七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)解析

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4.2 线段、射线、直线能力培优训练(含答案)

4.2 线段、射线、直线专题一与线段、射线、直线有关的操作问题1. 如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，得到绳子的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．62. 一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b平行a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n－2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（）A．4n+1 B．4n+2 C．4n+3 D．4n+53. 由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：河源－惠州－东莞－广州，那么要为这次列车制作的火车票有（）A．3种B．4种C．6种D．12种专题二线段、射线、直线有关的探究问题4．平面内有三点A、B、C，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：（1）若平面内有四个点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画图说明；（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（3）若平面内有n个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结果）5．为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：（1）当直线条数为5时，把平面最多分成部分，写成和的形式；（2）当直线为10条时，把平面最多分成几部分？（3）当直线为n条时，把平面最多分成几部分？（不必说明理由）状元笔记【知识要点】1．像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段；将线段向一个方向无限延长就得到了射线；将线段向两个方向无限延长就形成了直线．射线和线段都是直线的一部分. 2．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线.3．两条直线相交只有一个交点．【方法技巧】1. (1)从端点的个数看，直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点.（2）从长度来讲，线段有确定的长度，可以度量，而直线、射线却不能度量其长度. （3）从表示方法上来说，尽管三者都可以用两个大写字母表示，但表示射线时表示端点的大写字母必须写在前面.2. “经过两点有一条直线，并且只有一条直线”包含两层意思：○1过两点存在一条直线；○2过两点的直线虽然存在，但只有唯一的一条．参考答案1. B解析：把一条绳子从中剪断，得到两条；折一次，从中剪断，得到三条，折两次，从中剪断得到四条．故选B.2．A解析：设段数为x，则依题意得：n=0时，x=1；n=1，x=5；n=2，x=9；n=3，x=13；…所以当n=n时，x=4n+1．故选A．3. D解析：画线段，动手操作，由河源要经过3个地方，所以要制作3种车票；由惠州要经过2个地方，所以要制作2种车票；由东莞要经过1个地方，所要制作1种车票，这次列车制作的火车票的总数=3+2+1=6（种）．故选C．4. 解：（1）如图：（2）最多可画：1+2+3+4+5=15（条）.（3）最多可画：1+2+3+…+n=(1)2n n-（条）.5. 解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+－－－－+10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：n m2 13 1+1+24 1+1+2+3：：n m=1+1+…+（n－1）+n=(1)12n n++．。

部编数学七年级上册第四章几何图形初步单元培优训练(解析版)含答案

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）第四章几何图形初步单元培优训练班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第4章几何图形初步，共23题；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2021·贵州安顺·中考真题）下列几何体中，圆柱体是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A. 是圆锥，不符合题意；B. 是圆台，不符合题意；C. 是圆柱，符合题意；D. 是棱台，不符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查几何体的认识，掌握圆锥、圆柱、圆台、棱台的定义，是解题的关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【分析】根据三棱柱的截面形状判断即可．【详解】解：用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形，故选：D．【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．3．（2022·河北·中考真题）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）A．①③B．②③C．③④D．①④【答案】D【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意故选D【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．4．（2022·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【答案】C【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．5．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D 是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝（）cmA．4B．3C．2D．1【答案】C6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，68AOB ∠=︒，OC 平分AOD ∠且15COD ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）．A ．28︒B ．38︒C ．48︒D ．53︒【答案】B 【分析】根据OC 平分AOD ∠且15COD ∠=︒可得30AOD ∠=︒，再结合68AOB ∠=︒即可求得答案．【详解】解：∵OC 平分AOD ∠且15COD ∠=︒，∴230AOD COD ∠=∠=︒，又∵68AOB ∠=︒，∴38BOD AOB AOD ∠=∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·全国·七年级课时练习）如图平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是_______________．【答案】圆锥【分析】根据旋转的性质判定即可．【详解】∵平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，故答案为：圆锥．【点睛】本题考查了直角三角形的旋转，记住常见平面图形旋转的几何体是解题的关键．8．（2022·全国·七年级单元测试）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的平面图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为_____．【答案】4【分析】根据左面看与上面看的图形，得到俯视图解答即可．【详解】解：根据左视图和俯视图，这个几何体的底层有3个小正方体，第二层有1个小正方体，所以有314+=个小正方体，故答案为：4．【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．9．（2019·湖北黄冈·中考真题）如图，,AC BD 在AB 的同侧，2,8,8AC BD AB ===，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=o ，则CD 的最大值是_____．【答案】14【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点'A，点B关于DM的对称点'B．120∠=oCMDQ，\∠+∠=o，60AMC DMB\''60∠+∠=o，CMA DMB\∠=o，''60A MBQ，=''MA MB\D为等边三角形A MB''Q，£++=++=''''14CD CA A B B D CA AM BD\的最大值为14，CD故答案为14．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题10．（2021·山东·滕州市张汪镇张汪中学七年级阶段练习）有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为_____．【答案】7【分析】从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到对面的数字，即可求得结果．【详解】一个正方体已知1，4，6，第二个正方体已知1，2，3，第三个正方体已知2，5，6，且不同的面上写的数字各不相同，可求得1的对面数字为5，6的对面数字为3，2的对面数字为4∴a+b=7故答案为：7．【点睛】本题考查正方体相对两个面的数字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题的关键．11．（2022·山东烟台·期中）2：35时，钟面上时针与分针所成的角等于________°．12．（2022·全国·七年级专题练习）一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为_____cm3．【答案】6000【分析】根据题意分别求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可求解．【详解】解：由题意可得，该长方体的高为：42﹣32＝10（cm），宽为：32﹣10＝20（cm），长为：（70﹣10）÷2＝30（cm），故其容积为：30×20×10＝6000（cm3），故答案为：6000．【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求2x y -的值．【答案】16【分析】分别找到x 与y 相对的数字即可求解．【详解】因为这是长方体纸盒的展开图，所以“4”与“10”相对，“x ”与“2”相对，“6”与“y ”相对，所以26410x y +=+=+，所以12x =，8y =，所以2212816x y -=´-=．【点睛】本题考查了长方体的展开图，正确找出相对面是解题的关键．14．（2021·江西·南昌知行中学七年级阶段练习）已知：如图，AB ＝18cm ，点M 是线段AB 的中点，点C 把线段MB 分成MC ：CB ＝2：1的两部分，求线段AC 的长．请补充完成下列解答：解：∵M 是线段AB 的中点，AB ＝18cm ，∴AM ＝MB ＝ AB ＝ cm ．∵MC ：CB ＝2：1，∴MC ＝ MB ＝ cm ．∴AC ＝AM ＋＝＋＝ cm ．15．（2021·广西玉林·七年级期末）如图，点C 在线段AB 的延长线上，3AC AB =，D 是AC 的中点，若15AB =，求BD 的长．16．（2022·全国·七年级专题练习）如图，点E 是线段AB 的中点，C 是EB 上一点，AC =12，(1)若EC :CB =1:4，求AB 的长；(2)若F 为CB 的中点，求EF 长，17．（2022·全国·七年级专题练习）已知四点A、B、C、D．根据下列语句，画出图形．①画直线AB；②连接AC、BD，相交于点O；③画射线AD、射线BC，相交于点P．【答案】见详解【分析】根据直线、射线、线段的性质画图即可．【详解】解：如图【点睛】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）AD=cm，18．（2022·山东济南·七年级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且9BC=cm．2（1）图中共有______条线段？（2）求AC的长；EA=cm，求BE的长．（3）若点E在直线AD上，且3【答案】（1）6；（2）5cm；（3）4cm或10cm．【分析】（1）固定A为端点，数线段，依次类推，最后求和即可；（2）根据AC=AD-CD=AC-2BC，计算即可；（3）分点E在点A左边和右边两种情形求解．【详解】（1）以A为端点的线段为：AC，AB，AD；以C为端点的线段为：CB，CD；以B为端点的线段为：BD；共有3+2+1=6（条）；故答案为：6．（2）解：∵B 为CD 中点，2BC =cm∴24CD BC ==cm∵9AD =cm∴945AC AD CD =-=-=cm（3）7AB AC BC =+=cm ，3AE =cm第一种情况：点E 在线段AD 上（点E 在点A 右侧）．734BE AB AE =-=-=cm第二种情况：点E 在线段DA 延长线上（点E 在点A 左侧）．7310BE AB AE =+=+=cm ．【点睛】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和（差），熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和，差是解题的关键．19．（2022·全国·七年级专题练习）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE 的度数；（2）如图②，若∠ACE ＝2∠BCD ，请求出∠ACD 的度数．【答案】（1）∠CAE ＝18°；（2）∠ACD ＝120°．【分析】（1）由题意根据∠BAC ＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE ＝∠2，从而得解；（2）根据∠ACB 和∠DCE 的度数列出等式求出∠ACE ﹣∠BCD ＝30°，再结合已知条件求出∠BCD ，然后由∠ACD ＝∠ACB+∠BCD 并代入数据计算即可得解．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，又∵∠DAE ＝90°，∴∠1+∠CAE ＝∠2+∠1＝90°，∴∠CAE ＝∠2＝18°；（2）∵∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCD+∠BCE ＝60°，∴∠ACE ﹣∠BCD ＝30°，又∠ACE ＝2∠BCD ，∴2∠BCD ﹣∠BCD ＝30°，∠BCD ＝30°，∴∠ACD ＝∠ACB+∠BCD ＝90°+30°＝120°．【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．20．（2022·全国·七年级）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，AOD ∠为锐角，OE CD ⊥，OF 平分BOD ∠（1）图中与AOE ∠互余的角为__________；（2）若EOB DOB ∠=∠，求AOE ∠的度数；（3）图中与锐角AOE ∠互补角的个数随AOE ∠的度数变化而变化，直接写出与AOE ∠互补的角的个数及对应的AOE ∠的度数【答案】（1）AOD ∠、BOC ∠；（2）45︒；（3）见解析.【分析】（1）根据余角的定义可解答；（2）根据补角的定义列方程可解答；（3）设出∠AOE 的度数，依次表达图中的补角，可解．【详解】（1）由题意可得于∠AOE 互余的角为：AOD ∠、BOC∠（2）设AOD x ∠=︒.五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·全国·七年级单元测试）如图一，已知数轴上，点A 表示的数为6-，点B 表示的数为8，动点P 从A 出发，以3个单位每秒的速度沿射线AB 的方向向右运动，运动时间为t 秒()0t >(1)线段AB=__________．(2)当点P运动到AB的延长线时BP=_________．（用含t的代数式表示）t=秒时，点M是AP的中点，点N是BP的中点，求此时MN的长度．(3)如图二，当3(4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，①点P表示的数为：_________（用含t的代数式表示），点Q表示的数为：__________（用含t的代数式表示）．②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t 值．______________．22．（2022·全国·七年级课时练习）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．∴∠AOC= m°+ a°，∵OP平分∠AOC，(m°+ a°)，∴∠POC=12(n°+ a°)，同理可求∠DOQ=12六、（本大题共12分）23．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l 上有两条可以左右移动的线段：AB ＝m ，CD ＝n ，且m ，n 满足()2480m n -+-=，点M ，N 分别为AB ，CD 中点．(1)求线段AB ，CD 的长；(2)线段AB 以每秒4个单位长度向右运动，线段CD 以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN ＝4，求此时线段BC 的长；(3)若BC ＝24，将线段CD 固定不动，线段AB 以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB 向右运动的某一个时间段t 内，始终有MN +AD 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在哪一个时间段内．的关键是掌握分类讨论思想．。

七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)

七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)专题一线段、射线、直线一、知识要点1．线段、射线及直线的定义及其表示方法将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

