高等代数复习题精选
高等代数专题复习题
山东理工大学成人高等教育高等代数专题复习题一、选择题1．设(),()[]f x g x F x ∈，且()0,()0f x g x ≠≠，若()()g x f x ，则 ( )。
A ．()()()()f x g x ︒︒∂>∂B ．()()()()f x g x ︒︒∂<∂C ．()()()()f x g x ︒︒∂≥∂ D ．()()()()f x g x ︒︒∂≤∂2．已知1253415ij k a a a a a 是5阶行列式中的一项，且带正号，其中i j <，则i 的值是( )。
A ．4B ．3C ．2D ．1 3．初等矩阵11()11ij ki T k j ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭行行 左乘矩阵A 得到()ij T k A 的结果为 ( )。
A ．用数k 乘以A 的第j 行加到第i 行上 B ．用数k 乘以A 的第i 行加到第j 行上C ．用数k 乘以A 的第j 列加到第i 列上D ．用数k 乘以A 的第i 列加到第j 列上4.若既约分数r/s 是整系数多项式f （x ）的根，则下面结论哪个正确( )。
A.s+r(f(1)，s-r)f(-1) B.s+r(f(1)，s+r)f(-1) C.s+r(f(-1)，s-r)f(1) D.s+r(f(-1)，s+r)f(-1)5.n 阶行列式D,当n 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号( )。
A.4k 或4k ＋2 B.4k 或4k ＋1 C.4k 或4k ＋3 D4k+1或4k ＋2 6、若两矩阵相似，则（ ）。
A.秩相等; B. 正惯性指标相等; C.符号差相等; D. 秩相等且符号差相等7．设A 、B 、C 都是n 阶矩阵，则下列说法中正确的是（ ）。
A ．AB=BAB ．若AB=AC ，则B=CC ．r (AB )=r (A)+r (B )D ．若A 、B 都可逆，则AB 可逆8．下列关于多项式的说法中错误的是（ ）。
高等代数复习题参考答案
高等代数复习题参考答案一、选择题1. B 2．B 3. B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10. B 11． A 12． D 13．A 14. C 15．B 16．D 17．B 18．C 19．D 20．A二、 填空题21．2 22．3 23．-2 24．1233,0λλλ===25. 1t =- 26．1152⎛⎫⎪⎝⎭ 27．()0,1,1- 28．n 29．3- 30．231. 0 32．2 33．4- 34． 1230a a a ++= 35． 相 36．137. 201010002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭38．相 39．1 40．n 41．1 42. t <43. 1001102211022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭44．()134E A - 45．1 46．4- 47．21t -<< 48．100020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题49. 解：（1）246123123T A B C ⎛⎫ ⎪==--- ⎪ ⎪⎝⎭()45162324486()818116224381162243T T A CB B C A ⎛⎫⎪===--- ⎪ ⎪⎝⎭（2）1121012001A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1144439X BA ---⎛⎫== ⎪--⎝⎭50. 解：由已知等式得到()2X A E B E -=+，若A E -可逆，得1(2)()X B E A E -=+-110120110,2210001002A E B E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11102211()022001A E -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1302231022002X ⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭51. 解：E B A X B A E BXA AXB BXB AXA =--⇒++=+)()( 21])[(--=⇒B A X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-100110111B A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--100110211)(1B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210521100110211100110211X52. 解：2()A E B A E -=- 因10,A E A E -=-≠∴-Q 可逆， 于是有()A E B E +=，90,A E A E +=≠∴+Q 可逆，故()121033100312033B A E -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭53．解：12312030112(,,,)~00100002r a b αααβ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭（1）2b ≠时，β不能由321ααα,,线性表示（2）当1,2a b ≠=时，β可由321ααα,,唯一线性表示，表示式为122βαα=-+当1,2a b ==时，β可由321ααα,,多种线性表示，表示式为123(32)(2),k k k k R βααα=-++-∈54．解：（1）证明：设112321233123()()()0k k k ααααααααα+++-++-++= 则有123112321233()()()0k k k k k k k k k ααα+-+-++++=123,,αααQ 是线性空间V 的一组基，线性无关12312312300k k k k k k k k k +-=⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得1230,0,0k k k === 因此123123123,,ααααααααα++-+-++也是V 的一组基（2）所求过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（3）所求坐标为111112222323333111022111111111022211111022y a a a a y a a a a y a a a a -⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭55．解：因方线性方程组Ax β=有二个不同的解，故齐次线性方程组0Ax =有非零解，所以()()2110A a a =-+=，得11a a ==-或当1a =时增广矩阵()111211120001~000111110000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βM ，可见()()R A R A ≠βM ，方程组无解，不合题意，舍去。
