定轴转动和转动定律
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刚体定轴转动转动定律
dv c Fe m dt
c
c
c
8/11/2014 3:31:32 PM 4
4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
17
4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
c
c
c
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4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
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4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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l/2
y
o
x
dx
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
刚体定轴转动定律
角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
定轴转动和转动定律
应用场景：定轴转动、 行星运动、弹簧振子 等。
实例分析：单摆运动 中，摆球在摆动过程 中机械能守恒，可以 求出摆球摆动的最大 高度等。
结论：机械能守恒定 律是物理学中一个非 常重要的基本规律， 在许多实际问题中有 广泛的应用。
实例分析
实例名称：单摆
实例分析：根据定轴转动的机械能 守恒定律，单摆的摆动周期与振幅 无关，只与摆长有关。
定轴转动和转动定律
汇报人：XX
定轴转动的定义 转动定律 转动惯量 定轴转动的动能和势能
定轴转动的机械能守恒定律
定轴转动的定义
定义
定轴转动是指刚体 绕某一固定轴线转 动的运动。
定轴转动时，刚体 的角速度矢量与转 动轴线重合。
定轴转动时，刚体 上任意一点绕固定 轴线的速度大小不 变。
定轴转动时，刚体 上任意一点绕固定 轴线的加速度大小 不变。
添加标题
添加标题
添加标题
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实例描述：单摆在摆动过程中，由 于只有重力做功，所以机械能守恒。
实例结论：通过实例分析，验证了 定轴转动的机械能守恒定律的正确 性。
THANK YOU
汇报人：XX
公式：Iω=M，其中I是转动惯量，ω是角速度，M是外力矩矢量。
意义：定轴转动定律描述了质点系在转动过程中动量矩矢量的变化规律， 是经典力学的基本定律之一。
应用：在工程、物理、天文等领域中，定轴转动定律被广泛应用于分析旋 转运动系统的动力学特性和运动规律。
转动定律的应用
描述定轴转动的 物体在转动过程 中受到的力矩和 角速度的变化关 系。
转动惯量的大小 与质量、转动半 径有关
转动惯量具有方 向性，与转轴的 选取有关
转动惯量是刚体 转动时动量矩的 量度
16定轴转动刚体的角动量转动惯量和定轴转动定律
m
I = I C + md
2
刚体绕质心轴的 转动惯量最小。 转动惯量最小。
12
例5：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 ： 的转动惯量如何计算？ 棒长为 棒长为L、圆半径为R） 的转动惯量如何计算？(棒长为 、圆半径为 ）
1 2 I L1 = m L L 3 1 I o = mo R 2
1 1 2 I = m LL + moR 3 2
7
.转动惯量的计算 2 .转动惯量的计算
Δm 2 分立质点系 I = ∑( iri ) = ∑ Ii
质量连续分布的刚体
I = ∫ r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 质量为面分布
dm = λ dl
dm = σ ds 质量为体分布 dm = ρ dV
Fiτ ri + ∑ f iτ r i = ∑ ∆mi ai ri = ∑ ∆mi ri 2 β ∑
∑ F τ r + ∑ f τ r = ∑ ∆m a r = ∑ ∆m r
i i i
2
⇓ 合外力矩
⇓
i
i i i
i i
β
内力矩之和
刚体定轴 转动定律！ 转动定律！
⇓ Iβ
合外力矩） 用M表示∑Fit ri （合外力矩），有： M = Iβ 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 某一固定转动轴 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 下所获得的角加速度的乘积。 下所获得的角加速度的乘积。 注意几点: 注意几点: 1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、I、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 4. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。 5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
简述刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 引言刚体是物理学中的重要概念，它是由无穷多个质点组成的一个物体，质点间的距离在运动过程中保持不变。
刚体的运动可以分为平动（刚体作为一个整体的直线运动）和转动两种。
本文将着重讨论刚体的转动运动，特别是定轴转动定律。
2. 定轴转动定轴转动是指刚体绕固定轴线进行转动的现象。
例如，摆锤在一根细线上摆动、地球自转等都是定轴转动的例子。
在定轴转动中，我们需要了解刚体受力及其运动规律。