直线没有端点 2.直线的性质（1）经过一点可以画无数条直线（2）性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”体现“惟一性” 3.点和直线的位置关系（1）点在直线上，或者说直线经过这个点（2）点在直线外，也可以说直线不经过这个点 BlA二、例题和练习例1 如图共有条线段，条射线，条直线. lA B C D课堂练习：1、如图，图中共有6个点，共有多少条线段？2、如图，图中共有n 个点，共有多少条线段？例2、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ 课堂练习：1.往返于甲、乙两地的客车，中途停靠四个站，问（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？2.已知平面内的四个点A 、B 、C 、D ，过其中每两个点画直线可以画几条.专题二比较线段的长短将线段向一个方向无限延长就形成了A 1 • A 2 • ……A 3 • A 4 • A n • A 1 • A 2 • A 5 • A 3 • A 4 • A 6 •一、知识要点1.线段性质（公理）：两点之间，线段最短2.两点之间的距离：连结两点之间线段的长度3.线段的大小的比较方法（1）叠合法A B CDAB CD ABCD (2)度量法AB=CD AB ＞CD AB ＜CD图4-2-14.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． AB M点M 是线段AB 中点 AC=BC=21AB 图4-2-2二、例题和练习例1 如图所示，AB=16cm ，C 是AB 上一点，且AC=10 cm ，D 是AC 中点，E 是BC 中点，求线段DE 的长.AB C DE例2 如图，AB:BC:CD =2:3:4，AB 的中点M 与CD 中点N 的距离是3cm ，求BC 的长ABCD NM例3 已知线段AB=30mm, 直线AB 上画一条线段BC=10mm,点D 是线段AC 的中点，求CD 的长度.课堂练习1.如图，点C 是线段AC 上一点，点N 是线段BC 的中点，M 是AC 中点（1）若AB=10cm AM=3cm 求NC 的长。

4.1 线段、射线、直线(解析版)

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）4.1 线段、射线、直线【题型1】点与线的位置关系1．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（）A．O点在直线PQ外B．O点在直线PQ上C．O点不能在直线PQ上D．O点可能在直线PQ上【答案】D【分析】根据O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，可得O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外，即可求解．【详解】解：∵O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，∴O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外．故选：D．【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握线段长度之间的关系，为了更好的判断可根据题意动手操作一下更明了．【变式1-1】2．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点P在直线AB______；点Q在直线AB______，也在射线AB______，但在线段AB的______上．【答案】外上上延长线【分析】根据点与直线，线段，射线的位置关系作答即可．【详解】解：由图可得：点P在直线AB外；点Q在直线AB上，也在射线AB上，但在线段AB的延长线上．故答案为：外；上；上；延长线．【点睛】本题主要考查了点与线的位置关系，认真辨别图形是解题的关键．【题型2】两点之间确定一条线1．（2022·福建福州·七年级期末）如图，经过刨平的木板上A，B两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，这依据（）．A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．线段是直线的一部分D．同角的补角相等【答案】A【分析】根据：经过两点有且只有一条直线，即可得出结论．【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线，∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线，其依据为：两点确定一条直线．故选：A．【点睛】本题考查了直线的性质。

北师大版七年级数学上册第4章 4.1 线段、射线、直线培优训练(含答案)

北师版七年级上册第四章基本平面图形4.1线段、射线、直线培优训练卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．手电筒发射出去的光可看作是一条( )A．线段B．射线C．直线D．折线2．下列表示线段的方法中，正确的是( )A．线段A B．线段ABC．线段ab D．线段Ab3．如图，下列表示直线正确的方式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列写法正确的是( )A．直线A，B相交于点MB．过a，b两点画直线lC．直线a，b相交于点MD．直线a，b相交于点n5．如图所示，A，B，C是同一直线上的三点，下面说法正确的是( )A．射线AB与射线BA是同一条射线B．射线AB与射线BC是同一条射线C．射线AB与射线AC是同一条射线D．射线BA与射线BC是同一条射线6．下列关于作图的语句中，正确的是( )A ．画直线AB ＝10厘米B ．延长线段AB 到C ，使AC ＝12AB C ．画射线OB ＝10厘米D ．过A ，B 两点画一条直线7．下列语句能正确表达如图特点的共有( )①直线l 经过C ，D 两点；②点C ，点D 在直线l 上；③l 是点C ，点D 两点确定的直线；④l 是一条直线，C ，D 是任意两点．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．经过任意三点中的两点，共可以画出的直线的条数是( )A ．一条或三条B ．三条C ．两条D ．一条9．下列说法错误的是( )A ．过一点可以作无数条直线B ．过已知三点可以画一条直线C ．一条直线通过无数个点D ．两点确定一条直线10．京广高铁全线通车后，一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制车票( )A ．6种B ．12种C ．15种D ．30种二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，①线段有_______条；②直线有_______条；③射线有_______条．12．如图，能用点O ，A ，B ，C 中的两个字母表示的不同射线有_______条．13．过平面内的任意一点可作直线的条数是______________.14．如图，图中共有____条线段．15．我们玩气枪时，总是半闭着眼，对着准星和目标，用数学知识解释为_________________________．16．如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是_________.17．下列语句中正确的有_____________.（填序号）①直线MN与直线NM是同一条直线；②射线AB与射线BA是同一条射线；③线段PQ与线段QP是同一条线段；④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线．18. 如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为____．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图，分别以点A，B，C，D，E，F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来.20. (6分)平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于多少？21. (6分) 如图，直线上有4个点，问：图中有几条线段？几条射线？几条直线？22. (6分) 如图，已知A，B，C，D四个点，读下列语句，画出图形．(1)画线段BC，AD；(2)画直线AB，CD相交于点E；(3)延长线段AD到F，使DF＝CD；(4)画射线CA，BD.23. (6分) 如图所示，读句画图．(1)连接AC和BD，交于点O.(2)延长线段AD，BC，它们交于点E.(3)延长线段CD与AB的反向延长线交于点F.24. (8分) 按要求画图，并回答问题．(1)画直线l，在直线l上取A，B，C三点，使点C在线段AB上，在直线l外取一点P，画直线BP，射线PC，连接AP；(2)在题(1)所画的图形中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．(不另添加字母)25. (8分) 动手画一画，再数一数．(1)过一点A能画几条直线？(2)过两点A，B能画几条直线？(3)已知平面上共有三个点A，B，C，过其中任意两点画直线，能画几条直线？(4)已知平面上共有四个点A，B，C，D，过其中任意两点画直线，能画几条直线？(5)已知平面上共有n个点(n为不小于3的整数)，其中任意三个点都不在同一直线上，连接任意两点，能画几条直线？参考答案1-5 BBBCC 6-10DAABD11. 6，1，812. 713．无数条14. 615. 两点确定一条直线16．射线AC17．①③④18. 1019. 解:图中分别以点A，B，C，D，E，F为端点的线段共有14条，分别为线段AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF.20. 解：6条直线交于一点时，交点个数最少，即m＝1；6条直线两两相交于不同点时，交点个数最多，即n＝15.即m＋n＝16.21. 解：线段AB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD共6条线段；以每个点为端点的射线有2条，共8条；直线有1条．22. 解：如图所示：23. 解：如图所示：24. 解：(1) 如图所示：(2)直线有两条分别为直线l，直线PB；射线有7条，分别是射线AC，射线CA，射线CB，射线BC ，射线PC ，射线PB ，射线BP ；线段有6条，分别是线段PA ，线段PC ，线段PB ，线段AC ，线段CB ，线段AB25. 解：(1)过一点A 能画无数条直线．(2)过两点A ，B 只能画1条直线．(3)①若三点共线则可画1条，②若三点不共线则可画3条，故可画1条或3条．(4)①若四点共线则可画1条，②若三点共线则可画4条，③若任意三点不共线则可画6条，故可画1条或4条或6条．(5)根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上的四点的直线有6条，按此规律由特殊到一般可得：共可画12n(n －1)条直线．。

七年级数学培优竞赛训练：线段含答案

【知识纵横】线段平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．【例题求解】例 1.平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为个，最多为个．思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．例 2.如图，已知 B 是线段 AC 上的一点，M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AC 的中点，P 为 NA 的中点， Q 为 MA 的中点，则 MN ：PQ 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4思路点拨利用中点，设法把 MN 、PQ 用含相同线段的代数式表示．例 3.如图，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 AC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为 23，求线段 AC 的长度．思路点拨引人未知数，通过列方程求解．例 4.摄制组从 A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问 A 、B 两市相距多少千米?思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．例 5.(1)如图 a ，已知 A 、B 在直线 l 的两侧，在 l 上求一点 P ，使 PA+PB 最小；(2)如图 b ，已知 A 、B 在直线 l 的同侧，在 l 上求一点 P ，使 PA+PB 最小；(3)如图 c ，有一正方体的盒子 ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点 A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点 C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在 C l 处不动)思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．例 6.摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走 100km 到 C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走 C 市到这里路程的一半就到达目的地．问 A 、B 市相距多少千米?例 7.如图 13-7 所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从 A 到 B 的距离最短?思路点拨虽然 A 、B 两点在河两侧，但连结 AB 的线段不垂直于河岸．如图 13-8，关键在于使 AP+BD 最短，但 AP 与 BD 未连起来，要用线段公理就要想办使 P 与 D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

七年级数学培优竞赛训练：角含答案

角【知识纵横】角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形，称为角．角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．【例题求解】例1.如图1 是一个3×3 的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9 的度数是．思路点拨除∠3＝∠5＝∠7＝45°外，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理．图1 图2例2.如图2．A、O、B 在一条直线上，∠1 是锐角，则∠1 的余角是( )．1 1 A．∠2 一∠l B．2 23∠2 一21∠1 C．21（∠2 一∠l）D．3（∠2+∠1）思路点拨∠1 的余角表示为90°一∠1，化简这个代数式，直至与选择项相符为止．1例 3.已知∠1 和∠2 互补，∠3 和∠2 互余，求证∠3=2(∠l 一∠2)．思路点拨依据互补、互余的概念得到含∠l、∠2、∠3 的两个等式，盯住所要达到的目的，恰当处理两个等式．1 例4.如图3，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE= ∠2 EOC，∠DOE= 72°，求∠EOC 的度数．图3思路点拨设∠AOB=x 度，∠BOC= y 度，建立x、y 的方程组，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．例 5.(1)如图4，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC，ON 平分之∠BOC，求∠MON 的度数．(2)如果(1)中∠AOB=α，其他条件不求，求∠MON 的度数．(3)如果(1)中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不求，求∠MON的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．图 4例 6.钟面上从2 点到4 点有几次时针与分针的夹角为60°?分别是几点几分?思路点拨：时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速度为 0.5°／分，分针为 6°／分，秒针为 360°／分．※巩固训练※1．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3：l，则这个角是度．2．钟表时间是2 时15 分时，时针与分针的夹角是．3．由O 点引出的7 条射线如图，若OA⊥OE，OC⊥OC，∠BOC>∠FOC，则图中以O 为顶角的锐角共有个．4．如图，O 是直线AB 上一点，∠AOD＝120°，∠AOC=90°，OE 平分∠BOD，则图中彼此互补的角有对．5．如图，∠AOB=180°，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设∠BOD=α，则与α的余角相等的角是( )．A．∠OOD B．∠ODE C．∠DOA D．∠COA6．如图，在一个正方体的2 个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于( )．A．60°B．75°C．90°D．135°注：解钟表上的问题，常用到以下知识：(1)钟表上相邻两个数宇之间有 5 个小格，每个小格表示 1 分钟，如与角度联系起来，每小格对应 6°．(2)秒钟每分钟转运 360°，分针每分钟转过 6°，时钟每分钟转过 0.5°．(3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决．7．将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．A．60°B．75°C．90°D．95°18．如图，∠1>∠2，那么∠2 与(∠1 一∠2)之间的关系是( )．2A．互补B．互余C．和为45°D．和为22．5°9．如图，已知A、O、E 三点在一条直线上，OB 平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°，试问：∠COD 与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由．10．(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成．利用这副三角板构成15°角的方法很多，请你画出其中三种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法．(2)一个长方形和一个正方形摆放如图，试找出除直角外的互余的角和互补的角．111．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算(α+β+γ) 的值时，有三15位同学分别算出了23 °、24 °、25 °这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则α+β+γ．12．如图，O 是直线AB 上一点，∠AOE=∠FOD＝90°，OB 平分∠COD，图中与∠DOE 互余的是，与∠DOE 互补的角是．13．以∠AOB 的顶点O 为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=15°，则∠AOC 的度数是．14．光线以图所示的角度α照射到平面镜I 上，然后在乎面镜I、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，则∠γ＝．4 15．若∠β与∠α互补，∠γ与∠α互余，且∠β与∠γ的和是3 1 个平角，则∠β是∠α的( )．A．25倍B．5 倍C．11 倍D．无法确定倍数16．4 点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过( )分钟(答案四舍五入到整数) ．A．60 B．30 C．40 D．3317．如图，从点 O 引出6 条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF 平分∠BOC，∠AOE ＝∠DOE，∠EOF=140°，求∠COD 的度数．18．过点 O 任作 7 条直线，求证：以 O 为顶点的角中必有一个小于 26°．19．(1)现有一个 19°的“模板”(如图)，请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出 1°的角来．(2)现有一个 17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1°的角来?(3)用一个 21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1°的角来?对于(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．参考答案。