高等代数期末考试复习题及参考答案
高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B .充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B .代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数复习题
高等代数复习题高等代数重修复习一．填空题1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 .2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。
4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 015.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .6．已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2A 2A的特征值为2 17.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为8.设1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n则A在基1, 2, , n下的矩阵为，A的值域为，A的核为9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则, ，(A ,A )= .10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中，1 (__)，2 (5031)，则1, 2的夹角1, 2 为。
12.设线性变换A:V V在基1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。
二．单选题1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）(A)A B也是正交矩阵(B) kA也是正交矩阵(C)AB也是正交矩阵(D) PAP也是正交矩阵2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)3．设A是n阶实对称矩阵，则（）(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵(B)A的特征值的绝对值等于1(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵(D)A有n个不同的特征值4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（）0 1(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 105．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（）(A)它们合同(B)它们的特征值都是实数1, 2, , n(C)它们都是正交矩阵(D)它们的特征值都是实数1, 2, , n，且两两不相等1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1则在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（）112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 1217. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（）(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交(C)A正交相似于单位矩阵(D)A的列向量组为标准正交向量组。
高等代数第六章单元复习题
高等代数第六章单元复习题一、 选择题1. 下列集合中，是3R 的子空间的为（ ）A .{}1233(,,)0x x x x α=≥B .{}123123(,,)230x x x x x x α=++=C ．{}1233(,,)1x x x x α==D .{}123123(,,)231x x x x x x α=++=2. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且11212,,a ββαα==+3123βααα=++，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。
A .312,,βββB .3,21,βββC ．132,,βββD .123,,βββ4. 设,,Q R C 分别为有理数域、实数域和复数域，按照通常数的加法和乘法，则下列结论正确的是（ ）A . Q 构成R 上的线性空间B . Q 构成C 上的线性空间C ．R 构成C 上的线性空间D . C 构成Q 上的线性空间5. 数域P 上n 维线性空间的基的个数有 ( )。
A .1；B .n ；C .!n ；D ．无穷多组6. 设12,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）。
A .11212()W W W W W +=B .1121()W W W W +=C ．11212()W W W W W +=+D .1122()W W W W +=7. 已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．133221,,αααααα+++线性相关．D ．133221,,αααααα+++不构成基础解系．二、填空题1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。
2. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ____，它的一个基为_____。
3. 设12{,,}n ααα是向量空间V 的一个基，由该基到21{}n ααα，，， 的过渡矩阵为___________________。
（完整word版）高等代数复习题精选.doc
（完整word版）高等代数复习题精选.doc第一章多项式自测题一、填空题1. 设 g (x) f (x) ，则 f (x)与g( x)的一个最大公因式为．2. f ( x) a n x n a n 1x n 1 a1x a0 P[ x] ,若 x | f (x) ,则 a0 ; 若x 1是 f ( x) 的根,则a0 a1 a2 a n .3.若( f (x), f ( x)) x 1 ,则是 f (x) 的重根 .4. x4 4 在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为, , .二、选择题 (以下所涉及的多项式 ,都是数域 P 上的多项式 )1.设( x) | f ( x), ( x) | g( x),且 ( x) 0, g( x)与 f ( x) 不全为0,则下列命题为假的是 ( ).A. ( x) | (u(x) f ( x) v(x)g( x))B. deg( ( x)) min{deg f ( x),deg( g( x))}（ deg 意思为次数）C.若存在u(x), v( x) ,使u(x) f ( x) v( x)g ( x) ( x), 则 ( f ( x), g(x)) ( x)D.