概率论与数理统计第3讲 古典概率
概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式
第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
概率论与数理统计第3讲
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
7
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
18
18
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
19
19
P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
22
而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
28
从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
概率论与数理统计—古典概型
2023/8/17
3
3.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，记为
Pnm n (n 1) (n m 1)
4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，记为
有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，…… 在第n类中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
M m1 m2 mn
2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤. 做第1步
有m1种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法，…… 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
P( A) C9153 C52 0.1377 C15
100
2023/8/17
6
例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中 取一只球，
(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样
求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率 （设k ≤ a+b）.
2023/8/17
7
Cnm
n (n
1)
(n m!
m
1)
2023/8/17
4
例1将. n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子 至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）. 解：设A为每个盒子至多装一只球， n只球随机地装入N个盒子共有 N N N N n 每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，
第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1 种，
故N(A)=NP((NA)-1)N…((NN-n+1)1N),n于(N是 n 1)
概率论与数理统计第3讲_OK
首先先排n个男生的排法共有n!种，
再排m个女生，总共排法有
C
m n1
m!
种。
所以，p
n!
m!C
m n1
(n m)!
Cm n1
Cm nm
.
思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是 排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生
都不相邻的概率是多少？
(C
m n
/
C
m n
m
1
)
2021/9/5
26
例9：从5双不同的鞋子中任y 取4只，这4只鞋
子中“至少有两只配成一双”（事件A）的
概率是多少？
13579
解：
2 4 6 8 10
首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
虑对立事件，A {4只中没有两只配成一双}
2021/9/5
27
例9:从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少
有两只配成一双”（事件A）的概y 率是多少？
解：首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考
解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}
样本点总数为
M N
mn
,
A 所包含的样本点个数为
M N
m
n
.
故
P(
A)
M m
N n
MN
m
n
2021/9/5
9
问题1设袋中有M个白球和 Ny个黑球, 现从袋中
无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m 个白球,n个黑球的概率?
第四节 等可能概型(古典概型)
➢排列组合公式 ➢古典概型 ➢典型例题 ➢小结
2021/9/5
1
第3课次 古典几何概型、条件概率
n 365 ，求下述事件 A、B 的概率：
A ｛n 个人中生日各不相同｝ B ｛n 个人中至少有 2 人生日在同一天｝
分析 （引导学生分析总的可能种数与事件 A 深层含义 及所包含种数） 每个人的生日均有 365 种可能，故 n 个人的生日共 有 365 n 种可能；在事件 A 中，n 个人生日各不相同，即 探究古典概 型中的经典 问题——生 日问题 他们生日所占天数为 365 天中的任意 n 天，且考虑次序
Pnk n! k ! k !(n k )!
k
排列与组合的关系： P n
0 1. 注：1） 0! 1, Cn
Cnk k !
由于文科、 理 科生对此处 知识点学习 程度不同， 故 根据班级具 体情况可细 讲或粗讲， 使 学生掌握排 列、 组合的不 同及其实际 计算。
k n k k k k 1 Cn ; Cn Cn 2） C n 1 Cn 1 .
(1 k a b) 。
分析 设 A={第 k 个人摸到红球} 假设这 a b 个球各不相同，让这 a b 人摸完球后排成 探究“抓阄” 的 公 平 性 与 第 k 个人摸到红球，相当于第 k 个位置放的是红球，其 否问题 1 (a b 1)! 种。 余随意，故有 Ca 一列，共有 (a b)! 种排法。 引导思考： 是否有别的 解决方法？
教学方法 与策略 板书设计
教学时间设 计
第 1 节课：古典概型和几何概型 1.1 古典概型与几何概型的理论基础（6 分钟） 1.2 古典概型及其典型例题（26 分钟） 1.3 几何概型与典型例题（18 分钟） 课间休息 10 分钟 第 2 节课：条件概率和乘法公式 2.1 条件概率（26 分钟） 2.2 乘法公式（5 分钟） 2.3 乘法公式的实际应用（15 分钟） 2.4 小节及作业布置（4 分钟）
概率论与数理统计-古典概型_图文
思考题
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
则有
该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
[例1]
表达方法：
[例 2]
解：(1) 有放回情形 样本空间中基本事件总数：
所包含的基本事件总数： 于是，
(2) 无放回情形 样本空间中基本事件总数：
所包含的基本事件总数：
于是，
[例3]（继上题） 将抽样方式改为“一次任取 件样品”,求相应
的概率. 解： 样本空间中基本事件总数为：
解：基本事件总数为：
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基本 事件都是等可能的. 定义
小结
1. 古典概型：构建合适的样本空间,正确计算样本 点个数.构建样本空间时,要特别注意样本点的等可能 性.