七年级数学上册数学 6.1线段、射线、直线(七大题型)(解析版)

6.1线段、射线、直线分层练习考察题型一线段、射线、直线的概念辨析1．如图中射线OA与OB表示同一条射线的是()A．B．C．D．【详解】解：A、方向相反，不是同一条射线；B、端点相同，方向相同，是同一条射线；C、端点相同，方向不同，不是同一条射线；D、方向相反，不是同一条射线．故本题选：B．2．下列说法错误的是()A．直线AB和直线BA表示同一条直线B．过一点能作无数条直线C．射线AB和射线BA表示不同射线D．射线比直线短【详解】解：直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确；过一点能作无数条直线，B选项正确；射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确；射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D选项错误．故本题选：D．3．线段、射线、直线的位置如图所示，图中能相交的是()A．B．C．D．【详解】解：A、图中两线段不能相交；B、图中射线与直线能相交；C、图中线段与直线不能相交；D、图中线段与射线不能相交．故本题选：B．4．如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？()A．10B．11C．18D．20【详解】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5(51)20⨯-=．故本题选：D．考察题型二符号语言和几何图形的匹配1．如图，已知三点A、B、C，画射线AB，画直线BC，连接AC．画图正确的是()A．B．C．D．【详解】解：如图，画射线AB，画直线BC，连接AC，．故本题选：B．2．下列几何图形与相应语言描述相符的是()A．如图1所示，延长线段BA到点CB．如图2所示，射线CB不经过点AC．如图3所示，直线a和直线b相交于点AD．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点【详解】解：A、如图1，点C在线段BA的延长线上，与语言描述不相符；B、如图2，射线BC不经过点A，与语言描述不相符；C、如图3，直线a和直线b相交于点A，与语言描述相符；D、如图4，射线CD和线段AB有交点，与语言描述不相符．故本题选：C．考察题型三两点确定一条直线1．如图，下列说法正确的是()A．点O在射线BA上B．点B是直线AB的端点C．直线AO比直线BO长D．经过A，B两点的直线有且只有一条【详解】解：A．点O在射线BA的反向延长线上，故此项错误；B．直线没有端点，故此项错误；C．直线无法比较长短，故此项错误；D．两点确定一条直线，故此项正确．故本题选：D．2．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是() A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线【详解】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，说明线动成面；B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，说明点动成线；C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，说明两点之间，线段最短；D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，说明两点确定一条直线．故本题选：D．3．平面上有3个点，并且这3个点不在同一直线上，经过每两点画一条直线，则共可以画()条直线．A．3B．4C．5D．6【详解】解：可以画的直线条数为3(31)32⨯-=．故本题选：A．考察题型四两点之间，线段最短1．下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：①经过一点有无数条直线，说法正确；②两点之间线段最短，说法正确；③经过两点，有且只有一条直线，说法正确；④若线段AM等于线段BM，则当A、B、M三点共线时，点M是线段AB的中点，原说法错误；综上，说法正确的一共有3个．故本题选：C．2．如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是()A ．两点之间，直线最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，线段最短D ．经过一点有无数条直线【详解】解：两点之间线段最短，∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小．故本题选：C ．3．如图，某市汽车站A 到高铁站P 有四条不同的路线，其中路程最短的是()A ．从点A 经过 BF 到点PB ．从点A 经过线段BF 到点PC ．从点A 经过折线BCF 到点PD ．从点A 经过折线BCDF 点P 【详解】解：如图，某市汽车站A 到高铁站P 有四条不同的路线，其中路程最短的是从点A 经过线段BF 到点P ．故本题选：B ．4．在一条沿直线l 铺设的电缆一侧有P ，Q 两个小区，要求在直线l 上的某处选取一点M ，向P ，Q 两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是()A ．B ．C ．D ．【详解】解：观察四个选项中的图形发现：选项D 中，点Q 与点P 关于直线l 对称点的连线交l 于M ，根据轴对称的性质可知：PM QM +为最短，即所需电缆材料最短．故本题选：D ．5．如图，3AB =，2AD =，1BC =，5CD =，则线段BD 的长度可能是()A．3.5B．4C．4.5D．5【详解】解：由“两点之间，线段最短”得：BD-<<+，15∴<<，BD3232BD∴<<，BD-<<+，465151BD∴<<．45四个选项中，只有4.5在这个范围内．故本题选：C．6．如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）（1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）连接BC并延长BC到E，使得CE AB BC=+；（4）在线段BD上取点P，使PA PC+的值最小．【详解】解：如图所示：．考察题型五比较线段的大小1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是()A ．A B A C ''''>B ．A B A C ''''=C ．A B A C ''''<D ．不能确定【详解】解：如图用圆规比较两条线段的长短，A B A C ''<''．故本题选：C ．2．如图，AC BD >，则AD 与BC 的大小关系是：AD BC ．（填“>”或“<”或“=”）【详解】解：AC BD > ，AC CD BD CD ∴+>+，AD BC ∴>．故本题答案为：>．3．如图，下列关系式中与图不符合的式子是()A ．AD CD AB BC-=+B ．AC BC AD BD -=-C ．AC BC AC BD -=+D ．AD AC BD BC-=-【详解】解：A 、AD CD AB BC -=+，正确，B 、AC BC AD BD -=-，正确；C 、AC BC AB -=，而AC BD AB +≠，故本选项错误；D 、AD AC BD BC -=-，正确．故本题选：C ．考察题型六线段的中点1．下列说法正确的个数有()①若AB BC =，则点B 是AC 中点；②两点确定一条直线；③射线MN 与射线NM 是同一条射线；④线段AB 就是点A 到点B 之间的距离．A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：①没有说明A 、B 、C 在同一条直线上，故可能出现这种情况，不合题意；②两点确定一条直线，符合题意；③射线MN 是以M 为端点，射线NM 是以N 为端点，射线MN 与射线NM 不是同一条射线，不合题意；④线段AB 是指连接A 、B 两点的线段，是一条有长度的几何图形，点A 到点B 之间的距离是指点A 和点B 之间的直线距离，是线段AB 的长度，不合题意．故本题选：A ．2．如图，点D 是线段AC 上一点，点C 是线段AB 的中点，则下列等式不成立的是()A ．AD BD AB +=B ．BD CD CB -=C ．2AB AC =D ．12AD AC =【详解】解：由图可知：AD BD AB +=，BD CD CB -=，故选项A 、选项B 符合题意；点C 是线段AB 的中点，2AB AC ∴=，故选项C 符合题意；D 是不是线段AC 的中点，12AD AC ∴≠，故本题选项D 不合题意．故本题选：D ．3．小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段AB 到C ，使BC AB =”；②“反向延长线段DE 到F ，使点D 是线段EF 的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点B 是线段AC 中点”．小轩说：“2DE DF =”．下列说法正确的是()A ．小莹、小轩都对B ．小莹不对，小轩对C ．小莹、小轩都不对D ．小莹对，小轩不对【详解】解：①“延长线段AB 到C ，使BC AB =”，如图①所示，此时点B 是AC 的中点；2综上，小莹说得对，小轩说得不对．故本题选：D．考察题型七线段长度的有关计算1．平面上有三点A、B、C，如果10BC=，那么()AC=，3AB=，7A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【详解】解： 1073==+=+，AB AC BC∴点C在线段AB上．故本题选：A．2．已知直线AB上有两点M，N，且8+=，则P点的位置()MP PN cmMN cm=，再找一点P，使10A．只在直线AB上B．只在直线AB外C．在直线AB上或在直线AB外D．不存在【详解】解： 108MP PN cm MN cm+=>=，∴分两种情况：如图，P点在直线AB上或在直线AB外．故本题选C．3．点A、B、C在同一直线上，10BC=)=，则(=，2AC cmAB cmA．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对【详解】解：①如图，点C在A、B中间时，=-=-=；BC AB AC cm1028()②如图，点C在点A的左边时，BC AB AC cm=+=+=；10212()综上，线段BC的长为12cm或8cm．故本题选：C．4．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段4AB=，且23=，若点M是线段AC的中点，则线段BC ABBM的长为()A．1B．3C．5或1D．1或4综上，线段BM 的长为5或1．故本题选：C ．5．如图，C 、D 是线段AB 上两点，M 、N 分别是线段AD ，BC 的中点，下列结论：①若AD BM =，则3AB BD =；②AC BD =，则AM BN =；③2()AC BD MC DN -=-；④2MN AB CD =-．其中正确的结论是()A ．①②③B ．③④C ．①②④D ．①②③④【详解】解：如图，AD BM = ，AD MD BD ∴=+，12AD AD BD ∴=+，2AD BD ∴=，2AD BD BD BD ∴+=+，即3AB BD =，故①正确；AC BD = ，AD BC ∴=，∴1122AD BC =，M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点，AM BN ∴=，故②正确；AC BD AD BC -=- ，222()AC BD MD CN MC DN ∴-=-=-，故③正确；222MN MC CN =+ ，MC MD CD =-，22()2MN MD CD CN ∴=-+，12MD AD = ，12CN BC =，1122()22MN AD BC CD AD CD BC CD AB CD ∴=+-=-+-=-，故④正确．故本题选：D ．6．已知A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，线段8AB =，点D 在线段AB 上．（1）如图1，点C是线段AB的中点，13CD BD=，求线段AD的长度；（2）若点C是直线AB上一点，且满足:4:1AC BC=，2BD=，求线段CD的长度．:4:1AC BC=，8AB=，:4:1AC BC=，8AB=，7．（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若12AB=，8AC=，求MN的长；（2）设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即13AM AC=，13BN BC=，求MN的长；②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即1AM ACn=，1BN BCn=，直接写出MN的值．8．如图1，已知B、C在线段AD上．（1）图1中共有条线段；（2）①若AB CD=，比较线段的长短：AC BD（填：“>”、“=”或“<”）；②（图2）若18AD=，14MN=，M是AB的中点，N是CD的中点，求BC的长度．③（图3）若AB CD=，M是AB的中点，N是CD的中点，直接写出BC的长度．（用=，MN b≠，AD a含a，b的代数式表示）1．同一平面内的三条直线最多可把平面分成多少部分()A．4B．5C．6D．7【详解】解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能：1、三直线平行，将平面分成4部分；2、三条直线相交同一点，将平面分成6部分；3、两直线平行被第三直线所截，将平面分成6部分；4、三条直线两两相交于不同的三个点，将平面分成7部分；综上，同一平面内的三条直线最多把平面分成7个部分．故本题选：D ．2．如图，已知点A 、点B 是直线上的两点，12AB =厘米，点C 在线段AB 上，且8AC =厘米．点P 、点Q 是直线上的两个动点，点P 的速度为1厘米/秒，点Q 的速度为2厘米/秒．点P 、Q 分别从点C 、点B 同时出发，在直线上运动，则经过秒时线段PQ 的长为6厘米．【详解】解：12AB = 厘米，8AC =厘米，1284CB ∴=-=（厘米）；①点P 、Q 都向右运动时，(64)(21)-÷-21=÷2=（秒）；②点P 、Q 都向左运动时，(64)(21)+÷-101=÷10=（秒）；③点P 向左运动，点Q 向右运动时，(64)(21)-÷+23=÷23=（秒）；④点P 向右运动，点Q 向左运动时，(64)(21)+÷+103=÷103=（秒）；综上，经过2、10、23或103秒时线段PQ 的长为6厘米．故本题答案为：2、10、23或103．3．如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段20MN =，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点1M ，1N ；第二次操作：分别取线段1AM 和1AN 的中点2M ，2N ；第三次操作：分别取线段2AM 和2AN 的中点3M ，3N ；⋯⋯连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和11221010(M N M N M N ++⋯+=)A ．910202-B ．910202+C ．1010202-D ．1010202+【详解】解：线段20MN =，线段AM 和AN 的中点1M ，1N ，4．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A ，B 两点之间的距离||AB a b =-，线段AB 的中点表示的数为2a b +．【问题情境】如图，数轴上点A 表示的数为2-，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >．【综合运用】（1）填空：①A 、B 两点间的距离AB =，线段AB 的中点表示的数为；②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为；点Q 表示的数为．（2）求当t 为何值时，P 、Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t 为何值时，12PQ AB =；（4）若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．。