若x a | (x), 则 f ( a) g (a) 02.若( f (x), g( x)) 1 ,则以下命题为假的是( ).A. ( f2( x), g3(x)) 1B. ( f (x), f ( x) g( x)) 1C. g( x) | f ( x)h( x)必有g( x) | h( x)D. 以上都不对3.下列命题为假的是 ( ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上 3 次多项式一定可约C.在复数域上次数大于 0 的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根4.下列命题为真的是 ( ).A.若p2( x) f (x) ,则p( x)是f (x)二重因式B.若p(x)是f ( x), f ( x), f (x) 的公因式,则 p( x) 的根是 f ( x) 的三重根C. f ( x)有重根 f (x), f ( x) 有一次因式D.若f (x)有重根 ,则f ( x)有重因式 ,反之亦然三、判断题1. 设 f ( x), g ( x), h( x) P[ x] , 若 g( x) 不能整除 h(x) ,则 g( x) 不整除( f ( x ) h (x )( ) 2.零多项式能被任意多项式所整除 ,也能整除任意多项式 . () 3. 若 f ( x) g (x)q( x)r ( x), 则 ( f ( x), g( x))(g (x), r ( x)).()4.如果 p( x) 是数域 P 上的不可约多项式 ,那么对于任意的 c P, 且c 0, cp (x)也是 P 上的不可约多项式 .( )5.若一个整系数多项式在有理数域上可约 , 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积 .第二章行列式自测题一、填空题1.六级行列式 a ij 6中的项a13a 32a 46a 51a25的符号为.2.设aij nd ,则 ka ij n.a 2 0 x3.已知行列式 0y 2中元素 a 与 b 的代数余子式分别为 -6 和 8 则0 0 2 1b0 0 3x y.x 1 x 2 ax 3 1如果方程组x 1 ax 2 x 3 a 有唯一的解 ,那么 a 满足的条件是.4.ax 1x 2 x 3 a 2a 11a 12 a 13a21a 31 a 11 5.设 a 2123 d ,则 a 22a 32 a12 .a31a 32a33a23a33a13二、选择题a 1 a 2 a 3a 1 2a 1b 1c 11.设 b 1 b 2 b 3 3,则 a 22a 1 b 2 c 2 ( ).c 1 c 2 c 3a 32a 3 b 3 c 3A.3B.-3C.6a b c行列式de f 中,元素 f 的代数余子式为 ( ).2.g h kA.d e B.d e a b a b g hg hC. -hD.hg g3a 1 6b 1 3c 1 a 1 b 1 c 1 3. a 22b 2 c 22, 则 a 2 b 2 c 2 ( ).a 33b 3 c 3a 3b 3c 3A.2B.2C. 113324.下列等式成立的是 ().A.a1c 1 a 2 c 2 a 1 a 2 c 1 c 2b 1 d 1 b 2 d 2 b 1 b 2 d 1 d 2 B.aijn naij nnC. a ij b ijn na ij n nb ij n na 11 a 12 a 13 a 21a22a23D.a 21a 23a 312a11a322a 12 a 332a13a 31 a 32 a 33a 11a 12a 135.下列命题为真的是 ( ).A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变B. 若aij n 中 a ij 的代数余子式为 A ij (i , j 1,2,3, , n) 则na ij n n a i 1A k1 a i 2 A k 2a in A kn (1 k n)C.行列式为 0 的充分必要条件是其两列对应成比例D.系数行列式不为 0 的线性方程组的有且仅有一解三、判断题1、奇数次对换改变排列的奇偶性。
研究生高等代数复习题
1.设是数域P 上线性空间V 的线性变换且=,证明:1的特征值为1或0；2{}1(0)()A V ααα-=-∈;3(0)()V V =⊕.2.已知是n 维欧氏空间的正交变换,证明：的不变子空间W 的正交补W⊥也是的不变子空间．3.已知复系数矩阵=A 123401230012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1 求矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子；2若当标准形.15分 4.已知二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++(0)a >通过某个正交变换可化为标准形22212325f y y y =++,1写出二次型对应的矩阵A 及A 的特征多项式,并确定a 的值； 2求出作用的正交变换.6.设A 为n 阶方阵,{}|0W x R Ax =∈=,{}|()0W x RA E x =∈-=证明A 为幂等矩阵,则R W W =⊕.7.若设W={}()(1)0,()[]f x f f x R x =∈,证明：W 是[]R x 的子空间,并求出W 的一组基及维数.8.设V 是一个n 维欧氏空间,,,,ααα为V 中的正交向量组,令{}(,)0,,1,2,,W V i m αααα==∈=1证明：W 是V 的一个子空间；2证明：(),,,WL ααα=.9.试求矩阵3100110030534131A -=---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征多项式、最小多项式. 10.在线性空间n P中定义变换σ：(,,,)(0,,,)x x x x x σ=1证明：σ是P的线性变换.2求值域()P σ及核(0)σ的基和维数.11.证明二次型22111(,,)()2nnn i i i i f x x n x x n ===-≥∑∑ ()是半正定的. 12.求λ的值,使222123412321223134(,,,)()222f x x x x x x x x x x x x x x λ=+++-++ 是正定二次型. 12分13.设 111333222A -=----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1求A 的不变因子.2求A 的若当标准形. 14.设4R的线性变换在标准基下的矩阵为2111121111211112A ----=----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1求的特征值和特征向量, 2求4R 的一组标准正交基,使在此基下的矩阵为对角矩阵.15.设,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基,线性变换在这组基下的矩阵为1021121312552212A -=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1求线性变换的秩,2求线性变换核与值域. 16.求正交变换使二次型244x x x x x x -+-化为标准形,并判定该二次型是否正定. 17.