2016年中考数学分类汇编：二次函数压轴题(含答案)

【题1】（2016•第28题）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q 在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【题2】（2016•第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M、N的坐标．

【题2】（2016•东营第25题）

【题3】（2016•第28题）如图1，二次函数2y

ax bx 的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；

（3）如图3，一次函数y

kx （k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图

像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重

合），过点T 作直线TN ∥y 轴交OC 于点N 。若在点T 运动的过程中，2

ON OM

为常数，试确定k 的值。

参考答案：（1）x x y 22

-=

（2）P （415，

+）或P （213，+） （3）k =2

1

二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题

x

y

图3

N

M O

C T

x

y

图2（备用图）

B A

O

x

y

1

3-1图1B A

O

【题4】（2016•第21题）如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与

x 轴交于点B ．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．

【题5】（2016•第27题）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx （a ≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x

＝－ 3

2 ，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，

连结OA ，OB ，OD ，BD ． （1）求该二次函数的解析式；

（2）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，将△BPF 沿边PF 翻折，得到△B ′PF ，使△B ′PF 与

△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的 1

4 ，若点B ′在OD 上方，求线段PD 的长度;

（3）在（2）的条件下，过B ′作B ′H ⊥PF 于H ，点Q 在OD 下方的抛物线上，连接AQ 与B ′H 交于点M ，点G 在线段AM 上，使∠HPN +∠DAQ =135°，延长PG 交AD 于N ．若AN + B ′M =5

2

,求点Q 的坐标．

参考答案：（1）

x x

y 32

+=

（２）∵A （1,4）C （0,2）∴

22+=x y

AC

，∴B （-2，-2）∵D （-4,4）∴BD 102=，

由条件得P ´是PD 的中点，四边形BFB ´P 是菱形，∴PB =10∵P 在x y -=上，∴P （-1,1）∴PD =23

【题6】（2016•第26题）如图，在平面直角坐标系中，直线

y =—2x +10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点.点C 的坐标

是（8,4），

x

y

A D C

B

O

x

y

A D

C

B

O x

y

A D

C

B

O

连接AC、BC.

（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【题7】（2016•第25题）

三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题

K

O

y

x

C B

A

图2

【题8】（2016•第26题）如图1，二次函数1x 2-x 2

1y 2

+=

的图象与一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ︰S 四边形AONB =1︰48。 （1）求直线AB 和直线BC 的解析式；

（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD //x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥BC 于点F ，当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH +

22BH 的值最小，求点H 的坐标和GH +2

2BH 的最小值； （3）如图2，直线AB 上有一点K （3,4），将二次函数1x 2-x 2

1y 2

+=

沿直线BC 平移，平移的距离是t (t ≥0)，平移后抛物线上点A ，点C 的对应点分别为点A /，点C /；当△A /C /K 是直角三角形时，求t 的值。

【题9】（2016•第28题）如图，直线:33l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线

224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ．

(1)求该地物线的函数表达式；

(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限，连接AM 、BM ．设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ．求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；

(3)在(2)的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '. ①写出点M '的坐标；

②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ．设点B 、M '到直线l '的距离分别为

1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．