϕ-=-+=，于是ππ3k ϕ-+=，k ∈Z . 由π||2ϕ<，得π3ϕ=.综上，π())3f x x =+.因为ππ[,]26x ∈-，所以π2π2π2[,]333x +∈-. 所以当ππ232x +=，即π12x =时，max ()f x =当ππ232x +=-，即5π12x =-时，min ()f x =.方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴π3x =与对称中心π(,0)6-， 则()112232,6k k Z k Z k ππωϕππωϕπ⎧+=+⎪⎪∈∈⎨⎪-+=⎪⎩，解得1212221121336k k k k ωϕπ=-+⎧⎪⎨⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎩ 因为12121π||3362k k ϕπ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭，则12221k k -<+<，即1221k k +=-或0当1221k k +=-时，()222,22121616k k k πϕω=-=---+=--因为0>ω，则()22216106k k k Z -->⇒<-∈ 当21k =-时，5ω=，则225T ππω==又因为区间ππ[,]26-的区间长度为2623T πππ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-上的22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立， 当1220k k +=时，()222,2221616k k k πϕω==--+=-+因为0>ω，则()22216106k k k Z -+>⇒<∈ 当20k =时，1ω=，则223T ππ=>此时函数π=+())6f x x ，则其在区间[,]26ππ-上有363x πππ-≤+≤，即33)262x π-≤+≤，故最大值为32，最小值为32-，当21k =-时，7ω=，则2273T ππ=<，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-最小值为22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立综上所述，函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛⎫=ω-ω=--≤-∈ ⎪⎝⎭和函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛⎫=ω+ω=-+≤-∈ ⎪⎝⎭在区间ππ[,]26-和最小值为；函数π=+())6f x x 在区间[,]26ππ-上最大值为32，最小值为32-.【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，还考查了求指定区间的最值，属于难题.19.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得0002x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=.因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20.已知函数21()(1)e 22xf x x ax ax =+++，0a <. （Ⅰ）若()f x 满足(0)0f '=，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的极值点的个数；（Ⅲ）若0x （02x ≠-）是()f x 的一个极值点，且2(2)e f -->，证明：0()1≤f x .【答案】（Ⅰ）1a =-；（Ⅱ）当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点；（Ⅲ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，由(0)0f '=构建方程，求得a 的值；（Ⅱ）对()f x 求导，利用分类讨论思想讨论()f x 在当2a e -<-，2a e -=-，2e 0a --<<时的单调性，进而分析极值点的个数；（Ⅲ）由2(2)e f -->，可得2e a -<-，此时由（Ⅱ）可知其两个极值为-2和ln()a -时，又0x （02x ≠-）是()f x 的一个极值点，则()0ln x a =-，即可表示0()f x ，进而由换元法令()()ln 2,t a =-∈-+∞，构造新的函数利用导数证明此时的不等式即可.详解】（Ⅰ）()(2)e 2(2)(e )x x f x x ax a x a '=+++=++.(0)2(1)0f a '=+=，所以1a =-.（Ⅱ）()(2)e 2(2)(e )xxf x x ax a x a '=+++=++ 当0a <时，令()0f x '=，解得12x =-，()2ln x a =-. ①当2a e -<-时，2ln()a -<-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 有2个极值点.②当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点.③当2e 0a --<<时，2ln()a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 有2个极值点.综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，则22(,e )(e ,0)a --∈-∞--.又22(2)e2e f a ---=-->，即2e a -<-.02x ≠-()0ln x a ∴=-.()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦. 令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则e t a =-()()21e 222t g t t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞. 则()()()211e 44e 22t t g t t t t t '=-+=-+，令()0g t '=，解得4t =-或0t =. 当t 在区间(2,)-+∞上变化时，()g t '，()g t 的变化如下表()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()()02max 10e 020212g t g ∴==-+⨯-=，即()1g t ≤()01f x ∴≤.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，还考查了利用分类讨论分析含参函数的单调性进而分析极值，属于难题.21.已知集合12{|(,,,),*,1,2,,}n n i S X X x x x x i n ==∈=N （2n ≥）.对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)n n a a a a a a λλλλ=（R λ∈）；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ； （Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0λ∃>，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0λ∃>，使AB BC λ=？说明理由； （Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．【答案】（Ⅰ）51a =，或55a =．（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）不存在0λ>，使得AB BC λ=．见解析（Ⅲ）(,)d A B 的最大值为2p ． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知的新定义1(,)||niii d A B a b ==-∑，代值计算即可；（Ⅱ）（ⅰ）由已知新定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---，可将已知转化为0λ∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =，所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数，进而由1(,)||niii d A B a b ==-∑与绝对值的性质即可得证；（ⅱ）举特例取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，即可说明不存在；（Ⅲ）由绝对值的性质对,x y ∈R ，都有||||||x y x y +≤+，则所求式子11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2n ni i i i a b p ===-+-=∑∑．【详解】（Ⅰ）当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =．（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0λ∃>，使 AB BC λ=，所以 0λ∃>，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即 0λ∃>，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．