机械优化设计()复习资料
机械优化设计总复习
1
第一章 机械优化设计的基本概念和理论
机械优化设计过程包括： (1) 将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2) 选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运
算求解。
2
• 建立最优化问题数学模型的三要素：
• （1）设计变量和参数。
•
设计变量是由数学模型的解确定的未知数。
• （2）约束或限制条件。
解析解法 图解法 数值解法
8
第二章 优化设计的数学基础
多元函数的梯度
f
x1
f
X
f xf2
f X
x1
xn
f X
x2
f X
xn
T
9
例1：求二次函数 fx 1 , x 2 x 1 2 x 2 2 4 x 1 4 在点 3,2T
处的梯度。
解：
f
f
(
x)
x1 f
x2x1
2 f
xn
x1
2 f
x1x2
2 f x22
2 f xnx2
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
x
海色（Hessian）矩阵 H ( x ) 正定，即各阶主 子式均大于零，则X*为极小点。
15
4、凸规划
对于约束优化问题
min f X
s .t . gj X 0 (j1,2,3,,m) 若 f X g j X 都为凸函数，
则称此问题为凸规划。
16
六、不等式约束优化问题的极值条件
对于多元函数不等式的约束优化取得极值的条 件：
库恩—塔克条件
f x m xi j 1
机械优化设计复习资料
1、优化问题的三要素：设计变量，约束条件，目标函数。
2、机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子3、外推法确定搜索区间，函数值形成高-低-高区间4、数值迭代法的公式：X k+1=X K+αk·S k5、若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)T Gd1=0，则d0、d1之间存在__共轭____关系与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。
6、外点；内点的判别7、那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法共轭梯度法变尺度法8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数：坐标轮换法9、拉格朗日乘子法是升维法 P3710、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种二、解答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。
这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。
2、在变尺度法中，为使变尺度矩阵H与1 k G近似，并具有容易计算的特点，k Hk必须附加哪些条件？（1）必须是对称正定的（2）要求有简单的迭代形式（3）必须满足拟牛顿条件3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系课本P904、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数∑∑==++=mj lk k j x h H r x g G r x f r r x 112121)]([)]([)(),,(φ求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解三、计算题： 极值法求解：例2-3 求函数 的极值。
机械优化设计复习总结
1.优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述,用数学解析方法的求解方法.解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题.但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2.优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3.机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：(为一对角矩阵）数学规划法:（分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4.机械优化设计问题一般是非线性规划问题,实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件.5.对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6.多元函数的泰勒展开。
海赛矩阵：=（对称方阵）7.极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件.某点取得极值，在此点函数的一阶导数为零，极值点的必要条件：极值点必在驻点处取得.用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。
二阶倒数大于零,取得极小值。
二阶导数等于零时，判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点，奇次则为拐点。
二元函数在某点取得极值的充分条件是在该点出的海赛矩阵正定。
极值点反映函数在某点附近的局部性质。
机械优化设计总复习
x* (2,0)
F(x*) 0
约束方程所围成的可行域是D。
x2 g3(x)=0 g2(x)=0
2
1
-1 0
g1(x)=0
，
D A x*=[0.58, 1.34]T
1
2
3
4
g4(x)=0 x1
f(x)=3.8
m in
F (x)
x12
x
2 2
4 x1
4
s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0
j 1 ,2 , ,J
若 d 是 X (k) 点的一个可行下降方向，则应有
可行： [ g j( x k ) ] T d k 0(j 1 ,2 , ,J )
F
gxj (i x)jJ
j
0
gj xi
l
k
k1
( jJ)
hk xi
0
(i 1,2,
j 0 ( jJ)
,n)
28
同时具有等式和不等式约束的优化问题
29
K-T条件是多元函数取得约束极值的必 要条件,可以用来作为约束极值的判断条件， 又可以来直接求解较简单的约束优化问题。
7
（ 二）约束优化设计的最优解
约束优化设计的最优解为使
min f X s.t. gu X 0 ,u1,2, ,m
hv X 0 ,v 1,2, , pn
的 X* 、f (X*) 。
8
优化问题的几何解释
• 无约束优化问题就是在没有限
制的条件下，对设计变量求目 标函数的极小点。在设计空间 内，目标函数是以等值面的形 式反映出来的，则无约束优化 问题的极小点即为等值面的中 心。
《机械优化设计》复习题-答案
机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;6、函数C X B HX X T T++21的梯度为HX+B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是,充分条件是正定 ;10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;13、牛顿法的搜索方向d k= ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 ;15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足d 1T Hd 2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭; 16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列,具有单调递增特点;17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即求最优步长;1k k H g --18、与负梯度成锐角的方向为函数值下降的方向,与梯度成直角的方向为函数值变化为零的方向;19、对于一维搜索,搜索区间为[]b a ,,中间插入两个点()()111111,,,b f a f b a b a <<计算出,则缩短后的搜索区间为11b a20、由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致,派生出不同的无约束优化问题数值求解方法;1、导出等式约束极值条件时,将等式约束问题转换为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日法;2、优化问题中的二元函数等值线,从外层向内层函数值逐渐变小;3、优化设计中,可行设计点位可行域内内的设计点;4、方向导数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率5、在n 维空间中互相共轭的非零向量个数最多有n 个;6、外点惩罚函数法的迭代过程可在可行域外进行,惩罚项的作用是随便迭代点逼近边界或等式约束曲面; 二、选择题1、下面C 方法需要求海赛矩阵; A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法2、对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线,判断()1[1,1]T X =为 ,()251[,]22TX =为 ;D A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解B 优化问题; A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索,搜索区间为a,b,中间插入两个点a1、b1,a1<b1,计算出fa1<fb1,则缩短后的搜索区间为D;A a1,b1B b1,bC a1,bD a,b15、D不是优化设计问题数学模型的基本要素;A设计变量B约束条件C目标函数D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽fx k,下列不属于H k必须满足的条件的是C ;A. Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的A;A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中,D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数;A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则)(Xf在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵GX在R上处处B;A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的是D,假设要求在区间a,b插入两点α1、α2,且α1<α2;A、其缩短率为B、α1=b-λb-aC、α1=a+λb-aD、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法;11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向,与负梯度成锐角的方向为函数值B方向,与梯度成直角的方向为函数值 C方向;A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是 B;A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为 B 向量;A 相切B 正交C 成锐角D 共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是A;A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题;B 惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点;D 初始点必须在可行域内三、问答题看讲义1、试述两种一维搜索方法的原理,它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：1、试探法：给定的规定来确定插入点的位置,此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快,而不顾及函数值的分布关系,如黄金分割法2、插值法：没有函数表达式,可以根据这些点处的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,近而求出函数的极小点,并用它作为原来函数的近似值;这种方法称为插值法,又叫函数逼近法;2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么答,基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后,和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值,以期得到原问题的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路;答主要用数值解法,利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点;答：最速下降法此法优点是直接、简单,头几步下降速度快;缺点是收敛速度慢,越到后面收敛越慢;牛顿法优点是收敛比较快,对二次函数具有二次收敛性;缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵,维数高时及数量比较大;5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义,并说明迭代公式的意义;6、什么是共轭方向满足什么关系共轭与正交是什么关系四、解答题1、试用梯度法求目标函数fX=+ x1x2-2x1的最优解,设初始点x0=-2,4T,选代精度ε=迭代一步;解：首先计算目标函数的梯度函数,计算当前迭代点的梯度向量值梯度法的搜索方向为, 因此在迭代点x0的搜索方向为12,－6T 在此方向上新的迭代点为：===把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量的函数令,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度, 因此继续进行迭代; 第一迭代步完成;2、试用牛顿法求f X =x1-22+x1-2x22的最优解,设初始点x0=2,1T;解1：注：题目出题不当,初始点已经是最优点,解2是修改题目后解法;牛顿法的搜索方向为,因此首先求出当前迭代点x0的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵不用搜索,当前点就是最优点;解2：上述解法不是典型的牛顿方法,原因在于题目的初始点选择不当;以下修改求解题目的初始点,以体现牛顿方法的典型步骤;以非最优点x0=1,2T作为初始点,重新采用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为,因此首先求出当前迭代点x0的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：初始点梯度向量：海色矩阵：海色矩阵逆矩阵：当前步的搜索方向为：＝新的迭代点位于当前的搜索方向上：==＝＝把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量的函数令,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度, 因此继续进行迭代;第二迭代步：因此不用继续计算,第一步迭代已经到达最优点;这正是牛顿法的二次收敛性;对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点;3、设有函数 fX=x12+2x22-2x1x2-4x1,试利用极值条件求其极值点和极值;解：首先利用极值必要条件找出可能的极值点：令＝求得,是可能的极值点;再利用充分条件正定或负定确认极值点;因此正定, 是极小点,极值为fX=-84、求目标函数f X =x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点;解法同上5、试证明函数 f X =2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点1,1,-2T处具有极小值;解：必要条件：将点1,1,-2T带入上式,可得充分条件＝40正定;因此函数在点1,1,-2T处具有极小值6、给定约束优化问题min fX=x1-32+x2-22. g1X=－x12－x22＋5≥0g 2X=－x1－2x2＋4≥0g 3X= x1≥0g 4X=x2≥0验证在点TX]2[，１=Kuhn-Tucker条件成立; 解：首先,找出在点TX]2[，１=起作用约束：g1X ＝0g2X ＝0g3X ＝2g4X ＝1因此起作用约束为g1X、g2X;然后,计算目标函数、起作用约束函数的梯度,检查目标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合;＝＝,求解线性组合系数得到均大于0因此在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立 7、设非线性规划问题用K-T 条件验证[]TX 0,1*=为其约束最优点;解法同上8、已知目标函数为fX= x 1+x 2,受约束于：g 1X=-x 12+x 2≥0 g 2X=x 1≥0 写出内点罚函数; 解：内点罚函数的一般公式为其中： r 1>r 2 >r 3… >r k … >0 是一个递减的正值数列 r k ＝Cr k-1, 0＜C ＜1 因此 罚函数为：9、已知目标函数为fX= x 1-12+x 2+22受约束于：g 1X=-x 2-x 1-1≥0g 2X=2-x 1-x 2≥0 g 3X=x 1≥0 g 4X=x 2≥0试写出内点罚函数; 解法同上10、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法x 取何值才能获得最大容器的箱子;试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;11、某厂生产一个容积为8000cm 3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;12、一根长l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;13、求表面积为300m 2的体积最大的圆柱体体积;试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序; 14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大;写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1;管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系s只包括底边和两侧边,不计顶边;试按照使液体流速最大确定该管道的参数;写出这一优化设计问题的数学模型;并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品;力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg,10个工时,消耗电能5kW·h,可得利润120元;若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kW·h可利用;如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;。
机械优化设计(1)复习资料
欢迎共阅一、 填空题1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为______。
2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。
3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。
4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终，近位置。
