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五月月考试卷解析

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山东省滕州高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省滕州高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一第四次单元检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一､单选题1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 单位向量1e =C. 零向量与任意向量平行D. 若向量，满足，则a b ||||a b = a b =± 【答案】C 【解析】【分析】对于A ：由方向不一定相同否定结论；对于B ：单位向量.否定结论； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D ：，的方向可以是任意的. 否定结论. ab【详解】对于A ：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A 错误； 对于B ：单位向量.故B 错误； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.正确；对于D ：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. ab||||a b =ab故选：C2. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） ()()23i 4i 7z =+-i z A. -13 B. 13C. -26D. 26【答案】A 【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则化简即可.【详解】∵，的虚部为-13. ()()23i 4i 72613i z =+-=--z 故选：A3. 已知向量，若与共线，则等于（ ）()()2,3,1,2==- a b ma nb + 2a b - m nA. B. C. D. 212-122-【答案】A 【解析】【分析】先得出与的坐标，由共线得出，进而得出答案.ma nb +2a b -147m n =-【详解】解：易得，()()2,32,24,1ma nb m n m n a b +=-+-=-因为与共线， ma nb +2a b -所以， ()()()21324m n m n -⨯-=+⨯即，所以. 147m n =-12m n =-故选：.A 4. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A .B.C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，r 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 2l r =则圆锥和圆柱的高为， h ==所以圆锥的侧面积为，2112π2π2S r l r =⨯⨯=圆柱的侧面积为，222πS r h r =⨯=所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 12S S =故选:C.5. 已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）a b ||2||2b a == |2|2a b -=a b A. B.C.D.30︒45︒60︒90︒【答案】C 【解析】【分析】对等式两边平方即可求得夹角. 22a b -= 【详解】，，|2|2a b -=224a b∴-=即，22444a a b b -⋅+=即， 2244cos 4a a b b θ-+=又， 21b a ==，，48cos 44θ∴-+=解得，， 1cos 2θ=[0,]θπ∈所以. 60θ=︒故选：C6. 已知函数在时取得最大值，则（ ） ()sin f x x x =+x θ=πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即()f x π2π,Z 6k k θ=+∈可求解【详解】因为在时取得最大值， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭x θ=所以，即， ππ2π,Z 32k k θ+=+∈π2π,Z 6k k θ=+∈所以ππππcos 2cos 4πcos 43434k πθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin Z 3434k =⨯-⨯=∈故选：C7. 已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为A BCD -O A BCD -O （ ） A. B.C.D.π2π4π6π【答案】D 【解析】【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.【详解】三棱锥的所有棱长均为2，A BCD -故可把三棱锥放置在正方体中， A BCD -1111A BC D AB CD -如图设正方体的棱长为a ，则，解得2222a a +=a =三棱锥的外接球就是正方体的外接球，A BCD -故球的半径的表面积. O R ==O 24π6πS =⋅=故选：D8. 已知正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论： 1111ABCD A B C D -2,,E F 1,AB AC ①；11B C A E ∥②点到平面； E 11A B C ③三棱锥的体积为； 11A B CE -43④与AFCE 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】对于①，利用线线平行的判定即可；对于②③利用三棱锥的体积公式及等体积法转化即可；对于④利用余弦定理即可. 【详解】如图所示，对于①，在正方体中易知,而,∴不平行，故①错误； 11//B C A D 111A D A E A ⋂=11B C A E ，对于②③，设点到平面的距离为，则E 11A B C d，111111111122223232E A B C C A B E A B CE V d V V ---=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯=∴，②③正确；d =1143A B CE V -=对于④，取中点,连接，∥，即易知与的夹角可化为与的1A E H ,AH FH FH ∴CE AFCE AF HF夹角， 111,22AF A C HF EC AH =====由余弦定理可得 222cos sin 2AF HF AH AFH AFH AF HF +-∠==∠=⋅故⑤正确.综上正确的结论有三个， 故选:C二､多选题9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）,a bA. B.a b a b +≤+ a b a b -≤- C.D. 若，则a b a b ⋅≤⋅ a b > a b > 【答案】AC 【解析】【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，显然正确；对于B ，当为非零向量，且时，显然a b a b +≤+ ,a b a b =-r r，B 错误；20a b a a b -=>-=对于C ，，C 正确；对于D ，向量无法比较大小，D 错误.cos cos a b a b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅故选：AC.10. 在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ） 1111ABCD A B C D -AC BD O A. 平面 1AD //1BOC B. 平面BD ⊥1COC C. 与平面所成的角为 1C O ABCD 45 D. 三棱锥的体积为 1C BOC -23【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行判定定理判断A ，利用线面垂直判定定理判断B ，利用线面夹角的定义判断C ，根据等体积法判断D.【详解】∵平面平面111//,AD BC AD ⊄11,BOC BC ⊂1,BOC 平面，A 对；1∴AD //1BOC因为又平面，平面， ,BD CO ⊥1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以平面11,,BD CC CD CC C ⊥= 1,CD CC ⊂1,COC 平面，B 对；BD ∴⊥1COC 因为平面与平面所成角为 1C C ⊥1,ABCD C O ABCD 1,C OC ∠因为，C 错； 1tan 1C OC ∠=≠145,C OC ∠∴≠ 因为，D 对. 11112212323C BOC C BOC V V --==⨯⨯⨯⨯= 故选：. ABD11. 已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ） ()3sin22f x x x =C A. 图象关于直线对称 C 5π12x =B. 图象的所有对称中心都可以表示为（） C ππ,062k ⎛⎫+⎪⎝⎭k ∈ZC. 函数在上的最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 函数在区间上单调递减 ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案. ()f x【详解】， ()3πsin23sin 223f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A 选项，，所以图象关于直线对称，A 选项正确.5ππ5πππ2123632⨯-=-=C 5π12x =B 选项，由，解得， π2π3x k -=ππ26k x =+所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B 选项正确. C ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z C 选项，， πππ2π0,22333x x ≤≤-≤-≤所以当时，取得最小值C 选项正确. ππ2,033x x -=-=()f x 3⎛⨯= ⎝D 选项，， ππππ,2012623x x -≤≤-≤-≤所以函数在区间上单调递增，D 选项错误. ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABC12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结ABC ,,A B C ,,a b c ()()()::4:5:6b c c a a b +++=论正确的是（ ）A. B.sin :sin :sin 7:5:3A B C =0CA CB ⋅<C. 若，则的面积是15D. 若，则外接圆半径是6c =ABC 8+=b c ABC 【答案】AD 【解析】【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >72a t =52b t =32c t =理可判断A 正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D 正确. 【详解】设，，，， 4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >则，，， 72a t =52b t =32c t =对于A ，，故A 正确； 753sin :sin :sin ::::222A B C a b c t t t ==7:5:3=对于B ，，故B 不正CA CB ⋅ cos b a C =⋅⋅2222a b c ab ab+-=⋅222214925965()24448t t t t =+-=0>确；对于C ，若，则，，，6c =4t =14a =10b =所以，所以， 22219610036cos 221410a b c C ab +-+-==⨯⨯1314=sin C ===所以的面积是，故C 不正确； ABC11sin 141022ab C =⨯⨯=对于D ，若，则，则，则，，， 8+=b c 53822t t +=2t =7a =5b =3c =所以，， 2224925913cos 227514a b c C ab +-+-===⨯⨯sin C ===所以外接圆半径为.故D 正确. ABC2sin cC==故选：AD第II 卷（共90分）三､填空题13. 设i 为虚数单位，若复数，则z 的实部与虚部的和为______． 12iiz +=【答案】1 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据实部和虚部的概念即可求得结果. z 【详解】因为， ()()()12i i 12i 2i i i i z +⨯-+===-⨯-因此，复数的实部与虚部之和为. z 2(1)1+-=故答案为：114. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.()()2,3,5,1a b == b a【答案】 (2,3)【解析】【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解即可.【详解】因为向量，()()2,3,5,1a b ==所以向量在向量的方向上的投影向量为b a，(2,3)a b a a a ⋅⋅== 故答案为：(2,3)15. 如图所示，CD 是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB （高为米）与雕像之间的地面上的点M 处（B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A 及雕像顶C的仰角分20)别是15°和60°，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30°，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．【答案】【解析】【分析】结合正弦定理、三角恒等变换等知识计算出正确答案.【详解】在中，，解得Rt ABM sin15AB AM=sin15AB AM == 其中()sin15sin 454o 534530sin cos 0c s sin 30=-=-， 12==在中，，ACM △301545,1801560105CAM AMC ∠∠=+==--=所以，由正弦定理得，，1804510530ACM ∠=--=sin sin AM CMACM CAM∠∠=故．sin 80sin CAM CM AM ACM ∠∠=⋅=在中，，所以Rt CDM △60CMD ∠=sin6080CD CM === 估算该雕像的高度为故答案为：16. 如图，在棱长为1的正方体中，点P 是线段上一动点（不与，B 重合），则下列命题中： 1A B 1A ①平面平面； 1AA P ⊥11D A P ②一定是锐角； 1APD ∠③；11DC D P ⊥④三棱锥的体积为定值． 11B D PC -其中真命题的有__________．【答案】①③④ 【解析】【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是11A D ⊥1AA P P 的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得1A B 1APD ∠1DC ⊥11A BCD ，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即11DC D P ⊥11B D PC -可知④正确.【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面11A D ⊥1AA P 11A D ⊂11D A P 1AA P ⊥，即①正确；11D A P对于②，当是的中点时，P 1A B易得， 11AP AD D P =====满足，此时是直角，所以②错误；22211AP D P AD +=1APD ∠对于③，连接，如下图所示;11,D C DC由正方体可知，且平面，平面，11DC D C ⊥BC⊥11DCC D 1DC ⊂11DCC D 所以， 1BC DC ⊥又，平面，所以平面；1D C BC C = 1,D C BC ⊂11A BCD 1DC ⊥11A BCD 又平面，所以，即③正确；1D P ⊂11A BCD 11DC D P ⊥对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，11B D PC -1111B D PC P B D C V V --=11B D C 平面，所以点到平面的距离是定值，1//A B 11B D C P 11B D C 所以三棱锥的体积为定值,即④正确.11B D PC -故答案为：①③④四､解答题17. 已知两个非零向量与不共线，a b （1）若，证明：三点共线； (),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=- ,,A B D （2）若，且，求实数的值． ()()1,21,1,a b c a b λ===+ ，b c ⊥ λ【答案】（1）证明见解析（2） 32λ=-【解析】【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可； 5BD AB =（2）根据向量坐标运算公式得到，根据进行坐标运算即可.c 0b c ⋅= 【小问1详解】根据条件可知，，555BD a b BC CD AB +===+ 所以，共线， AB BD又因为，有公共点B ，AB BD 所以A ，B ，D 三点共线．【小问2详解】因为， ()()1,21,1a b == ，所以，()()()1,2,1,2c a b λλλλλ=+=+=++ 因为，所以，解得， b c ⊥ 120b c λλ⋅=+++= 32λ=-所以实数的值为. λ32-18. 已知复数，.12i z =+223i z =-（1）计算.12z z ⋅（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数.5z =z 12z z -z 【答案】（1）74i -（2）或.43i z =+43i z =-【解析】【分析】（1）由复数的乘法运算法则，即可求解；（2）设，由和，根据题意求得的值，即可求得复数.i z a b =+5z =124i z z -=,a b z 【小问1详解】由题意，复数，122,23i i z z =+=-可得212(2i)(23i)46i 2i 3i 74i z z ⋅=+-=-+-⋅=-【小问2详解】设，i(,R)z a b a b =+∈因为，所以，5z =2225a b +=由复数，所以复数的虚部为，12(2i)(23i)4i z z -=+--=12z z -4又因为复数的实部为复数的虚部，所以，z 12z z -4a =又由，解得，所以或.2225a b +=3b =±43i z =+43i z =-19. 已知函数． ()2cos 222x x x f x =（1）求的最小正周期；()f x （2）求在区间上的最大值． ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）2π（2） 1-【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，即可求得周期； （2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得结果. x π4x +【小问1详解】， 2()cos 222x x x f x =-1cos 2x x x x -=-=-πsin(4x =+所以的最小正周期.()f x 2πT =【小问2详解】 ∵，∴， ππ22x -≤≤4π4π3π4x -≤+≤当，即时，ππ42x +=π4x =()max 1f x =-20. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的1AA AB C M 1AC 中点．已知，.14AA AC ==3BC =（1）求圆柱的体积；（2）求证：.BC AM ⊥【答案】（1）25π（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立. BC⊥1AAC 【小问1详解】解：设圆柱的底面半径为，r 因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则， AB C 4AC =3BC =ACBC ⊥由勾股定理可得，所以，， 25r AB ====52r =因此，该圆柱的体积为. 2215ππ425π2r AA ⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】证明：因为平面，平面，所以，，1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1BC AA ⊥又因为，，、平面，所以，平面. AC BC ⊥1AC AA A =∩AC 1AA ⊂1AAC BC ⊥1AAC 因为平面，所以，. AM ⊂1AAC BC AM ⊥21. 已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D（1）证明：平面；//AE 1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AAC C 11//AC AC 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11AC 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC 【小问2详解】在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB AC ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D AC ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂I 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，， ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即， F AF ==1C E =所以． 11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△22. 的内角的对边分别为，已知，． ABC ,,A B C ,,a b c sin 0A A =2a b ==（1）求；c （2）设为边上一点，且，求的面积．D BC AD AC ⊥ABD △【答案】（1）4c =（2【解析】【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； sin 0A A +=23A π=c（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. cos C =AD 【小问1详解】因为，所以，所以．在中，由余弦定理得sin 0A A =tan (0,)=∈A A π23A π=ABC ， 222844cos 3c c π=+-即，解得（舍去），．22240c c +-=6c =-4c =【小问2详解】因为，由余弦定理得，又，即是直2,4b a c ===222cos 2a b c C ab +-==AD AC ⊥ACD 角三角形，所以，cos AC DC C =则，又，则，所以的面积===DC AD 23A π=2326DAB πππ∠=-=ABD △为． 1sin 26S AB AD π=⋅⋅=。

5月份月考试卷答案讲解

5月份月考试卷答案讲解
• ②（人物塑造）“小男孩”对流浪汉遭遇有关切，有 同情；“小男孩”的单纯善良与成人的世故冷漠 （“中年男人”的表面是善行，实际是取乐及“奶奶” 的唾弃，求佛庇佑却无善行）等形成了鲜明对比；
• ③（主题表达）“小男孩”是揭示作品主题的关键， 而“小男孩”没有受中年男人和一心拜佛的奶奶的行 为影响，给予弱势群体应有的人格尊重和关爱，做出 了继承优良传统美德的表率，用善举传递了温暖与希 望。（主要作用每点两分）
• 白居易的诗歌题材广泛，形式多样，语言平易通俗， 有“诗魔”和“诗王”之称。官至翰林学士、左赞善 大夫。公元846年，白居易在洛阳逝世，葬于香山。 有《白氏长庆集》传世，代表诗作有《长恨歌》《卖 炭翁》《琵琶行》等。
• 江楼感旧 • 作者：赵嘏 • 独上江楼思渺然，月光如水水如天。 • 同来望月人何处？风景依稀似去年。
高三5月 月考试卷
一场比周“恋”更大的“恋”爱 刘长军
陌生的旧“情人”
• 这场恋爱里，哪些是“老情人”？ • 诗歌见过？ • 现代文见过？
• 1.B【分析】考查的是词语的辨析能力。
• 【解答】喧宾夺主：比喻客人占了主人的地位或外来 的、次要的事物侵占了原有的、主要的事物的地位。
• 反客为主：指违反了通常的主客关系。也比喻变被动 为主动。题干是说“八卦轶事”不能再“艺术普及图 书馆”占据主要地位，所以空一应选择“喧宾夺主”。
• 阅卷采分点： “小男孩”是小说的线索， 通过其所见所闻，使得人物更为真实2分； 运用对比手法，“小男孩”的单纯善良与 成人的世故冷漠等形成了鲜明对比，展现 出不同的人物性格2分；通过小男孩没有受 到成人的世故冷漠的影响，展现出一种传 统的美德，突显出一种温暖和希望2分。
句中“这三者”就是指横线前面的“资禀

山东省临沂市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省临沂市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一学科素养测评数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，只将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（智能题卡第67页9题改编）1. 复数的模为（ ）11i z =-A.B. 1C.D.12【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.z 【详解】因为，因此，()()1i 11i 1i 1i 211i 2z +==+-=-+z ==故选：A.（导学讲义第69页随堂演练3改编） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧棱长都相等B. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D. 棱台的两个底面相似 【答案】D 【解析】【分析】对于AD ，根据棱台的定义判断，对于B ，由棱锥的性质判断，对于C ，由棱柱的性质判断. 【详解】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正A D确；若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确； B 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确， C 故选：D3. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B 的三等分点，则（ ）E ABC ACF BE AF =A.B.C.D.1233BA BC +4233BA BC +5166BA BC -+2133BA BC -+【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.AF BABC【详解】解：112()22323AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1211223336AC AB AC AC BA =+-=-. 1251()6366BC BA BA BA BC =--=-+故选：C.4. 若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（ ） OAB π2B A O '''∠=2B A ''=B xA. 2B. 4C.D.【答案】D 【解析】【分析】过点作轴交于点，求得到B '//B D y '''x 'D ¢B D ''=B x的距离即为，即可求解.2BD B D ''=【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，OAB B '//B D y '''x 'D ¢又因为且，可得， π,22B B A O A ''''∠'==4B D A π'''∠=B D ''=作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，OAB根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为. BD x ⊥B x 2BD B D ''==故选：D.（导学讲义第10页跟踪训练3改编）5. 设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）21,e e 122AB e e =+ 1227BC e e =+()123CD e e =+ A. 三点共线 B. 三点共线 ,,A C D ,,A B C C. 三点共线 D. 三点共线,,B C D ,,A B D 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，1239AC AB BC e e =+=+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，A 错误；∴λAC CD λ=,,A C D ∴对于B ，，，122AB e e =+ 1239AC AB BC e e =+=+不存在实数，使得成立，三点不共线，B 错误；∴λAB AC λ=,,A B C ∴对于C ，，，1227BC e e =+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，C 错误；∴λBC CD λ=,,B C D ∴对于D ，，，122AB e e =+ 12510BD BC CD e e =+=+，三点共线，D 正确.15AB BD ∴=,,A B D ∴故选：D.6. 将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（ ）A. 10B.154C.D. 5454【答案】A 【解析】【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可． 【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，， 13CD SC AB SA ==15SA =可得，所以圆台的高为．5SC =15510CA SA SC =-=-=故选：A7. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，且ABC ()2tan tan c b B b A -=，则的形状为（ ） 23cos cos cos 24A C A C --=ABC A. 等腰或直角三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得60A = ，即可判断三角形形状.60B = 【详解】由得, ()2tan tan c b B b A -=()2cos sin cos sin c b B A b A B -=由正弦定理得,()2sin sin cos sin sin i c s s n o C B B A B A B -=由于,所以， sin 0B ≠()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B C =+=+=sin 0C ≠ 所以,由于为三角形的内角，所以, 1cos 2A =A 60A = 又得23coscos cos 24A C A C --=, ()()111cos 2cos cos cos cos sin sin cos 222A C A C A C A C A C --=⇒-=-⇒+=-进而可得,而为三角形内角，故， 1cos 2B -=-B 60B = 进而，故三角形为等边三角形， 60C = 故选：B8. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面，使，设与SM 交于点N ，则的值为（ ） α//SB ααSNSMA.B.C.D.13122334【答案】C 【解析】【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据MB AC D ,,ND NA NC SB DN ∥可得，进而可得出答案. //MC AB DM MCDB AB=【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， MB AC D ,,ND NA NC NAC α因为，平面，平面， //SB αSMB DN α⋂=SB ⊂SMB 所以，//SB DN 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以，， 30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=︒12MC BC AB ==所以且， //MC AB 12MC AB =所以， 12DM MC DB AB ==又，所以， //SB DN 12MN DM SN DB ==所以. 23SN SM =故选：C .【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关MN DMSN DB=键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（智能题卡第129页第10题）9. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为 22πRB. 圆锥的侧面积为22πR C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 3:1:2【答案】CD 【解析】【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可. 【点睛】对选项A ，圆柱的侧面积为，故A 错误； 22π24πR R R ⨯=对选项B ，=圆锥的侧面积为，故B 错误. 212π2R R ⨯=对选项C ，球的表面积为，故C 正确.24πR 对选项D ，圆柱的体积，231π22πV R R R =⨯=圆锥的体积，球的体积， 23212π2π33V R R R =⨯⨯=334π3V R =所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故D 正确.333242π:π:π3:1:233R R R =故选：CD（智能题卡第113页第2题改编）10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） ,m n ,a βA. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥B. ，则 //,m ββα⊥m α⊥C. ，则 ,ααβ⊥⊥m //m βD. ，则 ,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】ABC 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D. 【详解】对于A ，在长方体中， 1111ABCD A B C D -平面为平面分别为直线，ABCD 1111,,A B B C α,m n 显然满足，而，此时不成立，A 不正确； ,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线， ABCD 11CDD C 11,,A B αβm 显然满足，而，此时不成立，B 不正确；//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线，ABCD 11CDD C 1,,CC αβm显然满足，而，此时不成立，C 不正确； ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ，因为，由线面垂直的性质知，，D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选：ABC.11. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）||1a =r ||2b =r a b π3A. ·= 1B.a b()a b b -⊥C.D. 在上的投影向量的模为||a b -=b a 32【答案】AC 【解析】【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.【详解】对于A ：，故A 正确；π1cos 12132a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= 对于B ：∵，()21430a b b a b b -⋅=⋅-=-=-≠r r r r r r ∴与不垂直，故B 错误；a b - b对于C ：∵，222||21243a b a a b b -=-⋅+=-+=r r r r r r∴C 正确；||a b -=对于D ：在上的投影向量的模为，故D 错误.b a π1cos 2132b =⨯=r 故选：AC.12. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以1111ABCD A B C D -S 11B D ,,E F G ,,BC DC SC 下结论正确的是（ ）A. 直线//平面 EG 11BDD BB. 平面//平面EFG 11BDD BC. 平面平面 EFG ⊥ABCDD. 与不垂直 SC BD 【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，连接，利用中位线可得出//，从而得到线面平行；B 选项，根据面面平行SB EG SB 的判定并结合A 选项，只需要再证一次线面平行即可；C 选项，根据B 选项的结论容易得出；D 选项，通过证明平面得出矛盾.BD ⊥SOC 【详解】如图，连接分别是的中点，//，又平面平面,,SB E G ,BC SC EG ∴SB SB ⊂ 11,BDD B EG ⊄，直线/平面，所以A 正确；11BDD B ∴EG 11BDD B 连接，分别是的中点，//. 又平面平面，SD ,F G ,DC SC FG ∴SD SD ⊂ 11,BDD B FG ⊄11BDD B //平面，又//平面，且平面平面，FG ∴11BDD B EG 11BDD B EG ⊂,EFG FG ⊂,EFG EG FG G ⋂=平面//平面，故B 正确；∴EFG 11BDD B 在正方体中显然侧棱底面，又平面，故平面平面，根1BB ⊥ABCD 1BB ⊂11BDD B 11BDD B ⊥ABCD 据B 选项：平面//平面，故平面平面，C 选项正确；EFG 11BDD B EFG ⊥ABCD 所以平面平面，故C 正确；，，所以平面EFG ⊥ABCD ,AC BD BD SO ⊥⊥AC SO O = BD ⊥，平面，故，故D 错误.SOC SC ⊂SOC SC BD ⊥故选：ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.（课本第132页第4题（3）问）13. 已知两条相交直线a ，b ，且a //平面，则b 与的位置关系是____________. αα【答案】b //平面或b 与平面相交 αα【解析】 【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交.b α【详解】由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行， ,a b αb α当所在平面与平面相交时，与平面相交. ,a b αb α故答案为: b //平面a 或b 与平面相交.α【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.14. 已知向量满足，且，则与的夹角为__________.,,a b c 3250a b c ++=||2,||4,||2a b c === a b 【答案】##90° π2【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知、向量数量积定义求夹角即222912425a a b b c+⋅+=可.【详解】由题设，则，325a b c +=- 2222(32)912425a b a a b b c +=+⋅+= 所以，则，3696cos ,64100a b ++= cos ,0a b =又，则.,],0π[a b ∈ π,2a b = 故答案为：π2（智能题卡第124页15题）15. 正四棱锥S -ABCD ，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______． 【答案】 43π【解析】【详解】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知=1.在Rt △SO 1C 中， 1112O C AC =∵ SC ，∴ ，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，11SO ==C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为. 34433r π=π点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（智能题卡第100页15题改编）16. 如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面1111ABCD A B C D -E F BC 1CC P 内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.11BCC B 1//A P AEF 1A P【解析】【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意知111,BB B C M N 1,MN BC 1//A MN AEF 点必在线段上，由此可判断P 位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求出结P MN MN 1A OM 果．【详解】如下图所示，分别取棱的中点、，连接，111,BB B C M N 1,MN BC ∵分别为所在棱的中点，则，,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC ∴，又平面， 平面，//MN EF MN ⊄AEF EF ⊂AEF ∴平面．//MN AEF ∵， ，∴四边形为平行四边形，1//AA NE 1AA NE =1AENA ∴，1//A N AE 又平面，平面，1A N ⊄AEF AE ⊂AEF ∴平面，又，1//A N AEF 1A N MN N = ∴平面平面．1//A MN AEF ∵是侧面内一点，且平面，P 11BCC B 1//A P AEF ∴点必在线段上．P MN在中，11Rt A B M 1A M ===同理，在中，可得，11Rt A B N 1A N =∴为等腰三角形． 1A MN 当点为中点时，即 ，此时最短；P MN O 1A P MN ⊥1A P又 1A O ===∴线段． 1A P．四､解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （导学讲义第59页7题改编）17. 已知复数. ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈（1）若复数为纯虚数，求实数的值；z m （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.z m 【答案】（1）32（2） 312m -<<【解析】【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；【小问1详解】，且复数为纯虚数， ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈ z ， 22276020m m m m ⎧-+=∴⎨--≠⎩解得； 32m =【小问2详解】复数在复平面内对应的点在第四象限，z ， 22276020m m m m ⎧-+>∴⎨--<⎩解得. 312m -<<（课本第138页2题改编）18. 如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；1BD AMC（2）若为的中点，求证：平面平面.N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）直线平面，理由见解析1//BD AMC （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；1//OM BD （2）根据四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可得平面，结合1CMD N 1//CM D N 1//D N AMC （1）中结论，由面面平行的判定可证得结论. 【小问1详解】直线平面，理由如下：1//BD AMC 连接，交于点，连接，BD AC O OM四边形为正方形，为中点，又为中点，，ABCD O ∴BD M 1DD 1//OM BD ∴平面，平面，平面.OM ⊂ AMC 1BD ⊄AMC 1//BD ∴AMC 【小问2详解】分别为中点，，又，,M N 11,DD CC 1D M CN ∴=1//D M CN 四边形为平行四边形，，∴1CMD N 1//CM D N ∴平面，平面，平面，CM ⊂ AMC 1D N ⊄AMC 1//D N ∴AMC 由（1）知：平面，又，平面，1//BD AMC 111BD D N D = 11,BD D N ⊂1BND 平面平面.∴//AMC 1BND19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． ABC A B C a b c 2ABC AC S ⋅=△8+=b c （1）求角的大小；A （2）求的最小值． a【答案】（1）3A π=（2）4【解析】【分析】（1，对其进行1cos 2sin 2A bc A =⨯化简、整理，即可求出结果. （2）由余弦定理可得，再结合，并利用基本不等式，即可求出结果.()222a b c bc bc =+--8+=b c 【小问1详解】， 2ABC AC S ⋅= △1cos 2sin 2A bc A =⨯整理得，所以 sin A A =tan A =又，所以． ()0,A π∈3A π=【小问2详解】解：因为，， 2222cos3a b c bc π=+-8+=b c 所以，()222643a b c bc bc bc =+--=-故，即， 22643162b c a +⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭4a ≥当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． 4b c ==a 20. 如图，在中，点D 为边的中点，． ABC AB 14BE BC =（1）若，求；3,1,60AC BC ACB ==∠=︒||CD （2）若，求的值．CO CD λ= λ【答案】（1； （2）. 67【解析】【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答. CD CA CB,（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.{,}CA CB 【小问1详解】在中，点D 为边的中点，则， ABC AB 1()2CD CA CB =+ 因此 222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒= 所以||CD = 【小问2详解】在中，不共线，ABC CA CB ,因为，则，而在上，即有，14BE BC = 34CE CB = O AE ,R EO EA μμ=∈ ()CO CE CA CE μ-=- ，于是，而， 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 22CO CD CA CB λλλ==+ 因此，解得， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的值为. λ67（导学讲义第98页4题改编）21. 如图，已知正方体.1111ABCD A B C D -（1）求证：直线平面；1BD ⊥1AB C （2）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.1111ABCD A B C D -B 1AB C 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接，由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线1,BD BC AC ⊥1BDD 面垂直性质和判定推理作答；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】在正方体中，连接，如图，1111ABCD A B C D -1,BD BC因为四边形为正方形，则，ABCD AC BD ⊥而平面平面，即有， 1DD ⊥,ABCD AC ÌABCD 1DD AC ⊥又平面，11,,BD DD D BD DD =⊂ 1BDD 则平面，而平面，因此， AC ⊥1BDD 1BD ⊂1BDD 1BD AC ⊥同理平面，又平面，1B C ⊥11BC D 1BD ⊂11BC D 即有，因为平面， 11BD B C ⊥11,,AC B C C AC B C ⋂=⊂1AB C 所以平面；1BD ⊥1AB C 【小问2详解】在三棱锥中，，1B AB C -11AC AB CB ===则的面积， 1AB C V 111sin6022AB C S AC AB =⋅=⨯= 的面积， ABC 122ABC S AB BC =⋅=△设点到平面的距离为，B 1ABC h 由得：， 11B AB C B ABC V V --=111133AB C ABC S h S BB ⋅=⋅于是11ABC AB C S BB h S ⋅===所以点到平面. B 1AB C 22. 已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，1111ABCD A B C D -E F BC CD ．若直线与平面所成角为．::CF DF CE EB =1CC 1EFC π6（1）求二面角的平面角的大小．1C EF C --（2）求线段的长度．EF （3）求二面角平面角的余弦值．11C BD A --【答案】（1） π3（2） （3） 13【解析】【分析】（1）确定是二面角的平面角，是直线与平面所成的1C MC ∠1C EF C --1CC M ∠1CC 1C EF 角，计算得到答案.（2）在中，，，得到答案. CEF △CM =2EF CM =（3）确定为二面角的一个平面角，再利用余弦定理计算得到答案.11AOC ∠11C BD A --【小问1详解】如图，作，垂足为，连接，作于，CM EF ⊥M 1C M 1CH MC ⊥H平面，平面，故，，， 1CC ⊥ABCD EF ⊂ABCD 1CC EF ⊥CM EF ⊥1CM CC C ⋂=平面，故平面，平面，故， 1,CM CC ⊂1MCC EF ⊥1MCC 1MC ⊂1MCC 1C M EF ⊥是二面角的平面角，1C MC ∠1C EF C --平面，故，，，平面， CH ⊂1MCC EF CH ⊥1CH MC ⊥1EF MC M = 1,EF MC ⊂1EFC 故平面，CH ⊥1EFC 是直线与平面所成的角，1CC M ∠1CC 1C EF 是直角三角形，由已知，所以． 1C CM 1π6CC M ∠=1π3C MC ∠=【小问2详解】在中，，CEF △CM =2EF CM ==【小问3详解】连接交于点，连接， AC BD O 11,AO C O在中，，在中，， 1B DC 1C O DB ⊥1A DB △1AO DB ⊥故即为二面角的一个平面角，11AOC ∠11C BD A --在中，，， 11AOC △11AO C O ==11A C =，即二面角平面角的余弦值为．222111111111cos 23AO C O AC AOC AO C O +-∠==⋅11C BD A --13。