设,,,ee e 是5维的欧几里得空间5R 的一组标准正交基,(,,)V L ααα=,其中,,45e e e e e e e eααα=+=-++=-+,求V 的一组标准正交基.18. 设()A a =是n n ⨯矩阵,其中{,1,a i j a iji j≠== 1求detA 的值；2设}{0W X AX ==,求W 的维数及W 的一组基. 19.设是线性空间3R 上的线性变换,满足(,,),()(,,)x y z R x y y z z x αα'∀=∈=+++,求在基{}(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)'''下的矩阵.20.设是n 维线性空间V上的线性变换,,,,εεε是V 的一组基.如果是单射,则,,,εεε也是一组基.21.二次型(,,)222f x x x x x x x x x =+-,1写出二次型f的矩阵A ；2求出A 的特征值与特征向量；3求一正交变换,将f化为标准形.22.求方阵31113122A -=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的不变因子、初等因子和若当标准形. 23.设V 是n 维欧氏空间,n≥3, 给定非零向量V α∈,令(,)::2(,)V V βαϕββααα→-证明：1αφ是正交变换；2如果,,,,αααα是正交基,则存在不全为零实数,,k k k 使得k k k φφφ+++是V 上的恒等变换.24.12,V V 是120n x x x +++=和10,1,2,,1i i x x i n --==-的解空间,则P V V =⊕.25.设σ和τ是线性空间[]P x 中依据如下方式定义的两个线性变换：(())()f x f x σ'=,(())()f x xf x τ=,求σττσ-. 26.设欧氏空间中有12,,,,n βααα,0β≠．112(,,,)n W L ααα=,212(,,,,)n W L βααα=,证明：如果(,)0βα=,那么12dim dim W W ≠．27.求实二次型(,,,)2242f x x x x x x x x x x x x =+++的规范形及符号差.15分28.设A 是一个8阶方阵,它的8个不变因子为1,1,1,1,1,1λ+,1λ+,23(1)(2)(3)λλλ+-+,求A 的所有的初等因子及A的若当标准形. 29.设V 为数域P上的n 维线性空间,且12(,,,)n VL ααα=1证明：11212{,,,}n αααααα++++是V的一组基；2 若V α∈在基12{,,,}n ααα下的坐标为(,1,,21)n n -,求α在基11212{,,,}n αααααα++++下的坐标. 14分30.在三维空间3P中,已知线性变换T 在基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)ηηη=-=-=下的矩阵是101110121-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求T在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)e e e ===下的矩阵. 31.在线性空间n R中,定义(,)x y xAy '=,21212(,),(,)x x x y y y R∀==∈,其中2336A -=-⎛⎫ ⎪⎝⎭; 1证明：(,)x y 是2R 的内积,因而2R 按此内积构成一个欧氏空间,2求2R的一组标准正交基,3求矩阵P,使得A P P '=.32.设4R 的两个子空间为：(){}112341234,,,0V x x x x xx x x =-+-=,{}212341234(,,,)0V x x x x x x x x =+++=.求12V V +与12VV 的基与维数.33.设V 是3维线性空间,123,,ααα为它的一个基.线性变换:V Vτ→,求1τ在基123,,ααα下的矩阵；2求核ker τ和值域Im τ.34.设V 是实数域上所有n 阶对称阵所构成的线性空间,对任意,A B V ∈,定义(,)A B trAB =,其中trAB 表示AB的迹.1证明：V 构成一欧氏空间；2求使0trA =的子空间S 的维数；3求S的正交补S⊥的维数.35.试找出全体实2级矩阵2()M R 所构成的线性空间到4R 的一个线性同构.36.求由向量(1,2,1,0),(1,1,1,1)αα==-生成的子空间1V 与由向量(2,1,0,1),(1,1,3,7)ββ=-=-生成的子空间2V 的交的基和维数.37.设122336224A -=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1A 的不变因子、行列式因子、初等因子.2A 的Jordan 标准形.38.设n n P ⨯是数域P 上n n ⨯矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间,定义变换()A A σ'=,A V∀∈.1证明：σ是n nP⨯上的对合线性变换,即σ是满足2Iσ=恒等变换的线性变换；2求σ的特征值和特征向量.39.已知实二次型(,,)444444f x x x x x x x x x x tx x =-----+1假设(,,)f x x x 是负定二次型,求t的值；2当1t=-时,试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.40.设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基,这组基的度量矩阵为112121216----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1令γαα=+,证明γ是个单位向量；2若k βααα=++与γ正交,求k .41.已知|,00a b W a b R =∈⎧⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪⎩⎝⎭⎭,0|,0aW a cR c=∈⎧⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪⎩⎝⎭⎭是22R⨯的两个子空间,求1212,WW W W ⋂+的一个基和维数.42. V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间,令 证明：W 1、W 2皆为V 的子空间,且12VW W =⊕.43.由三个函数1,cos ,sin t t 生成的实线性空间记为V ,求线性变换T:V V,()()3f t f t π+的迹,行列式和特征多项式.44.求λ-矩阵11λλλλλλλλλ--+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的初等因子和不变因子. 45.设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量,定义V 的线性变换如下：2(,),.V ααβαβα=-∀∈证明：为第二类的正交变换47.在线性空间P2×2中,1求1212(,)(,)L A A L B B 的维数与一组基； 2求1212(,)(,)L A A L B B+的维数与一组基.47’.设为n 维线性空间V 的一个线性变换,且2=恒等变换,证明:1的特征值只能是1或 -1；211-⊕=V V V.48.已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化为标准形22212325f y y y =++,求a 的值及所作的正交变换． 