.将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++21的形式 [][]604-10-21-1-221212121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x 。
15. 存在矩阵H ，向量1d ，2d ，当满足d 1THd 2=0向量1d 和向量2d 是关于H 共轭方向。
16. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有__单调递增___特点。
17. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最佳步长。
18. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为[]1,a b 。
3. 内点惩罚函数用于求解____B___优化问题。
4. 拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种__D____。
5. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为____D____。
6. ____D____不是优化设计问题数学模型的基本要素。
7. 变尺度发的迭代公式为()1k k k k k x x a H f x +=-∇，下列不属于k H 必须满足的条件是___C______。
机械优化设计总复习共35页PPT
谢谢！
Байду номын сангаас
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
机械优化设计总复习
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
优化设计复习资料概论
优化设计复习资料一：填空题（40分）1，机械优化设计方法：解析法 数值计算法。
2，优化设计问题基本方法：数学解析法 图解法 数值迭代法。
3，数值迭代法的基本步骤：建立搜索方向→计算最优步骤→判断是否为最优解。
（方向）步长kk k n d a x x )(1+=+。
4，二元及多元函数的极值条件：0)(=∇x f ,负定（大）正定（小）/)(0=x G 。
5，迭代法基本思想：步步逼近 步步下降。
数值迭代法终止准则：点距足够小 函数下降量足够小准则 函数梯度充分小准则。
6，优化设计包括的内容：建立优化设计问题的数学模型 选择恰当的优化方法 编程求解最优的设计参数。
7，求解不等式约束问题的基本思想：将不等式问题转化成等式问题 具体做法：引入松弛变量。
8，无约束问题取得极值的条件：0)(=X f 0)(''>x f 即梯度为0,且海赛矩阵正定或负定。
9，二元偏导和方向导数的关系：10系统可靠性设计方向：预测法 分配法。
02190=+θθ 11，两幅图干涉越小，可靠性越高。
（图看书）12，设计螺栓的设计准则：受拉→静力或疲劳拉伸强度 受剪切或压溃→挤压强度 剪切强度。
13，随机方向法基本思路：随机选择初始点→随机选择探索方向→随机选择探索步长。
1212cos cos x x x f f f x x dθθ∂∂∂=+∂∂∂14，优化问题的几何解析：无约束问题 等式约束化问题 不等式约束化问题。
15.优化设计三要素：设计变量 约束条件 目标函数。
16，惩罚函数包括：内点 外点 混合惩罚函数。
17，约束定义及其分类：约束条件：在优化设计中，对设计变量取值时的限制条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。
分为：等式约束 不等式约束 。
18，约束优化方法：直接解法 间接解法。
19，守剪螺栓强度：抗剪切强度 压溃强度。
20,的地方方向是函数值变化最快方向重合时值最大，方向和时，)()(1),cos(x f D x f d f ∇=∇儿)(x f ∇的模函数变化率的最大值。
《机械优化设计》复习题-答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f （X)=1０0(x 2- x 12） 2+(1- x 1) 2的最优解时,设X (０)＝[-0.5，０.5］Ｔ,第一步迭代的搜索方向为 ［-47,-５0]T 。
２、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足(d 0)T Gd 1=0，则ｄ０、ｄ1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(x x f ，若在),(x 0x x 点处取得极小值，其必要条件是,充分条件是(正定 。
１０、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 ［-2.３6 10] 。
１２、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X)=x １２+x 22-x 1x 2－1０x １－4ｘ2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
１5、存在矩阵H,向量 d 1，向量 ｄ２,当满足ｄ1ＴHd 2=0，向量 ｄ1和向量 ｄ２是关于Ｈ共轭。
１6、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
《机械优化设计》复习题资料
《机械优化设计》复习题一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 ，二是 。
3、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在______关系。
8、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 ，充分条件是 。
10、 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有 、 、 。
13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 ，且要求初始点在极小点 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++21的形式 。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。
《机械优化设计》复习题.doc
《机械优化设计》复习题一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 ，二是 。
3、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在______关系。
8、与负梯度成锐角的方向为函数值 方向，与梯度成直角的方向为函数值 方向。
9、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。
10、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 ，充分条件是 。
11、 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
12、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。
13、优化设计问题的数学模型的基本要素有 、 、 。
14、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 ，且要求初始点在极小点 位置。
15、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++21的形式 。
16、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
17、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 特点。
成人高等教育《机械优化设计》复习资料
成人高等教育《机械优化设计》复习资料知识讲解可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。
设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合可靠度产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率.黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。
可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。
维修度：在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t内修复完毕的概率设计变量：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数）目标函数：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或用设计变量来表达所追求目标的函数）设计约束：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束（或对设计变量取值限制的附加设计条件）最优点、最优值和最优解：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，xｎ*]T使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。
相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。
一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。
把最优点和最优值的总和通称为最优解。
或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即minf(x)=f(x*)x∈Ｒn s.t.ｇu（ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m；ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。
最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解共轭梯度法需要求海赛矩阵。
内点惩罚函数法可用于求解只含有不等式约束的优化问题优化问题。
机械优化设计复习题及答案