河北省邯郸高一下学期5月月考数学试题(解析版)

河北省邯郸高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一数学试题说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）z 3i 12i z ⋅=-z A . B. C. D.11-22-【答案】A【解析】【分析】由复数运算可求得，根据虚部定义可得结果.2i z =+【详解】由得：，的虚部为. 3i 12i z ⋅=-()3212i i 12i 12i 2i i i i z -⋅--====+--z ∴1故选：A.2. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93则这组数据的40%分位数、70%分位数分别为（ ）A. 90，94B. 91，93C. 90.5，93D. 90.5，94.2 【答案】C【解析】【分析】将数据从小到大依次排列，而且15×40%=6，15×70%=10.5，故这组数据的40%分位数是第6、7个数的平均数，70%分位数是第11个数．【详解】将数据从小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而15×40%=6，15×70%=10.5，故这组数据的40%分位数是， 1(9091)90.52⨯+=这组数据的70%分位数是93，故选：D ．3. 设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则1OA e = 2OB e = 1e 2e P AB :2AP PB = OP =（ ）A. B. C. D. 121233e e - 122133e e + 121233e e + 122133e e - 【答案】C【解析】 【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.,,OP OA OB 【详解】由， 2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==- ∴. 121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+ 故选：C4. 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） a b 2a b - bA.B. C. D. b 2b - 12b - b -【答案】B【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可0a b ⋅= ()2a b b -⋅ 得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，a b 所以，且，0a b ⋅= 1a b ==r r 所以，()222222a b b a b b a b b -⋅=⋅-=⋅-=- 所以向量在向量上的投影向量为. 2a b -r r b ()22a b b b b b b-⋅⋅=- 故选：B5. 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则等于（ ）ABC A 22()a c b ac +-=BA.B. C. D.120︒60︒45︒30︒【答案】A【解析】 【分析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.222a c b ac +-=-【详解】解：依题意，即，22()a c b ac +-=2222a c ac b ac ++-=所以， 222a c b ac +-=-所以，由于， 2221cos 22a cb B ac +-==-0180B <<︒所以．120B =︒故选：A6. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O 型血的人数比AB 型血的人数多20，则（ ）n n =A. 100B. 120C. 200D. 240 【答案】B【解析】 【分析】由题知，再解方程即可得答案. 422043324332n n -=++++++【详解】解：因为感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4:3:3:2， 所以，抽取样本量为的样本中，O 型血的人数为， AB 型血的人数为， n 44332n +++24332n +++所以，，解得 422043324332n n -=++++++120n =故选：B7. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（mm 10mm <），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的10mm 25mm -25mm 50mm -50mm 100mm -雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为()200100mm 2=，高为的圆锥， ()20015050mm 2300⨯=()150mm 所以积水厚度，属于中雨. ()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯故选：B.8. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）m n αβA. 若，，，则m n ∥m α∥n β∥αβ∥B. 若，，，则m n ⊥m α∥n β∥αβ∥C. 若，，，则m n ∥m α∥n β⊥αβ⊥D. 若，，，则αβ⊥m α∥n β∥m n ∥【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，若，则有，，，故A 选项错误； //.//r l m l n l αβ⋂=m n ∥m α∥n β∥对于B 选项，若，，，则或相交，故B 选项错误；m n ⊥m α∥n β∥αβ∥对于C 选项，若，，，则，故C 选项正确；m n ∥m α∥n β⊥αβ⊥对于D 选项，若，，，则或相交，或异面，故D 选项错误.αβ⊥m α∥n β∥m n ∥故选：C二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，又选错的得0分，部分选对的得2分．）9. 已知，则下列命题正确的是（ ）z C ∈A. 若，则为纯虚数z z =z B. 若，则的虚部为1()i 12i z =-zC. （）且，则i z a =+a ∈R z =1a =D. 若，则的最大值为21z =1z +【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项.【详解】A.若，则是实数，故A 错误；z z =z B.若，则的虚部为1，故B 正确；()i 12i i 2z =-=+zC.，故C 错误；z ==1a =±D.若，则其复数对应的向量的终点在以原点为圆心的单位圆上，的几何意义表示，单1z =z OZ1z +位圆上的点与定点的距离，很显然，点与的距离最大，最大值是2，故D 正确. ()1,0-()1,0()1,0-故选：BD10. 某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿5险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽5样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（ ）A. 周岁以上的参保人数最少54B. 周岁人群参保的总费用最少1829～C. 丁险种更受参保人青睐D. 周岁及以上的参保人数占总参保人数的3020%【答案】AC【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上的人群约占参保人群的543080%，故A 正确，D 错误;由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故 C 正确;由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为1829~20%，所以总费用不一定最少，故B 错误．故选：AC ．11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M 、N 分别为侧棱、的中点，O 是底面四边P ABCD -PA PB 形对角线的交点，下列结论正确的有（ ）ABCDA. 平面B. 平面平面 //PC OMN //PCD OMNC.D. 平面OM PA ⊥PD ⊥OMN 【答案】ABC【解析】 【分析】A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.PA PC ⊥OM PA ⊥【详解】因为O 为底面四边形对角线的交点，ABCD 所以O 为的中点，由M 是的中点，可得，AC PA ∥PC MO 因为在平面，平面，PC ⊄OMN OM ⊂OMN 所以平面，A 正确；//PC OMN 同理可推得平面，//PD OMN 而，PC PD P ⋂=所以平面平面，B 正确；//PCD OMN 因为平面，故不可能垂直平面，D 错误；PD ⊂PCD PD OMN 设该正四棱锥的棱长为a ，则，,===PA PC a AC 所以，PA PC ⊥因为，∥PC MO 所以，C 正确. OM PA ⊥故选ABC ．12. 在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内1111ABCD A B C D -O 1111D C B A E 11ABB A （含边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ）A.BO AC ⊥B. 点存在无数个位置满足平面E OE A 1ACDC. 直线与平面 1CC 1ACDD. 三棱锥体积的最大值为1A ECD -13【答案】ABD【解析】 【分析】根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】对于选项A ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -',OO AC AC BD ⊥⊥因为，所以平面，即，故A 正确； ''OO BD O = AC ⊥'OO B AC OB ⊥对于选项B ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -11//AD BC 因为平面，平面，所以平面，1BC ⊄1ACD 1AD ⊂1ACD 1//BC 1ACD 同理可得：平面，因为，所以平面平面， 1//BA 1ACD 11BA BC B = 11//BAC 1D AC 易知平面，当时，平面，故B 正确；OB ⊂11BAC 1E BA ∈//OE 1D AC 对于选项C ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -1,AC BD BB AC ⊥⊥因为，所以平面，即，同理可得：， 1BD BB B ⋂=AC ⊥1BDB 1AC B D ⊥11B D D C ⊥因为，所以平面，连接，易知， 1AC CD C = 1B D ⊥1ACD 1'D O 11'D O B D F = 则为直线与平面所成角，1DD F ∠1DD 1ACD 在中，， 1'Rt DD OA 111cos 'DD DD F D O ∠===因为，所以直线与平面.故C 错误； 11//CC DD 1CC 1ACD 对于选项D ，根据题意作图如下：在正方体中，1111ABCD A B C D -易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，E 1B 1A ECD -设点到平面的距离为，则，1B 1ACD h 11sin 'h B D DD DDO =-∠由选项B 可知，可得 1cos 'DD O ∠=1sin 'DD O ∠=h =则三棱锥体积取最大值：1A ECD -，故D 正确. 1111333ACD V S h =⋅⋅==A 故选：ABD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限． 32i 1i z +=-i z 【答案】一【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，得到其在复平面内对应的点所在象限. 15i 22z =+【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为， ()()()(32i)1i 32i 15i 1i 1i 1i 22z +++===+--+z 15(,)22故复数在复平面内对应的点位于第一象限．z 故答案为：一．14. 已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准21x 22x 210x 11x =差为_________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据，且，1210,,...,x x x 22212102020x x x ++⋯+=平均数，11x =则其方差 ()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-， ()()222221210111020201011811010x x x x =++⋯+-=-⨯=则其标准差，9S ==故答案为：9.15. 已知向量，向量，若，则的值为______．()4,2a = ()2,1b k k =-+ a b a b +=- k 【答案】5【解析】【分析】由条件求得，再根据数量积的坐标表示求. 0a b ⋅=k 【详解】，两边平方后得，a b a b +=- 0a b ⋅= 即，解得：.()()42210k k -++=5k =故答案为：516. 三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接-P ABC PA ⊥ABC 2PA BC ==30BAC ∠= -P ABC 球表面积为__________．【答案】20π【解析】 【分析】先求出求出到平面的距离，由正弦定理求出的外接圆半径，即可求出球半径，得出表面积.ABC ABC A 【详解】如图，设外接球的球心为O ，设的外接圆圆心为，ABC A 1O 平面，， PA ⊥ABC 1112OO PA ∴==设的外接圆半径为，ABC A R 则由正弦定理可得，即， 224sin sin 30BC R BAC ===∠2R =则在中，1Rt OO A △OA ==则三棱锥的外接球表面积为.-P ABC 2420ππ⨯=故答案为：.20π四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；（2.【答案】（1）π（2）S =侧【解析】【分析】（1）根据弧长公式计算可得；（2）设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为，根据三角形相似求出，即可得解.r r 【小问1详解】因为圆锥的底面半径，母线长，2R =4l =设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则. α2π4ππ4R l α===【小问2详解】设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为，r则，，2R OC ==4AC =AO ==易知 A A ∽AEB AOC，，圆柱的侧面积. ∴C AE EB AO O =2r =∴1r =∴S =侧18. 已知向量.,a b 满足||1,||2a b ==（1）若，求的值； ||a b += |23|a b -（2）若，求的夹角.()0a a b ⋅-= ,a b【答案】（1） （2） π3【解析】【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量的数量积，进而求得，从,a b 223a b - 而得到的值；|23|a b - （2）根据条件利用向量的数量积的运算求得，进而得解. 1cos ,2a b =【小问1详解】由两边平方得，又，||a b += 2225a b a b ++⋅= ||1,||2a b == 代入得，所以， 0a b ⋅= 222234912a ba b a b -=+-⋅ 4194040=⨯+⨯-=所以. |23|a b -=【小问2详解】 ，∴， 2()cos ,12cos ,0a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-= 1cos ,2a b =又∵，∴. [],0,π∈ a b π,3a b = 19. 的内角的对边分别为，向量，，且.ABC A ,,A B C ,,a b c (1,)m a = (,cos cos )n a b C c B =+ m n ∥（1）求；a（2）若，求的周长. π,3A ABC =A ABC A 【答案】（1）1（2）3 【解析】【分析】(1)根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出a.(2)先根据面积公式求出，再结合余弦定理，即可求解.1bc =解：因为，所以，根据正弦定理得， m n∥2cos cos b C c B a +=,即，即,sin cos sin cos sin B C C B a A +=()sin sin B C a A +=sin sin A a A =又，所以.()0,π,sin 0A A ∈≠1a =【小问2详解】,所以 1πsin 23ABC S bc ==A 1bc =根据余弦定理得，,即， 2222cos a b c bc A =+-()()2222133b c bc b c bc b c =+-=+-=+-所以，所以的周长为.2b c +=ABC A 3a b c ++=20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成200[]40,100绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．[)40,50[)50,60L []90,100（1）求频率分布直方图中的值；a （2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．150【答案】（1）0.020a =（2）众数为，平均数为7574.5（3）65【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；1a （2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出百分位数，可得结果.25%解：由题意有，解得.()0.0050.0100.0300.015101a a +++++⨯=0.020a =【小问2详解】 解：应聘者笔试成绩的众数为， 7080752+=应聘者笔试成绩的平均数为．450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数， 1500.75200= 25%前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，0.050.10.15+=0.150.20.35+=设百分位数为，则，解得.25%m ()0.15600.020.25m +-⨯=65m =因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.1506521. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为平行四边形．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点．（1）求证：平面MNQ ∥平面PAD ；（2）求证：BC ∥l ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判定，可得证明；（2）由线面平行的判定和性质，可得证明．【小问1详解】证明：因为M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点，底面ABCD 为平行四边形，所以MN ∥PD ，NQ ∥AD ，又MN ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，则MN ∥平面PAD ，同理可得NQ ∥平面PAD ，又平面MNQ,,MN NQ N MN NQ =⊂ 所以平面MNQ ∥平面PAD .【小问2详解】证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，又BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．22. 四边形ABCD 为正方形，平面，，． PD ⊥ABCD PD//QA 12QA AB PD ==（1）证明：平面PQ ⊥DCQ （2）求二面角的正切值．B PQC --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证明即可；（2）二面角的大小等于二面角与二面角的差，利用二面角的定义B PQ C --B PQ D --C PQ D --分别求出二面角与二面角的大小，最后利用两角差的正切公式即可求解.B PQ D --C PQD --【小问1详解】证明：∵平面ABCD ，,平面，∴面面ABCD ,PD ⊥PD ⊂PQAD PQAD ⊥∵平面平面，面，,PQAD ABCD AD =CD ⊂ABCD CD AD ⊥∴平面，∴,CD ⊥PQAD CD PQ ⊥设，则，，四边形PQAD 是直角梯形，1AB =2PD =1QA AD ==则，∵，∴．PQ QD ==222PQ QD PD +=PQ QD ⊥又∵，平面,平面,且， PQ CD ⊥QD ⊂DCQ CD ⊂DCQ CD QD D ⋂=∴平面DCQ ；PQ ⊥【小问2详解】由（1）平面，∴，，PQ ⊥DCQ PQ DQ ⊥PQ CQ ⊥∴就是二面角的平面角,CQD ∠C PQ D --记，则CQD α∠=tan α==过作交延长线于，连接、,A AE PQ ⊥PQ E BE CE ∵,,,平面,平面, AB AD ⊥DP AB ⊥AD DP D = AD ⊂ADPQ DP ⊂ADPQ ∴平面,BA ⊥ADPQ ∵平面，∴,同理可证平面,PE ⊂ADPQ BA PE ⊥PE ⊥BAE ∴为二面角的平面角，记，则BAE ∠B PQ D --BEA β∠=tan β==于是就是二面角的平面角的大小，βα-B PQ C --则，tan tan tan()1tan tan βαβαβα--===+⋅∴二面角． B PQ C --。

5月月考参考答案

5月月考参考答案

参考答案1．C 2．B【解析】试题分析1．北半球纬度越向北度数越大，南半球越向南纬度数越大，向东增大的东经，向西增大的为西经，图所在的纬度向南增大，为南纬，经度向东增大，为东经，故甲所在纬度为30°S，110°E，答案选C。

2．首先判读出甲、乙、丙、丁四点的地理坐标分别是（110°E，30°S）、（105°E，30°N）、（120°W，40°N）、（120°W，50°S），再将这四点绘制到同一幅图中，根据劣弧定向法，判断出甲在乙的东南、乙在丙的西南、丙在丁的正北、丁在甲的东南。

故答案选B项。

【考点定位】经纬网的应用3．C 4．D【解析】3．根据大洲的经纬度范围，既位于北半球又位于西半球的大洲是北美洲，C对。

亚洲位于东半球，A错。

非洲、南美洲跨南北两半球，B、D错。

4．北回归线穿过的大洲有非洲、大洋洲、北美洲、亚洲，D对。

欧洲纬度较高，没有穿过，南美洲有南回归线穿过，A、B、C错。

【考点定位】世界七大洲的经纬度范围，世界重要纬线特征。

【名师点睛】了解东西半球、南北半球的划分界线。

根据世界七大洲所跨的经纬度范围，判断所在的半球。

了解世界重要纬线穿过的大洲名称。

5．B 6．D 【解析】5．图中通过纬度位置及地形剖面图则判断甲地位于印度半岛，印度半岛为热带季风气候，夏季盛行西南风，西坡为迎风坡，降水多；冬季盛行东北风，东坡为迎风坡，降水较多。

全区降水主要集中在夏季夏季盛行西南风，西南风从印度洋刮来携带大量水汽降水比冬季多。

故B正确。

6．问题是乙地区综合自然地理特征，应该从整体把握和分析。

乙地区最突出的综合自然地理特征是垂直差异显著，A、B、C为地形地势特征。

故D正确。

【考点定位】本题旨在考查东南亚自然地理特征，考查区域定位的能力7．D【解析】试题分析：中亚深居内陆，受海洋影响小，降水稀少，大多数河流属于内流河，如锡尔河、乌拉尔河、阿姆河；但有少数发源于高山冰雪融水的河流外流如海成为外流河，如额尔齐斯河，D正确。