2. 两个重要的概率模型---无放回抽样(超几何分 布),抽签次序无关性.
3. 几何概型---古典概型的推广：样本空间为无穷 集合.
所包含的基本事件总数为：
于是，
附：不放回依次抽样与一次抽样的等价性
例4 在10张奖券中有2张中奖券，有10人依次逐个 抽取一张奖
[例4] 一批产品共有 件,其中有 件次品.每次从中 任取一件,取出后不放回,接连取 个产品.求第 次取 得次品的概率.
概率论与数理统计-古典概型_图文.ppt
一、古典概型的定义
定义 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同.
等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
概率论与数理统计之古典概率.
计算 S 以及感兴趣的事件 A 所包含的样本点数，分别记 作n和m. 计算得 P( A) .mn
备注
• • 放回抽样 取出元素旋即放回，参加下一次抽取， 即每次抽取都是在全体元素中进行. 不放回抽样 某元素一旦被取出就不再参加以后 的抽取，所以每个元素至多被选中一次．
第一章 概率论的基本概念
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
二、古典概率的定义
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为： A包含的样本点个数 P(A)＝k/n＝ S的样本点总数 称此概率为古典概率.
P13 例1
古典概型的解题步骤：
1.
2. 3.
选取适当的样本空间 S，判断是否为古典概型（有限性、 等可能性）.
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
第一章 概率论的基本概念
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了 22 个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.
进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :
中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》-课件 频率与概率 ,等可能概型(古典概型)
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
2. 概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
25
处波动较小
0.50
247 0.494
2 0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
0.8
27 0.54 258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
P( A)
k n
A 包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
3.计算公式推导
设试验 E 的样本空间为S={e1,e2,...,en}，由于 在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1 P(S)
概率论与数理统计1.3 概率的古典定义
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
Ω ={1，2，3，4，5，6} 事件A
事件A的概率
n=6
={4，6} m=2 Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”
m 2 1 P( A) n 6 3
不是古典概型的例子 1.掷两枚硬币{全H,一个H一个T,全T},则 n=3,A={掷两次出现至少一次H},P(A)=? 2/3?显然不对,原因是基本事件不是等概率的. 2.掷2个骰子出现的点数之和{2,3,…,12},不是 等概率的.
(2,6),(3,5),(4, 4),(6, 2),(5,3)
所以
11 5 P( A) , P(B) 36 36
3. 包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行， 求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成 一圈，又如何呢？
解 总的基本事件数为
10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为
a a a b 1 1 Ca b1 Ca b1Ca Cb1 C1
因此，
a Ca b 1 b p a Ca b a b
1.从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只， 问能凑成两双的概率是多少？ 解 设事件A =“能凑成两双鞋”, 总的基本事件数： C
4 10
有利事件数：C
b( a b 1)! b p (a b)! ab
解法2：
a N Ca b , 不区分同色球，所有的排法共有 再将所有的位置分成两类：第k个位置和剩余的（a+b-1) 个位置，放球顺序： （1）先放置第k个位置:从一个位置上挑一个位置,在b个黑球 中取一个,当然有b种方法,由于不区分 ,除去b,所以还是1. （2）再放置剩余的（a+b-1),从中挑a个位置,放进a个白球,在 剩余的b-1个位置上放进b-1个黑球.
概率第3讲
0.8 (5 / 8) 40 0.8 (5 / 8) 0.3 (3 / 8) 49
例7：一批同型号的螺钉由编号为I,II,III 的 三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占 这批螺钉的比例分别为 35%,40%, 25% 。各台 机器生产的螺钉的次品率分别为 3%, 2% 和 1% 。 现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉 由I, II, III号机器生产的概率各为多少?