机械优化设计复习题一.单项选择题1．一个多元函数()F X 在X附近偏导数连续;则该点位极小值点的充要条件为A ．()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=;()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ∇=;()*H X 为负定2.为克服复合形法容易产生退化的缺点;对于n 维问题来说;复合形的顶点数K 应A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数Fx=4x 21+5x 22;具有等式约束;其等式约束条件为hx=2x 1+3x 2-6=0;则目标函数的极小值为A ．1B ． 19.05C ．0.25D ．0.14.对于目标函数FX=ax+b 受约束于gX=c+x ≤0的最优化设计问题;用外点罚函数法求解时;其惩罚函数表达式ΦX;M k 为 .. A. ax+b+M k {min0;c+x}2;M k 为递增正数序列 B. ax+b+M k {min0;c+x}2;M k 为递减正数序列 C. ax+b+M k {maxc+x;0}2;M k 为递增正数序列hn D. ax+b+M k {maxc+x;0}2;M k 为递减正数序列1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 0.186 C6.FX 在区间x 1;x 3上为单峰函数;x 2为区间中一点;x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点..如x 4-x 2>0;且Fx 4>Fx 2;那么为求FX 的极小值;x 4点在下一次搜索区间内将作为 ..A.x 1B.x 3C.x 2D.x 47.已知二元二次型函数FX=AX X 21T ;其中A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4221;则该二次型是 的.. A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为 ..A.递增负数序列B.递减正数序列C.递增正数序列D.递减负数序列9.多元函数FX 在点X 附近的偏导数连续;∇FX=0且HX 正定;则该点为FX 的 ..A.极小值点B.极大值点C.鞍点D.不连续点10.FX 为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数;若HX 正定;则称FX 为定义在凸集D 上的 ..A.凸函数B.凹函数C.严格凸函数D.严格凹函数1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A11.在单峰搜索区间x 1 x 3 x 1<x 3内;取一点x 2;用二次插值法计算得x 4在x 1 x 3内;若x 2>x 4;并且其函数值Fx 4<Fx 2;则取新区间为 .. A. x 1 x 4 B. x 2 x 3 C. x 1 x 2 D. x 4 x 312.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点;理论上需进行一维搜索的次数最多为A. n 次B. 2n 次C. n+1次D. 2次 13.在下列特性中;梯度法不具有的是 ..A.二次收剑性B.要计算一阶偏导数C.对初始点的要求不高D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向14.外点罚函数法的罚因子为 ..A.递增负数序列B.递减正数序列C.递增正数序列D.递减负数序列15.内点惩罚函数法的特点是 ..A ．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中C.初始点可以在可行域外D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外16.约束极值点的库恩—塔克条件为∇FX=)X (g i q1i i ∇λ-∑=;当约束条件g i X ≤0i=1;2;…;m 和λi ≥0时;则q 应为 ..A.等式约束数目；B.不等式约束数目；C.起作用的等式约束数目D.起作用的不等式约束数目17 已知函数FX=-1222121x 2x x x 2x 2+-+;判断其驻点1;1是 ..A.最小点B.极小点C.极大点D.不可确定18．对于极小化FX;而受限于约束g μX ≤0μ=1;2;…;m 的优化问题;其内点罚函数表达式为 A. ФX; r k=FX-rk11/()gX u u m=∑ B. ФX; r k =FX+rk11/()gX u u m=∑C. ФX; r k =FX-rkmax[,()]01gX u u m=∑ D. ФX; r k =FX-rkmin[,()]01gX u u m=∑19. 在无约束优化方法中;只利用目标函数值构成的搜索方法是A. 梯度法B. Powell 法C. 共轭梯度法D. 变尺度法 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A20. 利用0.618法在搜索区间a;b 内确定两点a 1=0.382;b 1=0.618;由此可知区间a;b 的值是A. 0;0.382B. 0.382;1C. 0.618;1D. 0;1 21. 已知函数FX=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1;则其Hessian 矩阵是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 22. 对于求minFX 受约束于g i x ≤0i=1;2;…;m 的约束优化设计问题;当取λi ≥0时;则约束极值点的库恩—塔克条件为 A. ∇FX=∑=∇λm1i i i (X)g ;其中λi 为拉格朗日乘子B. -∇F X= ∑=∇λm1i i i (X)g ;其中λi 为拉格朗日乘子C. ∇FX= ∑=∇λq1i i i (X)g ;其中λi 为拉格朗日乘子;q 为该设计点X 处的约束面数D. -∇FX= ∑=∇λq1i i i (X)g ;其中λi 为拉格朗日乘子;q 为该设计点X 处的约束面数23. 在共轭梯度法中;新构造的共轭方向S k+1为 A. S k+1= ∇FX k+1+βk S K ;其中βk 为共轭系数 B. S k+1=∇FX k+1－βk S K ;其中βk 为共轭系数C. S k+1=-∇FX k+1+βk S K;其中βk为共轭系数D. S k+1=-∇FX k+1－βk S K;其中βk为共轭系数24. 用内点罚函数法求目标函数FX=ax+b受约束于gX=c-x≥0的约束优化设计问题;其惩罚函数表达式为A. ax+b-r kx-c1;r k为递增正数序列B. ax+b-r kx-c1;r k为递减正数序列C. ax+b+ r kx-c1;r k为递增正数序列D. ax+b+r kx-c1;r k为递减正数序列25. 已知FX=x1x2+2x22+4;则FX在点X0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为A. 10B. 4C. 2D. 1026.在复合形法中;若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可行或优于坏点;则可用A.好点代替坏点B.次坏点代替坏点C.映射点代替坏点D.形心点代替坏点1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16D 17.D 18.A27. 优化设计的维数是指A. 设计变量的个数B. 可选优化方法数C. 所提目标函数数D. 所提约束条件数28.在matlab软件使用中;如已知x=0:10;则x有______个元素..A. 10B. 11C. 9D. 1229.如果目标函数的导数求解困难时;适宜选择的优化方法是 ..A. 梯度法B. Powell 法C. 共轭梯度法D. 变尺度法 30.在0.618法迭代运算的过程中;迭代区间不断缩小;其区间缩小率在迭代的过程中 ..A ．逐步变小B 不变C 逐步变大D 不确定二 填空1.在一般的非线性规划问题中;kuhn-tucker 点虽是约束的极值点;但 是全域的最优点..2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式..3.当有两个设计变量时;目标函数与设计变量关系是 中一个曲面..4.函数在不同的点的最大变化率是 ..5.函数()2212144f x x x x =+-+;在点()[]132TX = 处的梯度为 ..6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 .. 7．多元函数Fx 在点x 处的梯度▽Fx ＝0是极值存在的 条件.. 8．函数Fx=3x 21+x 22-2x 1x 2+2在点1;0处的梯度为 .. 9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 .. 10．用二次插值法缩小区间时;如果p x x <2;p f f >2;则新的区间a;b 应取作 ;用以判断是否达到计算精度的准则是 .. 11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近;内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近.. 12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法..13.Powell 法是以 方向作为搜索方向..14.当有n 个设计变量时;目标函数与n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系..1．不 2..距离.目标函数改变量.梯度 3..三维空间 4..不同的 5..[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7..必要条件 8..][T 26- 9..()[]()k k k k x f x f x ∇∇--12α10．[]b x 2 ;ε<-a b 11.外.内 12...混合 13...逐次构造共轭 14...n+1三 问答题1. 变尺度法的基本思想是什么2. 梯度法的基本原理和特点是什么3．什么是库恩－塔克条件 其几何意义是什么4. 在内点罚函数法中;初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素6. 