七年级第二学期5月份月考数学试题含解析

七年级第二学期5月份月考数学试题含解析

七年级第二学期5月份月考数学试题含解析一、选择题1．二元一次方程组22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是（ ）A ．02x y =⎧⎨=-⎩B ．02x y =⎧⎨=⎩C ．2x y =⎧⎨=⎩D ．20x y =-⎧⎨=⎩2．某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，可列式为（ ）A ．2256x y x y +=⎧⎨=⎩B ．2265x y x y +=⎧⎨=⎩C ．22310x y x y +=⎧⎨=⎩D ．22103x y x y +=⎧⎨=⎩3．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如，323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---．二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，其中1122a D a b b =，1122x b a D c b =，1122y a c D a c =．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组3137x y x y -=⎧⎨+=⎩时，下面的说法错误．．的是（ ）．A ．311013D -==B ．10x D =C ．方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩D ．20y D =-4．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，AB ∥CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC 的度数可能是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④5．8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．200cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm6．小敏和小捷两人玩“打弹珠”游戏，小敏对小捷说：“把你珠子的一半给我，我就有30颗珠子”．小捷却说：“只要把你的12给我，我就有 30 颗”，如果设小捷的弹珠数为 x 颗，小敏的弹珠数为 y 颗，则列出的方程组正确的是( )A ．230260x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．230230x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．260230x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．260260x y x y +=⎧⎨+=⎩7．甲、乙两人共同解关于x ，y 的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c ，解得，则的值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．498．“若方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．48x y =⎧⎨=⎩B ．912x y =⎧⎨=⎩C ．1520x y =⎧⎨=⎩D ．9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．为了节省空间，食堂里的饭碗一般是摆起来存放的，如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为15cm ，9只饭碗摆起来的高度为21cm ，食堂的碗橱每格的高度为35cm ，则一摞碗最多只能放( )只． A ．20B ．18C ．16D ．1510．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x 只鸡，y 只兔，则列出的方程组为（ ） A ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．302484x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．304284x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩二、填空题11．方程组251036238x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组（填“是”或“不是”）．12．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．13．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____． 14．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A 型、B 型、C 型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C 型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A 型产品进行升级，升级后A 产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B 、C 产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______. 15．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道.16．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是24x y =⎧⎨=⎩和24x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 17．如图，在长方形ABCD 中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD ＝12cm ，FG ＝4cm ，则图中阴影部分的总面积是 __________2cm .18．王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包. 19．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于_____．20．若方程123x y -=的解中，x 、y 互为相反数，则32x y -=_________ 三、解答题21．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ； （2）如何解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢？我们可以把m +5，n +3看成一个整体，设m +5＝x ，n +3＝y ，很快可以求出原方程组的解为 ； （3）由此请你解决下列问题： 若关于m ，n 的方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解，求a 、b 的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)A a b ，(,)B m n 分别是第三象限与第二象限内的点，将A ，B 两点先向右平移h 个单位，再向下平移1个单位得到C ，D 两点（点A 对应点C ）．（1）写出C ，D 两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）（2）连接AD ，过点B 作AD 的垂线l ，E 是直线l 上一点，连接DE ，且DE 的最小值为1．①若1b n =-，求证：直线l x ⊥轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(,)x y 都是这个方程的一个解．在①的条件下，若关于x ，y 的二元一次方程px qy k +=（0pq ≠）的图象经过点B ，D 及点(,)s t ，判断s t +与m n +是否相等，并说明理由．23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,a ），点B 的坐标（b,c ），且a 、b 、c 满足34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩.(1)若a 没有平方根，判断点A 在第几象限并说明理由.(2)连AB 、OA 、OB ，若△OAB 的面积大于5而小于8，求a 的取值范围；(3)若两个动点M （2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M 、N 为端点的线段MN ∥AB ，且MN=AB ．若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 24．a 取何值时(a 为整数），方程组2420x ay x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数，并求这个方程组的解．25．已知：平面直角坐标系中，A (a ，3)、B (b ，6)、C (c ，1)，a 、b 、c 都为实数，并且满足3b －5c ＝－2a －18，4b －c ＝3a ＋10 (1) 请直接用含a 的代数式表示b 和c(2) 当实数a 变化时，判断△ABC 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围(3) 当实数a 变化时，若线段AB 与y 轴相交，线段OB 与线段AC 交于点P ，且S △PAB ＞S △PBC ，求实数a 的取值范围.26．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时,采用了一种“整体代换”的解法:将方程②变形:4105x y y ++=，即()2255x y y ③++=把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-，把1y =-代入①,得4x =，∴原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩请你解决以下问题:模仿小军的“整体代换法”解方程组3259419x y x y ；-=⎧⎨-=⎩(2)已知x y 、满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①，②求224x y +与xy 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可． 详解：22x y x y +⎧⎨--⎩＝①＝②，①+②得：2x=0， 解得：x=0，把x=0代入①得：y=2， 则方程组的解为02x y ⎧⎨⎩＝＝， 故选B ．点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2．A解析：A【分析】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据题意得：22 56x yx y+=⎧⎨=⎩．故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．D解析：D【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．【详解】A、3113D-==3×3-（-1）×1=10，计算正确，不符合题意；B、D x=1×3-（-1）×7=10，计算正确，不符合题意；C、方程组的解：x=102011010y==，=2，计算正确，不符合题意．D、D y=3×7-1×1=20，计算错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查二元一次方程组的解，理解题意，直接运用公式计算是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.【详解】E点有4中情况，分四种情况讨论如下：由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE 1C=β-α过点E 2作AB 的平行线，由AB ∥CD ， 可得∠1=∠BAE 2=α,∠2=∠DCE 2=β ∴∠AE 2C=α+β由AB ∥CD ，可得∠BOE 3=∠DCE 3=β ∵∠BAE 3=∠BOE 3+∠AE 3C ， ∴∠AE 3C=α-β 由AB ∥CD ，可得∠BAE 4+∠AE 4C+∠DCE 4=360°， ∴∠AE 4C=360°-α-β∴∠AEC 的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.【点睛】此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.5．A解析：A 【分析】设长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ，依据图形中所示的小长方形的长与宽之间的关系，长＝3×宽，以及长方形的面积＝24008cm 2，可以列出方程组，解方程组即可求得x ，y 的值，再求矩形ABCD 的周长． 【详解】解：设长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ，根据题意得x 324008yxy =⎧⎨=÷⎩， 解之得x 3010y =⎧⎨=⎩，则矩形ABCD 的周长为2×（60+40）＝200cm ． 故选A ． 【点睛】本题考查了图形与二元一次方程组，正确找到数量关系列出方程组是解题的关键.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题中的等量关系：①把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子； ②把小敏的12给小捷，小捷就有30颗.列出二元一次方程组即可. 【详解】解：根据把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子，可表示为y+2x=30，化简得2y+x=60；根据把小敏的12给小捷，小捷就有30颗.可表示为x+y2=30，化简得2x+y=60. 故方程组为：260260x y x y +=⎧⎨+=⎩故选：D. 【点睛】本题首先要能够根据题意中的等量关系直接表示出方程，再结合答案中的系数都是整数，运用等式的性质进行整理化简.7．B解析：B 【解析】 【分析】将x =2，y =﹣1代入方程组中，得到关于a 与b 的二元一次方程与c 的值，将x =3，y =1代入方程组中的第一个方程中得到关于a 与b 的二元一次方程，联立组成关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，即可确定出a ，b 及c 的值． 【详解】 把代入得：，解得：c =4，把代入得：3a +b =5，联立得：，解得：，则（a +b +c ）2=（2﹣1+4）2=25．故选B ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．D解析：D 【解析】∵方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 的解是34x y =⎧⎨=⎩，∴111222985985a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，两边都除以5得：11122298559855a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 对照方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可得，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．9．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：设1个碗的高度为xcm ，没加一个碗的高度增加的高度为ycm ，列方程组515{821x y x y +=+= ，解得52x y =⎧⎨=⎩，设可摆k 个碗，则5+2k≤35，解得：k≤15， 故选D ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．10．B解析：B 【分析】设这个笼中的鸡有x 只，兔有y 只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组即可． 【详解】解：若设笼中有x 只鸡，y 只兔，根据题意可得：30 2484 x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组是解决问题的关键．二、填空题11．是【分析】根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．【详解】解：如果方程组中含有三解析：是【分析】根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．【详解】解：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．所以251036238x y zx z⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩是三元一次方程组；故填：是．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的定义．12．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【详解】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且解析：【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【详解】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝1089610--y z＝3(3632)10--y z，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝2623-z，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝232（舍）或z＝10或z＝172（舍）或z＝7或z＝112（舍）或z＝4或z＝52（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝1623-z，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝132（舍）或z＝5或z＝72（舍）或z＝2或z＝12（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝623-z，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝32（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．【点睛】此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．13．536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1解析：536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，分三种情况讨论：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c ﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10，求出a、b、c的值，即可得出最大三位数.【详解】∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.∵a、b、c是整数，(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，∴有三种情况：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10.∴要使三位数最大，首先要保证a尽可能大.当|a﹣2|+|a﹣4|=4时，解得：a=1或a=5；当|a﹣2|+|a﹣4|=2时，解得：2≤a≤4；∴a=5.当a=5时，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5.解得：0≤b≤3，1≤c≤6，∴由a、b、c组成的最大三位数为536.故答案为：536.【点睛】本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键.14．34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意解析：34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B 型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝34%.【详解】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意得：20%ax30%ay45%az35%a(x y z)3(x y z)z7++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩，第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，∴第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝0.30.30.451.5x y zx y z++++＝10.30.30.45311.53z z zz z z⨯++⨯++＝34%，故答案为：34%.【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.15．【分析】本题可设x道难题，y道中档题，z道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档解析：【分析】本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．【详解】设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

高一数学5月月考试题含解析

高一数学5月月考试题含解析

智才艺州攀枝花市创界学校上杭一中二零二零—二零二壹第二学期5月月考高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上〕21x >的解集是〔〕A.{}1x xB.{}|1x x >±C.{}|11x x -<<D.{1x x 或者}1x <- 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式求解即可 【详解】不等式x 2>1， 移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：〔x +1〕〔x ﹣1〕>0， 那么原不等式的解集为{x |x ＜-1或者x>1}． 应选：D ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法，考察了转化的思想，是一道根底题，也是高考中常考的计算题．ABC ∆中，2a =，那么cos cos b C c B +=〔〕A.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理把cos,cosC B用三边表示出来代入待求值式化简即可．【详解】b cos C＋c cos B＝b·2222a b cab+-＋c·2222c a bac+-＝222aa＝a＝2.【点睛】在边角混合出现的式子中，可用正弦定理或者余弦定理化边为角或者化角为边，然后用相应的公式化简变形．3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头〔最少一层〕几盏灯？〞〔〕A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设塔顶的1a盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7=381=71121-2a，解得13a=．应选：D．【点睛】此题考察等比数列的首项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．l 是直线，α，β是两个不同的平面〔〕A.假设l α，l β，那么αβB.假设l α，l β⊥，那么αβ⊥C.假设αβ⊥，lα⊥，那么l β D.假设αβ⊥，lα，那么l β⊥【答案】B 【解析】【分析】.【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l ⊂β，故C 错；对于D ．假设α⊥β，l∥α，假设l 平行于α，β的交线，那么l∥β，故D 错． 应选:B ． 【点睛】5.圆心和圆上任意两点可确定的平面有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.1个或者无数个 【答案】D 【解析】 【分析】按三点是否一共线讨论，利用平面的根本性质及推论能求出结果． 【详解】假设圆心和圆上两点一共线，那么可确定无数个平面假设圆上任意三点不一共线，∴由不一共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个． 应选：D ．【点睛】此题考察平面个数确实定，是根底题，解题时要认真审题，注意平面的根本性质及推论的合理运用．{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么10a =〔〕A.2ln10+B.29ln10+C.210ln10+D.11ln10+【答案】A 【解析】 【分析】由得a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭由此利用累加法能求出a n ,那么10a 可求 【详解】在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭∴a n ＝a 1+〔a 2﹣a 1〕+〔a 3﹣a 2〕+…+〔a n ﹣a n ﹣1〕＝2+ln 2+33lnln2ln 22121n n n n ⎛⎫++=+⨯⨯⨯⎪--⎝⎭＝2+lnn ，故10a =2+ln10应选：A【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．ABC ∆中，假设22cos 2Ab bc =+，那么ABC ∆为〔〕 A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰或者直角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，整理后得到a 2+c 2＝b 2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【详解】∵22cos2A b c b += ∴1cos 1cA b+=+,∴cos A=c b，又根据余弦定理得：cos A=2222b c a bc+-，∴b 2+c 2﹣a 2＝2c 2，即a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形． 应选：D ．【点睛】此题考察了三角形形状的判断，考察二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；纯熟掌握公式及定理是解此题的关键．x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，那么实数m 的取值范围为〔〕 A.(,2)(4,)-∞-⋃+∞ B.(,4)(2,)-∞-+∞C.(2,4)-D.(4,2)-【答案】B 【解析】 【分析】 由题222x ym m <++有解，利用根本不等式求x+2y 的最小值即可求解【详解】由题222x ym m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立那么228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)-∞-+∞应选：B【点睛】此题考察根本不等式的应用，考察不等式有解问题，二次不等式解法，准确计算是关键，是根底题A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目的出如今B 点〔A ，B 两点位于CD 两侧〕时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，那么炮兵阵地与目的的间隔约为〔〕 A.1.1km B.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得出∠CBD ＝60°，在△BCD 中，由正弦定理得出BD ，再在△ABD 中利用余弦定理解出AB 即可． 【详解】如下列图：∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒=故BD=2sin 75 在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105° ∴5232.9km ．故炮兵阵地与目的的间隔为2.9km 应选：C【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察正余弦定理的灵敏运用，准确运算是关键，是中档题P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角为〔〕A.90B.60C.45D.30【答案】C 【解析】 试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB∠即为异面直线PA与BE 所成的角．因为四棱锥CDP -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45应选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】此题考察异面直线所成角，直线与平面所成的角，考察线面垂直，比较根底连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，以下结论中，正确结论的序号是____〔把所有正确结论序号都填上〕. ①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④二面角1D AC D --；⑤四面体11ACB D 的体积等于312a .A.①④B.①③C.③④D.③⑤【答案】B 【解析】 【分析】 逐项分析即可【详解】对①，截面为如下列图的正六边形，故正确；对②11B D 与平面1ACB 相交，故错误；对③，由题1BD ⊥,AC 又1AB ⊥面11A D B ，故1BD ⊥1AB ，所以1BD ⊥平面1ACB ，正确；对④，取AC 中点O,连接11,,,,D O DO D OAC DO AC ⊥⊥故1D OD ∠为二面角的平面角，又112,,tan 22D D a DO D OD ==∴∠=，故错误 对⑤，四面体11ACB D 的体积V=1111111123314323A AB DC CBD D CAD B CAB a a V V V V V a a 正方体--------=-⨯⨯=，故错误应选：B【点睛】此题考察空间几何体的性质，线面平行与垂直的断定，考察推理与计算才能，是中档题{}n a 满足：12a =，111n na a+=-，记数列{}n a 的前n 项之积为n P .，那么2021P =〔〕A.12-B.12C.1D.-1【答案】D 【解析】根据递推公式，考虑数列的周期性，通过详细计算前几项，发现周期性并利用．【详解】12a =，111n na a +=-,得2341,1,22a a a ==-= 数列的项开场重复出现，呈现周期性，周期为3． 且31P =-，2021＝3×673+2，所以2021P =〔﹣1〕673121a a ⨯=-应选：D ．【点睛】此题考察数列的递推公式，数列的函数性质﹣﹣周期性．发现周期性并利用是此题的关键． 二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将最简答案填写上在答题卡相应位置上〕ABD 中，60A ∠=︒，3AB =，2AD =，那么sin ABD ∠=______【答案】7【解析】 【分析】由余弦定理可得BD 的值，由正弦定理可得sin∠ABD 的值．【详解】由余弦定理可得：BD ==∴由正弦定理可得：sin∠ABD AD sin DAB BD ⋅∠==【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．{}n a 的前n 项2nSn n =+，假设(5)n n b n a =-，那么n b 的最小值为______【解析】 【分析】先由2n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值【详解】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n=1,12a =满足上式，故n a =2n,(5)n n b n a =-=()25n n -,对称轴为n=52,故n=2或者3时，n b 最小值为-12故答案为-12【点睛】此题考察由n S 求数列通项，考察数列最值，考察计算才能，是根底题，注意n 为正整数，是易错题P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，那么垂足H 是三角形ABC 的__心【答案】垂直 【解析】 【分析】根据PA ，PB ，PC 两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足H 是△ABC 的垂心．从而选出答案．【详解】∵PH ⊥平面ABC 于H ， ∴PH ⊥BC ， 又PA ⊥平面PBC ， ∴PA ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAH ，∴BC ⊥AH ，即AH 是三角形ABC 的高线， 同理，BH 、CH 也是三角形ABC 的高线，∴垂足H 是△ABC 的垂心．故答案为垂【点睛】此题主要考察了三角形五心，以及空间几何体的概念、空间想象力，线面垂直的判断，属于根底题．P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，那么它的外接球的外表积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，那么x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R== ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积为24142R ． 故答案为：412π． 【点睛】此题考察球内接多面体，考察学生的计算才能，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 1111ABCD A B C D -.〔1〕假设1AD AA =，求异面直线1BD 和1B C 所成角的大小；〔2〕假设三个相邻侧面的对角线长分别为1，求外接球的外表积. 【答案】〔1〕2π；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕连接1BC 证明1B C ⊥面11BD C 即可求解〔2〕利用长方体外接球心在体对角线中点求解即可【详解】〔1〕连接1BC ，因为1AD AA =，那么1B C ⊥1BC ，又11C D ⊥面11BCC B 故11C D ⊥1B C ，又1111C D BC C ⋂=，故1B C ⊥面11BD C ，所以1B C ⊥1BD∴异面直线1BD 和1B C 所成角的大小为2π； 〔2〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么222222123a b c b a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩那么2223a b c ++=，那么2R=，那么外接球的外表积为243R ππ=【点睛】此题考察异面直线的夹角，线面垂直的断定，长方体的外接球，考察空间想象才能，是根底题 〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕答案不唯一，详细见解析.〔Ⅱ〕4a ≤【解析】【分析】〔Ⅰ〕将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.〔Ⅱ〕假设1x =那么a R ∈；假设(]1,4x ∈，那么参变别离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用根本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()20x a x （）--≤，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2x x =； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； 〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔Ⅱ〕对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞,4a ∴≤. 综上4a ≤. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或者根本不等式来求.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 22cos 2A A +=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕(2,3]l ∈【解析】【分析】〔1〕运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；〔2〕运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【详解】〔1〕根据二倍角公式及题意得212cos 2cos 2A A +=，即24cos 4cos 10A A -+=， ∴2(2cos 1)0A -=，.∴1cos 2A =.又∵0A π<<，∴3A π=. 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，c C =. ∴11sin )l b c B C =++=++，∵3A π=，∴23B C π+=， ∴21sin sin3l B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴(2,3]l ∈. 【点睛】此题考察三角函数的化简和求值，考察正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考察正弦函数的图象和性质，考察运算才能，属于中档题．20.如图，ABC ∆1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.〔1〕求证：AE 平面BCD ；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面CDE .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明〔2〕证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的断定定理从而进展证明．【详解】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC=. 所以1DM=，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM 又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE平面BCD . 〔2〕连接AM ，由〔1〕知AE DM ， 又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥， 因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】此题考察了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的断定定理，考察空间想象和推理才能，熟记定理是关键，是一道中档题．{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕求数列13n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕323n na =⋅-；〔2〕1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+- 【解析】【分析】〔1〕利用a n +1＝S n +1﹣S n 即可得到a n +1＝2a n +3，转化为a n +1+3＝2〔a n +3〕，利用等比数列的通项公式即可得出其通项；〔2〕由123n n na n n =⋅-，利用错位相减法求{}2n n ⋅的和即可求解 【详解】〔1〕∵23nn S a n =-，∴1123(1)n n S a n ++=-+ 两式相减，得1123(1)23n nn n S S a n a n ++-=-+-+ ∴11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+， 即1323n n a a ++=+1123S a =-即1123a a =-，∴13a = ∴首项136a +=，公比2q .∴1623323n n n a -=⋅-=⋅- 〔2〕∵123n n na n n =⋅-， ∴()231222322(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++，()2341212223222(123)n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅-++++， ()23122222(123)n n n S n n +-=++++-⋅+++++， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+-. 【点睛】此题综合考察了递推关系求等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法〞、“分组求和〞、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．22.如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.〔1〕求证：AF EF ⊥： 〔2〕在平面AEF 中，是否总存在与平面PAD 平行的直线？假设存在，请作出图形并说明：假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕证明AF ⊥平面PBC 即可证明〔2〕取AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，得平面FGH平面PAD ，由线面平行的性质定理可求 【详解】〔1〕证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥. ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BCAB ⊥.∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥. ∵PB BCB ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ∵EF ⊂平面PBC ，.∴AF EF ⊥.AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，那么平面FGH平面PAD 设AE GH M ⋂=，连接MF ，因为平面FGH 平面PAD ，那么PD ∥平面FGH ，那么PD MF那么直线MF 即为所求直线.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理及性质，面面平行的断定及性质定理，熟记定理，准确推理是关键，是根底题。