七年级数学培优专题22 直线、射线与线段

专题22直线、射线与线段阅读与思考构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限．在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法：1．直线、射线、线段的区别与联系．2．线段中点的概念．3．枚举法、分类讨论法．例题与求解【例1】已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝10，线段BC的中点为Q，BC＝6，则线段PQ的长为＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）解题思路：未给出图形，注意C点位置有多种可能．【例2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（）A．可以是直线AD外的某一点B．只有点B或点CC．只是线段AD的中点D．有无穷多个（全国初中数学联赛试题）解题思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到A，B，C，D的距离，从直观的图形中作出判断．【例3】如图，C 是线段上的一点，D 是BC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC 的长度与线段BC 的长度都是正整数，求线段AC 的长．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将每一条线段用AC 或BC 来表示，依题意可列一个关于AC ，BC 的方程，讨论此不定方程的正整数解．【例4】如图所示，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB ＝a ，CE ＝b ，215( 4.5)a b -+-＝0，求a ，b ．（2）如图①，在（1）的条件下，求线段DE 的长．（3）如图②，若AB ＝15，AD ＝2BE ，求线段CE 的长．（湖北省武汉市调考试题）解题思路：将几何问题代数化，对于（3），引入未知数，列方程求解．【例5】（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．（3）平面上有n 条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为n a ，试研究n a 与n 之间的关系．A B C DA B C D E图①A BCD E 图②l21（山东省聊城市中考试题）解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律．【例6】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若2m n-与2(6)n-互为相反数．（1）求线段AB，CD的长．（2）M，N分别是线段AC，BD的中点，若BC＝4，求MN．（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PBPC+是定值；②PA PBPC-是定值．可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并画图求值．（浙江省宁波市中考试题改编）解题思路：（1）2m n-与(6)n-的平方互为相反数，可以推出二者都为零，否则一个正数是不可能等于一个负数的，所以n＝6，m＝12．（2）需要分类讨论：如图①，当点C在点B左侧时，根据“M，N分别为线段AC，BD的中点”，先计算出AM，DN的长度，然后计算MN＝AD-AM-DN；如图②，当点C位于点B右侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．（3）能计算出①或②的值是一个常数的，即为符合题意的结论．能力训练A级1．已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E，F分别为线段ｏA，OB的中点，则线段EF的长度为＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）2．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于＿＿＿厘米．（“希望杯”邀请赛试题）3．如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A，B，C，D，E这5个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm．（《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试题）4．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为＿＿＿＿，最多为＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）5．直线a，b，c，d，e共点O，直线l与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述图形中共有线段（）条．A．4 B．5 C．10 D．156．如图，点A，B，C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN 的长度，则只需条件（）A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2（海南省竞赛试题）7．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝a，BC＝b则AD＝（）A．a b+B．2a b+C．2b a-D．2a b-8．如图，AC＝13AB，BD＝14AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（）A．16B．18C．112D．116A B C D EA B C D EAlB C D EOabcdeA B CM NA B C DM NA BC DE9．已知线段AB ＝6．（1）取线段AB 的三等分点，这些点连同线段AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．（2）再在线段AB 上取两种点：第一种是线段AB 的四等分点；第二种是线段AB 的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．（湖北省武汉市武昌区期末调考试题）10．已知AB ＝60cm ，点C 是直线AB 上不同于A ，B 的点，M 为AC 中点，N 是BC 中点，求MN 的长度．11．如图，已知点A ，B ，C 是数轴上三点，点C 对应的数为6，BC ＝4，AB ＝12．（1）求点A ，B 对应的数；（2）动点P ，Q 同时从A ，C 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP 的中点，N 在CQ 上，且CN ＝13CQ ，设运动时间t （t ＞0）．①求点M ，N 对应的数（用含t 的式子表示）． ②t 为何值时，OM ＝2BN ？B 级1．把线段AB 延长至D ，使BD ＝32AB ，再延长BA 至C ，使CA ＝AB ，则BC 是CD 的＿＿＿＿倍． 2．如图，AB ︰BC ︰CD ＝2︰3︰4，AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是3厘米，则BC ＝＿＿＿＿厘米．3．如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段CB 上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB 的所有可能的长度数的乘积等于140，则线段AB 的所有可能的长度数的和等于＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）4．如图，已知B ，C 是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝a ，BC ＝b ，则线段AD ＝＿＿＿＿．AB CA B C D M NA B CD5．如图，已知数轴上点A ，B ，C 所对应的数a ，b ，c 都不为0，且C 是AB 的中点．如果222a b a c b c a b c +--+--+-＝0，那么原点O 的位置在（）A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛试题）6．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ︰PQ 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．47．平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画直线（） A ．6条B ．1条或3条或6条C ．1条或4条D ．1条或4条或6条8．如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A ，B ，C ，D ，E ，F 离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G 正好是AF 的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（）A ．A 处B ．C 处C ．G 处D ．E 处（江苏省竞赛试题）9．电子跳蚤游戏盘为△ABC ，AB ＝8a ，AC ＝9a ，BC ＝10a ，如果电子跳蚤开始时在BC 边上P 0点，BP 0＝4a ，第一步跳蚤跳到AC 边上P 1点，且CP 1＝CP 0；第二步跳蚤从P 1跳到边上P 2点，且AP 2＝AP 1；第三步跳蚤从P 2跳到BC 边上P 3点，且BP 3＝BP 2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落到P 2001，请计算P 0与P 2001之间的距离．（“华杯赛”邀请赛试题）A B C D M NA BC acQ A B CM NP城市10．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的3倍．现甲自A 地去B 地，乙、丙则从B 地去A 地，双方同时出发，出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达自己的目的地？（“华罗庚金杯”竞赛试题）11．已知数轴上A ，B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一点，对应数为x ．（1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点，B 点距离和为10？若存在，求出x 值；若不存在，请说明理由．（3）若点A 、点B 和点P （点P 在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个（长度单位/分），则第几分钟时，P 为AB 的中点？12．—条直线顺次排列着1990个点：P 1，P 2，…，P 1990，已知点k P 是线段11k k P P -+的k 等分点当中最靠近巧1k P +的那个点（2≤k ≤1989），如P 5是线段P 4P 6的5等分点当中最靠近P 6的那个分点．如果线段P 1P 2的长度是1，线段P 1989P 1990的长度为t ．求证：1t＝1988198732⋅⋅⋅．（浙江省竞赛试题）专题22 直线、射线、线段例1 8或2 例2 D例 3 设AC x =，BC y =，则2yAD x =+，AB x y =+，2y CD =，2yBD =，故图中所有线段长度之和为2()()22yy AC AD AB CD BC BD x x x y y y +++++=+++++++ 732x y =+73232x y \+=，即6746x y +=又,x y 为正整数，34x y ì=ï\í=ïî例4 （1）15a =， 4.5b =（2）7.52ABBC ==，3BE BC CE =-=，15312AE AB BE =-=-=， 162DE AE \== （3）设BE x =，则2AD DE x ==，又15AD DE BE ++=，2215x x x \++=，解得3x =，即3BE =，7.53 4.5CE BC BE \=-=-=例5 （1）如图①，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成3个或4个区域；如图②，三条直线因其位置不同，可以分辊把平面分成4个，6个，7个区域（2）如图③，四条直线最多可以把平面分成11个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点。