49.3P 中,线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α,)1,0,1(2-=α,)1,1,0(3=α的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121011101A 1求σ关于标准基321,,εεε的矩阵；2设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标. 50.设σ是3R 的线性变换,1求值域)Im(σ的一个基和维数；2求核)(σKer 的一个基和维数．51.1实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；2某四元二次型有标准形24232221432y y y y ++-,求其规范形.52.设300014113A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1求A 的最小多项式；2求A 的初等因子；3求A 的若当标准形.53.设123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα=--=--=--,在4R 中求与123,,ααα同时正交的单位向量内积按通常的定义.54.已知n n P ⨯的两个子空间1n n V A A A P ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭'==∈,2n n V A A A P ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭'==-∈, 证明：12n nPV V ⨯=⊕．55.求下面矩阵A 的列空间在4R 中的正交补的一个标准正交基.15分56.设A 为n 阶方阵,{}1|0nW x RAx =∈=,{}2|()0n W x R A E x =∈-=证明：A 为幂等矩阵当且仅当12nRW W =⊕.57.设是数域P 上线性空间V 的线性变换,1λ,2λ是A 的特征值,且12λλ≠,1V λ,2V λ分别是对应于1λ,2λ的特征子空间,试证：1V λ+2V λ是直和.58.设,,,1234εεεε是4维空间V的一组基,已知线性变换在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭,求的核和值域.59.已知向量()()()()TT T T 7,2,1,1,9,2,1,2,6,6,1,1,3,4,2,14321-=---=--==αααα,()Ta ,4,2,4=β,1求线性子空间),,,(4321ααααL W=的维数与一个基； 2求a 的值,使得β∈W ,并求β在1所选基下的坐标.。
高等代数复习题
高等代数复习题一、选择题1. 设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC= 。
(A) ACB ； (B) BCA ； (C) CBA ； （D ）CAB2．设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则必有（ ）A ． A +B 可逆 B ．AB 可逆C ．A-B 可逆D ．AB+ BA 可逆 3. 设A , B 为n 阶可逆阵，则必有(A) A+B 可逆； (B) A 经初等变换可变为B ； (C) A |=|B |； (D) 存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 4．设,,A B C 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ）若20A =，则A =0； （B ）若,0AB AC A =≠，则B=C ； （C ）()kk k AB A B =； （D ）若20A A E --=，则A 可逆。
5．设A,B,C,D 都是n 阶矩阵，如果A 与B 相似，C 与D 相似，则 (A) AC 与BD 相似； (B) AC 与DB 相似 ； (C) A m 与B m 相似 ； (D) A +C 与B+D 相似6．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值s 21λλλ,,,Λ，而秩s ,,,i ,r n )A E (i i Λ21=-=-λ,如果A 与对角阵相似，则（A ） n r si i =∑=1；（B ）n r si i ≠∑=1；（C ）n r si i ≤∑=1；（D ）n r si i ≥∑=1；7．设A 是m n ⨯矩阵，C 与n 阶单位阵等价，B=AC ，1,rankA r rankB r ==，则 (A) 1r r =； (B) 1r r <； (C) 1r r >； (D) 1r r 与的关系不能确定8．已知3阶矩阵A 的特征值为0，±1，则下列命题不正确的是（ ） （A ）A 不可逆 ； (B) A 的主对角元素之和为0 ； (C) 1和-1所对应的特征向量正交 ；(D) 0=Ax 的基础解系仅有一个解向量。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
(完整word版)高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
高等代数复习资料
高等代数选讲复习资料一、选择题1.设4阶方阵A 的行列式为3，那么A 的伴随矩阵*A 的行列式为( )．3A . B . 6 27C .9D . ．2. 设,A B 都是n 阶方阵，且AB O =，那么以下情况绝对不可能出现的是〔 〕.A . 0,0AB ==B . 0,0A B =≠C . A 和B 的秩都等于nD . A 的伴随矩阵*A 非零．3.设n 元齐次线性方程组A =X 0的系数矩阵A 的秩为r ，那么A =X 0有非零解的充分必要条件是( )．A r n =.B r n <.C r n ≥.D r n >. ． 4.设A 为n 阶矩阵，满足2A A ，且A E ≠，那么〔 〕.A.A 为不可逆矩阵B.A 为零矩阵C.A 为可逆矩阵D.A 为对称矩阵．5.设有向量组()11,1,0,0=-α，()21,2,1,1=--α，()30,1,1,1=-α，()41,3,2,1=-α，()52,6,4,1=-α，那么该向量组的最大线性无关组是( )．123,,A . ααα124,,B . ααα1235,,,C . αααα1245,,,D . αααα．6.设4阶方阵A 的行列式为2，那么A 的伴随矩阵*A 的行列式为( )．2A . B . 4 8C .1D . ．7.向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是〔 〕. A . 12,,,n ααα均不为零向量B . 12,,,n ααα中任意两个向量的对应分量不成比例C . 12,,,n ααα中有一个局部向量线性无关D . 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余1n -个向量线性表示．8.设n 元齐次线性方程组A =X 0的系数矩阵A 的秩为r ，那么A =X 0有非零解的充分必要条件是( )．A r n =.B r n <.C r n ≥.D r n >. ． 9.设,A B 为同阶可逆方阵，那么O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的逆为( )．