七年级数学第二学期5月份月考测试卷含解析

七年级数学第二学期5月份月考测试卷含解析

七年级数学第二学期5月份月考测试卷含解析一、选择题1．若21x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组27ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( )A ．15B ．﹣15C ．16D ．﹣162．某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，可列式为（ ）A ．2256x y x y+=⎧⎨=⎩B ．2265x y x y +=⎧⎨=⎩C ．22310x y x y+=⎧⎨=⎩D ．22103x y x y+=⎧⎨=⎩3．把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式，正确的是（ ） A ．23x y =+B ．32y x +=C ．23y x =-D ．32y x =-4．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得（ ） A ．329557230x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．239557230x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．329575230x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．239575230x y x y +=⎧⎨+=⎩5．12312342345345145125x x x a x x x a x x x a x x x ax x x a ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且12345a a a a a >>>>，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是( )A ．12345x x x x x >>>>B ．42135x x x x x >>>>C ．31425x x x x x >>>>D ．53142x x x x x >>>>6．已知二元一次方程3x-y=5,给出下列变形①y=3x+5②53y x +=③-6x+2y=-10,其中正确的是（ ） A ．②B ．②③C ．①③D ．①②7．新运算“△”定义为(a ，b )△(c ，d )＝(ac +bd ，ad +bc )，如果对于任意数a ，b 都有(a ，b )△(x ，y )＝(a ，b )，则(x ，y )＝（ ） A ．(0，1)B ．(0，﹣1)C ．(﹣1，0)D ．(1，0)8．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（一种圆珠笔至少买一支），恰好花掉30元，则购买方案有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种9．已知方程组222x y kx y +=⎧⎨+=⎩的解满足x+y=2，则k 的算术平方根为（ ）A ．4B ．﹣2C ．﹣4D ．210．由方程组71x m y m +⎧⎨-⎩＝＝可得出x 与y 的关系式是（ ）A ．x+y=8B ．x+y=1C ．x+y=-1D ．x+y=-8二、填空题11．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生C 购买的商品数量是________．12．2018年10月21日，重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕，来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色．组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品，其中甲纪念品5元/件，乙纪念品7元/件，丙纪念品10元/件．要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍，总费用为346元．若使购买的纪念品总数最多，则应购买纪念品共_____件． 13．已知x m y n =⎧⎨=⎩是方程组20234x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则3m +n ＝_____． 14．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道. 15．关于x ，y 的方程组223321x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足不等式组5030x y x y ->⎧⎨-<⎩，则m 的取值范围_____．16．我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活动，为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组，36名志愿者分成了丙、丁两组.甲、丙两组到A 植树点植树，乙、丁两组到B 植树点植树，植树结束后统计植树成果得知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍，A 、B 两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量为整数，则我校学生一共植树________棵.17．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的916种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．18．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共420元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需_____元．19．已知关于x 、y 的方程组343x y ax y a +=-⎧-=⎨⎩，其中31a -≤≤，有以下结论：①当2a =-时，x 、y 的值互为相反数；②当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；③若1x ≤，则 4.l y ≤≤其中所有正确的结论有______(填序号)20．端午节是中华民族的传统节日，节日期间大家都有吃粽子的习惯．某超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量比为3：5：2．根据市场调查，超市决定今年在去年销售量的基础上进货，肉粽增加20%、豆沙粽减少10%、蛋黄粽不变．为促进销售，将全部粽子包装成三种礼盒，礼盒A 有2个蛋黄粽、4个肉粽、2个豆沙粽，礼盒B 有3个蛋黄粽、3个肉粽、2个豆沙粽，礼盒C 有2个蛋黄粽、5个肉粽、1个豆沙粽，其中礼盒A 和C 的总数不超过200盒，礼盒B 和C 的总数超过210盒．每个蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的售价分别为6元、5元、4元，且A 、B 、C 三种礼盒的包装费分别为10元、12元、9元（礼盒售价为粽子价格加上包装费）．若这些礼盒全部售出，则销售额为_____元．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)A a b ，(,)B m n 分别是第三象限与第二象限内的点，将A ，B 两点先向右平移h 个单位，再向下平移1个单位得到C ，D 两点（点A 对应点C ）．（1）写出C ，D 两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）（2）连接AD ，过点B 作AD 的垂线l ，E 是直线l 上一点，连接DE ，且DE 的最小值为1．①若1b n =-，求证：直线l x ⊥轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(,)x y 都是这个方程的一个解．在①的条件下，若关于x ，y 的二元一次方程px qy k +=（0pq ≠）的图象经过点B ，D 及点(,)s t ，判断s t +与m n +是否相等，并说明理由．22．如图①，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，直线OC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程40x y -=的解，直线AC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程26x y +=的解，过C 作x 轴的平行线，交y 轴与点B ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）如图②，点M 、N 分别为线段BC ，OA 上的两个动点，点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N 从点O 以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒，且0＜t ＜4，试比较四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积的大小．23．平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），a ，b 满足2(25)220a b a b ++++-=，将线段AB 平移得到CD ，A ，B 的对应点分别为C ，D ，其中点C 在y 轴负半轴上．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，连AD 交BC 于点E ，若点E 在y 轴正半轴上，求BE OEOC-的值； （3）如图2，点F ，G 分别在CD ，BD 的延长线上，连结FG ，∠BAC 的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H ，求∠G 与∠H 之间的数量关系．24．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：(1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程()22144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 且27m n +=,若(),P m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求隐线s 中的最大值和最小值的和.25．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）若该学校决定用甲、乙、丙三种汽车共15辆同时参与运送，你能求出参与运送的三种汽车车辆数吗？（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送） 26．（1）阅读下列材料并填空：对于二元一次方程组4354{336x y x y +=+=，我们可以将x ，y 的系数和相应的常数项排成一个数表4354()1336，求得的一次方程组的解{x a y b== ，用数表可表示为10)01ab （．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：从而得到该方程组的解为x= ，y= ．（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组236{2x y x y +=+=的过程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a-b）的值．【详解】解：∵21xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程组27ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，∴2227a bb a＝，＝+⎧⎨+⎩解得14ab-⎧⎨⎩＝，＝∴（a+b）（a-b）=（-1+4）×（-1-4）=-15．故选B．【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．2．A解析：A【分析】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据题意得：22 56x yx y+=⎧⎨=⎩．故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．C解析：C【分析】将x看做常数移项求出y即可得．【详解】由2x-y=3知2x-3=y，即y=2x-3，故选C．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．4．B解析：B 【解析】分析：根据题意，确定等量关系为：若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，根据所设未知数列方程，构成方程组即可. 详解：设每个排球x 元，每个实心球y 元， 则根据题意列二元一次方程组得：239557230x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选B ．点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是确定问题中的等量关系，列方程组.5．C解析：C 【分析】本方程组涉及5个未知数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，如果直接比较大小关系很难，那么考虑方程①②，②③，③④，④⑤，⑤①均含有两个相同的未知数，通过12345a a a a a >>>>可得1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小关系．【详解】方程组中的方程按顺序两两分别相减得1412x x a a -=-，2523x x a a -=-，3134x x a a -=-，4245x x a a -=-．∵12345a a a a a >>>>∴14x x >，25x x >，31x x >，42x x >， 于是有31425x x x x x >>>>． 故选C ． 【点睛】本题要注意并不是任何两个方程都能相减，需要消去两个未知数，保留两个未知数的差，这才是解题的关键．6．B解析：B 【分析】根据等式基本性质进行分析即可. 【详解】用x 表示y 为y=3x-5，故①不正确；用y 表示x 为53y x +=，故②正确；方程两边同乘以-2可得-6x+2y=-10，故③正确. 故选B. 【点睛】考核知识点：二元一次方程.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列出方程 {ax by a ay bx b +=+=①②，由①②解得关于x 、y 的方程组，解方程组即可. 【详解】由新定义，知： (a,b)△(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b)，则 {ax by a ay bx b +=+=①②由①+②，得:(a+b)x+(a+b)y=a+b ， ∵a ，b 是任意实数，∴x+y=1，③ 由①−②，得(a−b)x−(a−b)y=a−b ，∴x−y=1，④ 由③④解得，x=1，y=0， ∴(x,y)为(1,0)； 故选D.8．A解析：A 【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解． 【详解】解：设买x 支2元一支的圆珠笔，y 支3元一支的圆珠笔， 根据题意得：2330x y ，且,x y 为正整数，变形为：3023xy，由x 为正整数可知，302x 必须是3的整数倍， ∴当3023x ，即1y =时，13.5x =不是整数，舍去；当3026x ，即2y =时，12x =是整数，符合题意； 当3029x，即3y =时，10.5x =不是整数，舍去；当30212x ，即4y =时，9x =是整数，符合题意； 当30215x ，即5y =时，7.5x =不是整数，舍去； 当30218x ，即6y =时，6x =是整数，符合题意； 当30221x ，即7y =时， 4.5x =不是整数，舍去； 当30224x ，即8y =时，3x =是整数，符合题意； 当30227x，即9y =时， 1.5x =不是整数，舍去；故共有4种购买方案， 故选：A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，然后根据实际问题对解得要求，逐一列举出来舍去不符合题意的即可．9．D解析：D 【解析】试题分析：把两个方程相加可得3x+3y=2+k ，两边同除以3可得x+y=23k+=2，解得k=4，因此k 的算术平方根为2. 故选D.10．A解析：A 【分析】将第二个方程代入第一个方程消去m 即可得． 【详解】71x m y m +⎧⎨-⎩＝①＝②，将②代入①，得：x+y-1=7，则x+y=8，故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．二、填空题11．7件． 【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y解析：7件． 【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答． 【详解】解：设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品． 则有x 2-y 2=48，即（x 十y ）（x-y ）=48．∵x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，∴242x yx y+⎧⎨-⎩＝＝或124x yx y+⎧⎨-⎩＝＝或86x yx y+⎧⎨-⎩＝＝．解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．∴C买了7件，c买了11件．故答案为：7件．【点睛】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．12．62【分析】设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）解析：62【分析】设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）的值，取其最大值即可得出答案.【详解】设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，依题意，得：5x+7×2y+10y＝346，∴x＝346245y-，∵x，y均为非负整数，∴346﹣24y为5的整数倍，∴y的尾数为4或9，∴504xy=⎧⎨=⎩，269xy=⎧⎨=⎩，214xy=⎧⎨=⎩，∴x+y+2y＝62或53或44．∵62＞53＞44，∴最多可以购买62件纪念品．故答案为：62．【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据题意，求出x，y的非负整数解，是解题的关键.13．4【分析】将方程组的解代入得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可完成解答.【详解】解：把代入方程组得： ，①+②得：3m+n ＝4，故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解解析：4【分析】将方程组的解代入20234x y x y -=⎧⎨+=⎩得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可完成解答.【详解】解：把x m y n =⎧⎨=⎩代入方程组得： 20234m n m n -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：3m +n ＝4，故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解的作用.将方程组的解代入方程组的解后，可以求出未知数，然后进行计算；但认真观察整体变换求得的结果，准确率更高.14．【分析】本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档解析：【分析】本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．【详解】设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

福建省泉州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

福建省泉州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一年段五月月考数学科试题（考试时间：120分钟；满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，若，则（）()()2,4,6,a b m ==-()a a b⊥+ m =A. B.C. 0D. 32-1-【答案】A 【解析】【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.()4,4a b m +=-+【详解】因为，由，得，所()()()2,4,6,,4,4a b m a b m ==-+=-+()a ab ⊥+ ()8440m -+⨯+=以． 2m =-故选：A ．2. 已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ） ()f x [)0,∞+()1213f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭a A. B. C. D.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12[,23【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性即可解不等式． 【详解】由已知，解得， 10213a ≤-<1223a ≤<故选：D3. 已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）2i -x ()20,x px q p q R ++=∈pi q +=A. 25B. 5C.D. 41【答案】C 【解析】【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.2i -,p q pi q +【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 2i -x 20x px q ++=所以，所以， ()()2220i p i q -+-+=423pi q i p +=+-所以，所以， 4,23p q p ==-4,5p q ==则，45pi q i +=+=故选：C .4. 设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） m n 、αβ、A. 若，则,m n αα∥∥m n ∥B. 若，则 ,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C. 若，则 ,m n m α⊂∥n α∥D. 若，则 ,m αβα⊂∥//m β【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.【详解】若，则可以平行､相交或异面，故A 错误； ,m n αα∥∥,m n 若与相交，则，故B 错误； ,,,,m n m n m ααββ⊂⊂∥∥n αβ∥若，则或，故C 错误； ,m n m α⊂∥n α∥n ⊂α若，则，故D 正确. ,m αβα⊂∥//m β故选：D.5. 如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆3S 锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（ ）3A. B.C.D.36π27π9π【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的母线长为，题意可知，再利用圆锥的表面积公式进行计算． l 2π33πl l =⨯【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，母线为半径的圆的面积为， l S l 2πS l =又圆锥的侧面积，π3πS rl l ==圆锥侧因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，所以，解得，32π33πl l =⨯9l =所以圆锥的表面积，23π9π336πS S S =+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底故选：A ． 6. 函数的图象大致是（ ） ()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得. ()2f 【详解】的定义域为R ，()f x 因为 ()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭，所以为偶函数，故CD 错误；1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x 又因为，，所以，故B 错误. ()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2210,sin 201e -<>+()20f <故选：A7. 正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点1111ABCD A B C D -,,P Q R 1111,,A D C D BC ,,P Q R 的截面面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】作图作出过点三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积. ,,P Q R 【详解】如图，设AB 的中点为H ，连接HR 并延长，交DA 延长线于E ,交DC 延长线于F ，连接PE 交于G ,连接QF 交 于I ，连接GH,RI ,则六边形PQIRHG 为过点三点的截面，1A A 1C C ,,P Q R由题意可知， ,则 ,AHE BHR A A ≌1AE BR ==故,可知 ,即G 为的中点， 1AGE AGP A A ≌1AG A G =1A A 同理可证I 为的中点，故可知六边形PQIRHG 为正六边形， 1C C，故其面积为 ，即过点三点的截面面积是， 26=,,P Q R 故选：D8. 将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的ABC ∆AD 120BDC ∠= A B C D 、、、O 表面上，则球的表面积为（ ）OA.B. C.D.72π7π132π133π【答案】B 【解析】【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到，再由正弦定理得到2 1.r r =⇒=见图示：AD 是球的弦，，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径． 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，，则（ ）()2,1a = ()1,3b =-A.B.1a b ⋅= 2-=a b C. 与同向的单位向量是D. 向量在上的投影向量是aa b 110b 【答案】ABD 【解析】【分析】由向量的数量积的坐标运算可判断A ；由向量的坐标减法运算和模长计算可判断B ；由单位向量的定义可判断C ；由投影向量的定义可判断D.【详解】对于A ，由题意可得，则A 正确．()21131⋅=⨯-+⨯=a b 对于B ，因为，，所以，所以，则B正确．()2,1a = ()1,3b =-()25,1-=-ab2-=a b 对于C ，与同向的单位向量是，则C 错误．a )2,1==对于D ，向量在上的投影向量是，则D 正确． a b110a b b b bb ⋅⋅=故选：ABD.10. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭π,26⎛⎫⎪⎝⎭称轴间的距离为，则下列各选项正确的是（ ） π2A.π2,2,6A ωϕ===B. 在上单调递增()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.是的一个零点 5π12()f x D. 的图象向右平移个单位得到的图象()f x π62sin2y x =【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可求出，，进而得出，.代入点的坐标，结合2A =πT =2ω=()()2sin 2x x f ϕ=+的范围即可得出，，得出A 项；求出，根据正弦函数ϕπ6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ7π2666x ≤+≤的单调性，即可判断B 项；将代入解析式，即可判断C 项；根据图象平移变换得出解析式，即可判5π12断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，，，所以，，，2A =π22T =πT =2π2πω==所以，. ()()2sin 2x x f ϕ=+又， πππ2sin 22sin 2663f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，，所以，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭ππ2π,32k k ϕ+=+∈Z 所以，. π2π,6k k ϕ=+∈Z 因为，所以，，故A 项正确； π02ϕ<<π6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于B 项，因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤函数在上单调递增，在上单调递减，故B 项错误； sin y x =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C 项，因为，所以是的一个零点，故C 项正5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12()f x 确；对于D 项，将的图象向右平移个单位，可以得到的图()f x π6πππ2sin 22sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦象，故D 错误. 故选：AC.11. 对于，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c A. 若，则一定为等腰三角形 sin2sin2A B =ABC A B. 若，则一定为等腰三角形 sin sin A B =ABC A C. 若，则有两解 ,5π6,4A b a ===ABC A D. 若，则一定为锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据已知可得或，即可判断A 项；根据正弦定理可得，即可判断22A B =22πA B +=a b =B 项；根据已知可推得只有一解，即可判断C 项；根据两角和的正切公式，可推得B ，即可得出D 项.tan tan tan 0A B C ⋅⋅>【详解】对于A 项，由可知，或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=所以，或， A B =π2A B +=所以，为等腰三角形或直角三角形，故A 错误； ABC A 对于B 项，根据正弦定理可得，，所以， sin sin a bA B =sin 1sin a A b B==a b =所以一定为等腰三角形，故B 正确； ABC A 对于C 项，因为，所以，又， a b >A B >sin 20sin 15b A B a <==<所以只有一解，所以，有一解，故C 错误； B ABC A 对于D 项，因为， ()πC A B =-+所以，，()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B+=-+=--整理可得，. tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅因为，所以，tan tan tan 0A B C ++>tan tan tan 0A B C ⋅⋅>所以，都是锐角，所以一定为锐角三角形，故D 正确. ,,A B C ABC A 故选：BD .12. 已知点O 为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r rA.1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u rB. 直线必过边的中点 AO BCC.:3:2AOB AOC S S =△△D. 若，且，则1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥OA =u u r 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法423AO AB AC =++u u u r u u u r u u u r则，化简得到，可判定B 不正确；根据，得到，结2()4OB OC AC OD +=-=- 4AC OD =- 32BE EC =合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的.【详解】如图所示，点O 为所在平面内一点，且，ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得，即，223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r r()()23AO OB OA OC OA =-+- 即，所以，所以A 是正确的；423AO AB AC =+1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，设为的中点，ABC A D BC 由，可得，230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r()2()0AO OC OB OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r 所以，所以直线不过边的中点，所以B 不正确；2()4OB OC AC OD +=-=-AO BC 由，可得且，4AC OD =-4AC OD = //AC OD 所以，所以，可得，所以 14DE OD EC AC ==14DE EC =25EC BC =32BE EC =所以，所以C 正确； 1sin 3212sin 2AOB AOC AD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△由，可得230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 23OA OB OC =+u u r u u u r u u u r 因为，且，1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥ 可得， 222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u uu r u u u r 所以D 是正确的.OA =u u r故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足（是虚数单位），则 ．z ()117i z i +=-i z =【答案】5 【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得， ()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-则． 5=故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 14. 如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.AOB A AOB A【答案】. 16【解析】 【分析】根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积AOB A 公式即可求的面积.AOB A 【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半， ∴的高为8，即， AOB A 184162AOB S =⨯⨯=A 故答案为：.16【点睛】本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题. 15. 图（1）阴影部分是由长方体和抛物线围成，图（2）阴影部分是由半径为3的半圆ABCD 213y x =和直径为3的圆围成的，这两个阴影部分高度相同，利用祖暅原理，可得出图（1）阴影部分绕轴O P y 旋转而成的几何体的体积为______．【答案】## 272π13.5π【解析】【分析】分析图一与图二旋转后的几何体的结构特征，根据祖暅原理，求几何体一的体积. 【详解】图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分， y 将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球，将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体，可得截面都(03)t t <<为圆环，纵截面图如下，几何体一的截面面积为223=93t ππππ⨯--几何体二的截面面积为，22=93t ππππ⨯--又两几何体等高，由祖暅原理可得两几何体的体积相等，又几何体二的体积332144327323322V πππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭所以几何体一的体积, 1272V π=故答案为：272π16. 如图，在Rt △AOC 中，，圆O 为单位圆．3AO CO ==（1）若点P 在圆O 上，，则______________60AOP ∠=︒AP =（2）若点P 在△AOC 与圆O 的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________14PA PC ⋅ 【答案】 ①.②.12⎡⎤--⎣⎦【解析】【分析】（1）根据结合数量积的运算律即可求出；AP =AP （2）法一：根据，结合余弦函数的性()()1,PA PC PO OA PO OC PO OA OC ⋅=+⋅+=++质即可得解.法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）在△AOP 中，，，，3AO =1OP =60AOP ∠=︒，AP OP OA =- 则，AP ====即AP =（2）法一：()()()2PA PC PO OA PO OC PO PO OA OC OA OC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅()11cos ,PO OA OC PO OA OC PO OA OC =+⋅+=+++，1,PO OA OC =++因为，所以，3,π,π4PO OA OC ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦cos ,1,PO OA OC ⎡+∈-⎢⎣ 故的取值范围为．PA PC ⋅12⎡⎤--⎣⎦法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系， 设，，，()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0,3A ()3,0C 所以，，()cos ,3sin PA θθ=-- ()3cos ,sin PC θθ=--则 ()()22cos cos 3sin sin 3cos sin 3cos 3sin PA PC θθθθθθθθ⋅=-+-=+--，()π13cos sin 14θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵，则，∴， π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πsin 4θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦， π1124θ⎛⎫⎡⎤-+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭即．12PA PC ⎡⎤⋅∈--⎣⎦故答案为：（1；（2）.12⎡⎤--⎣⎦【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方； 22a a =（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化； 22a a a a ⋅== = a （3）一些常见的等式应熟记：如，等.()2222a ba ab b ±=±⋅+()()22a b a b a b +⋅-=- 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的表面积；（2）如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体AO 1O 积．【答案】（1）；9π（2）. 158π【解析】【分析】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h ，分别求出侧面积和底面积即可得到答案.（2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩1O AO 下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【小问1详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h由题意，得：，∴，∴2r π=r =3h =∴圆锥的侧面积 16S rl ππ===圆锥的底面积 223S r ππ==∴圆锥的表面积 129S S S π=+=【小问2详解】由（1）可得：圆锥的体积为 211133333V r h πππ==⨯⨯=又圆柱的底面半径为，高为 2r =322h =∴圆柱的体积为 2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭∴剩下几何体的体积为 12915388V V V πππ=-=-=18. 如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.45,60ABC BCD ∠=∠= ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量; ,a b →→,AD CD →→（2）若，求.1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=+)1CD a b →→→=+-1+【解析】【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=a →=【详解】（1）因为，所以，,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD ==所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为，所以， ，1b →=a →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+-⋅==+⎢⎥⎣⎦19. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，为AB ,,C D E 三个可供选择的测量点，点在同一水平面内，与水平面垂直.从以下六个几何量中选择三个进行,B C CD 测量，并根据所选择的几何量测量故宫角楼高度，请写出选择的编号（只需写出一种方案）①D ，E 两点间的距离； ②C ，E 两点间的距离； ③由点观察点A 的仰角； C α④由点观察点A 的仰角； D β⑤和； ACE ∠AEC ∠⑥和.ADE ∠AED ∠【答案】①③④（答案不唯一，也可选择②③⑤） 【解析】【分析】要想求出角楼的高，应该知道其中一边的长度，即应选择①②中的一个，然后在对应的三角形中，找寻其他的量，逐步求解，即可得出答案.【详解】若要求角楼的高即长，必要知道一边长，若知，两点间的距离长，在梯形AB C D CD ABCD 中解和即可，此时可选①③④；若知，两点间的距离即长，则解和ACD A ABC A C E CE ACE △即可得解，此时可选②③⑤.ABC A 若选①③④，由已知可得，， π2ABC BCD ∠=∠=在中，，，， ACD A π2ACD α∠=-π2ADC β∠=+CAD αβ∠=-所以， πsin()sin 2AC CDαββ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，cos sin()AC CD βαβ=⋅-所以，其中各个量均已知；cos sin sin sin()AB AC CD βαααβ=⋅=⋅-若选②③⑤，已知和，则，ACE ∠AEC ∠πCAE ACE AEC ∠=-∠-∠由，sin sin sin()AC CE CEAEC CAE ACE AEC ==∠∠∠+∠所以，sin sin()AECAC CE ACE AEC ∠=⋅∠+∠所以 其中各个量均已知.sin sin sin sin()AEC AB AC CE ACE AEC αα∠⋅==⋅∠+∠其他选择方案均不可求得长.AB 20. 如图：在正方体中，，为的中点.1111ABCD A B C D -2AB =M 1DD（1）求证：平面；1//BD AMC （2）若为的中点，求证：平面平面. N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可证明，再根据线面平行的判定BD AC O OM 1//OM BD 定理即可得证；（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据1CND M 1//D N CM 1//D N AMC 面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】如图1，连接，交于点，连接， BD AC O OM 根据正方体的性质可知，是中点. O BD 因为是的中点，M 1DD 所以在中，有.1DBD △1//OM BD 因为平面，平面， 1BD ⊄AMC OM ⊂AMC 所以，平面. 1//BD AMC 【小问2详解】如图2，连接，1,D N BN 因为为的中点，为的中点， N 1CC M 1DD 所以.1CN D M =根据正方体的性质可知，，所以. 11//CC DD 1//CN D M 所以，四边形为平行四边形， 1CND M 所以.1//D N CM 因为平面，平面，1D N ⊄AMC CM ⊂AMC 所以，平面.1//D N AMC 因为，平面，平面， 111D N BD D = 1D N ⊂1BND 1BD ⊂1BND 所以，平面平面.//AMC 1BND 21. 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+（1）求角A ；（2）从三个条件：①；②；③的面积为周3a =3b =ABC A ABC A长的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.3A π=【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. 222b c a bc +-=A （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选6sin 36π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭l B B ②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 92=+l 【详解】（1）因为， sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+所以，得， ()ba cbc a c-=-+222b c a bc +-=所以，因为，所以. 2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π=（2）分三种情况求解： 选择①，因为，3a =,33Aa π==由正弦定理得sin sin sin b c aB CA===即的周长ABC A 3=++=++l ab c B C233π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭l B B3cos 3B B =++，6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为，所以， 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+ ⎪⎝⎭…即周长的取值范围是. ABC A (6,9]选择②,因为，3b=,33A b π==由正弦定理得=a23sin 3sin 33sin sin 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+B C c B B 即的周长ABCA 92=++=+l a b c992222B B =+=+，92=+因为，所以，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭023B π<<0tan 2B <<即周长的取值范围是.ABC A (6,)+∞选择③. ABC S =A 因为，得， 1,sin 32ABC A S bc A π====A 12bc =由余弦定理得， 22222()3()36a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即的周长，ABCAl a b c b c =++=++因为，当且仅当时等号成立，b c +=…b c ==所以l +=…即周长的取值范围是.ABC A )+∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题.22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向O ()sin cos f x a x b x =+(),OM a b =()f x 量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM（1）设函数，试求的伴随向量；()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(ON = ()f x ()65f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间OM = ()f x ()()2h x f x =()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围.【答案】（1）12OM ⎛= ⎝ （2）sin x =（3）【解析】【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.()g x OM （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得. ()f x ()65f x =πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin x （3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.()h x 【小问1详解】()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin sin sin 22x x x x x =-++=所以.12OM ⎛= ⎝ 【小问2详解】依题意， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由得， ()65f x =π6π32sin ,sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以， ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ1ππsin sin sin 33233x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【小问3详解】的函数解析式， ()f x ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区间的长度为，函数的周期为， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4π()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， 8x π=,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即在区间上的最大值与最小值之差取得()π4h t h t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()π04h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为； 1=其它的对称轴在， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦小值，则最大值与最小值之差为：()sin 2sin 24244h t h t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos 2sin 2224π⎛⎫⎛⎛=+-+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝t t t t故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.。

山东省高二下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省高二下学期5月月考数学试题(解析版)