所以 11(,)(,)||||nniiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)niiiii b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑．（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0λ∃>，使得AB BC λ=．反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=． 因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在0λ>，使得AB BC λ=．（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||n i i i d A B b a ==-∑， 设(1,2,,)i i b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<． 所以 1(,)||ni ii d A B b a ==-∑ 12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++ 因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以 11(1)(1)n n i i i i a b ==-=-∑∑， 整理得 11n ni ii i a b ===∑∑． 所以 12121(,)||2[()]n i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑． 因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ．解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)n i i i b a =≤-+-∑ 11|1||1|2n n i i i i a b p ===-+-=∑∑．上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤．对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ．【点睛】本题考查向量与绝对值求和的新定义问题，还考查了绝对值的性质的应用，属于难题.。
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高三数学2020.4.21
试卷满分150分 考试时间120分钟
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．tan 570= （A
）3
（B
）3
-
（C
（D
）
2
2．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
3．下列选项中，说法正确的是
（A ）“2
000,0x x x ∃∈-R ”的否定是“2,0x x x ∃∈->R ”
（B ）若向量,a b 满足0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角 （C ）若22am bm ，则a b
（D ）“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件
4．已知0a >，0b >，1a b +=，若1a a α=+，1
b b
β=+，则αβ+的最小值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是
（A ）8 （B ）83
（C ）4
（D ）
43
6．函数ππ
tan()42
y x =-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=
（A ）6 （B ）5
（C ）4 （D ）3
7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
（A ）1
5
（B ）
625
（C ）
825
（D ）
25
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于
A ,
B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2， △AOB p = （A ）1 （B ）
32
（C ）2 （D ）3
9．ABC ∆中，三边的长为,,a b c ，若函数32221
()(+)13
f x x bx a c ac x =++-+有极值点，则B
∠的取值范围是
（A ）π
(0,)3
（B ）π
(0,]3
（C ）π
[,π]3
（D ）π
(,π)3
10单位正方体1111ABCD A B C D -，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是111AA A D →→
，黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→
，
它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（*N i ∈）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 （A ）1 （B （C （D ）0
二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均 数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为 ．
12．在251
(2)x x
-的二项展开式中，x 的系数为 ．（用数值作答）
13．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 ．
14．已知0,0x y >>，且21
1x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
15．函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（π
0,0,02
A ωϕ>><<
）的最大值为3，若()f x 的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，
则(1)(2)(2015)f f f +++= ．
三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
已知如图1，在Rt ABC
∆中，30
ACB
∠=︒，90
ABC
∠=︒，D为AC中点，AE BD
⊥于E，延长AE交BC于F，将ABD
∆沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A DC B
--的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B AEF
-与四棱锥A FEDC
-的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
图1 图2
17．（本小题满分14分）
已知函数
π
()sin()(0,)
2
f x x
ωϕωϕ
=+><恰好满足下列三个条件中的两个条件：
①函数()
f x的最小正周期为π；
②
π
6
x=是函数()
f x的对称轴；
③
π
()0
4
f=且在区间
ππ
(,)
62
上单调，
（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数()
f x的解析式；
（Ⅱ）若
π
[0,]
3
x∈，求函数()
f x的值域．
某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：
从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若,a b *∈N ，且6b a -=，求()P a X b 最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
19．（本小题满分14分）
已知点()1,2P 到抛物线C ：()220y px p =>准线的距离为2． （Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点，求MF NF ⋅的值．
设函数2()ln f x ax a x =--，1e
()e
x g x x =-，其中a ∈R ，e 2.718=为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：当1x >时，()0g x >；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立．
21．（本小题满分14分）
如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i
行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．
对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令
1
1
()()()n
n
i j i j l A r A c A ===+∑∑．
（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。