满足什么条件的方向是可行方向 满足什么条件的方向是下降方向 作图表示..7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系.. 8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用.. 9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点 10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同 如何将多目标问题转化为单目标问题求解12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么 为何要这样选点四.计算题1.用外点法求解此数学模型2 将()22121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式..3 用外点法求解此数学模型 ：()()()12211221min ..00f X x x s tg X x x g X x =+=-≤=-≤4 求出()221122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点..5 用外点法求解此数学模型 ：()()()()31211221min 13..100f X x x s tg X x g X x =++=-+≤=≥6．用内点法求下列问题的最优解：提示：可构造惩罚函数 []∑=-=21)(ln )(),(u u x g r x f r x φ;然后用解析法求解....7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=;并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇;目标函数的梯度[]T f 15.0-=∇;试用简化方法确定一个适用的可行方向..8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min FX=x 12+4x 22;设初始点取为X 0=2 2T ;以梯度模为终止迭代准则;其收敛精度为5..9. 对边长为3m 的正方形铁板;在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽;问如何剪法使水槽的容积最大 建立该问题的优化设计的数学模型.. 10. 已知约束优化问题： 试以[][][]T T T x x x 33,14,1230201===为复合形的初始顶点;用复合形法进行一次迭代计算..机械优化设计综合复习题参考答案一.单项选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16D 17.D 18.A 二 填空1．不 2..距离.目标函数改变量.梯度 3..三维空间 4..不同的 5..[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7..必要条件 8..][T 26- 9..()[]()k k k k x f x f x ∇∇--12α10．[]b x 2 ;ε<-a b 11.外.内 12...混合 13...逐次构造共轭 14...n+1 三 问答题1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度;显着地改进极小化方法的收敛性质..2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行;其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线;从全局寻优过程看速度并不快..3．库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件..库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点*X 处;函数()x F 的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度法向量的非负线性组合..4．初始罚因子0r ;一般来说0r 太大将增加迭代次数;0r 太小会使惩罚函数的性态变坏;甚至难以收敛到极值点..5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点;例如优化问题规模的大小;目标函数和约束函数的性态以及计算精度等..在比较各种可供选用的优化方法时;需要考虑的一个重要因素是计算效率.. 6．可行条件应满足第二式： 7.下降条件应满足第一式：搜索方向应与起作用的约束函数在k x 点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于900..8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态;使之易于求解的技巧..一般可以加速优化设计的收敛;提高计算过程的稳定性.. 9．牛顿法的迭代关系式为：阻尼牛顿法的迭代关系式为： 共轭梯度法的迭代关系式为：牛顿法适合二次型问题;阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子;适合非二次型问题;两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵;计算量大..共轭梯度法用梯度构造共轭方向;仅需梯度计算且具有共轭性质;收敛速度快;不必计算海森矩阵;使用更加方便..10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n 个G 的共轭方向进行一维搜索;最多经过n 次迭代就可找到二次函数的极小点;具有二次收敛性.. 11．单目标问题的解一般是唯一理想解;多目标的解一般是相对理想解..多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法..12．选点原则是插入点应按0.618分割区间..因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布;具有相同的缩短率.. 四.计算题1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案1=x 2．二次函数的矩阵标准形式为C x B Gx x T T++21 答案为121[()]()(0,1,2,)k k kk f fk +-=-∇∇=x x x x⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1222421T x x +[]32x +3 3．参考第六章复习题提示 结果为][T x 00= 4. 用梯度计算极值点 答案为][T 15.1 5. 先构造外点罚函数 答案为][T 01- 6. 先构造内点罚函数 答案为][T 317. 用图解法;先画出约束函数梯度及目标函数梯度;做两者的垂线;与两梯度夹角均大于900的任意方向均可..8. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为[]T 00 9. 设剪掉的正方形边长为1x数学模型为 Min []12)23()(x x x F -=10. 提示 先算三点的目标函数值并排序;将最差点沿其余点中心进行反射;计算反射点函数值并判断可行性.. 答案为][T 5.31。
机械优化设计期末复习题及答案
机械优化设计期末复习题及答案一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
大学期末考试机械优化设计复习题
6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较慢。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是 ,充分条件是该点处的海赛矩阵正定
9. 在可行方向法中，产生可行方向的条件是什么？
答：1．可行性条件
dk与起作用的约束函数在xk点的梯度∇g(Xk)的夹角大于或等于90°：[∇g(Xk)]Tdk≤0
*若迭代点Xk处于J个约束边界的相交处,应同时成立:[∇g(Xk)]Tdk≤0（j=1,2,…J）
2.下降性条件
dk与目标函数在Xk点的梯度∇f(Xk)的夹角大于90°：[∇f(Xk)]Tdk< 0
2．可行搜索方向：是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。
3．设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合
4．.可靠度：
5．收敛性：是指某种迭代程序产生的序列 收敛于
6.非劣解：是指若有m个目标 ，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X，使得另一个目标函数值 比 ，则将此 为非劣解。
9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩
11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题
12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。
一、填空题
1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。
机械优化设计复习题及答案