A .11A O OB --⎛⎫ ⎪⎝⎭B .11O A B O --⎛⎫⎪⎝⎭C . 11O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭D . 11B O O A --⎛⎫⎪⎝⎭． 10.设有向量组()11,1,0,0=-α，()21,2,1,1=--α，()30,1,1,1=-α，()41,3,2,1=-α，()52,6,4,1=-α，那么该向量组的最大线性无关组是( )．123,,A . ααα124,,B . ααα1235,,,C . αααα1245,,,D . αααα．二、填空题1.设100120213A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，那么()1*A -=__________．2.设A 是n 阶方阵，且a A =，那么-A =____________．3.向量组()11,2,3,4=α，()22,3,4,5=α，()33,4,5,6=α，()44,5,6,7=α，那么向量组的秩为___．4.23100A A E --=，那么1A -=________．5.方程组AX b =有解的充要条件是三、计算题1.设301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且2AX A X =+求矩阵X ．2.向量组()11,2,3=α，()23,1,2=-α，()32,3,c =α，试求：〔1〕c 为何值时，123,,ααα线性无关．〔2〕c 为何值时，123,,ααα线性相关，并把3α表示为12,αα的线性组合． 3.n 阶方阵A 满足矩阵方程2293A A E O ++=，证明4A E +可逆，并求其逆矩阵．4.线性方程组12412341234 32246327x x x x x x x x x x x a++=-⎧⎪+-+=-⎨⎪+-+=⎩，问a 为何值时，方程组有解、无解．5.设543()268f x x x x x =-+-+，432()246g x x x x x =-++-，求((),())f x g x ．复习资料参考答案 一、选择题1.C ；2.C ；3.B ；4.A ；5.B ．6.C ；7.D ；8.B ；9.C ； 10.B ． 二、填空题1.10011206213⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 2.(1)na -； 3.2；4.1(3)10A E -；5.()(,)b A =A 秩秩或()()r A r A = 三、计算题1．解：因为2AX A X =+(2)A E X A ∴-=，于是()12X A E A -=-…而 ()12112221111A E ---⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，那么 ()12X A E A -=-522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2．解：〔1〕由于12312312331201123005A c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα 123,,ααα线性无关⇔()3R A =⇔5c ≠〔2〕当5c =时，123,,ααα线性相关。
高等代数复习题精选
高等代数复习题精选第一章多项式自测题一、填空题1.设 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的因式，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式为 $g(x)$。
2.$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，$x=1$ 是 $f(x)$ 的根，则 $a_0+a_1+\cdots+a_n=f(1)$，若$x|f(x)$，则 $a=0$，若 $x+1|f(x)$，则 $a_n=0$。
3.若 $(f(x),f'(x))=x+1$，则 $x+1$ 是 $f(x)$ 的重根。
4.$x^4-4$ 在有理数域、实数域、复数域上的标准分解式为 $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$。
二、选择题（以下所涉及的多项式，都是数域 $P$ 上的多项式）1.设 $\phi(x)|f(x)$，$\phi(x)|g(x)$，且 $\phi(x)\neq 0$，$g(x)$ 与 $f(x)$ 不全为 $0$，则下列命题为假的是（）。
A。
$\phi(x)|(u(x)f(x)+v(x)g(x))$B。
$\deg(\phi(x))\leq\min\{\deg f(x),\deg g(x)\}$C。
若存在 $u(x)$，$v(x)$，使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=\phi(x)$，则 $(f(x),g(x))=\phi(x)$D。
若 $x-a|\phi(x)$，则 $f(a)=g(a)$。
答案：D。
2.若 $(f(x),g(x))=1$，则以下命题为假的是（）。
A。
$(f^2(x),g^3(x))=1$B。
$(f(x),f(x)+g(x))=1$___(x)|f(x)h(x)$ 必有 $g(x)|h(x)$D。
以上都不对。
答案：D。
3.下列命题为假的是（）。
A。
在有理数域上存在任意次不可约多项式。
B。
在实数域上 $3$ 次多项式一定可约。
C。
在复数域上次数大于 $1$ 的多项式都可约。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
高等代数复习题6答案
高等代数复习题6答案一、单项选择题1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵 \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) 的行列式是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 如果 \(\mathbf{A}\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且\(\mathbf{A}^2 = \mathbf{I}\)，则 \(\mathbf{A}\) 的特征值是_______。
答案：±12. 向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) 和\(\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) 的内积是_______。
答案：32三、解答题1. 证明矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) 和 \(\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0& 3 \end{pmatrix}\) 不可交换，即 \(\mathbf{AB} \neq\mathbf{BA}\)。