3. 转动定律的基本概念在讨论转动定律之前，我们先来了解一些基本概念：•角度：表示物体转动的程度，常用弧度制表示，符号为θ。
•角速度：表示物体单位时间内转过的角度，常用弧度/秒表示，符号为ω。
•角加速度：表示物体单位时间内角速度的变化率，常用弧度/秒^2表示，符号为α。
•转动惯量：表示刚体对转动的惯性大小，常用字母I表示。
4. 转动定律的表述转动定律是描述刚体转动运动情况的基本定律，其中最著名的有三个定律，即牛顿定律。
它们分别是：第一定律：角动量守恒定律“在没有外力作用下，刚体的角动量保持不变。
”所谓角动量守恒，就是指一个刚体在没有外力作用下的转动过程中，其角动量保持不变。
即刚体绕某一轴线转动时，如果没有外力矩作用，那么刚体的角动量始终保持恒定。
第二定律：动能定理“刚体的角动能变化等于外力矩做功的大小。
”对于旋转的刚体来说，其具有转动惯量以及角速度，因此可以存在角动能。
根据动能定理，一个刚体的角动能的变化等于作用在刚体上的外力矩所做的功。
第三定律：力矩定律（欧拉定律）“刚体转动的加速度与合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。
”欧拉定律指出了刚体转动的加速度与作用力矩的关系，其数学表达式为：τ = I * α其中，τ表示作用在刚体上的合力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
5. 转动定律的应用转动定律在物理学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：•摆锤运动：根据转动定律，可以推导出摆锤的周期与摆长、重力加速度的关系。
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为 r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）
dm：质量元
dmdl ：线密度 dmdS ：面密度
dmdV ：体密度
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
刚体定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能 的增量.
注意
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能
原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质
点组，它服从质点组的功能转换关系.
2. 刚体的定轴转动的动能应用 Ek
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
,
FT 2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点 并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
M
1.力矩
动 点平P面刚, 且的体在交绕转点O动z，轴平力旋面F 转内作,,用Or 为在轴刚为与体由上转点
O 到力的作用点 P 的位矢.
O
M zr*
dP
F
F对转轴z的力矩 M Fsrin Fd
第三章刚体的定轴转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当 与 M 同方向， 和 为正 当 与 M 反方向， 和 为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角 时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：
刚体的定轴转动与转动定律
p 0 Lh
1 2
gLh
2
y
dA
dy
代入数据，得
F 5 . 91 10
10
h y
N
x O
L
20
第四章 刚体的转动
4-2 转动定律
d F 对通过点Q的轴的力矩 d M y d F
d F [ p 0 g ( h y )] L d y
M
h
0
y [ p 0 g ( h y )] L d y
3
4
14
4-2 转动定律
一
力矩
z
M
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd
F 对转轴 z 的力矩 M rF
F
d : 力臂
O
r
*
d
P
F
F
i
Fi 0 ,
i
Mi 0
F
F
Fi 0 ,
i
i
Mi 0
2
2 a r e t rω e n
9
第四章 刚体的转动
4-1
刚体的定轴转动
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 后其转速随时间变化关系为： m (1 e t / ) 1 式中 m 540 r s ， 2 . 0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
dt
0
d c td t
17定轴转动刚体的角动量守恒定律
啮合过程机械能损失J：1 J 2
E
E0 E
(1 2
J112
1 2
J
2
22
)
1 2
(
J1
J2
)
2
J1J2 (1 2 )2
2(J1 J2 )103由于刚体的角动量等于刚体的转动惯量和角速度 的乘积。定轴转动刚体角动量的情况有两种：
a)对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，其角
速度 也为常数， =0。
0 0 , 0 0 C , C
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律。
端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知 小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后
棒绕轴转动的角速度 为多大？
解: 对于整个系统不考虑轴间摩擦阻力矩,则系统不受外力
矩作用, 碰撞前后角动量守恒.