机械优化设计复习题一.单项选择题1．一个多元函数()F X在X附近偏导数连续,则该点位极小值点的充要条件为A．()*0F X∇= B. ()*0F X∇=,()*H X为正定C．()*0H X= D. ()*0F X∇=,()*H X为负定2.为克服复合形法容易产生退化的缺点,对于n维问题来说,复合形的顶点数K应A．1K n≤+ B. 2K n≥ C. 12n K n+≤≤ D. 21n K n≤≤-3．目标函数Fx=4x21+5x22,具有等式约束,其等式约束条件为hx=2x1+3x2-6=0,则目标函数的极小值为A．1 B．C．D．4.对于目标函数FX=ax+b受约束于gX=c+x≤0的最优化设计问题,用外点罚函数法求解时,其惩罚函数表达式ΦX,M k为 ;A. ax+b+M k{min0,c+x}2,M k为递增正数序列B. ax+b+M k{min0,c+x}2,M k为递减正数序列C. ax+b+M k{maxc+x,0}2,M k为递增正数序列hnD. ax+b+M k{maxc+x,0}2,M k为递减正数序列10C. 13A 16 DCX 在区间x 1,x 3上为单峰函数,x 2为区间中一点,x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点;如x 4-x 2>0,且Fx 4>Fx 2,那么为求FX 的极小值,x 4点在下一次搜索区间内将作为 ; 13 C7.已知二元二次型函数FX=AX X 21T ,其中A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4221,则该二次型是 的; A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为 ;A.递增负数序列B.递减正数序列C.递增正数序列D.递减负数序列 9.多元函数FX 在点X 附近的偏导数连续,∇FX=0且HX 正定,则该点为FX 的 ;A.极小值点B.极大值点C.鞍点D.不连续点X 为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数,若HX 正定,则称FX 为定义在凸集D 上的 ;A.凸函数B.凹函数C.严格凸函数D.严格凹函数10C. 13A 16 D11.在单峰搜索区间x 1 x 3 x 1<x 3内,取一点x 2,用二次插值法计算得x 4在x 1 x 3内,若x 2>x 4,并且其函数值Fx 4<Fx 2,则取新区间为 ;A. x 1 x 4B. x 2 x 3C. x 1 x 2D. x 4 x 312.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点,理论上需进行一维搜索的次数最多为A. n 次B. 2n 次C. n+1次D. 2次 13.在下列特性中,梯度法不具有的是 ;A.二次收剑性B.要计算一阶偏导数C.对初始点的要求不高D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14.外点罚函数法的罚因子为 ;A.递增负数序列B.递减正数序列C.递增正数序列D.递减负数序列 15.内点惩罚函数法的特点是 ;A ．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中C.初始点可以在可行域外D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外16.约束极值点的库恩—塔克条件为∇FX=)X (g i q1i i ∇λ-∑=,当约束条件g i X ≤0i=1,2,…,m 和λi ≥0时,则q 应为 ;A.等式约束数目；B.不等式约束数目；C.起作用的等式约束数目D.起作用的不等式约束数目17 已知函数FX=-1222121x 2x x x 2x 2+-+,判断其驻点1,1是 ;A.最小点B.极小点C.极大点D.不可确定18．对于极小化FX,而受限于约束g μX ≤0μ=1,2,…,m 的优化问题,其内点罚函数表达式为A. ФX, r k =FX-rk11/()gX u u m=∑ B. ФX, r k =FX+rk11/()gX u u m=∑C. ФX, r k =FX-rkmax[,()]01gX u u m=∑ D. ФX, r k =FX-rkmin[,()]01gX u u m=∑19. 在无约束优化方法中,只利用目标函数值构成的搜索方法是A. 梯度法B. Powell 法C. 共轭梯度法D. 变尺度法 10C. 13A 16 D20. 利用法在搜索区间a,b 内确定两点a 1=,b 1=,由此可知区间a,b 的值是 A. 0, B. ,1 C. ,1 D. 0,121. 已知函数FX=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1,则其Hessian 矩阵是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 22. 对于求minFX 受约束于g i x ≤0i=1,2,…,m 的约束优化设计问题,当取λi ≥0时,则约束极值点的库恩—塔克条件为A. ∇FX=∑=∇λm1i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子B. -∇F X= ∑=∇λm1i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子C. ∇FX= ∑=∇λq1i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子,q 为该设计点X 处的约束面数D. -∇FX= ∑=∇λq1i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子,q 为该设计点X 处的约束面数23. 在共轭梯度法中,新构造的共轭方向S k+1为 A. S k+1= ∇FX k+1+βkS K,其中βk为共轭系数 B. S k+1=∇FX k+1－βk S K ,其中βk 为共轭系数 C. S k+1=-∇FX k+1+βk S K ,其中βk 为共轭系数 D. S k+1=-∇FX k+1－βk S K ,其中βk 为共轭系数24. 用内点罚函数法求目标函数FX=ax+b 受约束于gX=c-x ≥0的约束优化设计问题,其惩罚函数表达式为 A. ax+b-r k x -c 1,r k 为递增正数序列 B. ax+b-r kx-c 1,r k 为递减正数序列 C. ax+b+ r k x-c 1,r k 为递增正数序列D. ax+b+r kx-c 1,r k 为递减正数序列25. 已知FX=x 1x 2+2x 22+4,则FX 在点X 0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为 A. 10 B. 4 C. 2 D.1026.在复合形法中,若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可行或优于坏点,则可用A.好点代替坏点B.次坏点代替坏点C.映射点代替坏点D.形心点代替坏点10C. 13A 16 D 27. 优化设计的维数是指A. 设计变量的个数B. 可选优化方法数C. 所提目标函数数D. 所提约束条件数28.在matlab 软件使用中,如已知x=0:10,则x 有______个元素;A. 10B. 11C. 9D. 1229.如果目标函数的导数求解困难时,适宜选择的优化方法是 ;A. 梯度法B. Powell 法C. 共轭梯度法D. 变尺度法 30.在法迭代运算的过程中,迭代区间不断缩小,其区间缩小率在迭代的过程中 ; A ．逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定二 填空1.在一般的非线性规划问题中,kuhn-tucker 点虽是约束的极值点,但 是全域的最优点;2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式;3.当有两个设计变量时,目标函数与设计变量关系是 中一个曲面;4.函数在不同的点的最大变化率是 ;5.函数()2212144f x x x x =+-+,在点()[]132TX = 处的梯度为 ;6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 ; 7．多元函数Fx 在点x 处的梯度▽Fx ＝0是极值存在的 条件; 8．函数Fx=3x 21+x 22-2x 1x 2+2在点1,0处的梯度为 ; 9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 ; 10．用二次插值法缩小区间时,如果p x x <2,p f f >2,则新的区间a,b 应取作 , 用以判断是否达到计算精度的准则是 ;11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近,内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近;12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法; 法是以 方向作为搜索方向;14.当有n 个设计变量时,目标函数与n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系;1．不 2;距离.目标函数改变量.梯度 3;三维空间 4;不同的 5;[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7;必要条件 8;][T 26- 9;()[]()k k k k x f x f x ∇∇--12α10．[]b x 2 ,ε<-a b 11.外.内 12.;混合 13.;逐次构造共轭 14.;n+1三 问答题1. 变尺度法的基本思想是什么2. 梯度法的基本原理和特点是什么3．什么是库恩－塔克条件其几何意义是什么4. 在内点罚函数法中,初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素6. 满足什么条件的方向是可行方向满足什么条件的方向是下降方向作图表示;7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系;8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用;9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点 10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同如何将多目标问题转化为单目标问题求解12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么为何要这样选点四.计算题1.用外点法求解此数学模型2 将()22121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式;3 用外点法求解此数学模型 ：()()()12211221min ..00f X x x s tg X x x g X x =+=-≤=-≤4 求出()221122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点;5 用外点法求解此数学模型 ：()()()()31211221min 13..100f X x x s tg X x g X x =++=-+≤=≥6．