。
例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合 格品中又有 3 件是次品， 2 件是废品。现从 100 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同，求 (1).抽到的产品是次品的概率； (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是 次品的概率。 解： 设 A={抽到的产品是次品}， B={抽到的产品是不合格品}。 (1). 按古典概型计算公式，有
解：设 A={螺钉是次品}, B1={螺钉由I号机器生产}, B2={螺钉由II号机器生产}, B3={螺钉由III号机器生产}。
则
P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。 由贝叶斯公式，得
P ( B1 | A) P ( A | B1 ) P ( B1 )
例 3: 一批灯泡共100只，其中10只是次品，其 余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求: 第三次才取到正品的概率。 解：设 Ai ={第 i 次取到正品}, i=1,2,3。 A ={第三次才取到正品}。则:
A A1 A2 A3 . 故， P ( A) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 10 9 90 0.0083。 100 99 98
《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)
某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
东华大学《概率论与数理统计》课件-第3章概率论基础
3.5 等可能样本空间
例7 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有 4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本 语言书。琼斯想把同一种类的书放在一起，共 有几种不同的可能结果？如果是随意放置，恰 好同一种类的书放在一起的概率多大？
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几 个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则 完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法 数的乘积。
例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不 同选择，从上海到香港共有4种不同的选择，那 么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的 选择。
3.5 等可能样本空间
解法一：宿舍是无编号的，
解法二：宿舍是有编号的，
3.5 等可能样本空间
例11 如果一个房间里有n个人，没有两个人的 生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小 于0.5，需要多少人？
习题
P53 ex18, ex20
引例： （1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之
和为8概率多大？
（2）如果已知第一个骰子最终朝上的数字为3， 那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？
3.3文图和事件的代数表示
3.3文图和事件的代数表示
德·摩根律
例2
掷骰子一次，A=“掷出奇数点”，B=“点数不超 过3”，C=“点数大于2”，D=“掷出5点”。求
A B, B C, AB, BD, Ac , AcC
3.4 概率论公理
集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下 列三条公理
3.5 等可能样本空间
例8 概率论课程上有6个男生，4个女生。对学 生进行考试，按照成绩排名。假定没有两个学 生的成绩是一样的，
概率论与数理统计第1.3节
美国数学家伯格米尼曾经做过 一个别开生面的实验，在一个盛况 空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上， 他随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟发现 其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P(A)=1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为 0.476.
解 方法1 把a+b个球编上1至a+b号，将球一只一只 取出后排成一排，考虑取球的先后顺序，因此共有 (a+b)!种取法，由球的均匀性知每种取法机会都相 同，故属于古典概型，A发生可以先从a个红球中 任取一个放在第k个位置上，然后将剩下的a+b+1 个球随意排在另外a+b+1个位置上，
共有 Ca1(a b 1)! 种排法，故
（1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率；
（2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率；
（3）从中任取3件，求至少取得1件次品的概率。
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。 （1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率； 解 （1）设A={取到3件次品}
由于此试验是不放回抽取3次，所以由乘法原理 3次取产品共有10×9×8=720种不同取法，
而3次取3件次品共有3×2×1=6种不同取法，所以
P( A) 6 1 0.0083 720 120
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。 （2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率； 解 （2）设B={取到3件次品}
（1）事件A包含的基本事件个数是3！个，所以
P( A)
3! 33
2 9
概率论与数理统计第三__课后习题答案
习题一：写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ；(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计第3节 古典概型与几何概型
S 1,
S(A)
2
3 1
3
(1
x
2 9
1 )dx x
1 2 ln 2;
69
因此所求事件A的概率为：
P( A)
A的面积 的面积
1 6
2 9
ln
2
1
2
ln
2.