m2vl I m2ul
细棒绕O转动的转动惯量为
I
1 3
m1l 2
m2 v
uA
O
m1
代入上式求得 3(v u)m2
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律： M I I d d(I) dL
dt dt dt
M dL dt
定轴转动刚体角动量 定理微分形式
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量
对时间的变化率。
将 M dL 两边同时乘以dt并积分，得：
dt
t
L
Mdt t0
I2 I0 2ml22 60 2 5 0.22 60.4kg m 2
2
I11
I2
3 70 60 .4
E
E0 E
(1 2
J112
1 2
J
2
22
)
1 2
(
J1
J2
)
2
J1J2 (1 2 )2
2(J1 J2 )103由于刚体的角动量等于刚体的转动惯量和角速度 的乘积。定轴转动刚体角动量的情况有两种：
a)对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，其角
速度 也为常数， =0。
0 0 , 0 0 C , C
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律。
端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知 小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后
棒绕轴转动的角速度 为多大？
解: 对于整个系统不考虑轴间摩擦阻力矩,则系统不受外力
矩作用, 碰撞前后角动量守恒.
m2vl I m2ul
细棒绕O转动的转动惯量为
I
1 3
m1l 2
m2 v
uA
O
m1
代入上式求得 3(v u)m2
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律： M I I d d(I) dL
dt dt dt
M dL dt
定轴转动刚体角动量 定理微分形式
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量
对时间的变化率。
将 M dL 两边同时乘以dt并积分，得：
dt
t
L
Mdt t0
I2 I0 2ml22 60 2 5 0.22 60.4kg m 2
2
I11
I2
3 70 60 .4
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
7-31 刚体定轴转动的力矩 转动定律 转动惯量
1 2 I A ml 3
A
C l 2 l 2
m
1 2 I c ml 12
另外一些参见P224表7.1。
3、计算 I 的几条规律:
1）对同一轴 I 具有可叠加性
JC C d J m 2）平行轴定理 平行
I Ii
I Ic md
2
d --两平行轴距离
2） 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
3、绕一端轴，杆的转动惯量
x dx
例2、均质细圆环的转动惯量 任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
ω m r
I r dm r
2
2
dm m r
2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量 可看作由半径不同的圆环构成，盘面 m 单位面积的质量为
ω
R
3
0
R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
Note: 绳中张力
例： 已知: 圆盘转动惯量I，初角速度0 阻力矩M= -k (k为正的常量) 求: 从0变为0/2所需的时间
解：转动定律： -k = Id /dt
k d 2 dt 0 0 I I ln 2 t k
t
0
[思考] 从任意值变为其一半值所需的时间？
例:
有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过其一端 的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数为m 。设杆子质量为m, 长度为 l ，其初始转速为ω 0 。试求当它的转速为原来的一半时 所用的时间。 m 解：
o
dm
l
o
´
x
dx
A
C l 2 l 2
m
1 2 I c ml 12
另外一些参见P224表7.1。
3、计算 I 的几条规律:
1）对同一轴 I 具有可叠加性
JC C d J m 2）平行轴定理 平行
I Ii
I Ic md
2
d --两平行轴距离
2） 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
3、绕一端轴，杆的转动惯量
x dx
例2、均质细圆环的转动惯量 任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
ω m r
I r dm r
2
2
dm m r
2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量 可看作由半径不同的圆环构成，盘面 m 单位面积的质量为
ω
R
3
0
R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
Note: 绳中张力
例： 已知: 圆盘转动惯量I，初角速度0 阻力矩M= -k (k为正的常量) 求: 从0变为0/2所需的时间
解：转动定律： -k = Id /dt
k d 2 dt 0 0 I I ln 2 t k
t
0
[思考] 从任意值变为其一半值所需的时间？
例:
有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过其一端 的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数为m 。设杆子质量为m, 长度为 l ，其初始转速为ω 0 。试求当它的转速为原来的一半时 所用的时间。 m 解：
o
dm
l
o
´
x
dx
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刚体是一种理想模型，其形状和大小始终保持不变。刚体的运动可分为平动和转动，而定轴转动是刚体上所有点绕同一轴线做瞬时圆周运动。在定轴转动中，各质点的角位移、角速度、角加速度相同，并可通过一系列公式来描述其运动状态。力矩是力对转轴的转动效果，它的大小等于力与力臂的乘积，方向由右手法则确定。转动定律指出，刚体绕定轴转动时，其角加速度与所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，它等于各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。转动惯量的大小受刚体的总质量、质量的分布以及转轴位置的影响。通过计算转动惯量，可以进一步了解刚体的转动特性。此外的理解和应用。