高二质量检测联合调考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）{}1A x x =>{}2230B x x x =-->A B ⋃=A.B. （1，3）()3,+∞C. D.()(),11,-∞-⋃+∞()(),13,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，然后再求两集合的并集即可.【详解】由，得，解得或， 2230x x -->(1)(3)0x x +->1x <-3x >所以或，{}{22301B x x x x x =-->=<-}3x >因为，{}1A x x =>所以， A B ⋃=()(),11,-∞-⋃+∞故选：C2. “”是“”的（ ）0b a >>()21a b a +>A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，所以，故充分性成立；0b a >>1b a +>()21a b a +>若，不妨令，，此时，，满足， ()21a b a +>1a =12b =()312a b +=21a =()21a b a +>但是，故必要性不成立；a b >故“”是“”的充分不必要条件．0b a >>()21a b a +>故选：B3. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，34思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ） 14A.B.C.D.14345818【答案】C 【解析】【分析】根据全概率公式即可求得答案.【详解】设张三从这4道填空题中随机选择1题，该题有思路为事件, 1A 该题思路不清晰为事件,2A 张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题为事件B ， 则,, 1231(),()44P A P A ==1231(|),(|)44P B A P B A ==由全概率公式可得，张三做对该题的概率为121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A ==+, 3311544448=⨯+⨯=故选：C4. 小明收集了五枚不同的铜钱，准备将其串成精美的挂件（如图），根据不同的排放顺序，不同的串法有（ ）A. 20种B. 25种C. 60种D. 120种【答案】D 【解析】【分析】利用排列数公式可求不同的串法总数.【详解】不同的串法总数即为5个不同铜钱的全排列，其大小为，55A 120=故选：D.5. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且(),(1,2,3,,10)i i x y i = ˆ20.4yx =-，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为2x =(3,1)-(3,1)-(4,8)（ ） A. 0 B.C. 1D. 21-【答案】B 【解析】【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，y x 'y 即可得到残差.【详解】将代入，， 2x =ˆ20.4yx =-220.4 3.6y =⨯-=去除两个样本点和后，所以，，， (3,1)-(3,1)-210582x ⨯'== 3.610982y ⨯'==95ˆ3322a=-⨯=-故去除样本点和后的回归直线方程为． (3,1)-(3,1)-ˆ33yx =-当时，，则样本的残差为． 4x =ˆ3439y=⨯-=(4,8)891-=-故选：B6. 已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（ ） ()24ax bf x x +=+=1x -()f x A. 0 B. C. D.12-14-18-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得，求出，从而可求出和的解析式，再由的正负()()1011f f ⎧-=='⎪⎨⎪⎩,a b ()f x ()f x '()f x '求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值. 【详解】的定义域为，()f x R 由，得， ()24ax bf x x +=+()()222244ax bx a f x x --+'=+因为函数在x ＝－1处取得极大值1， ()24ax bf x x +=+所以，解得，()()()22410141114a b a f a b f -++⎧-='=⎪+⎪⎨-+⎪==⎪+⎩23a b =-⎧⎨=⎩所以，． ()2324x f x x -=+()()()()()2222221426844x x x x f x x x +---'==++令．解得或，令，解得， ()0f x ¢>>4x 1x <-()0f x '<14x -<<所以在和上单调递增，在上单调递减， ()f x (),1-∞-()4,+∞(1,4)-即在处取得极大值，在处取得极小值， ()f x =1x -4x =所以的极小值为． ()f x ()144f =-故选：C7. 流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，A C (|)0.9P A C =．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即(|0.9P A C =()0.005P C =，则（ ） (|)P C A =A.B.C.D.9208192181227108【答案】A 【解析】【分析】求出，,，，由条件概率公式和全概率公式可得答案. ()|P A C ()|P A C ()P C ()P C 【详解】因为，所以, ()|0.9P A C =()()|1|0.1P A C P A C =-=因为，所以， ()0.005P C =()0.995P C =所以,()()()()()()()()()||||P AC P A C P C P C A P A P A C P C P A C P C ⋅==⋅+⋅．0.90.00590.90.0050.10.995208⨯==⨯+⨯故选：A.8. 已知函数恒成立，则的最小值为（ ） ()()2ln 310f x x ax bx =--+≤ba A.B.C. D. 1e1e-12e-13e-【答案】D 【解析】【分析】通过变形得到恒成立，构造函数和，将问题()ln 31x ax b x +≤+()()ln 31x g x x+=y ax b =+转化成直线恒不在图像的下方，用直线的横截距来表示，再结合图形即可得y ax b =+()g x bay ax b =+出结果.【详解】易知，因为恒成立，即恒成立， 0x >()()2ln 310f x x ax bx =--+≤()ln 31x ax b x+≤+令函数，则， ()()ln 31x g x x +=()()2ln 3x g x x-'=当时，，所以在区间上单调递增，10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1(0,3当时，，所以在区间上单调递减，且当时，，所以1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1(,)3+∞13x >()0g x >的图像如图所示，()g x因为恒成立，故当时，直线恒不在图像的下方，很明显()ln 31x ax b x+≤+,()0x ∈+∞y ax b =+()g x 当时不符合题意， a<0当时，令，得，所以当取得最小值时，直线y ＝ax ＋b 在x 轴上的截距最大， 0a >0ax b +=b x a =-ba令，得，如下图，当与在点处相切时，()0g x =13e x =()b y a x a =+()g x1,03e ⎛⎫⎪⎝⎭()ln 31x ax b x+≤+成立，且此时直线y ＝ax ＋b 的横截距最大，故的最小值是． b a 13e-故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在以下4幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系的是（ ）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系即可.【详解】A、B中各点都有线性拟合趋势，其中A样本数据正相关，B样本数据负相关；C中各点有非线性拟合趋势，D中各点分布比较分散，它们不具有线性相关.故选：AB10. 若随机变量X服从两点分布，且，则（）()14P X==A. B.()34E X=(23)3E X+=C. D.()316D X=()413216D X+=【答案】AC【解析】【分析】利用X服从两点分布，根据期望和方差的定义，可判断出AC的正误；再利用期望和方差的运算性质即可判断出BD的正误.【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，故，()14P X==()314P X==所以，，故AC正确，()13301444E X=⨯+⨯=()221333301444416D X⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，，故BD错误．()()3923232342E X E X+=+=⨯+=()()32732991616D X D X+==⨯=故选：AC.11. 已知函数，非零实数，，，满足，()1e xf xx=-0x1x2x3x123x x x<<()()()123f x f x f x⋅⋅<，，则下列结论可能成立的是（）()f x=A. B.123001x x x x<<<<<1230x x x x<<<<C. D.120301x x x x <<<<<10230x x x x <<<<【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数以及导数、零点存在定理研究函数的大致图象，根据已知结合图象进行判断.【详解】因为f （x ）的定义域为，， ()(),00,∞-+∞U ()21e 0xf x x '=+>所以f （x ）在上单调递增，在上单调递增， (),0∞-()0,∞+当时，f （x ）>0，且，f （1）＝e －1>0， (),0x ∈-∞1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以存在，使得．故C 错误． 01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00f x =f （x ）的图象如图所示：因为，所以或 ()()()1230f x f x f x ⋅⋅<123001x x x x <<<<<12300x x x x <<<<或或．故ABD 正确. 12030x x x x <<<<10230x x x x <<<<故选：ABD.12. 已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且R ()f x ()g x ()f x '()g x '1()2x f x g x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 为偶函数，为奇函数，则（ ） (1)g x '+A. B. (1)1f '=142g ⎛⎫'=⎪⎝⎭C. D.322g ⎛⎫'=⎪⎝⎭(2)4g '=【答案】ACD 【解析】【分析】根据，故，利用的对称性结合赋值法可求1()2x f x g x +⎛⎫=+⎪⎝⎭11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()g x '及，故可判断A 的正误，又我们可以得到，赋值后可求(1)0g '=(1)1f '=()2(21)2g x f x ''=--，故可判断B 的正误，最后再结合的对称性可得的值，故可判断CD 的正误. 12g æö¢ç÷ç÷èø()g x '3((2)2g g ''【详解】因为为奇函数，所以 ①，(1)g x '+(1)(1)0g x g x ''-+++=的图象关于点对称，则．()g x '(1,0)(1)0g '=而，则，A 正确． 11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭1(1)(1)112f g ''=+=因为为偶函数，所以，则，即，()f x ()()f x f x -=()()f x f x ''--=()()0f x f x ''+-=故的图象关于原点对称，．()f x '(0)0f '=因为，所以， 11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()2(21)2g x f x ''=--，B 错误．112212222g f ⎛⎫⎛⎫''=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为的图象关于点对称，所以，C 正确．()g x '(1,0)31222g g ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又， []11()2(2)(2)4422g x g x f x f x ⎛⎫''''-++=+--=-⎪⎝⎭故的图象关于点对称，所以 ②． ()g x '1,22⎛⎫-⎪⎝⎭(1)()4g x g x ''++-=-由①②可得即， (1)(2)4g x g x ''+-+=-(1)()4g x g x ''+-=所以，D 正确． (2)4(1)4g g ''=+=故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.的最小值为______． +【答案】 3【解析】【分析】整理式子利用基本不等式求解即可.，10+>， 1113=++-≥=当且仅当a ＝1时，等号成立． 故答案为：314. 在一次高二数学联考中，某校数学成绩．已知，则从全校学()2~80,X N σ(6080)0.25P X ≤≤=生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________．【答案】0.75## 34【解析】【分析】利用正态分布的对称性以及给定的概率可求解. 【详解】因为，()2~80,X N σ所以，， (6080)(80100)0.25P X P X ≤≤=≤≤=(80)0.5P X <=所以. (100)0.50.250.75P X <=+=故答案为：0.75.15. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则()y f x =(0,0)()f x y x=(2,1)(2)f '=________． 【答案】 2【解析】【分析】由点在曲线上得出，切线过点，，得出切线的斜率为，(2,1)()f x y x=(2)2f =(0,0)(2,1)12即，继而得出结果. 22(2)(2)1(2)22f fg '-'==【详解】因为点在曲线上， (2,1)()f x y x=所以，即． (2)12f =(2)2f =因为切线过点，， (0,0)(2,1)所以这条切线的斜率为． 12设，则，()()f x g x x=2()()()xf x f x g x x '-'=，解得． 22(2)(2)1(2)22f fg '-'==(2)2f '=故答案为：216. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A ，B ，C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A 受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是______． 【答案】266 【解析】【分析】这是一道有限制的分配问题，先将6支救援队分成三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，利用排列、组合进行计算求解，再减去不满足的情况数.【详解】若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法， 1142654222C C C A 30A ⋅=其中甲、乙去同一个地方的有种，2242C A 12⋅=所以有N 1＝30－12＝18种不同的安排方法；若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法，1231265322C C C C A 240=其中甲、乙去同一个地方的有种， ()1111244322C +C C C A 64=所以有N 2＝240一64＝176种不同的安排方法；若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法， 1223642333C C C A 90A ⋅=其中甲、乙去同一个地方的有种， 22342322C C A 18A ⋅=所以有N 3＝90－18＝72种不同的安排方法． 故共有N ＝N 1＋N 2＋N 3＝266种不同的安排方法． 故答案为：266.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大． ()na b +（1）求n ；（2）若a ＋b ＝4，求除以3的余数． ()7na b ++【答案】（1）10 （2）2【解析】【分析】（1）根据二项式定理中二项式系数的单调性与最值进行判断求解. （2）利用第（1）的结论以及二项式定理的展开式计算求解. 【小问1详解】由题意可得，展开式中有11项，所以n ＝10． 【小问2详解】由（1）得：n ＝10，又a ＋b ＝4，所以()()101019289101010101073173C 3C 3C 3C 7na b ++=++=+⨯+⨯++⨯++ ．10192891010103C 3C 3C 38=+⨯+⨯++⨯+ 故所求的余数为2．18. 保护知识产权需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方向的研究生更受专利代理公司青睐．通过培训物理方向的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他方向的研究生只能写本专业方面的专利．某大型专利代理公司为了更好、更多地招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向的调查，得到的数据如下表：喜欢专利代理方向就业不喜欢专利代理方向就业男研究生 60 40女研究生8020（1）用频率近似概率，估计从物理方向的研究生中任选人，求至少有人喜欢专利代理方向就业的概32率；（2）根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？ 0.005α=附临界值表及参考公式：α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.8416.6357.87910.828，．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++【答案】（1）98125（2）物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联 【解析】【分析】（1）计算出物理方向的研究生中每人喜欢专利代理方向就业的概率，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）提出零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，计算出的观测0:H 2χ值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】解：由调查问卷知，名物理方向的研究生中有名喜欢专利代理方向就业， 200140所以估计物理方向的研究生喜欢专利代理方向就业的概率为． 710从物理方向的研究生中任选人，设喜欢专利代理方向就业的人数为，3X 则， ()2323737982C 101010125P X ⎛⎫⎛⎫≥=⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即估计从物理方向的研究生中任选人，至少有人喜欢专利代理方向就业的概率为． 3298125【小问2详解】解：零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联．0:H ，()22200408020602009.5247.8791406010010021χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据的独立性检验，可以推断不成立，0.005α=0H 所以物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．0.00519. 已知函数．()24x f x =（1）求曲线y ＝f （x ）在点处的切线方程； (4,(4))f （2）若恒成立，求a 的取值范围． ()f x a ≥【答案】（1）7x －4y －20＝0（2）．3,4∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性得出最小值，即可求出的取值范围. a 【小问1详解】()2x f x '=- ，f （4）＝2． ()744f '∴=则曲线y ＝f （x ）在点处的切线方程为， (4,(4))f ()7244y x -=-即7x －4y －20＝0． 【小问2详解】，()f x '=令函数，． ()1g x =()0g x '=≥所以g （x ）在上单调递增．()0,∞+因为，所以当时，，即， (1)0g =1x >10>()0f x ¢>当时，，即，01x <<10<()0f x '<所以f （x ）在上单调递减，在上单调递增，(0,1)()1,+∞则． ()()314f x f ≥=-因为恒成立，所以． ()f x a ≥34a ≤-故a 的取值范围为．3,4∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦20. 某商家为了促销某商品，制作了一些卡片，卡片共有3种不同的颜色，顾客每次消费满额都随机赠送1张某种颜色的卡片，集齐3张相同颜色的卡片即可兑换该商品一件． （1）求某顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片的概率；（2）设某顾客消费满额次后刚好集齐3张相同颜色的卡片，求的分布列及期望． X X 【答案】（1）23（2）分布列见解析， 409()81E X =【解析】【分析】（1）用古典概型的方法求解；（2）按求分布列的步骤进行求解，进而可求期望. 【小问1详解】顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片包括两种情况： ①4张卡片中有两张同颜色，另外两张各一种颜色； ②4张卡片中有两张同颜色，另外两张也同另一种颜色，故所求概率为． 12122342344C C C C C 233+=【小问2详解】的取值可能为3，4，5，6，7．X ，，331(3)39P X ===1113234C C C 2(4)39P X ===， 1211213423425C C C C C C 8(5)327P X +===，． 112135426C C C C 20(6)381P X ===2216437C C C 10(7)381P X ===的分布列为XX 3 4 5 6 7P 19 29827 20811081．1282010409()345679927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21. 高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价X Y 205Y X =-是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数） （2）将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？附：设随机变量，则的分布列为，．~(,)B n p ξξ()C (1)k k n kn P k p p ξ-==-0,1,2,,k n =L ．111C (1)()(1)1(1)C (1)(1)k k n k n k k n k n p p P k n p k P k p p k p ξξ----+-=+-==+=---【答案】（1）15元 （2）3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．【解析】【分析】（1）确定的可能取值，利用独立事件乘方公式求对应概率，根据确定的可能X |205|Y X =-Y 取值，进而求对应概率，然后求的期望，即可得最低定价． Y （2）由题意知小球落入3号球槽的个数，利用不等式法求最大概率对应值即可. 5~79,16B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ξ【小问1详解】的取值可能为1，2，3，4，5，6．X ，， 511(1)(6)232P X P X ⎛⎫===== ⎪⎝⎭415115(2)(5)C 2232P X P X ⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭．2325115(3)(4)C 2216P X P X ⎛⎫⎛⎫====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以的取值可能为0，5，10，15．|205|Y X =-Y，， 5(0)(4)16P Y P X ====15(5)(3)(5)32P Y P X P X ===+==，． 3(10)(2)(6)16P Y P X P X ===+==1(15)(1)32P Y P X ====的分布列为YY 0 5 10 15P 516 1532 316 132， 5153175()051015 4.71632163216E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=≈则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元， 所以该商品的最低定价约为15元． 【小问2详解】 由（1）得． 5(3)16P X ==进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则．ξ5~79,16B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5(791)()251611115(1)11616kP k k k P k k ξξ+⨯-=-=+=+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，即；25k <()1(1)P k P k ξξ=>=-()(1)P k P k ξξ=>=-当时，，即； 25k =()1(1)P k P k ξξ===-()(1)P k P k ξξ===-当时，，即． 25k >()1(1)P k P k ξξ=<=-()(1)P k P k ξξ=<=-所以当时，，此时这两项概率均为最大值． 25k =(25)(24)P P ξξ===故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．22. 已知函数.e 1()x f x x-=（1）求函数的单调区间；()f x （2）证明：当时，. 0x >()()ln 1f x x x >+【答案】（1）单调递增区间是和(,0)-∞(0,)+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）确定函数定义域，求导得到导函数，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值确定恒成立，得到答案.()0f x ¢>（2）构造函数，求导得到导函数，将导函数设为新函数，再次求导，将导函数设为2e 1()14x x h x x -=--新函数，再次求导，利用隐零点代换得到的单调区间，计算最值得到，再构造函数()h x 2e 114x xx ->+，同理得到，得到证明. ()ln(1)14x F x x =+--ln(1)14xx +<+【小问1详解】函数的定义域为，. ()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()2(1)e 1x x f x x-+'=令函数，.()(1)e 1xg x x =-+()e xg x x '=当时，，在上单调递减； 0x <()0g x '<()g x (,0)-∞当时，，在上单调递增， 0x >()0g x '>()g x (0,)+∞所以，即恒成立， ()(0)0g x g ≥=()0f x ¢>故的单调递增区间是和. ()f x (,0)-∞(0,)+∞【小问2详解】当时，，即当时，. 0x >()ln(1)f x x x >+0x >2e 1ln(1)x x x ->+令，， 2e 1()14x xh x x -=--331(2)e 24()x x x h x x -+-'=令，， 31()(2)e 24xx x x μ=-+-23()(1)e 4x x x x μ'=--令，.23()(1)e 4x x x x ϕ=--3()e 2x x x ϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭当时，，在上单调递减；30ln 2x <<()0x ϕ'<()ϕx 30,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，在上单调递增，3ln2x >()0x ϕ'>()ϕx 3ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭又，， (0)10ϕ=-<2(2)e 30ϕ=->所以存在，使得.0(0,2)x ∈0()0x ϕ=当时，；当时，， 00x x <<()0x ϕ<0x x >()0x ϕ>所以在上单调递减，在上单调递增.()x μ0(0,)x 0(,)x +∞，故当时，；当时，，(0)(2)0μμ==02x <<()0x μ<2x >()0x μ>即当时，；当时，， 02x <<()0h x '<2x >()0h x '>故在上单调递减，在上单调递增.()h x (0,2)(2,)+∞于是，所以.22e 7 2.77()(2)044h x h --≥=>>2e 114x xx ->+令函数，.()ln(1)14xF x x =+--3()4(1)x F x x -'=+当时，；当时，， 03x <<()0F x '>3x >()0F x '<所以在上单调递增；在上单调递减， ()F x (0,3)(3,)+∞则. 7()(3)ln 44F x F ≤=-因为，所以，故，7342e e 4>>=>7ln 44>()(3)0F x F ≤<得. ln(1)14x x +<+综上所述：当时，.0x >()ln(1)f x x x >+【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为和是解题的关键，证明不等式2e 114x xx ->+ln(1)14x x +<+引入中间函数是一个重要技巧，需要熟练掌握.。

河北省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

河北省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一年级5月月考数学试题一、单选题（每题5分，共12题）1. 已知向量，，则（ ）()1,2a =r ()0,1b = a b -=A. B.C.D.()1,3()3,1()1,1()1,1--【答案】C 【解析】【分析】由向量减法的坐标运算求解．【详解】由题设，．(1,2)(0,1)(1,1)a b -=-=故选：C ．2. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥2a b += A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出a b ⊥1220m -+=m 2a b + 2a b +【详解】解：因为向量，，且，()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥所以，解得， 1220m -+=32m =所以，()2,1b =r所以，2(1,2)2(2,1)(3,4)a b +=-+=所以，25a b +== 故选：A3. 若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）a b ()2a b a -⊥ a b A.B.C.D.6π3π2ππ【答案】B 【解析】【分析】先求出，然后用夹角公式求解.12a b ⋅= 【详解】由，得，()2a b a -⊥()20a b a -⋅=r r r所以，所以， 12a b ⋅= 1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅又，所以.[],0,a b π∈,3a b π=r r 故选：B.4. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，1OB O B ''==，故面积为.2OAO A ''==OAOB ⋅=方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 111⨯=故原图的面积为1=故选：A5. 在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为1111ABCD A B C D -M ABCD 1A D 1B M （ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线1B C MC MB 1CB M ∠1A D 所成角大小.1B M 【详解】设正方体的棱长为，连接，，，2a 1B C MC MB 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 11//B C A D 1CB M ∠1A D 1B M而，，，1B C =MC =1B M ===故，所以，22211B C B M CM =+1MB CM ⊥所以为锐角，故， 1cos CB M ∠==1CB M ∠130CB M ∠=︒故选：A.6. 在中，角所对的边分别为．若，则ABC A A B C ，，a b c ，，1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-ABC A 为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理，化简得，进而对进行分类讨论，分为①sin cos sin cos 0A C B C -=cos C ；②两种情况进行求解，即可得到答案.cos 0C =cos 0C ≠【详解】，利用正弦定理，可得， 1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B -=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A BC A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=①时，有等式成立，此时；cos 0C =2C π=②时，有，因为，所以，.cos 0C≠sin sin A B =0,0A B ππ<<<<A B =故为等腰或直角三角形. ABC A 故选：D7. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】【分析】作出遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答. 【详解】过C 作平面于E ，连DE 并延长交AB 于O ，连CO ，如图，CE ⊥ABD依题意，，而，，则平面，又平面，有⊥DO AB CE AB ⊥CE DO E ⋂=AB ⊥COD CO ⊂COD ，CO AB ⊥因此，是遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，令，而， COD ∠COD α∠=40CDO ∠= 由于AB 长一定，要使遮阴影面ABD 面积最大，当且仅当最长，DO在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当COD △CO sin(40)sin 40sin 40CO COOD α+=≤，即取“=”， sin(40)1α+= 50α= 所以遮阳棚ABC 与地面所成的角应为. 50 故选：C8. 锐角中，已知，则取值范围是（ ）ABC ∆3a A π==223b c bc ++A. B.C.D.(]5,15(]7,15(]7,11(]11,15【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则223b c bc +=+2sin ,2sin b B c C ==4sin sin bc B C =，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. bc 【详解】，由余弦定理得：，即，3a A π==∴2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+由正弦定理得：，， 2sin sin sin a b cA B C===2sin ,2sin b B c C ∴==，4sin sin 4sin sin 2sin 2136bc B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴==+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由得：，， 022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62B ππ<<52,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 1sin 21,2326B bc π⎛⎫∴<-≤∴<≤ ⎪⎝⎭.(]2234311,15b c bc bc ∴++=+∈故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.二、多选题（每题选全得5分，错选不得分，漏选得2分）9. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（ ）b ∈R ()1i 32i a b --=-()1i a bz -=+A. z 的虚部是B.2i 2z =C. D. z 对应的点在第二象限2i z =-【答案】BC 【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.【详解】由复数相等可得解得所以，3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩1,3,a b =-⎧⎨=-⎩2(1i)(1i)2i a bz -=+=+=对于A ，的虚部是2，故A 错误； z 对于B ，，故B 正确； |||2i |2z ==对于C ，，故C 正确；2i z =-对于D ，对应的点在虚轴上，故D 错误. z 故选：BC10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，）.a b2a b ==a b +=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C.D. 在上的投影向量为a b a b -<+ a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ,解得,故A 错误22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+2⋅= a b ,，·cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确, ()0π，，a b ∈a ∴r bπ3故C 正确2a b a b -====<+=在上的投影向量为，故D 错误, a b - b()21··22b a b b a b b b b b b b b b⋅-⋅-==-=-故选：BC11. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） m n αβA. 若，，则 B. 若，，则//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n C. 若，，则 D. 若，，，则//m αm β⊂//αβm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若，，则或与相交或与异面，故选项A 错误； //m α//n α//m n m n m n 对B ：若，，则，故选项B 正确；m α⊥n α⊥//m n 对C ：若，，则或与相交，故选项C 正确； //m αm β⊂//αβαβ对D ：若，，，则，故选项D 正确. m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥故选：BD.12. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段V ABC -AB BC =90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒P VC 的中点.则（ ）A. 与垂直 PB ACB. 与平行PB VA C. 点到点，，，的距离相等P A B C V D. 与平面，与平面所成的角可能相等 VB ABC PB ABC 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为VA ⊥ABC AC H //PH VA PB AC ⊥H 外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距Rt ABC A P ,,A B C P Rt VAC △P A B C V离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 VB ABC PB ABC 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.P PH AC ⊥H BH H AC 因为，所以，所以平面，所以，从而A 正确； AB BC =BH AC ⊥AC ⊥PBH AC PB ⊥由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误； //PH VA PH PB PB VA 点是的外心，所以到，，的距离相等，P Rt VAC △P V A C 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到VA ⊥ABC PH ⊥ABC H Rt ABC △P A ，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确； B C P A B C V 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，VB ABC VBA ∠PB ABC PBH ∠tan VAVBA AB∠=，所以两个角不可能相等，D 错误.tan tan PH PBH VBA BH ∠===<∠故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法： （1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.三、填空题（13、14五分，第一空2分，第二个空3分） 1516、13. 已知，若向量与共线，则____________．(1,),(3,1)a b λ== a b 2a = 【答案】## 109119【解析】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得； λ【详解】解：因为且，所以，解得， (1,),(3,1)a b λ==//a b r r113λ⨯=13λ=所以，所以; 11,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222110139a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为：10914. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________. 【答案】 【解析】【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为， 2所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球， 求出正方体的对角线的长为，2所以球的直径是.343π⨯=故答案为：.15. 在中，，D 是AC 中点，，试用表示为___________，若ABC A ,CA a CB b == 2CB BE = ,a bDE ，则的最大值为____________AB DE ⊥ACB ∠【答案】 ①. ②.3122b a - 6π【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由DE{},a b ,A B D E 可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．AB DE ⊥2234b a b a +=⋅法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点E (0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y AB DE ⊥A 的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，(1,0)M -2r =22(1)4x y ++=当且仅当与相切时，最大，即求出． CA M A C ∠【详解】方法一：，，31=22DE CE CD b a -=- ,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，当且仅当2234b a a b +=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==≥ a = 而，所以．0πACB <∠<(0,]6ACB π∠∈故答案为：；．3122b a - 6π方法二：如图所示，建立坐标系：，，(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y 3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=--，所以点的轨迹是以为圆心，以23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=A (1,0)M -为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 2r =CA M A C ∠21sin ,426r C C CM π===∠=故答案为：；．3122b a - 6π16. 已知是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为,, a b R i ∈(2)(1)z a i bi =-+ab =||z ___________. 【答案】 ①. 2②. 4【解析】【分析】由题设条件计算出复数z ,再由复数是实数的条件即可得ab 值；计算出|z |，配方即可得解. 【详解】，则，而，所以，即2；,a b R ∈(2)(2)z a b ab i =++-z R ∈20-=ab ab =，，当且仅当a =2b ，即2z a b =+|||2|4z a b =+===≥a =2，b =1时取“=”，所以的最小值为4.||z 故答案为：2；4四、解答题（17题10分，其它五题每题12分）17. 已知△的内角，，的对边分别为，，，若．ABC A B C a b c sin cos a C A =（1）求角．A（2）若，求△的面积．a =2c =ABC【答案】（1）；（23A π=【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角． sin A A =A （2）由余弦定理得求b ，再利用三角形面积公式求△的面积．2230b b --=ABC【详解】（1）由正弦定理，，又，sin sin cos A C C A =sin 0C ≠，即，由，得. sin A A ∴=tan A =(0,)A π∈3A π=（2）由余弦定理知：，2222cos a b c bc A =+-∴，解得，2230b b --=3b =1sin 2ABC S bc A ∴==A 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，-P ABC D E ，AB PB ，EB EA =PA AC ⊥．求证：平面．PC BC ⊥BC ⊥PAC【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然PA AB ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D 是AB 的中点，，AEB △EB EA =∴,ED AB ⊥∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴，ED PA ∥∴，PA AB ⊥又，，平面，平面， PA AC ⊥AB ACA ⋂=AB ⊂ABC AC ⊂ABC ∴平面，PA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，PA BC ⊥又，，平面，平面，PC BC ⊥PA PC P = PA ⊂PAC PC⊂PAC ∴平面． BC ⊥PAC 19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD ，，E 是PD 的中点． P ABCD -//BC 12BC AD =（1）求证：；//BC AD （2）线段AD 上是否存在点N ，使平面平面PAB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．//CEN 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.N AD 【解析】【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平N AD //CEN PAB //EN PAB //CN 面，由面面平行判定定理可证得结论.PAB 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以//BC PAD BC ⊂ABCD PAD ⋂ABCD AD =；//BC AD （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：N AD //CEN PAB 因为、分别是、的中点，所以，E N PD AD //EN PA 又平面，平面，所以平面.EN ⊄PAB PA ⊂PAB //EN PAB 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平//BC AN N AD 12BC AD =BC AN =ABCN 行四边形，从而，//CN BA 又平面，平面，所以平面.CN ⊄PAB BA ⊂PAB //CN PAB 又因为，所以，平面平面 CN EN N = //CEN PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.//CN PAB20. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发A B D 出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B 点北偏西，这时位于点南偏西且与相D A 45 75 B 45 B 距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.80C 35（1）求点到点的距离；B D BD （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.C D D 【答案】（1）海里；（2）小时502【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；ADB ∠ABD △（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.CBD ∠BCD △CD 【详解】（1）由题意知：，，，AB =907515DBA ∠=-= 904545DAB ∠=-= 所以，1804515120ADB ∠=--= 在中，由正弦定理可得：即， ABD△sin sin BD AB DAB ADB =∠∠sin 45BD = 所以海里，50BD ===（2）在中，，，，BCD △180754560CBD ∠=--= 80BC =50BD =由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠， 1640025002805049002=+-⨯⨯⨯=所以海里，70CD =所以需要的时间为小时， 70235=所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.B D 50BD =D 221. 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.ABC A B C '''-22,,AC AA E F ='=BC A C ''（1）证明：平面.EF A ABB A ''（2）求直线与平面所成角的正切值.EF ACC A ''【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；EF A ABB A ''（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决.EF ACC A ''【小问1详解】如图，取的中点，连接.A B ''M ,FM BM 为的中点，，且. F A C ''MF B C ∴''∥12MF B C =''，且，，且， BE B C ''∥ 12BE B C =''MF BE ∴∥MF BE =四边形是平行四边形，.∴BEFM EF BM ∴∥平面，平面平面.BM ⊂ ABB A ''EF ⊄,//ABB A EF '∴'ABB A ''【小问2详解】取的中点的中点，连接.AC ,N CN D ,,,BN DE DF NF 平面平面，平面平面，ABC ⊥ACC A ''ABC ⋂,ACC A AC BN AC ''=⊥平面.BN ∴⊥ACC A ''平面，//,DE BN DE ∴⊥ ACC A ''直线与平面所成的角为.∴EF ACC A ''DFE ∠， 12DE BN DF ====tan DE DFE DF ∠∴==22. 在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c 22sin1sin 2B C A +=+（1）求； A ∠（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求． ABC A c 条件①：，；2a =3b =条件②：；cos B ab ==【答案】（1）4A π=（2）1c =【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解；tan 1A =（2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；250c -+=182020∆=-=-<c 若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得cos B =0B π<<1sin 3B=a =a ，后代入正弦定理即可求解．b 【小问1详解】解：因为，所以， 22sin 1sin 2B C A +=+()1cos 1sin B C A -+=+所以，则， 1cos 1sin A A +=+sin tan 1cos A A A ==又，；0A π<<4A π∴=【小问2详解】 若选条件①：因为， 222cos 2b c a A bc +-=222326c c+-=所以，则，250c -+=182020∆=-=-<故无解；c 若选条件②：因为，又，所以， cos B =0B π<<1sin3B =由正弦定理得：，sin sin a b A B =13b =所以，又，，a =ab =3a=b =因为，()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+==所以. sin 1sin a C c A ===+。

