定轴转动和转动定律

例题：转动定律应用
3g cos θ α= 2l
FN
l
θ
m
P = mg
dω dω dθ dω α= = = ω ⇒α dθ = ωdω dt dθ dt dθ
θ 3g ω 3g cosθ dθ = ∫ ω dω cosθ dθ = ω dω ⇒ ∫ 0 2l 0 2l
3g sin θ 3g 1 2 sin θ = ω ⇒ω = l 2l 2
M = Jα
• 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的 • 转动定律是与牛顿第二定律地位相当的基本方程
质点动力学问题
刚体定轴转动问题
4-2-3 转动惯量
1、定义转动惯量
J = ∑∆mi ri2
i=1
n
等于各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和 • 特点： 可加性数量 • 影响转动惯量大小的因素 (1)刚体的总质量 (2)质量的分布 (3)转轴位置 • 物理意义： 转动惯性大小的量度
P
例题：转动定律应用
已知：一端固定的光滑水平轴的均匀 细棒，可在竖直平面内转动 求： 当棒从最初静止的水平位置下 摆θ 角时的角加速度和角速度
FN
l
θ
m
P = mg
解： 选顺时针为正方向，对直棒（刚体）列方程
1 2 1 M = Jα, M = mgl cosθ, J = ml 2 3 1 mgl cos θ M 2 3g cos θ α= = = 1 2 J 2l ml 3
定点O 定点
力的作用点
力矩的大小：M = F r sinθ 力矩的方向：右手法则 力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影 就是力对该转轴的力矩
例题：摩擦力矩的计算
已知：圆盘的质量为m，半径为R 求：摩擦力矩的大小
µ
r dr ω0
解： 取同心细圆环（半径为r，宽度为dr ）
m m d M = − µ g r d m = − µ g r 2 d S = − µ g r 2 2π r d r πR πR
平动 + 转动 = 一般运动
4-1-2 刚体的定轴转动
• 转轴位置不变 • 刚体位置由一个角坐标确定 • 每个转动平面都与轴垂直，并且运动情况相同 • 任一点在转动平面内绕轴心做圆周运动 • 各质点角位移、角速度、角加速度相同 —— 定义为刚体的角位移、角速度、角加速度
刚体定轴转动常用公式
ω
角量和线量间的数值关系
3、平行轴定理
J
JC
J = JC + md2
Z
d
ZC
• 通过质心的轴线的转动惯量最小 • 常用于计算转动惯量
m
C
Z
ZC
m
C
l
1 2 JC = ml 12
1 2 l 1 2 J = ml + m = ml 12 2 3
2
例题：转动定律应用
R
mB
已知： 匀质滑轮，忽略轴处摩擦 求： 物体m由静止下落高度h时的速度和加速度
Fi ex ri + Fi in ri = ∆mi ai t ri ⇒ M iex + M iin = ∆mi ri 2α t t
M iex + ∑ M iin = ∑ ∆mi ri 2α = α ∑ ∆mi ri 2 ∑
J
4-2-2 转动定律
实验指出刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它 所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
小结和课后作业
刚体运动学 力矩、转动惯量 转动定律 阅读教材相关内容 问题P142：1，2，3 习题P144：7，10，14，16 预习4-3
1 2 J = ml 12
例题：转动惯量的计算
例2：求匀质杆绕一端的垂直轴的转动惯量
1 2 m J = ∫ r dm = ∫ x d x = ml 0 3 l
2
l 2
例3：求匀质细圆环绕过圆心的垂直轴的转动惯量
J = ∫ r2 d m = ∫ R2 d m = R2 ∫ d m = mR2
例题：转动惯量的计算
例4：求匀质圆盘绕过圆心的垂直轴的转动惯量 将圆盘分成许多同心圆环 细圆环的转动惯量 d J = r d m
2
m
r
dr
R
d J = r σ 2π r d r,
2 R 3
m σ= π R2
1 J = ∫ d J = ∫ σ ⋅ 2π r d r = σπ R4 0 2 1 J = mR2 2
几种形状规则密度均匀刚体的转动惯量
4-2-3 转动惯量
2、转动惯量的计算
J = ∑∆mi ri2，
i=1
n
J = ∫ r2 d m
M
例1：求匀质杆绕中心垂直轴的转动惯量
m 任取小线元 dx 的质量 d m = d x l J = ∫ r2 d m m =∫ x dx −l / 2 l
l /2 2
mx = l 3
3 l/2 −l / 2
补充：角速度的方向与右手法则
第四章
4-2 力矩
刚体的转动
转动定律 转动惯量
物理教研室 李克轩
4-2-1 力对轴的力矩
1、力臂 —— d = r sinθ 2、力对转轴的力矩 大小：M = ± F d = ± F r sinθ 正负由转轴正向和右手法则确定 • 若力不在转动平面内 —— 只算垂直分量 • 几个力同时作用时 — 各力矩的代数和
m
h
v0 = 0
解： ⑴定对象⑵看运动⑶查受力⑷列方程 选顺时针为正方向
FNB
mB
1 2 对mB 有: M = F R = Jα, J = mBR T 2
F T F′ T m
对m有:
′ mg − FT = ma, F′ = FT , a = Rα T
P B
2m a= g, v = 2ah = 4mgh 2m+ mB 2m+ mB
v = rω an = rω2
at = rα
r
v
质点匀变速直线运动
刚体匀变速定轴转动
a = const
v = ω0 + a t 1 2 x = x0 + v0t + a t 2 2 v2 −v0 = 2a(x − x0 )
α = const
ω = ω0 +α t
1 2 θ = θ0 +ω0t + α t 2 2 ω2 = ω0 + 2α(θ −θ0 )
O d
F sin θ
r
F cosθ line of action
M = M1 + M2 + M3 +L= ∑Mi
课堂练习：请说明下图中力对 z 轴的力矩
d
M = F r − F2r2 − F r3 11 3
M = Fd − Fd = 0
M = F(r + r2 ) 1
力矩的严格定义：力对定点的力矩 力矩的严格定义：力对定点的力矩 定点
一种新的理想模型 —— 刚体
ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 刚体：物体的形状和大小始终保持不变的物体 • 特点： 物体内任意两点之间的距离始终保持恒定 特殊的质点系（含无数质点、各质点间距离不变） • 研究方法： 质点理论
第四章
4-1
刚体的转动
刚体的定轴转动
物理教研室 李克轩
4-1-1 刚体运动的描述
1、自由刚体的位置描述 可用6个坐标参量描写 2、刚体的运动分解 ⑴平动： 刚体上刚体任意两点的连线保持方向不变 刚体的平动等同于一个质点的运动（3个参量） ⑵转动： 刚体上所有点绕同一轴线都做瞬时圆周运动 刚体的转动相当于不同质点的圆周运动（3个参量）
r2 d M = −2µ mg 2 d r R
r2 2 整个圆盘所受的力矩为 M = ∫ − 2 µ mg 2 d r = − µ mgR R 3 0
R
4-2-2 转动定律
Fiex+ Fin = ∆mi ai i
对定轴转动起作用的只有切向力
Z ω
Fi ex
O
ri
Fin i
∆mi
Fi ex + Fi in = ∆mi ai t t t