4.1常微分方程的定性与稳定性

定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
i
(t
)
xi
*
(i 1,,n)，
则称 x *是稳定的（稳定性理论中称渐进稳定）；否
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
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当方程组(0)的右端不显含t 时, 即
x F(x)，
(1)
称(1)为自治微分方程组(自治系统), Rn称为相空间.
方程组(1)在相空间中确定了一个速度场， fi ( x)
A
a1 b1
a2 b2
称为系数矩阵
当det A 0时，方程组(5)只有唯一奇点O(0,0)，称为
初等奇点，其稳定性由(5)的特征方程det(A I ) 0 的根 （特征根）决定。
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det(A I ) a1 a2 0 b1 b2
2 (a1 b2 ) (a1b2 a2b1 ) 0
记 p (a1 b2 ), q det A a1b2 a2b1 ,
2 p q 0
1 ,2
1( p 2
)
其中 p2 4q
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定理 3 对于二阶线性系统(3)，平衡点(0, 0)的类型由系数矩
阵 A的特征值1和 2决定： 当 1 2 0，即 p 0，q 0， p2 4q时，是稳定结点； 当0 1 2，即 p 0，q 0， p2 4q时，是不稳定结点； 当 1 0 2，即q 0时，是鞍点，不稳定； 当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时，
§4.1 常微分方程的定性与稳定 性
一、自治系统与相空间
一般方程
x F (t, x),
(0)
x1
f1(t, x)
其中
x
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
表示点 x 处速度的第i 个分量。 (t;t0 , x0 )是速度场中
的一个运动，这一表达式给出了动点在运动时的路
线，称为轨线。轨线也可理解为 x (t;t0 , x0 )在相空
间的投影。
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定义 1 若存在 x* Rn使得F( x*) 0，则称x *是 方程组(1)的平衡点（或奇点）。 x x *称为平衡解。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
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时 f ( x) 0，当0 x x0 时 f ( x) 0，则 x0是方程
(2)的稳定平衡点；否则，x0是方程(2)的不稳定平衡
点.
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三、一阶方程组的平衡点及稳定性
以二阶自治系统为例
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
定理 1 设 x0是方程(2)的平衡点，即 f ( x0 ) 0. 当 f ( x0) 0 时 ， x0 是 方 程 (2) 的 稳 定 平 衡 点 ； 当 f ( x0) 0时， x 0是方程(2)的不稳定平衡点.
定理 2 设 x0是方程(2)在U ( x0)的唯一平衡点，
f ( x)在U ( x0)连续， f ( x0) 0. 如果当 x x0 0
则，称 x *是不稳定的（非渐进稳定的）。
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判定平衡点稳定性的两种方法：
(1) 间接法——求出解的表达式，再由稳定性的定义判 定平衡点的稳定性。
(2) 直接法——不求解，直接利用微分方程的性质判定 平衡点的稳定性
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二、一阶方程的平衡点及稳定性
x f (x)
(2)
连续偏导数，因而满足解的存在唯一性定理的条件， 在相平面的每一点，有且只有方程(4a)或(4b)的一条 积分曲线经过，这些积分曲线方程组(3)在相平面上的 轨线。所以在相平面上，(3)的轨线不能相交。
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
O
p
鞍点区
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2、非线性系统
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
dy g( x, y) 当f ( x, y) 0时
(4a)
dx f ( x, y)
或
dx f ( x, y) 当g( x, y) 0时 dy g( x, y)
(4b)
由于 g( x, y) 或 f ( x, y) 与 f ( x, y)， g( x, y) 一样有 f (x, y) g(x, y)