山东省东营市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省东营市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知复数，则的虚部为（ ） 12z i =-z A ．2 B ． C ． D ．2i 2-2i -【答案】C【分析】根据复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 12z i =-2-故选：C2．（ ） cos 72cos12sin 72sin12︒︒+︒︒=A ．B ．C ．D 12-12【答案】B【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.【详解】， ()1cos 72cos12sin 72sin12cos 7212cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：B3．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ） sin 2sin cos A B C =ABC A A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， ()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形， ABC A 故选：B4．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）(2,1)a =- (,1)b λ=- a bλA ．B ．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2,)+∞C ．D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由两向量的夹角为钝角，则需两向量的数量积小于零，且两向量不共线可求得的取值范λ围.【详解】解：∵与的夹角为钝角，a b∴，且，21(1)0a b λ⋅=-⋅+⨯-<(2)(1)0λ--⨯-≠，且，12λ∴>-2λ≠故选：A ．【点睛】本题考查向量的夹角为钝角的条件：两向量的数量积小于零且两向量不共线，属于基础题.5．在中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若，ABC A ABC A 则（ ） A =A ．B ．C ．D ．π32π3π65π6【答案】A【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.【详解】由余弦定理可得：()2222cos ,0,πb c a bc A A +-=∈由条件及正弦定理可得：，1sin cos 2S bc A A ===所以，则． tan A =π3A =故选：A6．已知，，则的值为（ ）sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭02πα<<tan αA ．B ．C ．2D ．或212-1212-【答案】C【解析】由同角间的三角函数关系先求得，再得，然后由两角和的正切公式可cos()4πα-tan()4πα-求得． tan α【详解】∵，∴，∴ 02πα<<444πππα-<-<cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭∴， sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∴.tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中在作为复角，但在中充当“单4πα-tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-= ⎪⎝⎭+tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦角”角色．7．在中，已知分别为角的对边且 ， 若 且 ABC A ,,a b c ,,A B C 120A ︒∠=ABC S △ ，则的周长等于（ ）2sin 3sin B C =ABC A A ．B ．12C ．D ．510+5【答案】D【分析】由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可bc 23b c =,b c a 得三角形周长．【详解】由题意，， 1sin 2S bc A ===6bc =又，由正弦定理得，联立解得，2sin 3sin B C =23b c =3,2b c ==， a ==所以 5a b c ++=+故选：D ．8．已知函数在上有且只有2个零点，则实数的取值范围()()1sin 0f x x x ωωω=+>()0,πω是（ ） A ．B ．C ．D ．313,26⎛⎤⎥⎝⎦137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】将问题转化为在上有且只有2个解，根据正弦型函数的性质求的1sin 2t =-(,)33ππωπ--ω范围.【详解】由，令， ()12sin()3f x x πω=+-()0f x =所以，而有，1sin()32x πω-=-()0,x π∈(,)333t x πππωωπ=-∈--所以在上有且只有2个解，故，故.1sin 2t =-(,)33ππωπ--711636πππωπ<-≤31326ω<≤故选：A二、多选题9．下列命题不正确的是（ ） A ．若＝，则＝B ．若＝0，则＝或＝a rb a ba b ⋅ a 0 b 0 C ．若∥，∥，则∥ D ．若＝，＝，则＝a b b c a c a b b c a c 【答案】ABC【分析】两向量相等，方向相同，大小相等，据此可判断A ；两向量数量积为零，则其中一个向量为零向量或两向量垂直，据此可判断B ；零向量和任意向量共线，故如果不限制向量为非零向量，三个向量之间，向量共线不具有传递性，据此可判断C ；向量相等具有传递性，据此可判断D.【详解】A ：若＝，则与不一定相等，因为它们方向未知，故A 错误；a rb a bB ：若＝0，则＝或＝或，故B 错误；a b ⋅ a 0 b 0 a b ⊥C ：若∥，∥，则当时，无法判断与的关系，故C 错误；a b b c 0b = a cD ：若＝，＝，则＝，故D 正确.a b b c a c故选：ABC.10．下列说法正确的是（ ）A ．已知，，若，则1)2(a -=，,1()b x x - =()2//b a a - =1x -B ．在中，若，则点是边的中点ABC A 1122AD AB AC =+D BC C ．已知正方形的边长为，若点满足，则ABCD 1M 12DM MC = 43AM AC ⋅= D ．若共线，则a b，a b a b +=+【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B ；根据向量数量积的运算可判断选项C ，举反例可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：，，可得，若则 1)2(a -=，,1()b x x - =()22,5b a x x -=+- ()2//b a a - ，即，所以，故选项A 不正确；()()()215x x x x +-=-62x =13x =对于B ：取的中点，则，即点与点重合，所以点BC E ()111222AB AC AB AC AE AD +=+==D E 是边的中点，故选项B 正确；D BC 对于C ：()()()13AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭，故选项C 正确；22141413333AD DC AD DC =++⋅=+= 对于D ：当反向时不成立，故选项D 不正确，a b，故选：BC.11．复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 13i 22z =+A ．z 的实部是 B ．z 的共轭复数为1231i 22+C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A 正确；13i 22z =+1232又由共轭复数的概念，可得，所以B 错误；13i 22z =-由复数的实部与虚部之和为，所以C 正确； 13222+=由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D 正确.13i 22z =+13(,)22故选：ACD.12．已知函数，则（ ）()πsin 2cos 6f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A ．的最大值为()f x 1B ．直线是图象的一条对称轴π3x =()f x C ．在区间上单调递减()f x ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．的图象关于点对称()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到，根据余弦型函()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭数最值可知A 正确；利用代入检验法，结合余弦函数性质，依次验证BCD 正误即可.【详解】； ()ππ1πsin 2coscos 2sin 2cos 22cos 26623f x x x x x x x ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭对于A ，，A 正确； ()max 1f x =对于B ，当时，，是的一条对称轴，B 正确； π3x =π2π3x +=π3x ∴=()f x 对于C ，当时，，此时单调递减，C 正确；ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()π20,π3x +∈()f x 对于D ，，不是的对称中心，D 错误. π2π1cos 632f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ π,06⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()f x 故选：ABC.三、填空题13．若，则tan 2＝___． sin 0,2παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭α【答案】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：∵，，π(0,2α∈sin α=∴，π3α=∴. 2πtan 2tan3α==方法2：∵，π(0,2α∈∴， 1cos 2α===∴ sin tan cos ααα==∴22tan tan 21tan ααα===-故答案为：.14．已知复数，若是实数，则的值为__________．()()()21z m i m m i m R =+-+∈z m 【答案】0或1【详解】，由题意得：，得或，故答案为或.()()()221z m i m m i m m i =+-+=-20m m -=0m =10115．已知，，，则______．2a = 1b =a + ab -=r r【分析】将，两边同时平方，即可求得两向量乘积，再将要求的关系式平方代入即可.a + 【详解】因为，，，2a = 1b =a + 所以，，()2222523+=+⋅+=+⋅=a ba ab b a b 1a b ⋅=-则-=a r.16．求函数在区间上的最大值______．2()sin cos f x x x x =,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】32【详解】试题分析：∵，∵21()sin cos (1cos 2)22f x x x x x x =⋅=-+1sin(2)26x π=+-，∴，∴，∴，故填,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦1sin(2,162x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦3()1,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32【解析】本题考查了三角恒等变换及三角函数的最值点评：熟练掌握三角恒等变换公式及三角函数的单调性是解决此类问题的关键．四、解答题17．已知复数，其中i 为虚数单位，.()()2223232i z m m m m =--+-+R m ∈(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)；12m =-(2)1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）z 是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0. 【详解】（1）因为z 是纯虚数，所以，222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩解得.12m =-（2）因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以，222320320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩解得， 112m -<<所以m 的取值范围为.1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭18．已知，．π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求．π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2) 3π4【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解. 【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<，π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==-ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得，π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又ππ(,π),(0,)22αβ∈∈π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=19．已知分别为中角的对边，函数且. ,,a b c ABC A ,,A B C 2()3cos 2cos f x x x x =++()5f A =(1)求角的大小；A (2)若，求面积的最大值. 2a =ABC A 【答案】(1) π3A =【分析】（1）直接依据题设条件建立方程求解；（2）借助余弦定理结合基本不等式可求解出的最大值，然后结合第（1）问中角，借助面积bc A 公式即可求解面积的最大值.ABC A【详解】（1）由题意可得：，所以()23cos 2cos 5f A A A A =++=()221cos A =-)0sinAsinA -=()0,π0A sinA ∈∴≠∴，即sin A A =tan A =，所以.()0,πA ∈π3A =（2）由余弦定理可得：， 22π42cos3b c bc =+-（当且仅当时“=”成立）.224b c bc bc =+-≥2b c ==∴，1sin 42ABC S bc A ==≤=A故ABC A20．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且. sin cos c B a B b =-(1)求A ；(2)若，且BC 边上的高为a . 14b c =【答案】(1) π3A =(2) 13a =【分析】（1）根据正弦定理边化角，将原式化简即可求得结果. （2）由面积公式可得，再由条件结合余弦定理即可求得结果.4bc a =【详解】（1）由正弦定理，原式可化为， sin sin sin cos sin C A B A B B =-由于， ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+整理得. cos sin sin sin A B A B B =-又∵，∴， sin 0B ≠cos 1A A =-∴，π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵，∴，()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴，即.ππ66A -=π3A =（2）由题意可知，由，得，11πsin 223ABC S a bc =⨯⨯=△4bc a =又，∴，， 14b c =216c a =2b a =由余弦定理知， 2222cos 16413a b c bc A a a a a =+-=+-=解得.13a =21．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求的值.cos θ【分析】在△CBA 中根据余弦定理得即可 BC =cos θ【详解】在△CBA 中，AB =40，AC =20，∠BAC =，由余弦定理得120︒222402024020cos1202800BC BC =+-⨯⨯⨯︒=⇒=， 40sin sin ACB ACB ACB =⇒∠=∠=∠1cos cos(30)2ACB θ∴=︒+∠==22．已知函数． ()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． ()y f x k =-11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) ()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）由三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性即可得出答案.()f x （2）函数在区间上有且仅有两个零点转化为曲线与直线()y f x k =-11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间上有且仅有两个交点，即可求实数k 的取值范围. y k =11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin 2cos cos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2sin 22cos 2cos 2222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭， 12cos 2sin 2+26x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭令，所以，222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为： ()f x ,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线()y f x k =-11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间上有且仅有两个交点，由，当y k =11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,,2,261266x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，，设，则，且11,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]sin 2+1,16f x x π⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭26t x π=+sin ,y t =,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭若要使曲线与直线区间上有且仅有两个交点， sin y t =y k =,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则. ()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭。

广东省汕尾市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

广东省汕尾市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一年级 数学考试试卷（时间：2023.05.23试卷满分：150分；考试时间：120分钟）★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回． 一､单选题1. 已知集合，则（ ）{}{}0,1,2,0,3,4A B ==A B ⋂A. B.C.D.{}0{}3,4{}0,3,4{}1,2,3,4【答案】A 【解析】【分析】利用交集概念即可求得结果.【详解】根据交集定义，由运算可得. {}{}0,1,2,0,3,4A B =={}0A B ⋂=故选：A2. 设复数，则在复平面内对应的点位于（ ） 32i z =-z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】求出共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可得出结果. z 【详解】，，32i z =-∴32i z =+在复平面内对应的点为，在第一象限， z ()3,2故选：A.3. 向量，，则（ ）()2,1a =- ()1,2b =- ()2a b a +⋅=A. B.65C .D.16-【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法和数量积的坐标运算直接求解即可.【详解】，.()23,0a b +=()()232016a b a ∴+⋅=⨯+⨯-= 故选：A. 4. 若，则（ ） 1sin 4α=cos 2=αA.B.C. D.78-7834-34【答案】B 【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】，2217cos212sin 1248αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭故选：B .5. 已知l ，m 是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） αA. 已知，，则 B. 已知，，则 //l α//m α//m l //l α//βα//l βC. 已知，，则 D. 已知，，则l α⊥//m αl m ⊥l α⊥βα⊥//l β【答案】C 【解析】【分析】利用面面平行、线面的位置关系的判定和性质，直接判定.【详解】对于A ，，，则可能平行，可能相交，可能垂直.所以A 错误； //l α//m α,m l 对于B ，，，则或，所以B 错误； //l α//βα//l βl β⊂对于C ，，，则，故C 正确；l α⊥//m αl m ⊥对于D ，，，则或，故D 不正确. l α⊥βα⊥//l βl β⊂故选：C.6. 2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A.B. C.D.323π16π8π4π【答案】B 【解析】【分析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果. 【详解】根据题意，画图如下：则，， OA R =O A r '==12hOO '==故在中，Rt OO A '∆，2OA ===，.2R ∴=2244216S R πππ∴==⋅=球故选：B【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.7. 如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知400m C 15 A 45 ，则山的高度为（ ）60BAC ∠= BCA. B. 700m 640m C. D.600m 560m 【答案】C 【解析】【分析】可知为等腰直角三角形，可计算出的长度，在中，利用正弦定理求出ADM ∆AM ACM ∆AC 的长度，然后在中，利用锐角三角函数求出，即可得出答案. ABC ∆BC 【详解】根据题意，可得在中，，， Rt ADM ∆45MAD ∠=o 400DM =所以，，sin 45DMAM ==o因为在中，，ACM ∆451560AMC ∠=+=o o o 180456075,AMC ∠=--=oooo，180756045ACM ∠=--=o o o o 由正弦定理，得sinsin AMAMCAC ACM∠===∠在中，，故选C. Rt ABC ∆()sin 600BC AC BAC m =∠==【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.8. 已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线12O O 1,,A B 2O 1O 2AB =所成的角为（ ）12,O B O AA.B.C.D.π6π4π3π2【答案】C 【解析】【分析】在圆的投影为，连接，计算，根据余弦定理得到B 2OC 2,,BC AC OC AC =，得到答案. 22πcos 3AO C ∠=【详解】如图所示：在圆的投影为，连接，易知， B 2O C 2,,BC AC O C 12O B O C ∥在直角中，ABC A AC ==在中，根据余弦定理，， 2O AC △222222221cos 22AO CO AC AO C AO CO +-∠==-⋅⋅，故， ()2cos 0,πAO C ∠∈22πcos 3AO C ∠=故异面直线所成的角为. 12,O B OA 2πππ33-=故选：C.二､多选题9. 下列说法正确的是（ ） A. 圆柱的所有母线长都相等B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABD 【解析】【分析】利用圆柱的性质判断选项A ；利用棱柱的性质判断选项B ；利用正棱锥的定义判断选项C ；利用棱台的性质判断选项D.【详解】选项A ：圆柱的所有母线长都相等.判断正确； 选项B ：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确；选项C ：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误； 选项D ：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确. 故选：ABD10. 如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（ ）．ABCDA.B.AB CD DO OA ++= AB AD AC +=C .D.AB AD CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r0AC BA DA ++= 【答案】BCD 【解析】【分析】根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念即可判断各选项的正误． 【详解】根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念，，故A 错误； AB CD DO DC CD DO DO ++=++=，故B 正确；AB AD AC +=，故C 正确；AB AD CD AC CD AD ++=+=，故D 正确．0AC BA DA BC DA BC CB ++=+=+=故选：BCD ．11. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，下ABC A ()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-列结论正确的是（ ） A. B. π6A =π3A =C. 当时，的面积最大值为D. 当时，为直角三角形 4a =ABC A b c -=ABC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理的边角互化可判断A 错误，B 正确，结合均值不等式可判断C ，根据余弦定理的边的关系，代入可得三边关系满足勾股定理，可判断D. 【详解】， ()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=- 由正弦定理得：，即，，∴(a b)()(c b)a b c +-=-222a b c bc -=-222b c a bc ∴+-=由余弦定理得：，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又，，故A 错误；B 正确， (0,π)A ∈π3A ∴=若，由得，即，当且仅当时取等号，4a =222b c a bc +-=22162b c bc bc bc bc =+--=…16bc …b c =面积的最大值为C 错误；11sin 1622ABC S bc A ∴=⨯=A …ABC A由中得： ，进而得b c -=b c =+222b c a bc +-=22320c a +-=， ，进而可得： ，所以)20aa -+=0,0a c >> 0a a -=⇒=2bc =满足 ，故 为直角三角形，D 正确. 222b a c =+ABC A 故选：BD12. 在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，则（ ） 1111ABCD A B C D -P 1BC A. 异面直线与所成角为 1BD 1CC 45 B. 面 DP //11AB D C.1DP AD ⊥D. 点到平面 P 11BB D D 【答案】BC 【解析】【分析】求出异面直线与所成角可判断A ；由面面平行的判定定理和性质定理可判断B ；由1BD 1CC ，可得可判断C ；点到平面的距离即点到平面的距1BC DP ⊥11BC AD ∥1DP AD ⊥P 11BB D D E 11BB D D 离，而平面，求出可判断D .EF⊥11BB D D EF 【详解】对于，因为，所以异面直线与所成角为（或补角），A 11DD CC ∥1BD 1CC 1DDB ∠A 错误；1tan DD B ∠=对于B ，连接，，由于， 1,DB DC 1111,,AB D B AD 1111,BC AD DB D B ∥∥所以面面，1AD //111,BDC D B //11111,BDC AD D B D ⋂=所以面面，又平面，所以面，故B 正确；11AB D //1BDC DP ⊂1BDC DP //11AB D对于C ，点为线段的中点，.又，故C 正确； P 1BC 11,DB DC BC DP =⊥111,BC AD AD DP ∴⊥∥对于D ，作，交于，交于，则平面11PE B C ⊥11B C 11,E EF B D ⊥11B D F 1,BB PE PE ∴∥//11,BB D D 点到平面的距离即点到平面的距离，P ∴11BB D D E 11BB D D 平面1111111,,,EF B D B B EF B D B B B EF ⊥⊥⋂=∴⊥ 11,BB D D点到平面的距离为线段，故D 错误. E ∴11BB D D EF 故选:BC.三､填空题13. 已知向量与不共线，若向量与向量共线，则实数__________.a b ka b + a b - k =【答案】 1-【解析】【分析】由向量共线，有，为实数，列方程组求k 即可.()ka b a b λ+=-λ【详解】向量与向量共线，设，即，ka b +a b -()ka b a b λ+=-1k λλ=⎧⎨=-⎩∴. 1k =-故答案为：-1.14. 如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形的面积为_______．ABCD【答案】4 【解析】【分析】利用斜二测画法规则确定四边形的形状及边长，即可利用面积公式计算作答. ABCD 【详解】观察直观图知，四边形是平行四边形，且边、分别在轴、轴上，A B C D ''''A B ''A D ''x 'y '，45B A D '''∠= 因此四边形是平行四边形，，，则是边长ABCD 2,22AB A B AD A D ''''====90BAD ∠=ABCD 为2的正方形，所以四边形面积为4. ABCD 故答案为：415. 在中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若，则的ABC A ()20,0AF xAB y AC x y =+>> 12x y+最小值为____________. 【答案】9 【解析】【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 21x y +=【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点）， 所以，又，21x y +=0,0x y >>故， ()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 22y x x y =13x y ==故答案为：9.16. 已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，则下列结论1111ABCD A B C D -a ,,E F G 111,,AB AA C D 中正确的序号是___________.①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ,,E F G ②平面； 11B D ∥EFG ③平面； 1BD ⊥1ACB ④四面体的体积等于 11ACB D 312a 【答案】①③ 【解析】【分析】根据平面的性质作出截面即可判断①，根据与相交可判断②，证明和11B D H G 11B C BD ⊥可判断③，求出四面体的体积可判断④.1BD AC ⊥11ACB D 【详解】延长，分别交的延长线交于，连接交于，设与的延长EF 111,B A B B ,N Q GN 11A D H H G 11B C 线交于，连接交于，交于，连接，则截面六边形为P PQ 1CC I BC M ,,,,FH HG GI IM ME EFHGIM 正六边形，故①正确；与相交，故与平面相交，故②错误；11B D H G 11B D EFG 因为正方体中，平面，所以，因为，,所以11C D ⊥11BCC B 111C D B C ⊥11B C BC ⊥1111C D BC C ⋂=平面，所以，同理可得，因为，所以平面1B C ⊥11BC D 11B C BD ⊥1BD AC ⊥1AC B C ⋂1BD ⊥1ACB ，故③正确；四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故④11ACB D 3331114323a a a -⨯⨯=错误.故答案为：①③.四､解答题17. 已知向量的夹角为，且，． 、a b 4π1= a = b （1）求的值； ()·a a b + （2）求的值； a b +【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）直接利用数量积的定义和运算律求解；（2）利直接利用模的计算公式求解.【小问1详解】因为向量的夹角为，且，， 、a b 4π1= a = b所以. b a a b 4π⨯⨯=⨯⨯⋅== cos 11所以. ()a ab a a b ⋅=+⋅+== 2+112【小问2详解】a b +==== 18. 已知复数，其中是虚数单位． ()()211z m m m i =-+-m R i ∈，（1）当为何值时，复数是纯虚数？m z （2）若复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，求的模．z z z 【答案】（1）0；（2）见解析【解析】【分析】（1）直接由复数的实部为0，且虚部不为0，列式求解即可；z（2）由实部与虚部的和等于0列式求得，进一步求得，则||可求．m z z 【详解】（1）由复数是纯虚数，得，即时，是纯虚数；z ()210,10,m m m ⎧-=⎨-≠⎩0m =z i =-（2）∵复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，z 由，即，得或. ()()211m m m -=--2210m m --=12m =-1m =当＝﹣时，＝，则||； m 12z 3344i -z当＝1时，＝0，则||＝0．m z z【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的模，属于基础题．19. 在锐角中，的对边分别为ABC A ,,A B C ,,a b c 2sin c A =（1）确定角的大小；C （2）若，且，求边.c =6ab =,a b 【答案】（1） π3C =（2）或 23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩【解析】【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.sin sin a A c C ==(2)由余弦定理可得，再由可求答案.2213a b +=6ab =【小问1详解】及正弦定理得 2sin c A =sin sin a A c C ==因为，故sin 0A >sin C =又锐角，所以. ABC A π3C =【小问2详解】 由余弦定理， 22π2cos 73a b ab +-=，得6ab =2213a b +=解得:或. 23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩20. 已知向量，，设函数. ()2cos ,cos a x x =),2cos b x x =- ()()f x a b x R =⋅∈ （1）求函数的单调递减区间和对称中心的坐标；()f x （2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若关于的方程()y f x =6π()y g x =x ()g x m=在区间上有解求实数的取值范围. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】（1），；（2）. 5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,1()122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭[]2,1m ∈-【解析】【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论.（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，可得的范围.()g x m【详解】（1）由题可得 ())()2cos ,cos ,2cos f x a b x x x x =⋅=⋅- ，2sin 2cos xx x =-，2cos 21x x =-- 2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，， 3222262k x k πππππ+≤-≤+Z k ∈解得，， 536k x k ππππ+≤≤+Z k ∈即的单调递减区间为； ()f x 5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦令，，解得， 26x k ππ-=Z k ∈()122k x k Z ππ=+∈即的对称中心坐标为； ()f x ,1()122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）可知， ()2sin 212sin 21666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦若关于的方程在区间上有解， x ()g x m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在区间上，，，. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]2,1g x ∈-若方程在区间上有解，则. ()g x m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1m ∈-21. 如图，一座山其高为，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在处测AD 100m B C B 得山顶的仰角为，经过后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且.A 30 20s C A 45 90BAC ∠=（1）求这辆汽车的速度；（2）若汽车从往行驶5秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离.B C E A AE【答案】（1）；（2）/s AE =【解析】【分析】（1）根据题意得，，进而由勾股定理得200m AB =AC =BC =案；（2）由题知，中利用余弦定理求解即可得答案. BE =cos ABC ∠=ABE A 【详解】解：（1）根据题意得，，平面100m,30,45AD ABD ACD =∠=∠= AC AB ⊥AD ⊥，BCD所以在中，，在中，， Rt ABD A 2200m AB AD ==Rt ACD A AC ==所以在中， Rt ABC A BC ==所以这辆汽车的速度为. /20BC s =（2）汽车从往行驶5秒时到达处，此时，B C E BE =在中，， Rt ABC A cos AB ABC BC ∠===所以在中，由余弦定理得， ABE A 2222cos AE AB BE AB BE ABC =+-⋅∠即，故. (222200220023750AE =+-⨯⨯=AE =22. 如图，在长方体中， 分别为的中点，是上1111ABCD A B C D -1,2,,AB AD E F ==1,AD AA Q BC 一个动点，且.(0)BQ QC λλ=>（1）当时，求证：平面平面；1λ=BEF P 1A DQ （2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.λBD FQ ⊥λ【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【详解】(1)当时，为中点，1λ=Q BC 因为是的中点，所以,E AD ,ED BQ ED BQ =∥则四边形是平行四边形，所以.BEDQ BE QD A 又平面平面，所以平面.BE ⊄1,A DQ DQ ⊂1A DQ BE A 1A DQ 因为分别是中点，所以.,E F 1,AD A A 1EF A D A 因为平面平面，所以平面.EF ⊄11,A DQ A D ⊂1A DQ EF ∥1A DQ 因为平面平面，所以平面平面.,BE EF E EF ⋂=⊂,BEF BE ⊂BEF BEF P 1A DQ(2)如图，连接与,,AQ BD FQ 因为平面平面，所以. 1A A ⊥,ABCD BD ⊂ABCD 1A A BD ⊥若又平面，且，所以平面. ,BD FQ ⊥1,A A FQ ⊂1A AQ 1A A FQ F ⋂=BD ⊥1A AQ 因为平面，所以. AQ ⊂1A AQ AQ BD ⊥在矩形中，由，得, ABCD AQ BD ⊥AQB DBA A A ∽所以.2AB AD BQ =⋅又，所以, 1,2AB AD ==13,22BQ QC ==则，即. 13BQ QC =13λ=。

