高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面向量的基本定理及坐标表示

一、选择题

1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( )

A 、21-a +23b

B 、21a 23-b

C 、23a 21-b

D 、2

3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ）

A 、)10

10,10103(-=e B 、)1010,10103()1010,10103(--=或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e

3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为

（ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20

4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅的最小值是 ( )

A 、-16

B 、-8

C 、0

D 、4

5、若向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ）

A 、 －1 ，2

B 、 －2 ，1

C 、 1 ，2

D 、 2，1

6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α,sin β)，则a 与b 一定满足 （ ）

A 、a 与b 的夹角等于α－β

B 、(a ＋b )⊥(a －b )

C 、a ∥b

D 、a ⊥b

7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=，

i OQ -=∈),2,0(π

θ。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、θ B 、θπ

+2 C 、θπ

-2 D 、θπ-

8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP

，则向

量21P P 长度的最大值是（ ）

A 、2

B 、3

C 、23

D 、 二、填空题

9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使⋅取得最小值的点P 的坐标是 、

10、把函数sin y x x =-的图象，按向量(),a m n =- （m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、

11、已知向量=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1( 、

三、解答题

12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、

13、平面直角坐标系有点].4

,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P （1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ；

（2）求θ的最值、

14、设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2

π]、 (1)求f(x)=OB OA ·

的最大值和最小值； (2)当 OA ⊥OB ，求|AB |、

15、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2

||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP 、

（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；

（2）当2=k 时，求||−→−−→−+BP AP 的最大值和最小值、

参考答案

一、选择题

1、B ；

2、B ；

3、C ；

4、B ；

5、D ；

6、B ；

7、D ；

8、C

二、填空题

9、(0，0)

10、56

m π=

11、4

三、解答题 12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522

x y -+⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩、所以/A （1，－1）。 13、解：（1）)(cos 1cos 2||||cos ,cos 1||||,cos 222x f x

x OQ OP x OQ OP x OQ OP =+=⋅=+==⋅θ （2）x x x x x f cos 1

cos 2cos 1cos 2)(cos 2+=+==θ且]4

,4[ππ-∈x ，]1,22[cos ∈∴x 223cos 1cos 2≤+≤x x 1cos 3

22,1)(322≤≤≤≤θ即x f ;322arccos max =θ 0min =θ

14、解：⑴f(x)=·= -2sinxcosx+cos2x=)42cos(2π

+x 、

∵0≤x ≤

2π ， ∴4π≤2x+4π≤4

5π、 ∴当2x+4π=4

π，即x=0时，f(x)max =1； 当2x+4

π=π，即x=83π时，f(x)min = -2、 ⑵⊥即f(x)=0，2x+4π=2π，∴x=8π、 此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x =222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x =x x x 2cos 2sin 22cos 2

7272++- =

4cos 4sin 24cos 27272πππ++- =23162

1-、 15、解：( 1 ) 设动点P 的坐标为),(y x ，

则)1,(-=−→−y x AP ，)1,(+=−→−y x BP ，),1(y x PC -=−→−、

∵2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[]

2222)1(1y x k y x +-=-+， 即 012)1()1(22=--+-+-k kx y k x k 。

若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线、

若1≠k ，则方程为222)11()1(k

y k k x -=+-+，表示以)0,1(k k -为圆心，以为半径 |

1|1k -的圆、 (

2 ) 当2=k 时，方程化为1)2(22=+-y x 、)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+−→−−→− ∴2

22||y x BP AP +=+−→−−→−、