部编数学七年级上册专题直线、射线、线段专项提升训练(重难点培优)同步培优含答案

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.2直线、射线、线段专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共25题,选择10道、填空8道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•莘县校级月考）下列描述中，正确的是（）A．延长直线AB B．延长射线ABC．延长线段AB D．射线不能延长【分析】根据直线、射线和线段的本身的可延长性，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】A、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故此选项不符合题意；B、射线是向一方无限延伸的，不能延长，故此选项不符合题意；C、延长线段AB，原说法正确，故此选项符合题意；D、射线是向一方无限延伸的，可反向延长，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2022秋•诸城市校级月考）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】①③根据“两点确定一条直线”解释，②④根据两点之间，线段最短解释．【解析】①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，不符合题意；③属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；④两点之间，线段最短，减少了距离，不符合题意．故选：B．3．（2022秋•奎文区期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（）A．如图1所示，延长线段BA到点CB．如图2所示，射线CB不经过点AC．如图3所示，直线a和直线b相交于点AD．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点【分析】由图形点和线段，射线的位置关系，直线与直线的位置关系，即可判断．【解析】A、点C在线段BA的延长线上，故A不符合题意；B、射线BC不经过点A，故B不符合题意；C、直线a和直线b相交于点A，正确，故C符合题意；D、射线CD和线段AB有交点，故D不符合题意，故选：C．4．（2022秋•天山区校级期中）如果线段AB＝10cm，MA+MB＝13cm，那么下面说法中正确的是（）A．M点在线段AB上B．M点在直线AB上C．M点可能在直线AB上也可能在AB外D．M点在直线AB外【分析】根据AB＝10cm，若点M是线段AB上，则MA+MB＝10cm，点M在直线AB外或点M在直线AB上都可能MA+MB＝13cm．【解析】如图1：点M在直线AB外时，MA+MB＝13cm，如图2，点M在直线AB上时，MA+MB＝13cm，根据以上两个图形得出M可以在直线AB上，也可以在直线AB外，故选：C．5．（2022秋•莘县校级月考）直线上有A，B，C三点，已知AB＝8cm，BC＝2cm，则AC的长是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能确定【分析】应用两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案．【解析】根据题意可得，如图1，，AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）；如图2，，AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）．所以AC的长是10cm或6cm．故答案为：C．6．（2022秋•天山区校级期中）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB ＝10，AC＝6，则线段BD的长是（）A．6B．2C．8D．4【分析】因为点D是线段BC的中点，所以BD＝BC，而BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，即可求得．【解析】∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，又∵点D是线段BC的中点，∴BD＝BC＝×4＝2．故选：B．7．（2022秋•夏邑县月考）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2.3cm【分析】作出△ABC的边BC上的高AD，测量AD的长度即可．【解析】作BC上的高AD，测量AD的长度约为2.7cm，因此BC上的高最接近2.3cm，故选：D．8．（2022秋•聊城月考）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种B．42种C．10种D．84种【分析】根据图示，由线段的定义解决此题．【解析】如图，图中有5个站点．经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有4+3+2+1＝10（种）．∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为2×10＝20（种）．故选：A．9．（2021秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB ＝（）A．3cm B．2.5cm C．4cm D．6cm【分析】根据CD＝AC，得AD与AC的关系，代入已知线段求得AC，最后根据中点定义求得AB．【解析】∵CD＝AC，AD+CD＝AC，∴AD+＝AC，∴AD＝AC，∵AD＝2cm，∴AC＝3cm，∵点C是线段AB的中点，∴AB＝2AC＝6cm，故选：D．10．（2021秋•闽侯县期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，AD+BC＝AB，设CD＝t，则方程3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3）的解是（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4【分析】根据线段和差的关系先表示出AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，再根据AD+BC＝AB，设CD＝t，列出方程求出t，把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），求出x．【解析】∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，AB＝AC+CD+BD，AC+BD＝10．∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，∵AD+BC＝AB，设CD＝t，∴10+2t＝（10+t），解得t＝2.5，把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，﹣2x＝﹣8，x＝4，故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2022春•道外区期末）要在墙上固定一根木条，至少要两根钉子，其几何原理是　两点确定一条直线　．【分析】根据直线的性质求解即可．【解析】根据直线的性质，要在墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，理由是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．12．（2022•亭湖区校级开学）若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画　12　条．【分析】应用射线的定义进行判定即可得出答案．【解析】设平面内这4个点分别为A，B，C，D，过任意两点画射线则有，射线AB，射线BA，射线AC，射线CA，射线AD，射线DA，射线BC，射线CB，射线BD，射线DB，射线CD，射线DC，共12条．故答案为：12．13．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝　4　cm．【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【解析】根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．14．（2022春•牟平区期中）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AB＝10cm，，则CD的长度是　3cm　．【分析】先根据点C是线段AB的中点，AB＝10cm，可求出AC和BC的长，再根据BD＝AC，求出BD，根据CD＝BC﹣BD即可得出结论．【解析】∵点C是AB的中点，AB＝10cm，∴BC＝AC＝AB＝×10＝5（cm），∵BD＝AC，∴BD＝2cm，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3（cm）．故答案为：3cm．15．（2021秋•银川期末）如图，已知线段AB长度为x，CD长度为y，则图中所有线段的长度和为　3x+y　．【分析】依据线段AB长度为x，可得AB＝AC+CD+DB＝x，依据CD长度为y，可得AD+CB ＝x+y，进而得出所有线段的长度和．【解析】∵线段AB长度为x，∴AB＝AC+CD+DB＝x，又∵CD长度为y，∴AD+CB＝x+y，∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB＝x+x+x+y＝3x+y，故答案为：3x+y．16．（2021秋•泰兴市期末）如图，AB＝17cm，点C是线段AB延长线上一动点，在线段BC 上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN﹣BN＝　8.5　．【分析】首先设CN＝xcm，根据BN＝2CN＝2x（cm），进而表示出AC＝（17+3x）cm，根据点M为线段AC的中点，得MC＝（8.5+0.5）cm，再根据线段的和差关系求出MN﹣BN的结果．【解析】设CN＝xcm，∴BN＝2CN＝2xcm，∴AC＝AB+BN+NC＝（17+3x）cm，∵点M为线段AC的中点，∴MC＝AC＝（8.5+1.5x）cm，∴MN＝MC﹣NC＝（8.5+0.5x）cm，BN＝0.5x（cm），∴MN﹣BN＝8.5+0.5x﹣0.5x＝8.5（cm），故答案为：8.5 cm．17．（2021秋•内江期末）如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，则CM的长为　4 cm　．【分析】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出CM的长．【解析】设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，所以AD＝AB+BC+CD＝10xcm，因为M是AD的中点，所以AM＝MD＝AD＝5xcm，所以BM＝AM﹣AB＝5x﹣2x＝3xcm，因为BM＝6 cm，所以x＝2 cm，因为CM＝BC﹣BM＝5×2﹣6＝4cm，故答案为：4cm．18．（2021秋•市南区期末）如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为2：3：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是　2.45或2.8　cm．【分析】先利用三段长度之比求得三段的长，然后由中间段求得折痕对应的刻度．【解析】∵三段长度由短到长的比为2：3：5，卷尺总长为7cm，∴最长的一段长7×＝3.5cm，中间长的一段长7×＝2.1cm，最短一段长7×＝1.4cm，如图，则BD＝3.5cm，当BC为最短段时，BC＝1.4cm，2AB＝2.1cm，∴AC＝AB+BC＝1.05+1.4＝2.45cm，∴折痕对应的刻度为2.45cm；当BC段为中间长的那段时，BC＝2.1cm，2AB＝1.4cm，∴AB＝0.7cm，∴AC＝AB+BC＝0.7+2.1＝2.8cm，∴折痕对应的刻度为2.8cm；综上所述，折痕对应的刻度为2.45cm或2.8cm，故答案为：2.45或2.8．三．解答题（共7小题）19．（2021秋•法库县期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：（1）在图①中，画线段AC、BD交于E点；（2）在图①中作射线BC；（3）在图②中取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上．【分析】分别根据直线、射线、线段的定义作出图形即可．【解析】（1）如图所示：；（2）如图所示，（3）如图所示，．20．（2021秋•临江市期末）【观察思考】如图线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有　6　条．【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有　m（m﹣1）　条线段．【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？【分析】【观察思考】从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；【模型构建】根据数线段的特点列出式子化简即可；【拓展应用】将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解析】【观察思考】∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1＝6（条）．故答案为：6；【模型构建】设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），∴x＝m（m﹣1）．故答案为：m（m﹣1）；【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当m＝8时，＝＝28．答：一共要进行28场比赛．21．（2022春•钢城区期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N 是线段BC的中点．（1）如果AB＝14cm，AM＝5cm，求BC的长；（2）如果MN＝8cm，求AB的长．【分析】（1）先根据点M是线段AC的中点得出AC＝2AM，再由AB＝14cm求出BC的长；（2）根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点可知NC＝BC，CM＝AC，由MN＝NC+CM即可得出结论．【解析】（1）∵点M是线段AC的中点，AM＝5cm，∴AC＝2AM＝10cm，∵AB＝14cm，∴BC＝AB﹣AC＝14﹣10＝4cm；（2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴NC＝BC，CM＝AC，∴MN＝NC+CM＝（BC+AC）＝AB，∵MN＝8cm，∴AB＝8，∴AB＝16cm．22．（2022春•龙凤区期末）如图，已知点C在线段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．【分析】（1）由AC＝12及AM＝AC可求解CM的长，由BN＝BC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；（2）AM＝AC，BN＝BC，可得AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），所以MN＝MC+NC＝（AC+BC），根据AC+BC＝a即可求出线段MN的长．【解析】（1）∵AM＝AC，∴CM＝AC，∵AC＝12，∴CM＝8，∵BN＝BC，∴CN＝BC，∵BC＝6，∴CN＝×6＝4，∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；（2）∵AM＝AC，BN＝BC，∴AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），∴MN＝MC+NC＝（AC+BC），∵AC+BC＝a，∴MN＝a，即线段MN的长为a．23．（2022春•莱西市期末）如图，动点B在线段AD上，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B的运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，①AB＝　4　cm；②求线段CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．【分析】（1）①根据速度乘以时间等路程，可得答案；②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长；【解析】（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4（cm），故答案为：4；②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6（cm），由C是线段BD的中点，得CD＝BD＝×6＝3cm；（2）点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm，点B沿点D→A运动时，AB＝（20﹣2t）cm，综上，AB的长为2tcm或（20﹣2t）cm．24．（2021秋•普陀区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝　或　．【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝，则CD＝，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．【解析】（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴当点C靠近E点时，CE＝DE＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝；当点C靠近点D时，DC＝DE＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述的值为或．另一解法：可设AB＝6，则AC＝4，CB＝2，DE＝3，以A为原点，以AB的方向为正方向建立数轴，则A表示0，C表示4，B表示6，如图，设D表示的数为x，则E表示x+3，可得AD＝|x|，EC＝|x+3﹣4|＝|x﹣1|，BE＝|x+3﹣6|＝|x﹣3|，CD＝|x﹣4|，，①当x＜0或x≥3时，上式可化为：，解得x＝﹣7，则；②1≤x＜3时，上式化为：，解得：x＝，则；③0≤x＜1时，上式化为：，解得：x＝（舍去）．综上所述的值为或．故答案为：或．。

人教版数学初中七年级上期末几何培优提升训练(线与角动点问题)

人教版数学七年级上期末几何培优提升训练(线与角动点问题)一、线段动点1. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则 A ，B 两点之间的距离AB=|a -b |，线段AB 的中点表示的数为2a b 【问题情境】如图，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．【综合运用】（1）填空：①A 、B 两点间的距离AB= ________，线段AB 的中点表示的数为________ ； ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ________；点Q 表示的数为________．（2）求当t 为何值时，P 、Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t 为何值时，PQ=12AB ；（4）若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．2. 操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-3的点与表示_______的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示数________的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．3.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数：________ ；用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC=________（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，①点P、Q同时运动的过程中有________ 处相遇，相遇时t=________ 秒．②在点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．（友情提醒：注意考虑P、Q的位置）4.如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A与点B的距离是2，记作AB=2，以下类同，BC=3，设点A，B，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点，则点A所对应的数为_______，点C所对应的数为_______，p的值为_______；若以C为原点，则p的值为_______ ；（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p的值；在此基础上，将原点O 向右移动a（a＞0）个单位，则p的值为_______；（用含a的式子表示）（3）若原点O在点B与C之间，且CO=2，则p=_______；若原点O从点C出发沿着数轴向左运动，当p=5.5时，求CO的值．二、角度运动1.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC=120°．将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________.（直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．2.如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD 同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB 与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；（2）若AC=6cm，求DE的长；（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．4. 已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=28°，则∠BOE=________°；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．（3）在图3中，若∠COF=65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF= 12（∠BOE-∠BOD）？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

61 线段、射线以及直线(解析版)