用内点法求下列问题的最优解：提示：可构造惩罚函数 []∑=-=21)(ln )(),(u u x g r x f r x φ,然后用解析法求解;;7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=,并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇,目标函数的梯度[]T f 15.0-=∇,试用简化方法确定一个适用的可行方向;8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min FX=x 12+4x 22,设初始点取为X 0=2 2T ,以梯度模为终止迭代准则,其收敛精度为5;9. 对边长为3m 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大建立该问题的优化设计的数学模型; 10. 已知约束优化问题： 试以[][][]T T T x x x 33,14,1230201===为复合形的初始顶点,用复合形法进行一次迭代计算;机械优化设计综合复习题参考答案一.单项选择题13A 16 D 二 填空1．不 2;距离.目标函数改变量.梯度 3;三维空间 4;不同的 5;[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7;必要条件 8;][T 26- 9;()[]()k k k k x f x f x ∇∇--12α10．[]b x 2 ,ε<-a b 11.外.内 12.;混合 13.;逐次构造共轭 14.;n+1 三 问答题1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度,显着地改进极小化方法的收敛性质;2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行,其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线,从全局寻优过程看速度并不快;3．库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件;库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点*X 处,函数()x F 的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度法向量的非负线性组合;4．初始罚因子0r ,一般来说0r 太大将增加迭代次数,0r 太小会使惩罚函数的性态变坏,甚至难以收敛到极值点;5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点,例如优化问题规模的大小,目标函数和约束函数的性态以及计算精度等;在比较各种可供选用的优化方法时,需要考虑的一个重要因素是计算效率; 6．可行条件应满足第二式： 7.下降条件应满足第一式：搜索方向应与起作用的约束函数在k x 点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于900;8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态,使之易于求解的技巧;一般可以加速优化设计的收敛,提高计算过程的稳定性;9．牛顿法的迭代关系式为：阻尼牛顿法的迭代关系式为： 共轭梯度法的迭代关系式为：牛顿法适合二次型问题,阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子,适合非二次型问题,两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵,计算量大;共轭梯度法用梯度构造共轭方向,仅需梯度计算且具有共轭性质,收敛速度快,不必计算海森矩阵,使用更加方便;10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n 个G 的共轭方向进行一维搜索,最多经过n 次迭代就可找到二次函数的极小点,具有二次收敛性;11．单目标问题的解一般是唯一理想解,多目标的解一般是相对理想解;多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法;12．选点原则是插入点应按分割区间;因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布,具有相同的缩短率;四.计算题1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案1=x121[()]()(0,1,2,)k k k k f f k +-=-∇∇=x x x x2．二次函数的矩阵标准形式为C x B Gx x T T ++21 答案为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1222421T x x +[]32x +3 3．参考第六章复习题提示 结果为][T x 00= 4. 用梯度计算极值点 答案为][T 15.1 5. 先构造外点罚函数 答案为][T 01- 6. 先构造内点罚函数 答案为][T 317. 用图解法,先画出约束函数梯度及目标函数梯度,做两者的垂线,与两梯度夹角均大于900的任意方向均可;8. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为[]T 00 9. 设剪掉的正方形边长为1x数学模型为 Min []12)23()(x x x F -=10. 提示 先算三点的目标函数值并排序,将最差点沿其余点中心进行反射,计算反射点函数值并判断可行性; 答案为][T 5.31。
机械优化设计 复习资料
一、填空题1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为______。
2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。
3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。
4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高低高。
5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6. 函数12TT x Hx B x c ++的梯度为____HX+B _____。
7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。
8. 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。
9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。
10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。
11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间___ [2.36 10]______。
13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。
14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --∇∇，其计算量大，且要求初始在级极小点附近位置。
.将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 [][]604-10-21-1-221212121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x 。
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一、填空题1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为______。
2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。
3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。
4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高低高。
5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6. 函数12TT x Hx B x c ++的梯度为____HX+B _____。
7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。
8. 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。
9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。
10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。
11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间___ [2.36 10]______。
13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。
14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --∇∇，其计算量大，且要求初始在级极小点附近位置。
.将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 [][]604-10-21-1-221212121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x 。
15. 存在矩阵H ，向量1d ，2d ，当满足d 1THd 2=0向量1d 和向量2d 是关于H 共轭方向。
16. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有__单调递增___特点。
17. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最佳步长。
18. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为[]1,a b 。
19. 由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题过程中，惩罚因子具体有趋于0变化规律。
