正弦定理余弦定理

第七节 正弦定理、余弦定理应用举例

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km

D ．2a km

解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦

定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×⎝

⎛⎭

⎪⎫－12＝3a 2，

∴AB ＝3a . 答案B

2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 km

B ．3 2 km

C ．3 3 km

D ．2 3 km

解析 如图，由条件知AB ＝24×15

60＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB

sin45°sin30°＝3 2. 答案B

3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( ) A ．35海里 B ．352海里 C ．353海里

D ．70海里

解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°， EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120°

＝

502＋302－2×50×30cos120°＝70.

答案D

4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m

的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )

A ．20⎝

⎛⎭⎪⎫

1＋33 m

B ．20⎝

⎛⎭⎪⎫

1＋32 m

C ．20(1＋3) m

D ．30 m

解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD 为正方形，CB ＝20 m ，所以BM ＝20 m ．又在Rt △AMD 中， DM ＝20 m ，∠ADM ＝30°， ∴AM ＝DM tan30°＝20

33(m)． ∴AB ＝AM ＋MB ＝20

33＋20

＝20⎝

⎛⎭⎪⎫1＋33(m)．

答案A

5．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π

4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A.1010

B.105

C.31010

D.55

解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×2

2＝5，所以AC ＝5，再由正弦定理：sin ∠BAC ＝sin ∠ABC AC ·BC ＝3×225＝31010. 答案C

6．(2014·滁州调研)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始多少h 后，两车的距离最小( ) A.69

43 B ．1 C.7043

D ．2

解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．

由余弦定理，得

DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°

＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000. 当t ＝70

43时，DE 最小． 答案 C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为________km.

解析 如右图所示，由余弦定理可得： AC 2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700， ∴AC ＝107(km)． 答案 107

8．如下图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.

解析 设航速为v n mile/h

在△ABS 中，AB ＝1

2v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°， 由正弦定理得：82

sin30°＝1

2v sin45°， ∴v ＝32(n mile/h)． 答案 32

9．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．

解析 在△BCD 中 ，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD

＝

15°＋90°＝105°，