2021-2022学年七年级数学上册同步课堂专练（苏科版）6.1线段、射线以及直线一、单选题1．轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对下图展开了讨论，下列说法不正确的是（）A．直线MN与直线NM是同一条直线B．射线PM与射线MN是同一条射线C．射线PM与射线PN是同一条射线D．线段MN与线段NM是同一条线段【答案】B【详解】解：A. 根据直线MN与直线NM表示方法是同一条直线，故选项A正确；B. 射线PM与射线MN是端点不同，不是同一条射线，故选项B说法不正确；C. 射线PM与射线PN是同一条射线，端点相同，方向相同，故选项C正确；D. 根据线段MN与线段NM表示方法是同一条线段，故选项D正确．故选择：B．2．A，B两点间的距离是指（）A．过A，B两点间的直线B．连接A，B两点间的线段C．直线AB的长D．连接A，B两点间的线段的长度【答案】D【详解】解：A ，B 两点间的距离是指连接A ，B 两点间的线段的长度，故选：D ．3．根据语句“直线1l 与直线2l 相交，点M 在直线1l 上，直线2l 不经过点M ．”画出的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：A ．直线2l 不经过点M ，故本选项不合题意；B ．点M 在直线1l 上，不在直线2l 上，故本选项不合题意；C ．点M 在直线1l 外，故本选项不合题意；D ．直线1l 与直线2l 相交，点M 在直线1l 上，直线2l 不经过点M ，故本选项符合题意；答案：D ．4．以下说法正确的是（）A ．钝角的一半一定不会小于45︒B ．两点之间直线最短C ．延长直线AB 到点E ，使BE AB =D ．连接两点间的线段就是这两点的距离【答案】A【详解】解：A 、钝角的一半一定不会小于45︒，说法正确，符合题意；B 、两点之间线段最短，故原来的说法错误，不符合题意；C 、延长线段AB 到点E ，使BE ＝AB ，故原来的说法错误，不符合题意；D、连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离，故说法错误，不符合题意．故选：A．5．下列说法正确的是（）A．射线比直线短B．两点间的长度叫两点间的距离C．经过三点只能作一条直线D．两点确定一条直线【答案】D【详解】解：A、射线，直线都是可以无限延长的，无法测量长度，错误；B、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，错误；C、经过不在一条直线的三点能作三条直线，错误；D、两点确定一条直线，是公理，正确；故选：D．+++最小，则点P（）6．如图，线段AB、CD，在平面内找一点P，若使得PA PB PC PDA．线段AB的中点B．线段AD的中点C．线段AB和线段CD的交点D．线段AD和线段BC的交点【答案】D【详解】解：线段AB和线段CD，在平面内找一点P，使得它到四端点的距离和P A+PB+PC+PD最小，则点P是线段AD和线段BC的交点，故选：D．7．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到C B．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C．两点确定一条直线D．过三点能作且只能做一条直线【答案】C【详解】解：A、射线本身是向一端无限延伸的，不能延长，故A不合题意；B、若AM＝BM，此时点M可能在线段AB的垂直平分线上，故B不合题意；C、两点确定一条直线，说法正确，故C符合题意；D、只有三点共线时才能做一条直线，故D不合题意，故选：C．8．下列说法正确的个数为（）①用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是一个三角形；①若2AB＝AC，则点B是AC的中点；①连接两点的线段叫做这两点之间的距离；①在数轴上，点A、B分别表示有理数a、b，若a＞b，则A到原点的距离比B到原点的距离大．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】解：①用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是一个三角形；判断正确，故符合题意；①若2AB＝AC，则点B不一定是AC的中点；判断错误，故不合题意；①连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离；判断错误，故不符合题意；①在数轴上，点A 、B 分别表示有理数a 、b ，若a ＞b ，则A 到原点的距离B 到原点的距离大；判断错误，故不符合题意．故选：A ．二、填空题9．已知线段20AB =，14AM BM =，点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点．（1）如图，当点M 在线段AB 上时，则PQ 的长为___________．（2）当点M 在直线AB 上时，则PQ 的长为__________．【答案】8 8或403【详解】解：（1）如图，当点M 在线段AB 上时20AB =,14AM BM =, 145AM AB ∴==,4165BM AB ==, 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,122AP AM ∴==,1102AQ AB ==, 1028PQ AQ AP ∴=-=-=,故答案为：8.（2）由（1）得：当点M 在线段AB 上时，8PQ =；当点M 在线段AB 外时，如图：20AB =,14AM BM =, 132044AB BM AM BM BM BM ∴=-=-==, 803BM ∴=,203AM = 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,11023AP AM ∴==,1102AQ AB ==, 10401033PQ AQ AP ∴=+=+=, 故答案为：8，403. 10．如图1，AB 是一条拉直的细绳，,C D 两点在AB 上，且:2:3AC BC =，:3:7AD BD =．则（1）:CD AD =_________；（2）若将点C 固定，将AC 折向BC ，使得AC 落在BC 上（如图2），再从点D 处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为____________．【答案】1①3 2①3①5【详解】解：（1）①:2:3AC BC =，AC CB AB +=，①:2:(23)2:5AC AB =+=， ①25AC AB =； ①:3:7AD BD =，AD DB AB ， ①:3:(37)3:10AD AB =+=， ①310AD AB =； ①231=51010CD AC AD AB AB AB =--=， ①13::1:31010CD AD AB AB ==．（2）设对折后点D 关于C 点对称处为D ，被剪断两处分别是点D 和D ，剪开的三段细绳依次是AD 、DD '、D B '，①根据上题，310AD AB =； 11=22105DD DC AB AB '=⨯=；311=5102D B CB CD CB CD AB AB AB ''-=-=-=； ①DD AD D B ''<<． ①131::::2:3:55102DD AD D B AB AB AB ''==．故答案为：（1）1①3（2）2①3①5．11．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．【答案】11【详解】解：①MN ＝MB +BC +CN ，MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，①MB +CN ＝7﹣3＝4cm ，①M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，①AB ＝2MB ，CD ＝2CN ，①AD ＝AB +BC +CD ＝2（MB +CN ）+BC ＝2×4+3＝11cm ．故答案为：11．12．将一条弯曲的公路改成直道，这样就可以缩短路程，其中的道理用我们学过的几何知识解释为：___________．【答案】两点之间，线段最短【详解】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．三、解答题13．如图，90PAQ ∠=︒，点B 、点C 分别在边PA 、QA 上，且12cm BA =，6cm CA =，动点M 沿AP 边从点A 出发，向点B 以2cm /s 的速度运动；动点N 沿QA 边从点C 出发，向点A 以1cm /s 的速度运动；若M 、N 同时运动，用(s)t 表示移动的时间．（1）当AM AN =时，求t 的值；（2）①当t 为何值时，点M 恰好在AB 的13处？ ①在①的前提下，AM AN +等于BA CA +的13吗？【答案】（1）2t =；（2）①2t =或4t =；①不等于．【详解】解：（1）由题意得：2cm,cm AM t CN t ==，6cm CA =，(6)cm AN CA CN t ∴=-=-，当AM AN =时，则26t t =-，解得2t =；（2）①当13AM AB =时，即12123t =⨯，解得2t =，当23AM AB =时，即22123t =⨯，解得4t =，综上，当2t =或4t =时，点M 恰好在AB 的13处； ①当2t =时，24(cm)AM t ==，64(cm)AN t =-=，则8(cm)AM AN +=，12618(cm)BA CA +=+=，此时181863≠⨯=；当4t =时，28(cm)AM t ==，62(cm)AN t =-=，则10(cm)AM AN +=，此时1101863≠⨯=；综上，在①的前提下，AM AN +不等于BA CA +的13． 14．如图所示，点 A 、B 、C 、D 表示在同一直线上的四个车站的位置．求：（1）A 、D 两站的距离；（2）C 、D 两站的距离；（3）若C 为AD 的中点，求a 与b 之间所满足的相等关系．【答案】（1）4a +3b ；（2）a +3b ；（3）2a ＝3b ．【详解】解：（1）a +b +3a +2b ＝4a +3b ．故A 、D 两站的距离是4a +3b ；（2）3a +2b ﹣（2a ﹣b ）＝3a +2b ﹣2a +b ＝a +3b ．故C 、D 两站的距离是a +3b ；（3）依题意有a +b +2a ﹣b ＝a +3b ，则2a ＝3b ，(或a =32b )． 15．对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n 个单位长度，得到点P '，我们称P '为点P 的“倍移点”．例如点P 表示的数是1，当2m =，3n =时，那么倍移点P '表示的数是1235⨯+=．数轴上，点A ，B ，C ，D 的“倍移点”分别为'A ，B ′，'C ，D ．（1）当12m =，1n =时，若点A 表示的数为－2，则点A '表示的数为____________；若点B '表示的数是3，则点B 表示的数为____________；（2）当4n =时，若点D 表示的数为3，点D 表示的数为－5，则m 的值为_____________；（3）若线段5A B AB ''=，请写出你能由此得到的结论，并说明理由．【答案】（1）0；4；（2）-3；（3）m =±5，见解析【详解】解：（1）①点A 表示的数为-2，①-2×12+1=0， ①它的对应点A '表示的数为0，设点B 表示的数为x ，①点B '表示的数是3，①x ×12+1=3，解得：x=4，故答案为：0，4；（2）由题意得：3m+4=-5，解得：m=-3，故答案为：-3；（3）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点A′表示的数为am+n，点B′表示的数为bm+n，①|bm+n-am-n|=5|b-a|，①|m（b-a）|=5|b-a|，解得：m=±5，①若线段A'B'=5AB，m=±5．。

[全]七年级数学“线段与角”经典题型详解

七年级数学“线段与角”经典题型详解一、《线段、射线、直线》与《角》例1 线段中点与角平分线①若一条线段上有n个点，则这n个点可组成n/2（n+1）条线段；②从一个点出发引出n条射线，则这n条射线可组成n/2（n+1）个角。

例2 线段类与角类多解问题例3 双中点问题与双角平分线问题（1）例4 双中点问题与双角平分线问题（2）例5 数线段条数与角的个数二、行程问题与钟面角问题例6 追击类问题（1）例7 追击类问题（2）二、六道题突破“线段与角”所有难题1、方程思想例1：已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝n°，则∠BOE＝______°，∠BOE与∠COF的数量关系为_______；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE 与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．分析：(1)(2)根据∠EOC和∠COF的度数，可以求出∠FOE的度数，从而可求∠AOE的度数，从而将∠AOB的度数减去∠AOE的度数，就是∠BOE的度数，若将∠EOF 的度数用n来表示，或将位置改变，方法也是不变的．(3)要求∠COF的度数，只需求出∠EOF的度数，用∠COE的度数相减即可．而要求∠EOF的度数，我们可以借助∠DOF＝3∠DOE的条件，最后，利用∠AOD＋∠BOD＝160°，建立方程．解答：(1)设∠COF＝n°，∠FOE＝∠COE－∠COF＝(80－n)°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE ＝2∠FOE＝(160－2n)°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE ＝160°－(160－2n)°＝2n°，∴∠BOE＝2∠COF．(2)结论仍然成立，方法同(1)．(3)∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，设∠DOE＝x°，∴∠DOF＝3x°，∠FOE＝∠DOF－∠DOE＝2x°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝4x°，∴∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝∠AOB，4x＋x＋90＝160，x＝14，∴∠EOF＝2x°＝28°，∠COF＝∠COE－∠EOF＝80°－28°＝52°2、分类讨论例2：分析：解答：3、旋转相关例3：已知直线AB和CD交于点O，∠AOC 的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．(1)当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．(2)当x＝60°，射线OE、OF 分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF 重合时至少需要多少时间?(3)当x＝60°，射线OE以10°/s 的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE 转动的时间．分析：(1)问非常简单，不再赘述．(2)这是一个追及问题，射线OE的速度快，显然是OE在后追OF，追及的度数是用360°减去∠EOF的度数．(3)由于方向变化，问题又变成了一个相遇问题，相遇前，两射线的夹角与第(2)问相同，要使夹角为90°，则转过的度数之和分3种．相遇之前，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数减去90°．相遇之后，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上90°．相遇之后，夹角为(360－90)°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上(360－90)°．解答：(1)∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOB－∠BOE ＝180°－90°＝90°，∴∠EOC＝∠AOE－∠AOC ＝90°－19°48′＝70°12′∠AOD＝∠COD－∠AOC ＝180°－19°48′＝160°12′∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝1/2∠AOD＝80°6′(2)∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∠AOF＝60°，∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝150°，解设t秒后重合，(10－4)t＝360－150，t＝35．(3)4、定值探究例4：分析：解答：5、双角平分线例5：如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°角的三角尺如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角尺PAC，三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转．(1)试说明：∠DPC＝90°；(2)如图②，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P 逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；(3)如图③，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角尺都停止转动)，试说明：∠BPN ＝2∠CPD．分析：(1)问简单，不再赘述．(2)典型的双角平分线问题，先找出现两次的边，即公共边，PD，则组成∠EPF的两条边，PE，PF，必然与PD形成2个角，∠FPD，∠EPD，则∠EPF必为这两个角的差或和，然后利用一半减一半，或一半加一半解决．(3)分别用含t的代数式表示∠BPN，∠CPD，注意∠CPD在表示时，要考虑到PD旋转到MN下方的情况，因此，用平角∠MPN＋∠MPN－∠BPD－∠APC －∠APN最合适．解答：(1)∵PA，PB与直线MN重合，∴∠APB＝180°又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝∠APB－∠CPA－∠DPB ＝180°－30°－60°＝90°；6、动点综合例6：已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P 与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．分析：本题是一道好题，将动点问题中3个重要知识点串联在了一起，(1)如何表示t 秒时，某个点表示的数，(2)如何表示t秒时，两个点之间的距离，(3)如何表示两个点的中点．(1)问，可以用行程问题解决，但我们可以用相遇时，这两个点表示的数相等来建立方程．(2)分别用含t的绝对值代数式来表示后甲到A，B，C三点的距离．然后建立关于t的绝对值方程，注意，要考虑所求时间是否在范围内，调头走的时间是否合题意．(3)依旧可以用含t的代数式表示t秒时，点P，点Q表示的数，利用中点公式，建立方程求解．解答：。

北师大版七年级数学上册第四章培优专题训练一：直线射线线段(含答案)

七年级数学上册第四章基本平面图形培优专题训练一．知识梳理：1.经过有且只有一条直线.2.两点之间的所有连线中，最短.3. ，叫做两点之间的距离4.点O是线段AB的中点，则 = =21。

5.一条直线上有n个点时，共有射线条，线段条。

二．典型例题例题1：（1）已知AB=10，在线段AB上取一点C,使AC=6，那么线段AB的中点D 与线段AC的中点E的距离为；（2）已知AB=10，在线段AB上任意取一点C,那么线段AB的中点D与线段AC的中点E的距离为；（3）已知AB=m，在线段AB上任意取一点C,那么线段AB的中点D与线段AC的中点E的距离为；例题2：（1）已知AB=10，在AB的延长线上取一点C,使AC=16，那么线段AB的中点D与线段AC的中点E的距离为；(2) 已知AB=m，在AB的延长线上取一点C,使AC=n(n＞m)，那么线段AB 的中点D与线段AC的中点E的距离为；三．练习：1.已知两根木条分别长为60cm,100cm.将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间距离是2.已知A,B,C为直线a上的三点，AB=40,AC=80,点D,E分别为AB,AC的中点，则DE=3.已知：如图，线段AD=8cm,线段BC=4cm,点E,F分别是AB,CD的中点，求EF的长。

4.已知点C在线段AB上，M,N分别为AC,BC的中点，求MN的长度。

5.已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC=3cm,则线段AC=6.如图，共有条线段。

7.一列往返于北京和广州的列车，沿途经过石家庄，郑州，武汉，长沙四站，铁路部门要为这趟列车印制车票种。

8.经过任意三点A,B,C中的两点共可以画出的直线条数是9.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处，若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为。

10.下列说法中，正确的是( )A 、射线OA 与射线AO 是同一条射线B 、线段MN 与线段NM 是同一条线段C 、过一点只能画一条直线D 、三条直线两两相交，必有三个交点 11.把一条弯曲的的公路改为直道，可以缩短路程,其道理用数学解释为 12.如果线段AB=5cm ，BC=8cm ，那么A 、C 两点之间的距离为( ) A 、13 cm B 、3 cm C 、13cm 或3cm D 、无法确定 13.如图，点A 、O 、B 在同一直线上，OE,OF 分别是∠AOC 与∠BOC 的平分线。