证明：计算 \(\mathbf{AB}\) 和 \(\mathbf{BA}\)：\(\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}\)\(\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}\)由于 \(\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}\)，所以矩阵 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 不可交换。
高等代数复习题
高等代数复习题一、选择题1. 设A是一个实矩阵，如果A的伴随矩阵B满足BB^T=A^3，那么A的秩一定是多少？A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z满足|z-1-2i|=4和|z+3+4i|=5，那么z的实部和虚部之和是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 设A是一个n阶方阵，如果n=3且|A|=2，那么|3A^T|等于多少？A. 6B. 12C. 18D. 36二、填空题1. 设A是一个3×3的矩阵，A的特征值为1，2，3，则A^2的特征值之和是________。
2. 已知复数z满足|z-2-3i|=7，那么z的共轭复数为________。
3. 设A是一个2×2的矩阵，若A^2+2A+3I=0，则A的行列式|A|的值为________。
三、解答题1. (a) 证明：对于任意正整数n，下列等式成立：(1+3+5+...+(2n-1))=n^2。
(b) 利用数学归纳法证明上述结论。
2. 设A和B分别是n阶方阵，证明：det(AB)=det(A)det(B)。
3. 已知矩阵A=[1 2 -1; 3 1 4; -2 3 2]和B=[-2; 5; 1]，求矩阵方程AX=B的解X。
四、应用题某公司生产两种产品A和B，已知每生产一台产品A需耗费2个工时，每生产一台产品B需耗费3个工时。
设生产一台产品A的利润为200元，生产一台产品B的利润为300元。
设该公司决定在一定时间内生产这两种产品，且总共可用的工时为300个。
问：1. 该公司最多能生产多少台产品A和多少台产品B？2. 并求出此时的最大利润。
以上为高等代数的复习题，希望你能按照题目要求进行解答。
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第一章多项式自测题一、填空题1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ．2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++++∈L ,若|()x f x ,则0a = ;若1()x f x =是的根,则012n a a a a ++++=L .3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根.4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式)1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ϕϕϕ≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ).A.()|(()()()())x u x f x v x g x ϕ+B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ϕ≤（deg 意思为次数）C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ϕ+=则((),())()f x g x x ϕ=D.若|(),x a x ϕ-则()()0f a g a ==2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ).A.23((),())1f x g x =B.1))()(),((=+x g x f x fC.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h xD. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上3次多项式一定可约C.在复数域上次数大于0的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ).A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根C.()f x 有重根(),()f x f x ''⇔有一次因式D.若()f x 有重根,则()f x 有重因式,反之亦然三、判断题1.设(),(),()[]f x g x h x P x ∈,若()g x 不能整除()h x ,则()g x 不整除(()()).f x h x + ( )2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式. ( )3. 若()()()(),f x g x q x r x =+则((),())((),()).f x g x g x r x = ( )4.如果()p x 是数域P 上的不可约多项式,那么对于任意的,c P ∈且0,()c cp x ≠也是P 上的不可约多项式. ( )5.若一个整系数多项式在有理数域上可约, 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.第二章行列式 自测题一、填空题1.六级行列式6ij a 中的项1332465125a a a a a 的符号为 .2.设ij na d =,则ij nka = .3.已知行列式200200021003a xy b中元素a b 与的代数余子式分别为-6和8则x y += .4.如果方程组12312321231x x ax x ax x a ax x x a⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一的解,那么a 满足的条件是 .5.设111213213111212223223212313233233313,a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==则 . 二、选择题1.设12311111232122123333323,22a a a a a b c b b b a a b c c c c a a b c -=-=-则( ). A.3 B.-3 C.6 D.-6 2.行列式ab cde f ghk中,元素f 的代数余子式为( ).A.d eg hB.d eg hC. -a b g hD.a b g h3.11111122222233333336322,3a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==则( ). A.2 B.23 C.13 D.124.下列等式成立的是( ). A.1122121211221212a c a c a a c cb d b d b b d d ++=+++ B.ij ijn nn na a ⨯⨯-=-C.ij ijijijn nn nn na b a b ⨯⨯⨯+=+D. 111213212223212223311132123313313233111213222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =--- 5.下列命题为真的是( ).A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变B.若ijn na ⨯中ij a 的代数余子式为(,1,2,3,,)ij A i j n =L 则1122(1)iji k i k in kn n na a A a A a A k n ⨯=+++≤≤LC.行列式为0的充分必要条件是其两列对应成比例D.系数行列式不为0的线性方程组的有且仅有一解 三、判断题1、奇数次对换改变排列的奇偶性。
