用微积分推导匀速圆周运动向心力公式

用微积分推导匀速圆周运动向心力公式

已知如图所示，建立如

图所示平面直角坐标系，其中物体做圆周运动的轨迹方程为x 2+y 2=R 2，即圆周半径为R 。设t 为所经历的时间，当t=0时，物体位于坐标（R ，0）点，并且逆时针运动。设匀速圆周运动的速率为v ，设物体质量为m ，受到的向心力为F 。当时间为t 时，物体和圆心的连线与x 轴正方向的夹角为θ，设周期为T ， 则2t T

πθ= 在x 轴方向，物体所受的分力为

2cos x t F F T

π=- 所以，x 方向的加速度为

2cos x F t a m T

π=- 为两边对t 求积分得

2cos 2cos 22cos 22sin 2x x F t v dt m T

F t dt m T F T t d t m T T

FT t C m T

πππππππ=-=-=-•=-+⎰⎰⎰ 得其中，C x 与t 无关，由已知条件得，当t=0时，v x =0 代入上式得C x =0

t x 2sin 2x FT t v m T ππ∴=-当时间为时，轴方向的分速度为

在y 轴方向，物体所受到的分力为

2sin

y t F F T

π= 所以，物体在y 轴方向的加速度为

2sin y F t a m T

π= 两边对t 求积分得

2sin 2sin 22sin 22cos 2y F t v dt m T

F t dt m T F T t d t m T T

FT t C m T

πππππππ===•=-+⎰⎰⎰ 其中C 与t 无关，由已知条件得，当t=0时，v y =v 代入上式得

22cos 22y FT C v m FT t FT v v m T m ππππ=

+∴=-++ 222222

222222sin (cos )4222cos ()222cos 02x y

v v v F T t FT t FT v v m T m T m FT t FT v v m T m

t T

FT v m ππππππππππ=+∴=+-+++=++=经化简可得

由于为变量所以只能 222222222222

2

2,444F T R T m v

R F v m mv F R

ππππ====移项，两边求平方得

v 由于代入得v 化简可得即向心力表达式