初一数学培优卷―直线.射线.线段

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五大板块―――1.重点。2.难点。3.考试易错点。4.提高能力点。 5.思想方法拓展点
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初一数学培优卷―直线．射线．线段一数学培优卷―直线．射线．重点：重点： ★★★★直线射线线段的表示区别画法区别．直线射线线段的表示区别． ★★★★直线射线线段的表示区别．画法区别．性质区别四点可确定的直线， 1．经过不重合的 A、B、C、D 四点可确定的直线，可作直线的条数为________________．线的条数为________________． ________________
２１. ２１.先把线段 AB 延长到 C，再把线段 AB 反向延长到 D，这时所得的图形中共有线段( 这时所得的图形中共有线段( ) A.3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条
C． C．8cm 或 2cm
２２. 四条直线两两相交，个交点．２２. 四条直线两两相交，有 ______ 个交点．
三条直线两两相交，则交点有_______________ _______________个 2．三条直线两两相交，则交点有_______________个．

培优专题7线段和角含答案-

培优专题7 线段和角线段和角是最简单、最根本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的根底．要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及根本性质，其次要注意总结规律，灵活运用．例1如图，数出各条线上线段的总条数．分析要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏．在〔1〕中，先数以A为左端点的线段：AC、AB，2条；再数以C为端点的线段：CB，1条．故〔1〕•中共有3条线段．同样地，在图〔2〕中有线段AC、AD、AB，3条；CD、CB，2条；DB，1条．共计3+2+1=6条．在〔3〕中有线段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB．共计4+3+2+1=10条．从上面的分析可见，当线段上有n个点〔包括两端点〕时，它上面的线段总共有〔n-1〕+〔n-2〕+…+2+1=〔条〕．练习11．在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N，则在A、•N•两点之间共有线段______条〔包括线段AN〕．2．〔1〕数一数图中的图①中共有______个角；图②中共有_____角；•图③中共有______角．〔2〕从〔1〕中你找到一种数图④中角的个数的规律吗.3．如图，图中共有_______条线段．例2 在图中，假设线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和．分析• •要求出所有线段长的总和，•可采用分类计数的方法，•分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按5类分别计算长度，如：L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6=a1+〔a1+a2〕+〔a1+a2+a3〕+〔a1+a2+a3+a4〕+〔a1+a2+a3+a4+a5〕=5a1+4a2+3a3+2a4+a5．同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5，L3=3a3+2a4+a5．L4=2a4+a5．L5=a5．故所有线段的长度总和为：L=L1+L2+L3+L4+L5=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5．当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为：L=a1〔n-1〕×1+a2〔n-2〕×2+a3〔n-3〕×3+…+a n-2×2×〔n-2〕+a n-1×1×〔n-1〕．练习21．如图1，B、C、D依次是线段AE上的点，AE=8.9cm，•BD=•3cm，•则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_________．(1) (2) (3)2．〔1〕如图2，3个机器人A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在〔〕处最好〔使得各机器人到零件箱的距离之和最小〕．A．A1B．A2C．A3D．A1、A2之间或A2、A3之间的一点处〔2〕如图3，假设有4个机器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何处最好.3．经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作〔〕条．A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2例3如图，C在线段AB上，且AC：BC=2：3，D在线段AB的延长线上，BD=•AC，E为AD的中点，假设AB=40cm，求CE的长．分析由AC：BC=2：3及AB=40cm，可先求出AC、BC的长度，再由E为AD•中点，可求出AE的长度，再由CE=AE-AC求出CE．解：设AC=2*，BC=3*，由题意得：2*+3*=40，解得*=8．∴AC=16，BC=24，∴BD=AC=16．∴AD=AB+BD=40+16=56．∵E为AD中点，∴AE=AD=28．∴CE=AE-AC=12〔cm〕．练习31．三点A、B、C在同一直线上，假设BC=2AB，且AB=a，则AC=________．2．如图，C、D、E将线段AB分成四局部，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，假设MN=21，则PQ长为________．3．〔1〕如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠BOC，求∠MON的度数；〔2〕如果〔1〕中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；〔3〕如果〔1〕中，∠BOC=β〔β为锐角〕，其它条件不变，求∠MON的度数．〔4〕从〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果中你可得出什么结论.〔5〕线段的计算与角的计算存在着密切的联系，它们之间可以互相借鉴解法，•请你模仿〔1〕～〔4〕设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答．例4 如图，过点O任作7条直线．求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．分析过点O的7条直线被点O分成14•条射线，•而相邻的两射线可组成14个角，而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°，只要考虑这14个角即可．证明：设相邻的射线组成的14个角为α1、α2…、α14，则α1+α2+…+α14=360°．假设α1+α2+…+α14都不小于26°，则：α1+α2+…+α14≥364°与α1+α2+…+α14=360°矛盾．故α1、α2…α14中必有一个角小于26°．练习41．9点20分时，时针与分针所成的角是多少度.2．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少.3．如图，∠A1OA11是一个平角，∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°，求∠A11OA10的度数．例5从县城P出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水〔•水从县城引出〕，县城与A村的距离为30千米，其余各村之间的距离如图7-14所示，•现有粗细不同的两种水管可以选用，粗管是供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．•安装费用：粗管每千米8000元，细管每千米2000元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程总费用．请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需的总费用．分析显然粗细管适当搭配较适宜，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍，故需要用4根细管的路段采用粗管或细管所花费用一样，需要用多于4•根细管的路段采用粗管较合算．由县城P─A─B─C─D─E─F宜采用粗管，F─G用粗管或细管均可，G─H、G─M、G─N分别安装一根细管．总费用是：〔30+5+2+4+2+3〕×8000+2×8000+2×2000+〔2+2〕×2000+〔2+2+5〕•×2000=•414000〔元〕．练习51．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有Array网线相联，连线标注的数字表示该网络单位时间可以通过的最大信息量．现从结点A•向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，•由单位时间传递的最大信息量为〔〕．A．19 B．20 C．24 D．262．甲和乙两人同时从A、B两地相向而行〔如图7-16〕，甲骑自行车，乙步行．•出发后30分钟甲与乙在P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到B地后马上折回向A骑行，•从P1起30分钟后，甲又在P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从A地在返回B 地的路上在P3•处与乙相遇．求证：P1、P2、P3是AB的四等分点．3．〔1〕现有一个19°的"模板〞〔如图〕，请你设计一种方法，•只用这个"模板〞和铅笔在纸上画出1°的角来.〔2〕现有一个17°的"模板〞，•能否只用这个"模板〞和铅笔在纸上画出一个1°的角来.〔3〕用一个21°的"模板〞与铅笔，能否在纸上画出一个1°的角来.对于〔2〕、〔3〕两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．答案:练习11．28．=28．2．〔1〕①3；②6；③10；〔2〕．3．30．如线段BE上有6条线段，故共有6×5=30条线段．练习21．41.6cm．其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=4〔AB+DE〕+6〔BC+CD〕=4〔AE-BC〕+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6cm．2．〔1〕A2处，应选B．〔2〕假设选在B1、B2之间，设此点为M1，则其和为：B1B4+B2B3+2B2M1；假设选在B2、B3之间，设此点为M2，则其和为B1B4+B2B3；假设选在B3、B4之间，设此点为M3，则其和为B1B4+B2B3+2B3M3，应选在B2、B3之间〔包括〔B2、B3处〕，其到机器人的距离和最短．3．选D．假设点P到L的距离d=5cm，则此点只有一个；假设d>5cm，不存在此点；假设d<5cm，则这样的点有两个，应选D．练习31．a或3a，假设点B、C在点A的同侧，则AC=3a；假设点B、C在点A的异侧，则AC=a．2．7．设AC=2k，则CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=k，PQ=k，由MN=21，可知：k=2，故PQ=7．3．〔1〕∠MON=45°，∠MON=∠AOC+∠BOC=∠AOB=45°．〔2〕∠MON=α〔3〕∠MON=45°〔4〕分析〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果和解题过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB•的一半，而与锐角∠BOC的大小无关．〔5〕如图7-1，B为线段AC上一点，AC=a，M、N分别为线段AB、BC的中点，求MN的长．此题的规律是：MN=AC，而与BC的长度变化无关．练习41．160°．时钟从外表12处顺时针转过〔9×30°〕=280°，分针从外表12处顺时针转过〔20×6°〕=120°，故时针与分针形成的角为160°．2．405°．由图知：∠3=∠5=∠7=45°，∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠4+∠8=90°，∴∠1+∠2+…+∠9=405°．3．27°．将条件中的9个等式相加，得：∠A11OA10-∠A2OA1=9×2°，即∠A11OA10=∠A2OA1+18°，又∠A1OA11=∠A2OA1+∠A3OA2+…+∠A11OA10=〔∠A2OA1+∠A11OA10〕×10=180°，两个方程联立解得∠A11OA10=27°．练习51．考察每条通道的最大信息量，•四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则〔3+4〕+〔6+6〕=19，选A．2．乙从B到P1用了30分钟，由P1到P2也用了30分钟，故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟，共行了3P1P2长的路程，所以甲的速度是乙速度的3倍．再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3，则P2P3=AP3，再由第一次相遇知：AP1=3P1B，由此2P2P3+P1P2=3P1B，故P2P3=P1B，由此AP3=P2P3=P2P1=P1B．故P1、P2、P3=是线段AB的四等分点．3．此题关键是得到一个1°的角，设"模板〞的角度为α，假设可由m•个α角与n•个180°角可以画出1°的角来，则有mα-180n=1．〔1〕当α=19°时，取m=19，n=2，即用"模板〞连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即可得到1°的角．〔2〕当α=17°时，取m=53，n=5，可以得到一个1°的角．〔3〕当α=21°时，21m-180n=1无正整数解，故不能用21°的"模板〞画出1°的角．。

初一上册第四章线段、射线、直线例题分析(北师大版)

初一上册第四章线段、射线、直线例题分析（北师大版）初一上册第四章线段、射线、直线例题分析（北师大版）1．线段、射线、直线的概念(1)线段概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．线段的特征：①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．(2)射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．射线可以反向延长；射线没有粗细之分．(3)直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．直线的特征：①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．【例1】下列说法正确的有()．①画一条射线等于5cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×射线向一个方向无限延伸，不可度量②√直线上两点间的部分是线段③×直线、射线无长短，不能比较④√将射线反向延长后形成的图形是直线答案：B2.线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．(2)射线的表示方法用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点必须在前面)．射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是()．解析：A×端点相同，都是O，但延伸方向不相同B×C×D√端点相同，延伸方向相同答案：D(3)直线的表示方法直线有两种表示方法：①可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序性．如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”；②可用一个小写字母来表示，如图乙中的直线可记作“直线l”．图甲图乙辨误区、射线、直线的联系①表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“线段、射线或直线”；②用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段，“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线；③表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字母必须写在前面．【例2－2】如图所示，下列说法()．A．都错误B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确错解：B错解分析：误以为直线可以用两个小写字母、一个大写字母或者大小写字母混合表示．正解：D正解思路：直线可以用两个大写字母或一个小写字母表示．3．直线的性质(1)经过两点有且只有一条直线．①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；②它可简单地说成“两点确定一条直线”．(2)直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个交点．【例3】工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用__________个螺钉．解析：根据“两点确定一条直线”可知至少需要2个螺钉．答案：24．射线、线段的计数方法射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段．(1)点数与射线的条数射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的．在直线上，以一个点为端点的射线有2条，若直线上有n个点，则共有2n 条射线．(2)点数与线段的条数线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段．因此，数线段时，只要判断这些点共有多少种组合即可．析规律数线段条数的方法确定线段的条数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，与其余的点(第一个点除外)组成线段……，依此类推，直到找出最后的线段为止．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4】画出线段AB：(1)如图(1)，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？(2)如图(2)，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？(3)如图(3)，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？(4)如图(4)，在线段AB上画出n个点时，猜一猜：图中共有几条线段？解：(1)线段上一共有三个点(线段AB的两个端点和点C)，以每个点为端点的线段各有2条，这样一共有(2＋1)×2＝6条线段，因为线段无端点顺序，如线段AB和线段BA是同一条线段，这样6条线段重复一半，所以图(1)中共有线段的条数是(1＋2)×22＝3；(2)在线段上画出2个点，这时图中共有4个点，以每个点为端点的线段各有3条，这样一共有(2＋2)×3＝12条线段，同样重复一半，这样图(2)中共有线段的条数是(2＋2)×32＝6；(3)在线段上画出3个点，这时图中共有5个点，以每个点为端点的线段各有4条，这样一共有(2＋3)×4＝20条线段，同样重复一半，这样图(3)中共有线段的条数是(3＋2)×42＝10；(4)在线段上画出n个点，这时图中共有(n＋2)个点，以每个点为端点的线段各有(n＋1)条，这样一共可画(n＋2)•(n＋1)条线段，同样重复一半，这样图(4)中共有线段的条数是(n＋2)(n＋1)2.5．直线性质的应用生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“两点确定一条直线”的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪斜．【例5】建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理．分析：利用直线的性质“经过两点有且只有一条直线”进行说明．解：拉紧的绳子可以近似看成一条直线，固定在墙的两端是固定的两点，因为过两点有且只有一条直线，所以这样垒出的墙是直的．6.与直线有关的规律探究(1)两点确定一条直线，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直线．当任意三点均不在同一直线上时，点数与直线条数的关系见下表：点的个数最多直线条数213346……n(n>1)n(n－1)2(2)平面上若有n(n>1)条直线两两相交，则交点个数最多有12n(n－1)个．【例6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情况的图形．分析：五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上．解：当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：5×(5－1)×12＝10(条)，所以最多能得到10条直线．另外三种情况如下图所示．。