（ ） ２、33⨯∈P A ，则A A 82-=-。
（ ）第三章线性方程组自测题一、填空题1. 矩阵的行向量组的秩与 的秩相等，对矩阵施行 不改变矩阵的秩，对矩阵施行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中的 即为矩阵的秩.2.设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,, （1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .3. n s ij a A ⨯=)(，A 的行向量组线性相关的充要条件是秩)(A ，秩n A =)(时，齐次线性方程组0=AX 的解为 .4. 设),,2,1)(,,,(21n i in i i i ΛΛ==αααα，则n ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是行列式ij a ，对于任意的n 维向量β都是n ααα,,,21Λ的线性组合的充要条件是向量组n ααα,,,21Λ .5.设数域P 上的线性方程组所对应的齐次线性方程组（①的导出组）②的一个基础解系为r n -ηηη,21Λ，，，①有一个特解为T 0，则①的两个解之 是②的解，②的与这个基础解系等价的 向量组仍为②的基础解系，①的任意一个解r 都可以表为 .二、选择题1.设nn i P s i P ∈=∈βα),,,2,1(Λ，若存在s s i k k k s i P k αααβ+++==∈ΛΛ2211),,2,1(,使，则下列结论错误的是（ ）. A.β是向量组s ααα,,,21Λ的线性组合 B. β可以由s ααα,,,21Λ线性表示 C. 向量组β，s ααα,,,21Λ线性相关 D. 向量组s ααα,,,21Λ的秩小于s 2.设),1,,,2,1(>=∈s s i P n i Λα则下列命题为真的是（ ）.A.如果有一个)1(s i j ≤≤α是整个向量s i i i αααααα,,,,,,,1121ΛΛ+-的线性组合，则该向量组线性相关B. 如果有一个向量)1(s i j ≤≤α是不是其余向量的线性组合，哪么该向量组线性无关C. 如果向量组s ααα,,,21Λ线性相关，那么其中有零向量D. 如果21,αα成比例，则n ααα,,,21Λ线性相关3.设),1,,,2,1(>=∈s s i P n i Λα下列命题为真的是（ ）.A. 如果存在),2,1(,s i P x i Λ=∈使得02211=+++s s x x x αααΛ，那么向量组线性相关B. 如果存在全为0的数s k k k ,,,21Λ使得02211=+++s s k k k αααΛ，那么向量组s ααα,,,21Λ线性无关C. 如果02211=+++s s x x x αααΛ只有零解，那么向量组s ααα,,,21Λ线性无关D. 如果线性无关，那它可能有一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性相关 4.设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）. A.如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它与s ααα,,,21Λ等价B.如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C.如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组 三、判断题１、若矩阵A 的秩为r ，则矩阵A 中所有r 阶子式全部为零。
（ ） ２、含有零向量的向量组一定线性相关。
（ ）３、向量组中若存在某一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组一定线性相关 （ ）４、若两个向量组具有相同的秩，则这两个向量组一定等价。
（ ）第四章矩阵自测题一、填空题1.若矩阵A 的秩为2,则(2,3)(3,2(3))P AP -的秩为 .2.设55()ij A a ⨯=,则|-2A|= .3.若2(),20,ij n n A a A A E ⨯=--=可逆且则1A -= .4.设(),()(,,ij s n kj n m A a B b s n m ⨯⨯==互不相同)则,,,A B A B AB BA +-中有意义的是 .5.设A 、B 、C 都是n 阶可逆矩阵,且2,AC B CB =则1C -= . 二、选择题1.A 、B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ） A.AB BA = B.,AB AC B C ==若则 C.()AB B A '''= D. 0,00AB A B ===若则或2.若A 是3阶方阵,则12A A -'-=( ).A.3B.13 C.1 D.-83. ()ij n n A a ⨯=,*A A 是的伴随矩阵,则下列命题为假的是( )A.若*(),()A n A n ==秩则秩B.若*()1,()1A n A =-=秩则秩C.若*()1,()1A n A <-=秩则秩D. 若*()2,()0A n A =-=秩则秩 4.设,A B n 为阶方阵,且0AB =,则下列结论错误的是( )A.()()A B n +≤秩秩B.()()()A B A B +≤+秩秩秩C.()()()A B A B -≤-秩秩秩D.()0()0A B ==秩或秩第五章二次型 自测题一、填空题1.二次型4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的矩阵为 .2.两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵 .3.两个n 元复二次型等价的充要条件是 .4.两个n 元实二次型等价的充要条件是 .5.n 元正定二次型的正惯性指数为 . 二、选择题1.下列说法错误的是（ ）. A.若两个矩阵合同，则它们必等价B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形D.n 元正定二次型的矩阵与n 阶单位矩阵合同 2.下列说法正确的是（ ）.A.可用非退化线性替换将任意n 元二次型化为标准型，且标准型是唯一的B.合同变换可能改变矩阵的秩或对称性C.任意n 阶方阵都正交相似于一个对角形矩阵D.二次型的规范形是唯一的，实二次型的规范形由其秩与正惯性指数唯一确定3.实二次型22212122212121),(22),(x x x x g x x x x x x f +=++=与的矩阵关系为（ ）.A.等价但不合同B.合同C.互逆D.相等4.设A 、B 为n 阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（ ）. A.若A 正定，则A -1也正定B.若A 、B 正定，则A +B 也正定C.若0>A ，则A 正定D.若A的主子式都大于0，则A正定。