1
69
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 古典概型:
(1) 试验结果有限个 ;
(2)每种结果出现是等可能 的;
解：样本空间的样本点有100 个，设A表示“取到的整数能 被6整除”,B表示“取到的整数能被8整除”；
令A中的样本点为x 个，则有：6x 100, 解得：x 16; 令B中的样本点为y 个，则有：8y 100, 解得：y 12; 令AB中的样本点为z 个，则有：24z 100, 解得：z 4; 于是取到的整数能被6或8整除的概率为：
目录 上页 下页 返回 结束
那么问题来了，请问如果你是参赛者，为了得到门后的跑车大 奖，你会做哪种选择，使得自己获奖的概率会更大呢？
或者增加点难度，换和不换的获胜概率分别是多少呢？
为了避免歧义和误解，先明确游戏具有如下的限制条件：
1.参赛者只能在三扇门中挑选一扇，而且他并不知道内里 有什么。
2.主持人却是明确知道每扇门后面有什么。 3.主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门 的机会。
目录 上页 下页 返回 结束
一、古典概型
例5的结果表明，这是一个小概率事件。 人们在长期的实践中，总结出了所谓的“实际推断原理”： 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不可能发生。 但例5表明概率很小的事件在一次试验中竟然发生了， 因此有理由怀疑假设的正确性，而断言该女士却有这种分辨能力， 即她的说法是可信的。 这种推断思想在第8章的假设检验中十分有用。
[全]概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型[下载全]
![[全]概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/90b23da8b7360b4c2e3f64fa.png)
概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型
概率与数理统计是考研数学的一大模块，一般常出现在填空题、选择题、计算题和证明题中，下面是我对古典概型、几何概型、伯努利概型进行分析，希望大家在基础复习阶段就能记住，打好基础。
古典型概率：
当试验结果为有限n个样本点,且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件A由n(A)个样本点组成，则事件A的概率为
P（A)=n(A)/n=A所包含的样本点数/样本点总数
称有限等可能试验中事件A 的概率P(A)为古典型概率。
几何型概率：
几何型概率
n重伯努利试验：
n重伯努利试验
题型一：古典概型的计算
例1：一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率是多少？
解题思路：应用古典概型计算。
解：分别计算出总样本个数和事件A的样本个数
题型二：几何概型的计算
例2：（2017年考研真题)在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于0.5的概率是多少。
解题思路：几何概型的计算。
解：分别计算出总样本空间对应区域的面积和事件A对应区域的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
cb ca ba
元素无重复排列
从3个不同的球中取出2个的排列有?种，
A32 3 2=6.
元素无重复排列
(2)从n个不同元素中任取 k个(1 ≤ k ≤ n) 元素排成一列，不同的排列总数为
Ank
n(n 1)(n 2)(n k
1)
n! (n k)!
k = n时，则为全排列
Ann n(n 1)(n 2)21 n!
元素无重复排列
例2 5个小孩排成一排的方式有多少种? 解 5！=5 ×4 ×3 ×2 ×1=120. 例3 将10本书任意放在书架上，求其指定的 3本书靠在一起的排法有多少种?
解 8!3！=241920.
元素允许重复的排列
(3)从n个不同元素中取k个(1 ≤ k ≤ n)排成一列,
(元素允许重复)不同排列的总数为
n nn nk
例如：从盒中有放回地取3个 4.4.4=43 种可能取法.
组合
(1)组合:从n个不同元素中取 k (1 ≤ k ≤ n) 个元素组成一组,(无次序)称为一个组合,所
有组合的个数为
Cnk
Ank k!
P(A)
Ar 365
(365)r
P
(
A)
1
P
(
A
)
1
A3r65 (365)
r
当r=22时，P(A)=0.476, r=23时，P(A)=0.507,
r=50时，P(A)=0.97.
谢 谢！
(4) P(A) 1 P(A);
(5) P() 0;
S AB
(6)若A B,则 P（A） P（B）() A (B A)
且 P（B A） P（B） P（A） ()
证明: P(B) P( A (B A))
P( A) P(B A)
移项得(**),再由 P(B A) 0 得（）.
飞机有3班 火车有4班
3+4=7种
乙地
排列与组合
乘法原理
设完成一件事必须经过r个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法， 第三个步骤有n3种方法， ……
第 r 个步骤有nr种方法.
则完成这件事总 共有n 1×n2× … × nr 种方法 .
乘法原理
• 例如，小王要从三种不同水果和两种不 同饮料中各选一个，他有多少种不同选法？
P( A)
A所含样本点数 S含样本点总数
• 这里计算样本点数的主要工具是排列、 组合.