七年级数学培优试卷第13讲直线、射线、线段(含答案)

B ECD A A D CE B 第13讲直线、射线、线段一、选择题1.如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）A .B .C .D . 2.图中直线PQ 、射线AB 、线段MN 能相交的是（）QPABPQBAN MQPPQB AA .B .C .D . 3.下面说法中不正确的是（）A .两点之间线段最短B .两点确定一条直线C .直线、射线、线段都有中点D .两条不同的直线枏交有且只有一个交点4.如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（）个不同的点. A .20 B .10 C .7 D .55.平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m 个，最多为n 个，则m ＋n 等于（） A .12 B .16 C .20 D .以上都1不对6.下列说法正确的是（）A .若AP ＝21AB ，则P 是AB 的中点 B .若AB ＝2PB ，则P 是AB 的中点 C .若AP ＝PB ，则P 是AB 的中点 D .若AP ＝PB ＝21AB ，则P 是AB 的中点7.如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在同一直线上，D 点是线段AB 的中点，点E 是线段BC 的中点，若线段AC ＝12，则线段DE 等于（） A .10 B .8 C .6 D .48.A 、B 、C 中三个不同的点，则（）A .AB ＋BC ＝AC B .AB ＋BC ＞AC C .BC ≥AB －ACD .BC ＝AB －AC9.如图，B 在线段AC 上，且BC ＝2AB ，D 、E 分別是AB 、BC 的中点.则下列结论：①AB ＝31AC ；②B是AE 的中点；③EC ＝2BD ； ④DE ＝23AB .其中正确的有（）A .1个B .2个C .3个D .4个10.如图，C 、D 是线段AB 上两点，M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点下列结论：①若AD ＝BM ，则AB ＝3BD ；②若AC ＝BD ，则AM ＝BN ；③AC －BD ＝2(MC －DN )；④ 2MN ＝AB －CD .其中正确的结论是（）A .①②③B .③④C .①②④D .①②③④二、填空题11.如图是一个没有完全展开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下图中的_______________________.（填写字母）12.在边长都是1的正方形方格纸上画有如图所示的折线.它们的各段依次标着①，②，③，④…的序号.那么序号为24的线段长度是_________.序号为25的线段长度是_________.⑥⑤④③②①（第11题图）（第12题图）13.观察下列由小立方体摆成的图形，寻找规律；如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19 个看得见，8个看不见；则第⑥个图中，看不见的小立方体有___________个.… …(3)(2)(1)三、解答题14.已知线段AB .（1）M 是线段AB 上一点，且此时所有线段之和为20，求线段AB 的长；（2）直线上有一点C ，且BC ＝4，N 是AC 的中点，求AN 的长.15.已知3条线段a 、b 、c 在同一条直线上，它们有共同的起点，a 的终点是b 的中点，c 的中点是b 的终点，且a ＋b ＋c ＝70cm ，求a 、b 、c 三条线段的长（画图解答）.16.如图，线段AB ＝20cm .（1）点P 沿线段AB 自A 点向B 点以2cm/秒运动，同时点Q 沿线段BA 自B 点向A 点以3cm/秒运动，几秒后，点P 、Q 两点相遇？BQPA（2）如图，AO ＝PO ＝2，∠POQ ＝60°，现点P 绕着点O 以30°/秒的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向A 点运动，若P 、Q 两点也能相遇，求点Q 运动的速度.OAPQB17.如图，公路上依次有A 、B 、C 三站，上午8时，甲骑自行车从A 、B 之间离A 站18km 的P 点出发，向C 站匀速前进，15分钟到达距离A 站22km 的某处. （1）设x 小时后，甲离A 站y km ，用含x 的代数表示y ；（2）若A 、B 和B 、C 间的距离分别是30km 和20km ，则上午_____到_____的时间内，甲在B 、C 两站之间（不包括B 、C 两站）.CBPA18.已知：如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为AE 的中点. （1）若线段AB ＝a ，CE ＝b ，0)5.4(152=-+-b a ，求a 、b ；（2）在（1）的条件下，求线段DE ；（3）若AB ＝15，AD ＝2BE ，求线段CE .BECD A19.如图1，直线AB 上，点P 在A ，B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点.若AB ＝m ，且m 为关于x 的方程3x ＋8＝2(x ＋m )的解. （1）求线段AB 的长；BMPNA（2）试说明线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关.（3）如图2，若C 点为线段AB 的中点，点P 在线段AB 的延长线上，PCPBPA 的值是否变化？若不变，请求其值.PBCA。

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直线没有端点 2.直线的性质（1）经过一点可以画无数条直线（2）性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”体现“惟一性” 3.点和直线的位置关系（1）点在直线上，或者说直线经过这个点（2）点在直线外，也可以说直线不经过这个点 BlA二、例题和练习例1 如图共有条线段，条射线，条直线. lA B C D课堂练习：1、如图，图中共有6个点，共有多少条线段？2、如图，图中共有n 个点，共有多少条线段？例2、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ 课堂练习：1.往返于甲、乙两地的客车，中途停靠四个站，问（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？2.已知平面内的四个点A 、B 、C 、D ，过其中每两个点画直线可以画几条.将线段向一个方向无限延长就形成了A 1 • A 2 • ……A 3 • A 4 • A n • A 1 • A 2 • A 5 • A 3 • A 4 • A 6 •专题二比较线段的长短一、知识要点1.线段性质（公理）：两点之间，线段最短2.两点之间的距离：连结两点之间线段的长度3.线段的大小的比较方法（1）叠合法A BAB CD ABD (2)度量法AB=CD AB ＞CD AB ＜CD图4-2-14.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． AB 点M 是线段AB 中点 AC=BC=21AB 图4-2-2二、例题和练习例1 如图所示，AB=16cm ，C 是AB 上一点，且AC=10 cm ，D 是AC 中点，E 是BC 中点，求线段DE 的长.例2 如图，AB:BC:CD =2:3:4，AB 的中点M 与CD 中点N 的距离是3cm ，求BC 的长ABCNM例3 已知线段AB=30mm, 直线AB 上画一条线段BC=10mm,点D 是线段AC 的中点，求CD 的长度.课堂练习1.如图，点C 是线段AC 上一点，点N 是线段BC 的中点，M 是AC 中点（1）若AB=10cm AM=3cm 求NC 的长。

（2）若MN=6cm,求AB 的长。

B NM2.已知线段AB=8cm,在直线AB 上画线段BC=3cm 。

（1）求A 、C 两点间的距离. （2）若点D 是线段AC 的中点，求DC 的长度3、（1）如图，已知点C 在线段AB 上，且AC=6cm,BC=4cm,M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的长度AB CNM（2）在（1）中，如果AC=acm ,BC=bcm, 其它条件不变，你能猜测出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话语表述你发现的规律.（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它“已知线段AC=6cm,BC=4cm ，点C 在直线AB 上”，点M 、N 结果会有变化吗？如果会，求出结果.专题三角的度量与表示一、角的表示1.角的定义：（1）（静态）角是由两条其有公共端点的射线组成的图形；（2）（动态）一条射线绕它的端点旋转，所形成的图形。

2.角的表示方法：(1)用三个大写字母表示.（注意把顶点字母写在中间） (2)用一个数字或希腊字母表示角(3)当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母（角的顶点）来表示角DABC 1234BCF βE D Aθγα图1 图2练习：1.如图2，用大写字母表示图中用希腊字母标注的角∠α= ；∠β ； ∠γ= ；∠θ ；2．如图3，下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一有的图形是.（）ABO AOBCA1BD OABC1COABD1D1图3二. 角的度量1、周角、平角、直角。

0º<锐角 < 90º（直角）<钝角< 180º（平角）2、度、分、秒：1°=60′，1′=60″问题2、计算（1） 41.45 = °′″，（2）1800″= ′= °问题3、计算（1）53°9′+25°4′38″（2）90°-37°24′38″练习：1、填空题：（1）23.55°= °′″， (2) 36.61°= °′″，（3）2400″= ′= °（4）38°32′24″= °（5） 15°45′= °，（6）2700′= °2．用一副三角板，画角，不能画出的角的度数是（）A、15°B、75°C、145°D、165°3.计算（1）23°45′+24°15′（2）90°—37°42′三、方位角方位角是表示方向的角，在具体表示时是先写南北，再写偏东或偏西，如AB在北偏东30°，AC 在西南方向即南偏西45°方向.图4-3-1问题4.一轮船A观测到灯塔B在其北偏西50°，灯塔C 在其南偏西50°，试画图表示A、B、C的位置，并求出此时∠BAC的大小.练习1．下列说法正确的是（）A、OA的方向是北偏东30°B、OB的方向是北偏西25°C、OC的方向是南偏西75°D、OD的方向是西北方向2.北京在上海的方位是北偏西34°，那么上海在北京的方位是 .四、时钟问题(在时钟上分针每分钟转6°,时针每分钟转0.5°,表盘一个大格是30°,一个小格是6°）问题5 时钟上，3点30分钟时，时针与分针之间的夹角是度？问题62点50分钟时，时针与分针之间的夹角是度？练习：1. 2点30分时，时针与分针之间的夹角是多少度？2点15分呢？2．在8:30时，时钟上时针和分针之间的夹角为（）A、85°B、75°C、70°D、60°3.钟表在3点半时，它的时针与分针所成的锐角是度.专题四角的计算一、计算角的个数：例如图所示，（1）在AOB ∠内引一条射线时，图中共有角；（2）在AOB ∠内引两条射线时，图中共有角；（3）在AOB ∠内引三条射线时，图中共有角；（4）在AOB ∠内引n 条射线（n 为自然数）时，则共有角，你发现了什么规律了吗？二、求角的度数：1.如图，∠BOD 和∠AOC 都是直角.且∠BOC:∠AOD=1:5，求∠AOD 的度数.OABCD2.如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠ AOD=145°，则∠BOC=ABCDOA BCFEDOABCD3. 如图所示的2×2正方形中，则∠ABE+∠ACB+∠ADF=4.如图，∠AOC 与∠BOD 都是直角，∠AOB ：∠AOD=2：11，求∠AOB 和∠BOC 的度数.5.若平面内，︒=∠50AOB ，︒=∠30BOC ，则=∠AOC ；三、角的平分线：射线OC 是∠AOB 的平分线⇔ ∠AOC=∠BOC=21∠AOB 1.①如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数； ②如果（1）中的∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数； ③如果（1）中的∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； ④从（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？BA CNMO【变式】如图，已知OC AOB ，︒=∠60是AOB ∠的平分线，OE OD 、分别平分BOC ∠和COA ∠. （1）求DOE ∠的大小；（2）当OC 绕O 点旋转时，OE OD 、仍是BOC ∠和COA ∠的平分线，问此时DOE ∠的大小是否和（1）中的答案相同？通过此过程，你能总结出怎样的结论？2.如图，AOC 为一直线，OD 是∠AOB 的平分线， OE 在∠BOC 内，∠BOE=21∠E0C ，∠DOE=72°。

求∠EOC 的度数.OEC DB3.（1）如图， ∠AOB=80°，∠COD=36°OM 、ON 分别是 ∠BOC 、∠AOD 的平分线，求∠MON 的度数.O DB CAM N（2）上题中，若∠AOB=α，∠COD=β，其他条件不变，求∠MON 的度数.。