人教版高中数学圆锥曲线与方程教案

基础巩固强化

一、选择题

1．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2 D ．2 2

[答案] D

[解析] 椭圆方程2x 2

＋3y 2

＝12可化为：x 26＋y 2

4＝1，

a 2＝6，

b 2＝4，

c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2.

2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5

[答案] B

[解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y

25k

＝1，

又∵焦点是(0,2)，∴a 2

＝5k ，b 2＝1，c 2

＝5k －1＝4，

∴k ＝1.

3．已知方程x 225－m ＋y 2

m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m

的取值范围是( )

A ．－9

B ．8

C ．16

D ．m >8

[答案] B

[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋9>025－m >0

m ＋9>25－m

，解得8

4．已知椭圆x 225＋y 2

16＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

[答案] D

[解析] 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，点P 到另一个焦点的距离为7.

5．平面上到两点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为8的点的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．圆

C ．线段

D ．轨迹不存在

[答案] D

[解析] 设平面上任一点为P ，则|P A |＋|PB |≥|AB |＝10，而8<10，∴轨迹不存在．

6．已知椭圆过点P ⎝

⎛⎭

⎪⎫35，－4和点Q ⎝

⎛⎭

⎪⎫

－45，3，则此椭圆的标准方

程是( )

A.y 2

25＋x 2＝1

B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y

2

25＝1

C.x 2

25＋y 2＝1 D ．以上都不对 [答案] A

[解析] 设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

925A ＋16B ＝1

16

25A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

A ＝1

B ＝1

25

.

二、填空题

7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．

[答案] x 24＋y 2

3＝1 [解析]

由题意可得⎩⎨

⎧

a ＋c ＝3

a －c ＝1

，∴⎩⎨⎧

a ＝2c ＝1

，

故b 2

＝a 2

－c 2

＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1.

8．过点(－3,2)且与x 29＋y 2

4＝1有相同焦点的椭圆方程是________． [答案] x 215＋y 2

10＝1

[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2

a 2－5＝1，将(－

3,2)代入方程可得9a 2＋4a 2－5

＝1，解得a 2

＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.

9．动点P 到两定点A (－3,0)，B (3,0)距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．

[答案] x 225＋y 2

16＝1

[解析] ∵|AB |＝6<10，∴所求轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆，由定义知a ＝5，c ＝3，∴b ＝4，

∴方程为x 225＋y 2

16＝1. 三、解答题

10．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．

[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0

b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2

＝1.

当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)．

由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9

b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，

b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x

29＝1.

故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2

＝1.

能力拓展提升

一、选择题

11．椭圆x 2m ＋y 2

4＝1的焦距是2，则m 的值是( ) A ．5

B ．3或8

C．3或5 D．20

[答案] C

[解析]2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，

∴m＝5或m＝3，故答案为C.

12．(2012～2013学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试)设椭圆的

标准方程为x2

k－3＋

y2

5－k

＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是

()

A．k>3 B．3

[解析]由题意得k－3>5－k>0，

∴4

13．已知F1、F2是椭圆x2

16＋y2

9＝1的两个焦点，过F2的直线交椭

圆于点A、B，若|AB|＝4，则|AF1|＋|BF1|等于()

A．12 B．10

C．9 D．16

[答案] A

[解析]∵a＝4，∴2a＝8.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4a－(|AF2|＋|BF2|)＝16－|AB|＝12.

14．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A．充分不必要条件