20. 寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日乘子法。
21. 优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变小 22. 优化设计中，可行设计点为可行域内的设计点。
23. 方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率。
24. 设()f x 为定义在凸集R 上具有连续二阶导数的函数，则()f x 在R 上为凸函数充分必要条件是海赛矩阵()G x 在R 上处处大于025. 在n 维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n 个。
26. 约束优化问题在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。
27. 外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近边界或等式约束曲面 二、选择题1. 下面___C__方法需要求海赛矩阵。
2. 对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线，判断()[]11,1Tx=为___D_____，()231,22Tx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为________。
3. 内点惩罚函数用于求解____B___优化问题。
4. 拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种__D____。
5. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为____D____。
6. ____D____不是优化设计问题数学模型的基本要素。
7. 变尺度发的迭代公式为()1k k k k k x x a H f x +=-∇，下列不属于k H 必须满足的条件是___C______。
8. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的___A_____。
9. 下面四种无约束优化方法中，____D______在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。
10. 设()f x 为定义在凸集R 上且具有连续二阶导数的函数，则()f x 在R 上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵()G x 在R 上处处_A_____。
11. 通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是___B ____。
12. 一维搜索试探方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度__A____。
13. 下列关于最常用的一维搜索试探方法———黄金分割法的叙述，错误的是C D ，假设要求在区间[],a b 插入两点1a ，2a ，12a a <。
14. 与梯度成锐角的方法为函数值__A___方向，与负梯度成锐角的方向为函数值__B__方向，与梯度成直角的方向为函数值的___C___方向。
15. 二维目标函数的无约束极小点就是___A____。
16. 最速下降法相邻两搜索方向k d 和+1k d 必为向量__B_____。
17. 下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是___A___。
18. 下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是___A____。
19. 设()f x 是定义在凸集D 上具有连续二阶导数的函数，则()f x 在D 上严格凸函数的充要条件是___B____:20. 下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵____A____。
21. 关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是B___。
22. 多元函数的海赛矩阵是其___B__偏导数所形成的对称矩阵。
23. 关于变尺度优化方法的变尺度矩阵k A ，下列说法不正确的是___C___。
24. 关于梯度，下列说法不正确的是___B____。
25. 与梯度成锐角的方向为函数值___A_____方向。
三、判断题1. 二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。
（ⅹ）2. 海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。
（√）3. 当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。
（√）4. 外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。
（√）5. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。
（ⅹ）6. 数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。
（√）7. 海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。
（ⅹ）8. 拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。
（ⅹ）9. 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。
（√）10. 一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。
（ⅹ） 11. 二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。
（√） 12. 海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。
（ⅹ） 13. 外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题（ⅹ） 14. 变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵（ⅹ）15. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。
（√） 四、问答题1.什么是一维搜索问题？答：当方向kd 给定时，求最佳步长k α就是求一元函数)()()(1k k k k k d x f x f αϕα=+=+的极值问题，它称为一维搜索。
2.试述两种一维搜索方向的原理，它们之间有何区别？答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。
这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。
3.共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？对于二次函数，()12TT f X X GX b X c =++,从k X 点出发，沿G 的某一共轭方向k d 作一维搜索，到达1k X+点，则1k X+点处的搜索方向jd 应满足∑∑==++=lk k m j j x h H r x g G r x f r r x 121121))(())(()(),,(φ()()10Tj k k d g g +-=，即终点1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。
3.惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？ 答：惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题中的不等式和等式约束优化函数 经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数----惩罚函数，即求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。
4.与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点。
答：牛顿法对于二次正定函数只需作一次迭代就得到最优解，特别是在极小点附近，收敛性很好、速度快，而最速下降法在极小点附近收敛速度很差。
但牛顿法也有缺点，它要求初始点在最优点附近，否则牛顿法不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。
因此，变尺度法就是在克服了梯度法收敛速度慢和牛顿法计算量、存储量大的特点基础上而发展起来。
6.试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。
答 主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值 .7.写出应用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。
X1=x0+a0d0.答：意义是从X0出发沿某一规定方向d0求函数的极值点，设此点为X1，再从X1出发沿d1方向求函数的极值点X2，如此继续。
8.变尺度矩阵的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点处逼近什么矩阵？并写出其初始形式。
答：搜索方向是拟牛顿方向S （0)=-A(0)▽f(X(k))，条件：(1)为保证迭代公式具有下降的性质，要求变尺度矩阵中的每一个矩阵都是对称正定的。
（2）要求矩阵之间具有简单的形式:k k k EH H +=+1。
（3）要求矩阵必须满足拟牛顿条件。
变尺度矩阵在极小点处逼近海塞矩阵的逆矩阵。
初始形式Hk=I （单位矩阵）。
9.在变尺度法中，变尺度矩阵kH 为什么要求都是正定对称的？答：因为若要求搜索方向kk k g H d -=为下降方向，即要求<kT k d g ，也就是<-k k Tk g H g ，这样>k k T k g H g ,即kH 应为对称正定。