江苏省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

江苏省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一下5月月考卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 已知复数（是虚数单位），的共轭复数记作，则（ ）z i =iz z z z=A.B.C. D.2i-2i 2i -2i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的模长公式、共轭复数的定义可求得复数. zz【详解】，则，，因此，. z i =+ 2z ==z i =-12z i z =-故选：A. 2. 已知,则的值为( ) sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2αA. B.C.D. 2425-2425125125-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解. sin 2cos[2(4παα=-212sin (4πα=--【详解】由诱导公式：，sin 2sin[2()+cos[2(424πππααα=-=-再由二倍角公式： 2cos[2()]12sin (44ππαα-=--=2425故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.3. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） abc220a b c +-=b c ⋅=A.B.C.D.38587898【答案】C 【解析】【详解】由题意知：，则22c b a -=222448c b b c a +-⋅= 即，得：.881b c -⋅=78b c ⋅= 故选:C .4. 在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的1111ABCD A B C D -1A B 60 条数为（ ） A. B. C. D.2456【答案】B 【解析】【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把符合题意的异面直线列出来即可求解. 【详解】在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，1111ABCD A B C D -连接，，则是等边三角形，可得，11AC 1BC 11A BC V 111160C A B C BA ∠=∠=因为，所以与夹角成且异面，11//AC AC AC 1A B 60 因为，所以与夹角成且异面， 11//AD BC 1AD 1A B 60 同理可得，与夹角成且异面，11D B 1B C 1A B 60 所以与直线异面且夹角成的直线有：，，， 共条， 1A B 60 1AD AC 11D B 1B C 4故选：B ．5. 如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与l αβ--60︒AB α⊂B l ∈AB l 30︒AB 平面所成的角的正弦值是（ ）βA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接，由三垂线定A βC βC l D AD 理可知，故为二面角的平面角为，在即可得到答案； AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒ABC 【详解】解：过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接， A βC βC l D AD 由三垂线定理可知，故为二面角的平面角为 AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒又由已知，30ABD ∠=︒连接，则为与平面所成的角， CB ABC ∠AB β设，则，，2AD =AC =1CD =4sin 30ADAB ==︒直线与平面所成的角的正弦值． ∴AB βsin AC ABC AB∠==故选：．A6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ，∠ABC 的平分线交AC 于点120ABC ∠=︒D ，且BD ＝1，则 的最小值为（ ） 4a c +A. 8 B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即111a c +=4a c +11(4)(a c a c++可求得答案.【详解】由题意得 ， 111sin120sin 60sin60222ac a c =+ 即 ，得，ac a c =+111a c+=得 ， 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥5459=+=当且仅当，即时，取等号， 4c aa c=23c a ==故选：B ．7. 如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O 为底面圆心，OA ，OB 为底面半径，且∠AOB =2,3πM 是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中，最短路径的长度为（ ）A.B.-1C.D.+1【答案】A 【解析】【分析】画出圆锥侧面展开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.AB APB ∠【详解】如图为圆锥的侧面展开图，, 22133AB ππ=⨯=，则，2PA == 3AB APB PAπ∠==在中，，PMB △1,2PM PB ==则，22221221cos33MB π=+-⨯⨯⨯=M 到B 的路径中，最短路径的长.MB ∴=故选：A.8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则ABC A B C a b c 4cos a b C b a +=tan tan tan tan C C A B+=（ ）A. B.C. D.11242【答案】D 【解析】 【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可 【详解】锐角中，ABC ， 4cos b aC a b+= 由余弦定理可得， 2222242a b a b c ab ab++-=⨯化简得：， 2222a b c +=又tan tan sin cos sin cos tan tan cos sin cos sin C C C A C BA B C A C B +=+ sin sin cos cos sin cos sin sin C B A B A C A B+= 22sin sin sin cos cos C c A B C ab c ==⋅． 22222222222c ab c ab a b c c c=⋅==+--故选：D9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） z A. 若，则 B. 若，则 1R z∈z R ∈2z ∈R z R ∈C. 若，则的最大值为 D. 若，则1z i -=z 2310z -=1z =【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的运算可判断AB 选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C 选项的正误，解方程，可判断D 选项的正误.310z -=【详解】对于A 选项，设，则，(),z a bi a b R =+∈220a b +>，，则，从而， ()()222211a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -===-++-++1R z∈ 0b =z R ∈A 选项正确；对于B 选项，取，则，但，B 选项错误；z i =21z R =-∈z R ∉对于C 选项，由复数模的三角不等式可得，C 选项正确； ()2z z i i z i i =-+≤-+=对于D 选项，由，可得或，()()321110z z z z -=-++=1z =210z z ++=由，则，解得或，22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭221324z ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12z =-12z =-+D 选项错误. 故选：AC.10. 已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）a b c ABC A B C A. 若，则是锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC B. 若，则是等腰直角三角形 cos cos a A b B =ABC C. 若，则是直角三角形 cos cos b C c B b +=ABC D. 若，则是等边三角形 cos cos cos a b cA B C==ABC 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，化简得，然后即可判断选项A 正确 0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>对于B ，通过倍角公式，化简为，然后即可判断选项B 错误22sin A sin B =对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，，然后即可判断选项C 错误sin sinB A =对于D ，利用正弦定理，把化简为，即可判断选项D 正确 cos cos cos a b cA B C==tanA tanB tanC ==【详解】对于A ，，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+- ()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴，()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>又由A ，B ，C 是的内角，故内角都是锐角，故A 正确ABC ∆对于B ，若，则，则，则cos cos a A b B =sinAcosA sinBcosB =22sinAcosA sinBcosB =，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B 错误22sin A sin B =A B =90A B ︒+=ABC ∆对于C,，，即，则cos cos b C c B b +=sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=A B =是等腰三角形，故C 不正确ABC 对于D ，若，则，则， cos cos cos a b c A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tanA tanB tanC ==，即是等边三角形，故D 正确A B C ==ABC 故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的使用，属于简单题11. 如图，正方体的棱长为1，点P 是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法1111ABCD A B C D -1CC 不正确的是（ ）A. 存在点P ，使面 //DP 11AB DB. 二面角的平面角为60° 1P BB D --C. 1PB PD +D. P 到平面11AB D 【答案】BD【分析】当与点重合时， 面，A 正确，二面角的平面角为，P 1C DP 11AB D 1P BB D --45CBD ∠=︒B 错误， ，C 正确，当与点重合时，P 到平面D 错误，得到答11D PB PD B '≥+P C 11AB D 案.【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，P 1C 1DP AB ∥1AB ⊂11AB D DP 11AB D DP 11AB D A 正确；二面角即二面角，平面角为，B 错误； 1P BBD --1C BB D --45CBD ∠=︒如图所示：共线时等号成立，C 正确；111PB PD PB B PD D '++'=≥=1,,D P B '，得到平面，故，同理可得平面，设1111D B AC ⊥1111D B C C ⊥11D B ⊥11A C C 111D B AC ⊥1A C ⊥11D BA 交平面于，1AC 11D B AH 则，当与点重合时，P到平面的距离11cos AC AH AC ACA AC AC =⋅=⋅==P C 11AB D D 错误. 故选：BD.12. 已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），AB ＝3，DC ＝1，∠BAD ＝45°，DE ⊥AB .将△ADE 沿DE 折起，使得AE ⊥EB （如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）B. 点E 到平面AMC 的距离为C. EM ∥平面ACDD. 四面体ABCE 的外接球表面积为5π 【答案】BD 【解析】【分析】对选项A ，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，C CF EB ⊥CE BC ⊥AEC BC AD ⊥得到平面，与已知条件矛盾，故A 错误；对选项B ，设点到平面的距离为，根据BC⊥AED E AMC h 求解即可；对选项C ，假设平面，从而得到平面平面，与已A BCE E ABC V V --=//EM ACD //AEB ACD 知条件矛盾，故C 错误；对选项D ，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球MC M ABCE 表面积即可。

福建省泉州第五中学2025年五月月考三模语文试题含解析

福建省泉州第五中学2025年五月月考三模语文试题含解析

福建省泉州第五中学2025年五月月考三模语文试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、积累1．下列句子中，没有语病的一项是（）A．邓稼先是我国著名的核物理学家，他以务实的作风和非凡的才学获得了世人的赞誉。

B．钙质可从食物中摄取，只有人们注重食物的合理搭配，就能获得相应的钙质。

C．随着“天舟一号”的成功发射，标志着我国航天科技已经达到世界领先水平。

D．上下几千年，知名的书法家很多，但谁也不能否认，王羲之不是继往开来的宗师。

2．下列各组词语中，汉字书写全都正确项是 ( )A．宽宥游弋顷家荡产黯然失色B．惊骇劫掠言简意赅人迹罕至C．漫延惺忪矫揉造作眼花瞭乱D．殒落缄默富丽堂皇好意难确3．下列各句标点符号使用不规范．．．的一项是A．中华文化是尚群的文化。