排列与组合
加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法， ……
第m种方式有nm种方法，
则完成这件事总共有
n1 + n2 + … + nm 种方法 .
排列与组合
例如 甲地
本点，则
P(A) a(a b 1)! a
与k无关
(a b)! (a b)
古典概率的计算
解2 把第k次摸到的球号作为一个样本点，
由等可能性
P( A) a (a b)
与k无关
结论说明抽签与次序无关.
古典概率的性质
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (2) P(S)=1;
7! =210. 3!2!2!
古典概率的计算公式
• 在古典概型下，事件A的概率定义为：
P( A)
A所含样本点数 S含样本点总数
.
古典概率的计算
例1 一批产品中有10个正品和2个次品，任 意抽取两次，每次抽出一个，抽出后不放回， 求第二次抽到次品的概率？ 解 设 A=“第二次抽到次品”，则
P( A)
古典概率的性质
推广：P(A－B)=P(A) －P(AB)
(7)（一般概率加法公式）
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
证明
B AB A
P( A B) P( A (B AB)) P( A) P(B AB)
S P( A) P(B) P( AB).
(n
n! k)
!k
!
=Cnn
k
,
Cnk常记作 kn ，称为组合数.
Ank
C
k n
k!
组合
从3个不同的球中取出2个的组合有?种, (无次序)
C32
A32 2!
3 2 =3. 21
(2) n个不同元素分为k个(1 ≤ k ≤ n)不
同组，每组元素个数分别为r1,r2,…,rk个的 分法总数为
(3) 若事件A、B互斥，则
P(A+B)=P(A)+P(B);
P( A)
A所含样本点数 S含样本点总数
.
推广：若 A1,A2,„, An 互斥，则：
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
这是概率的加法公式或概率的有限可加性.
古典概率的性质
A (B AB)
古典概率的性质
• 推广： P(A B C) P( A) P(B) P(C)
P(AB) P( AC) P(BC) P( ABC). • 一般情形
n
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) „ (1)n1 P( A1A2 „ An )
1i jkn
古典概率的计算
例4 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，求事件“至少有两
人生日相同”的概率.
解 设A=“至少有两人生日相同”，则
A=“r 个人的生日都不相同”
C C C r1
r2
rk
n
nr1
rk
n! r1 !r2 !rk !
其中 r1 r2 rk n.
例4 将7个学生安排到一个三人间和两个双人 间中住宿，问有多少种不同的住法？ 解 问题转化为将7人分为3组，第1组有3人， 第2组有2人，第3组有2人，不同住法总数为：
C73
C723C22
第3讲 古典概率
概率
概率——表示事件A发生可能性大小的 数值，称为事件A的概率，记为P(A).
注意：概率是随机事件的函数.
古典概率的定义
• 若试验的样本空间S满足：
只有有限个样本点— 有限性，
每个样本点发生的可能性相等 — 等可能性.
称此试验为古典概型试验.
古典概率的计算公式
• 在古典概型下，事件A的概率定义为：
r! nr
P(
A2
)
cnr r ! nr
P( A3)
crk
(n 1)rk nr
古典概率的计算
例3 袋中有a个黑球，b个白球，若随机地 (不放回)把球一个接一个地摸出来，求A= “第k次摸出的球是黑球”的概率(k ≤ a+b). 解1 把a+b个球编号为1,2,„a+b，前a号球 是黑球. 把a+b个球的一种排列作为一个样
A110 A21 A122
A22
10 2 21 1211
1. 6
古典概率的计算
例2 将r个人随机地分配到n个房间里，设
A1=“某指定r个房间中各有一人”,A2=“恰
有r个房间中各有一人”, A3=“某指定房间
恰有k个人”，k ≤ r.求 A1, A2, A3的概率.
解
P(
A1)
可以有3×2中选法.
排列和组合的区别
• 顺序不同是不同排列
• 组合不管顺序
元素无重复排列
(1)将n个不同元素按照一定次序排成一列， 称为全排列,全排列的个数为
n! n(n 1)(n 2)21.
例1 3个不同字母a, b, c的全排列个数为 3！=3×2×1=6.
a
b
c
bc ac ab