小到家庭、大到国家、民族，都是群，而群就是公。

《礼记·礼运》中所说的“天下为公”，已经成为至理名言。

B．主席在6天时间里到访罗马、巴勒莫、摩纳哥、尼斯、巴黎5座城市，密集出席40余场活动，同欧洲领导人共叙友好交往佳话，共谱全面合作新篇，共绘未来发展蓝图。

C．意大利、法国是大国，都是中国的全面战略伙伴；摩纳哥虽然不大，却是对华最友好的欧洲国家之一。

D．原始人类阅读的对象就是大自然：山峦在蔚蓝的天空下寂静绵延，野鹿在蜿蜒的溪流旁悠闲漫步。

4．下列选项中对文学文化常识表述不正确的一项是（）。

A．《乡愁》的作者是艾青，诗人、散文家，诗歌表达了对亲人，对故乡，对祖国的思念情怀。

B．茅盾，原名沈德鸿，字雁冰，作家，代表作品有长篇小说《子夜》《林家铺子》《春蚕》等。

C．“阴阳割昏晓”一句中“阴阳”二字在古代指的是方位。

古人以山北水南为阴，山南水北为阳。

D．我国古时儿童不束发，头发下垂，因此用“垂髫”指儿童；而始龀是指小孩七八岁。

江苏省南京市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

江苏省南京市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一下五月月考卷一､选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 若（－1＋i ）z ＝3＋i ，则|z |＝（ ）A. B. 8C.D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算求出，结合复数的几何意义计算即可. 2i z =-+【详解】由题意知，， ()()(3i)1i 3i 12i 1i 1i (1i)z +--+===---+-+--所以z ==故选：C2. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且A B C ''' ABC D ¢B C ''A D y '''∥轴，轴，，，那么（ ）B C x '''∥2A D ''=2B C ''=A. 的长度大于的长度B. 的面积为2 AD AC A B C '''C. 的面积为4D. ABC π4ABC ∠=【答案】C 【解析】【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，， D ¢B C ''A D y '''∥B C x '''∥2A D ''=2B C ''=三角形中，， A D C '''π4A D C '''=∠三角形中，，，，ADC π2ADC ∠=24''==AD A D 1CD =AC ==，所以A 选项错误.AD AC <，C 选项正确.12442ABC S =⨯⨯=，B 选项错误.1π221sin 24A B C S '''⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 由于，所以三角形不是等腰直角三角形，所以D 选项错误. π,1,4,2ADB BD AD BD AD ∠===≠ABC 故选：C3. 已知两个非零向量，的夹角为，且，则（ ）a b 60︒(2)a a b ⊥-2ab a b+=- A. 3 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合数量积的运算律可推得.进而根据数量积的运算律求出ab =，即可得出答案.2a b += b a =【详解】由已知可得，即， (2)0a a b ⋅-=2222cos 600a a b a a b -⋅=-︒= 所以，.a b =所以，2a b +=，a b a -==所以，.2a ba b +=-故选：B.4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）,αβ,l mA. 若，则 ,,l m αβαβ⊥⊂⊂l m ⊥B. 若，则 ,l l αβ⊥⊥//αβC. 若，则,m βαβ⊥⊥//m αD. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 //αβl αm β//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，若，则与可能平行，所以A 选项错误. ,,l m αβαβ⊥⊂⊂l m B 选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B 选项正确. C 选项，若，则可能含于，所以C 选项错误.,m βαβ⊥⊥m αD 选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交， //αβl αm βl m 故选：B5. 如图，是圆柱的轴截面，，点在底面圆周上，且是的中点，则异面直线ABCD 32AB AD =E AB AE 与所成角的正切值为（ ）BDA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】连接，取中点为，中点为，记中点为，连接，，，BE AD M BE F AB O OM OF MF AF，根据题意，得到为异面直线与所成的角或所成角的补角，设，由题中条件，∠MOF AE BD 3AD =求出，，，求出异面直线与所成角的余弦值，进而可求出正切值.OM OF MF AE BD【详解】连接，取中点为，中点为，记中点为， BE AD M BE F AB O 连接，，，，OM OF MF AF则且，且， //OM BD 12OM BD =//OF AE 12OF AE =则为异面直线与所成的角或所成角的补角，∠MOF AE BD 因为是圆柱的轴截面，所以四边形为矩形，且底面； ABCD ABCD AD ⊥设，由得，则3AD =32AB AD =2AB =BD ==因为点在底面圆周上，且是的中点，则为等腰直角三角形，E AB AEB △所以，因此，BE AE AB ===AF ===则MF ===又，12OM BD ==12OF AE ==设异面直线与所成的角为，AE BD θ则，cos cos θ=∠=则， sin θ==因此tan θ====故选：A.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，根据异面直线的概念求解即可，属于常考题型.6. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是8cm ，底部所围成圆的直径是，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为（ ）6cm 2cmA.B.C.D.2π33π4π2π3【答案】C 【解析】【分析】由已知得出圆台的半径以及母线长，将圆台还原为圆锥，根据相似关系得出.进而根据圆锥4x =的侧面展开图，即可求出答案.【详解】由已知可得，圆台的母线长为8，下底面圆的半径为1，上底面圆的半径为3， 将圆台补成圆锥，如图1所示：则羽毛所在曲面的面积为大､小圆锥的侧面积之差， 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， x 8x +由相似得，解得. 286x x =+4x =将该圆锥展开得到扇形如图2则小圆锥的半径，的长为， 4OA = AB 2π12π⨯=所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为. 2ππ42α==故选：C.7. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点x απ3，则的值为（ ）3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由已知可得，根据角的范围，可知.然后根据三角函数的定义得出角的45y =±α45y =π3α+三角函数值.进而根据诱导公式，以及两角差的余弦公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，解得.22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭45y =±因为锐角，则，所以.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭45y =根据三角函数的定义可得，，， π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以. πππsin cos cos 233ααα⎛⎫⎛⎫+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3333αα⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.8. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且ABC ,,A B C ,,,a b c ABC S ，若，则的取值范围是（ ）()22sin 2bc B S -⋅=a kc =kA. B. C. D.()1,2()0,3()1,3()0,2【答案】A 【解析】【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由2cos c a c B =-2B C =为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范ABC ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭k 围.【详解】因为，所以， 1sin 2S ac B =()22sin 2sin b c B S ac B -⋅==即，22b c ac -=所以， 2222cos ac c a c ac B +=+-整理得：， 22cos ac a ac B =-因为，0a >所以，2cos c a c B =-由正弦定理得：， sin sin 2sin cos C A C B =-因为， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+所以， ()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =-=-因为为锐角三角形， ABC 所以为锐角，B C -所以，即，C B C =-2B C =由，解得：，π0,2π0,22ππ0,22B B C B A B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为， a kc =所以， 111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭解得：， ()1,2k ∈故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二､多选题（共4小题，每题5分，共20分）9. 已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A. 若复数满足，则复数对应的点在以z |i |z -=z (1,0)B. 若复数满足，则复数 z ||28i z z +=+158i z =-+C. 若复数，满足，则1z 2z 12||||z z =1122z z z z ⋅=⋅D. 若复数，满足，则1z 2z 12||||z z =2212z z =【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，结合复数的几何意义，即可求解， 对于B ，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解，对于C ，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解， 对于D ，合特殊值法，即可求解．【详解】解：对于A ，复数满足，则复数对应的点在以为半径的圆z |i |z -=z (0,1)上，故A 错误，对于B ，令，，，i z a b =+aR b ∈，||28i +=+ z z ，即，解得，∴||i 28i +=+=+z z a b 28a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩158a b =-⎧⎨=⎩，故B 正确，158i ∴=-+z 对于C ，，，2111||z z z ⋅=2222||z z z ⋅=，12||||z z = 则，故C 正确，∴1122z z z z ⋅=⋅对于D ，令，，满足，但，故D 错误．11z =2i z =12||||z z =2212z z ≠故选：BC ．10. 已知向量，在向量上的投影向量为，则（ ）()4,3a =r a b()2,4c =rA.a b c b ⋅=⋅B. 与方向相同的单位向量为或 b⎛ ⎝C. 的最小值为0()b b a ⋅-D.的最小值为a b -r r【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知条件可知，设，利用数量积的坐标表示可判断A ；由的坐标//b c ()2,4b c λλλ== b可求与方向相同的单位向量可判断B ，利用数量积的坐标运算求的最小值可判断C ；计算b()b b a ⋅- 的最小值，进而可得的最小值可判断D ，进而可得正确选项.2a b -r r a b -r r 【详解】由投影向量的定义可知：，可知，设cos ,b c a a b b=⋅//b c ()2,4b c λλλ== 对于A ：，，所以，423420a b λλλ⋅=⨯+⨯= 224420c b λλλ⋅=⨯+⨯= a b c b ⋅=⋅故选项A 正确；对于B ：由于方向相同的单位向量为b ==b 即或故选项B 正确；))2,42,4bb λλ==⎛ ⎝对于C ：因为，所以()24,43b a λλ-=--()()()22122444*********b b a λλλλλλλ⎛⎫⋅-=-+-=-=-- ⎪⎝⎭r r r 所以当时，的最小值为，故选项C 不正确；12λ=()b b a ⋅- 5-对于D ：因为()42,34a b λλ-=-- ()()22224234204025a b λλλλ--+=-=-+ ，所以当时，的最小值为D 正确，()22015λ=-+1λ=a b -r r故选：ABD.11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） ()h x =A. 在上单调递增()h x π[0,3B. 的图象的一条对称轴方程为 ()h x π2x =C. 的最小正周期为 ()h x π2D. 的最大值为()h x 342【答案】BCD 【解析】【分析】计算与的值判断A ；计算判断B ；计算判断C ；化函数为π(6h π()3h (π)()h x h x --π()2h x +，再求出最大值判断D 作答.()h x =【详解】函数， ()h x =对于A ，当时，，则在上不单调，A 错误； π[0,3x ∈ππ()(63h h ==()h x π[0,3对于B ，， (π)()0h x h x --=-=于是的图象的一条对称轴方程为，B 正确； ()h x π2x =对于C ，， π()()2h x f x +==+=显然不存在比小的正常数，使得恒成立，于是的最小正周期为，C 正确； π2a ()()h a x h x +=()h x π2对于D ，，()h x ==令，则函数在上单调递增，当时，，|sin 2|[0,1]t x =∈y =[0,1]1t =34max 2y ==所以当，即时，取得最大值.|sin 2|1x =ππ(Z)42k x k =+∈()h x 342故选：BCD12. 如图，在边长为2的正方形 中，E ，F 分别是 的中点，D 是EF 的中点，将123SG G G 1223G G G G , 分别沿SE ，SF 折起，使 两点重合于G ，下列说法正确的是（ ）13SG E SG F ， 13,G GA. 若把 沿着EF 继续折起， 与G 恰好重合2G EF 2G B.SG EF ⊥C. 四面体S GEF -D. 点G 在面SEF 上的射影为△SEF 的重心【答案】ABC【解析】【分析】根据，可说明 与G 恰好重合，判断A ;根据线面垂直的性质定理可22GE GF G E G F ===2G 判断B ;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C ;根据线面S GEF -垂直证明线线垂直，说明点G 在面SEF 上的射影为三角形的高的交点，判断D .【详解】对于A ，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，22GE GF G E G F ===2G EF EF 2G G 正确；A 对于B ,因为,D 是EF 的中点，故;GE GF =GD EF ⊥又，故平面GEF,,,SG GE SG GF GE GF G ⊥⊥= SG ⊥而平面GEF,故,又平面SGD ,EF ⊂SG EF ⊥,,SG GD G SG GD =⊂ 所以平面，平面,所以正确；EF ⊥SDG SG ⊂SDG ,B SG EF ⊥对于，由翻折的性质可知，两两垂直，C ,,GE GF GS 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， l ==R =故外接球的体积为，故正确； 34π3V =⋅=C 对于D ，因为两两互相垂直，故平面GEF ,则,,,GE GF GS SG ⊥SG EF ⊥设P 为点G 在平面SEF 上的射影，连接EP,SP ,则 ,GP EF ⊥而平面SGP ,故平面SGP, 平面SGP,,,SG GP G SG GP =⊂ EF ⊥SP ⊂故，同理可证,即点P 为三角形高线的交点，EF SP ⊥SF EP ⊥SEF 所以点在平面上的射影为的垂心，故D 错误，G SEF SEF 综上，正确答案为ABC ，故选：ABC三､填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 如图，二面角等于，A 、是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面、内，，l αβ--120︒B αβAC l ⊥，且，则CD 的长等于________.BD l ⊥2AB AC BD ===【答案】4【解析】【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知，,120BD AC =︒ ∴，cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯⨯︒=- 由，，得，，又， AC l ⊥BD l ⊥0AC BA ⋅= 0BD BA ⋅= DC DB BA AC =++∴()22222222DC DB BA ACDB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅ ， ()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-= 所以，即.4DC = 4CD =故答案为：4.14. 已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为,a b 3πc (2)()0c a c b -⋅-= ||c _________．【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合平面向量数量积不等式进行求解即可, 【详解】，2(2)()0(2)20c a c b c c a b a b -⋅-=⇒⋅++⋅= -因为均为单位向量，且夹角为， ,a b 3π所以有， 221(2)2110(2)12c c a b c a b c ⋅++⨯⨯⨯=⇒⋅+=+ -， (2)2c a b c a ⋅+≤⋅即，(2)c a b ⋅+≤ 2(2)1c a b c ⋅+=+所以有， 21c c +≤≤≤因此， ||c15. 如图，直三棱柱的上､下底面为等腰直角三角形，，，111ABC A B C -AB AC ==90BAC ∠=︒侧棱长为4，为线段上的动点，则当二面角的正切值为4时，三棱锥的外P 11A B A BC P --11A A C P -接球的体积为__________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，作，交于，过作，连接，即可得出1//PM AA AB M M MN BC ⊥PC 二面角的平面角，进而根据已知得出的位置.根据三棱锥的性质，将三棱锥补为长PNM ∠A BC P --P 方体，求出长方体的体对角线的长，即可得出半径，根据体积公式，即可得出答案. 【详解】如图作，交于，则，过作，连接. 1//PM AA AB M 14PM AA ==M MNBC ⊥,PC PN 因为平面，所以平面，1AA ⊥ABC PM ⊥ABC 则二面角的平面角.PNM ∠A BC P --因为，二面角的正切值为4，A BC P --所以， 4PM MN=所以，，1MN =MB =所以，AM =1A P =可把三棱锥补成棱长为4的长方体，11A A C P -则三棱锥的外接球的半径为11A A C P -R ==所以，三棱锥的外接球的体积为. 11A A C P -34π3=故答案为：.16. 在中，若，，则的周长的最大值为ABC ∆3AC =11112sin tan sin tan B B A A+=++ABC __________.【答案】6+6+【解析】【分析】根据已知切化弦，整理可得.由正弦定理角化边，整sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++理可得.然后即可根据角的范围得出答案. π314a c A ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】由可得， 11112sin tan sin tan B B A A +=++1cos 1cos 2sin sin sin sin B A B B A A+=++两边同乘得，.sin sin A B sin sin cos sin sin cos 2sin sin A A B B B A A B +=++两边同加得，， sin cos B A sin sin cos sin cos sin 2sin cos 2sin sin A A B B A B B A A B ++=++即.sin sin()sin 2sin cos 2sin sin A A B B B A A B ++=++又，sin()sin(π)sin A B C C +=-=则.sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++设角，，对应的边分别为，，，且，A B C a b c 3b =由正弦定理角化边可得.π(12cos 2sin )314a c b A A A ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以，时，取得最大值，此时周长最大值为π4A =a c +3+336++=+故答案为：6+四､解答题（共6小题，共70分）17.已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，ABC ∆A B C a b c (,)m a b = (sin ,n B = ，.sin )A (2,2)p b a =-- （1）若，求证：为等腰三角形；//m n ABC ∆（2）若，边长，角，求的面积. m p ⊥ 2c =π3C =ABC ∆【答案】（1）见解析（2【解析】【详解】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径，所以sin sin a A b B =··22a ba b R R =R ABC ∆，所以为等腰三角形.a b =ABC ∆⑵因为，所以.m p ⊥ ()()220a b b a -+-=由余弦定理可知，，即()22243a b ab a b ab =+-=+-()2340ab ab --=解方程得：（舍去） 4ab =1ab =-所以. 11sin 4sin 223S ab C π==⨯⨯= 18. 如图，三棱柱中，E 为中点，F 为中点．111ABC A B C -1BC 1AA（1）求证：平面ABC ；EF ∥（2）若平面，求证：平面ABC ．1EF BB AC ⊥⊥，11ABB A 1BB ⊥【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【分析】（1）取BC 中点M ，连接AM ，EM ，证明四边形EFAM 为平行四边形，可得，再根EF AM ∥据线面平行的判定定理即可得证；（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.1BB AM ⊥1BB AC ⊥【小问1详解】证明：取BC 中点M ，连接AM ，EM ，因为中，E 为中点，M 为BC 中点，1BCC 1BC 所以且， 112EM CC =1EM CC ∥三棱柱中，且，111ABC A B C -11AA CC =11AA CC ∥因为F 为中点，1AA 所以且，ME AF =ME AF ∥所以四边形EFAM 为平行四边形，所以，EF AM ∥又因为平面ABC ，平面ABC ，AM ⊂EF ⊄所以平面ABC ； EF ∥【小问2详解】证明：因为，由（1）知，所以，1EF BB ⊥EF AM ∥1BB AM ⊥因为平面平面，所以，AC ⊥111,ABB A BB ⊂11ABB A 1BB AC ⊥又因为，平面ABC ，AM AC A = ,AM AC ⊂所以平面ABC ．1BB ⊥19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段P ABCD -ABCD PD ⊥,ABCD PD AD =M 上的动点，为线段的中点.PC N BC（1）若为线段的中点，证明：平面平面； M PC PBC⊥MND （2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.PA MND M 【答案】（1）证明见解析（2）点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析M PC C 【解析】【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证平面，进而证明结果；（2）利DM⊥PBC 用线面平行的性质定理理解分析．【小问1详解】因为底面为正方形，，所以.ABCD PD AD =,PD CD BC CD =⊥因为为线段中点，所以在平面中，. M PC PCD DM PC ⊥因为底面底面，所以. PD ⊥,ABCD BC⊂ ABCD PD BC ⊥又平面平面，,,BC CD PD CD D PD ⊥⋂=⊂,PCD CD ⊂PCD 所以平面.BC ⊥PCD 因为平面，所以. DM⊂PCD BC DM ⊥又平面平面，,,DM PC PC BC C PC ⊥⋂=⊂,PBC BC ⊂PBC 所以平面. DM⊥PBC 因为平面，所以平面平面.DM ⊂MND PBC ⊥MND 【小问2详解】如图，连接，交于点，连接.AC DN O OM 因为在正方形中，为线段中点，ABCD N BC ，所以，即. AD BC ∥12CO CN AO AD ==2AO CO =因为平面平面，平面平面，PA ,MND PA ⊂PAC PAC MND OM =所以， PA OM ∥所以，即， 12CM CO MP OA ==12CM MP =所以点为线段的三等分点，且靠近点处.M PC C20. 在中，已知．ABC 3AB AC BA BC ⋅=⋅ （1）求证：；tan 3tan B A =（2）若，求A 的值． cos C =【答案】（1）见解析；（2）． 4π【解析】【分析】【详解】试题解析：(1)∵,∴, 3AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u r u u u rcos =3cos AB AC A BA BC B即.cos =3cos AC A BC B 由正弦定理,得,∴. =sin sin AC BC B Asin cos =3sin cos B A A B 又∵,∴.∴即. 0A B π<+<cos 0,cos 0>>A B sin sin =3cos cos B A B A⋅tan 3tan B A =(2)∵,∴.∴. cos 0C <C <πsin C =tan 2C =∴,即.∴. ()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦()tan 2A B +=-tan tan 21tan tan A B A B+=-- 由 (1) ,得,解得. 24tan 213tan A A =--1tan =1 tan =3A A -，∵,∴.∴.cos 0A >tan =1A =4A π考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.21. 如图，我市有一条从正南方向通过市中心后向北偏东的方向的公路，现要修建一条地OA O 60︒OB 铁，在､上各设一站，，地铁线在部分为直线段，现要求市中心到的距离为L OA OB A B AB O AB .6km（1）若，求，之间的距离；10km OA =O B （2）求，之间距离最小值.A B【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）过作于点，根据勾股定理求得，进而得出，O OE AB ⊥E 8AE =4cos 5OAE ∠=.根据两角差的正弦公式得出.由正弦定理，即可得出答案； 3sin 5OAE ∠=sin OBE ∠=（2）设，，根据已知表示出，得出.AOE α∠=0120α︒<<︒,AE BE 6tan 6tan(120)AB αα=+︒-化简即可得出，然后根据的范围，即可得出最大值时的取值，代入即可11sin(230)24AB α=-︒-αα得出答案.【小问1详解】 过作于点，如图所示：O OE AB ⊥E市中心到的距离为，即.O AB 6km 6OE =因为，所以， 10OA=8AE ==所以，. 4cos 5OAE ∠=3sin 5OAE ∠=又，60OBE OAE ∠=︒-∠则sin sin(60)OBE OAE ∠=︒-∠sin 60cos cos 60sin OAE OAE =︒∠-︒∠=在中，由正弦定理得， AOB sin sin OA OB OBE OAE =∠∠35OB =解得，OB =故，. O B 【小问2详解】由已知可得，，120AOB ∠=︒设，，则，， AOE α∠=0120α︒<<︒6tan AE α=6tan(120)BE α=︒-所以，6tan 6tan(120)AB αα=+︒-[]6tan1201tan tan(120)αα=︒-︒-sin sin(120)1cos cos(120)αααα⎡⎤︒-=--⋅⎢⎥︒-⎣⎦.cos120cos cos(120)αα︒=-=︒-又， cos cos(120)αα︒-cos (cos120cos sin120sin )ααα=︒+︒11sin(230)24α=-︒-，0120α︒<<︒所以，，30230210α︒︒-︒<-<所以，当时，的最大值为， 60α=︒11cos cos(120)sin(230)24ααα︒-=-︒-111244-=所以，，AB 14=故，之间距离最小值为.A B 22.如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正ABCDE ACD ⊥ABC BE ⊥ABC ABC ACD 三角形，，.4AC =BE =（1）在线段上是否存在点F ，使得平面?说明理由；AC BF ∥ADE （2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.CDE ABC 【答案】（1）存在，理由见解析（2 【解析】【分析】（1）记中点为M ，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；AC DM （2）连结，过点B 作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，CG CG EH CDE ABC 解三角形，即可求得答案.【小问1详解】记中点为M ，连结，为正三角形，,AC DM ACD 4AC =则，且DM AC ⊥DM =因为平面平面 ，平面平面，平面ACD , ACD ⊥ABC ACD ABC AC =DM⊂所以平面，又因为平面，DM ⊥ABC BE ⊥ABC 所以.DM BE ∥延长交于点G ，则为平面与平面的交线，,MB DE AG ADE ABC因为，故，所以B 为的中点，BE =2DM BE =MG 取中点F ，连结，则，因为平面 ，平面， AM BF BF AG ∥AG ⊂ADE BF ⊄ADE 所以平面.BF ∥ADE 即线段上存在点F ，当时，平面. AC 14AF AC = BF ∥ADE 【小问2详解】连结，则为平面与平面的交线，CG CG CDE ABC 在平面内，过点B 作的垂线，垂足为H .ABC CG 连结，因为平面，平面，故,EH BE ⊥ABC CG ⊂ABC BE CG ⊥平面，故平面，,,BE BH B BE BH =⊂ BEH CG ⊥BEH 平面，故,EH ⊂BEH CG EH ⊥则为平面与平面所成的二面角的平面角.BHE ∠CDE ABC为正三角形，，故,ABC 4AC =BM =BG BM ==且,30,150MBC GBC ∠=∴∠=故在中，， GBC 2222cos 121624(52GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯=故，而， CG =1sin1502BGC S BC BG =⨯⨯=故,又因为 2BGC BH CG S == 12BE DM ==所以， tan BE BHE BH ∠==即平面与平面. CDE ABC。

山西省太原市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山西省太原市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

太原五中2022-2023学年度第二学期月考高一数学一、单选题（本大题共8小题，共32.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知复数z 在复平面内对应的点为，是z 的共轭复数，则（ ）()1,2z z z =A. B. C.D.34i 55-+34i 55--34i 55+34i 55-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出复数及，再利用复数除法运算求解作答. z z 【详解】依题意，，则， 12z i =+12i z =-所以.12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+故选：A2. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） a b a b a b=A.B. C.D. 且a b =- //a b2a b = //a b a b = 【答案】C【解析】【详解】若使成立，则选项中只有C 能保证，故选Ca ba b=[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.3. 在空间中，下列条件中不能推出四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线相互平分 【答案】B 【解析】【分析】先根据过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，再由平行四边形的判定定理可判断ACD ；由空间四边形概念可判断B.【详解】因为过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，所以ACD 选项中四边形为平面图形，再由平行四边形的判定定理可知ACD 中的四边形为平行四边形；由空间四边形的概念可知B 错误. 故选：B4. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. r 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， r 3r 3l =所以，解得. ()384S r r l ππ=+=侧7r =故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.5. 设，，为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： αβγ①若，，则；l α⊥m l ⊥m α⊥②若，，，，则； m α⊂n ⊂α//m β//n β//αβ③若，，则；//αβl ⊂α//l β④若，，，，则.其中真命题的个数是（ ）l αβ= m βγ= n γα=I //l γ//m n A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直的性质可判断①；根据面面平行的判定定理可判断②；根据面面平行的性质定理可判断③；根据线面平行的性质定理可判断④，即可得到答案.【详解】对于①，若，，则或，故①错误， l α⊥m l ⊥m α∥m α⊂对于②，若，，，，由于m ，n 不一定相交， m α⊂n ⊂α//m β//n β故不一定成立，故②错误，αβ∥对于③，若，，αβ∥l ⊂α由面面平行的性质定理，可得，故③正确， l β∥对于④，若，，，，l αβ= m βγ= n γα=I l γ∥则由于，，，故，同理得，l ⊂αn γα=I l γ∥l n ∥l m ∥故，故④正确. m n ∥所以③④正确， 故选：B.6. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）A. B.C.D.1:2)1:1+)1:1-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比.【详解】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以，所以，所以. 312V h V h ⎛⎫== ⎪⎝⎭上上全全h h 上全h h 上下故选D【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.7. 在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取CD 的中点F ，连接BF ，EF. 则∠BEF (或补角)为异面直线BE 与PC 的所成角. 分别求出BF 、EF 、BE 的长度，利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】如图，取CD 的中点F ，连接BF ，EF. 因为E 是PD 的中点，所以EF //PC ，则∠BEF (或补角)为异面直线BE 与PC 的所成角.由题意可得，. 1122EF PC ==⨯=在中，由余弦定理可得BEF △. 222cos 2BE EF BF BEF BE EF +-∠===⨯⨯故选：B【点睛】本题考查异面直线成角的问题、余弦定理的应用，考查逻辑分析，推理证明，求值计算的能力，属中档题.8. 已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形1111ABCD A B C D -2,E F ､1AA 11A D P 内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）ABCD 1D P BEF PA. 2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取的中点，连接，易证平面，平面，从而得到平BC G 11,,G D G AD A 1//AD BEF 1//GD BEF 面平面，即可得到的轨迹为线段，再求其长度即可. 1//AD G BEF P AG 【详解】取的中点，连接，如图所示：BC G 11,,G D G AD A分别是棱､的中点，所以，E F ､1AA 11A D 1//EF AD 又因为平面，平面，所以平面. EF ⊂BEF 1AD ⊄BEF 1//AD BEF 因为，，所以四边形为平行四边形， 1//FD BG 1=FD BG 1FBGD 所以.1//FB GD 又因为平面，平面，所以平面. FB ⊂BEF 1GD ⊄BEF 1//GD BEF 因为，所以平面平面.111GD AD D = 1//AD G BEF 因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，P ABCD 1D P BEF所以的轨迹为线段，则.P AG AG ==故选：B二、多选题（本大题共4小题，共16.0分.在每小题有多项符合题目要求，部分选对给2分，全部选对给4分）9. 在△ABC 中a ∶b ∶c =2∶3∶4，则（ ） A. 最大角为角A B. sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4C. △ABC 是钝角三角形D. 若4，则=aABC S =△【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由大边对大角可知，角C 为最大角；对于B ：由正弦定理可知；对于C ：利用余弦定理代入计算判定；对于D ：根据sin :sin :sin ::A B C a b c =222cos 2a b c C ab+-=题意可得，代入面积公式计算判断．sin C =6b =1sin 2ABC S ab C ∆=【详解】解析：由大边对大角可知，角C 为最大角，A 错误； 由正弦定理可知，B 正确；sin :sin :sin ::A B C a b c =根据题意可设：，，即角为钝()2,3,40a k b k c k k ===>()()()2222341cos 02234k k k C k k+-==-<⨯⨯C 角，C 正确；由C 可得可得 sin C =4a =6b =所以，D 正确. 11sin 4622ABC S ab C ∆==⨯⨯=故选：BCD ．10. 如图所示，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC 的是//MN （ ）A. B.C .D.【答案】BC 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．【详解】解：对于A ，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则， E F ////MN EF AC 所以、、、四点共面，N M C A 同理可证，即、、、四点共面，//AM BC B C M A 平面，故A 错误；MN ∴⊂ABC对于B ，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，D //AC MD //BC ND 平面，平面，所以平面，同理可证平面AC ⊂ABC DM ⊄ABC //DM ABC //DN ABC 又，、平面， MD ND D = MD ND ⊂DMN 平面平面，∴//ABC DMN 又平面，MN ⊂DMN 平面，故B 正确；//MN ∴ABC选项C ，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，G //ABC GMN 平面，MN ⊂ GMN 平面，故C 正确；//MN ∴ABC对于D ，连接，则，CN //AB CN ，，，四点共面，A ∴BC N 平面，与平面相矛盾，故D 错误．MN ∴ ABC N =//MN ABC故选：BC ．11. 若非零复数分别对应复平面内的向量，且，线段的中点M 对应12,z z ,OA OB1212z z z z +=-AB 的复数为，则（ ） 43i +A.B.C.D.OA OB ⊥OA OB =221210+=z z 2212100+=z z【答案】AD 【解析】【分析】利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到，再由线段的中点M 对应的复数为OA OB ⊥AB ，得到，即可求解.43i +||2||10AB OM ==【详解】如图所示，由向量的加法及减法法则可知，， OC OA OB =+ BA OA OB =-又由复数加法及减法的几何意义可知对应的模，对应的模，12z z +OC 12z z -BA因为，所以四边形是矩形，则，1212z z z z +=-OACB OA OB ⊥又因为线段的中点M 对应的复数为，所以，AB 43i +||2||10AB OM ==所以．2222212||||||100z z OA OB AB +=+== 故选：AD.12. 如图，在直三棱柱中，，，，､分别是､111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC ==12AA =D 1D AC 的中点，是上的动点，则下列结论中正确的是（ ）11AC P 1A DA. 直线，所成的角的大小随点的位置变化而变化AP 11B D PB. 三棱锥的体积是定值11P B CD -C. 直线与平面 1B C 1CC DD. 三棱柱的外接球的表面积是 111ABC A B C -24π【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，证明平面，从而可证得，即可判断A ；11B D ⊥11ACC A 11B D AP ⊥对于B ，证明，从而可说明点到平面的距离即为点到平面的距离，为定11A D CD ∕∕D 11B CD P 11B CD 值，即可判断B ；对于C ，根据平面，可得即为直线与平面所成的角的平面角，求得11B D ⊥11ACC A 11B CD ∠1B C 1CC D ，即可判断C ；11cos B CD ∠对于D ，根据题意可知矩形的对角线即为三棱柱的外接球的直径，求得外接圆的11ACC A 111ABC A B C -半径，即可判断D .【详解】解：对于A ，在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，所以，1AA ⊥111A B C 11B D ⊂111A B C 1AA ⊥11B D 因为，即，是的中点， 1AB BC ==11111A B B C ==1D 11AC 所以，1111B D AC ⊥又，所以平面， 1111AA AC A ⋂=11B D ⊥11ACC A 又平面，所以，故A 错误；AP ⊂11ACC A 11B D AP ⊥对于B ，因为､分别是､的中点，所以且， D 1D AC 11AC 11CD A D =11CD A D ∕∕所以四边形为平行四边形，所以， 11CDA D 11A D CD ∕∕又平面，平面， 1A D ⊄11B CD 1CD ⊂11B CD 所以平面，1A D ∕∕11B CD 所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，即三棱锥的高为定D 11B CD P 11B CD 11P B CD -值，又的面积也为定值，即三棱锥的底面积为定值，11B CD 11P B CD -所以三棱锥的体积是定值；11P B CD -对于C ，因为平面，所以即为直线与平面所成的角的平面角， 11B D ⊥11ACC A 11B CD ∠1B C 1CC D 在中，， 11Rt B CD1111B D B C CD ===所以，即直线与平面，故C 正确； 11cos B CD ∠==1B C 1CCD 对于D ，在直三棱柱中，，所以矩形的对角线即为三棱柱111ABC AB C -AB BC ⊥11ACC A 的外接球的直径，111ABC A B C -矩形，即三棱柱 11ACC A 111ABC A B C -所以三棱柱的外接球的表面积是，故D 错误. 111ABC A B C -6464ππ⨯=故选：BC . 三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 已知的面积为，则=____． ABC ∆2,3AB B π=∠=sin sin B C【解析】【分析】利用面积公式求得a 的值，利用余弦定理求得b 的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.【详解】, 2AB c ==，解得, 11sin 222ABC S ac Ba ==⨯⨯= 4a =所以，22212cos 164242122b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=∴b =∴, sin sin B b Cc ===【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化. 14. 如图，三角形为水平放置的三角形的直观图，其中，三角形的面A B C '''ABC 1O A A B ''''==A B C '''.则原平面图形三角形的周长为________.ABC【答案】2+【解析】【分析】先根据三角形的面积求出，接着再根据横不变，纵2倍求出三角形的周长.A B C '''O C ''ABC【详解】解：由已知， 122O B C S O C '''=⨯⨯'='得，可得 4O C ''=2,2,OA AB AC AB =====原平面图形三角形的周长为ABC 2+故答案为：.2++15. 在长方体中，，E ，F 分别为棱上一点，且1111ABCD A B C D -1224AA AB BC ===11,BB DD ，则过点C ，E ，F 的平面截该长方体所得的面面积为______． 113DF B E FD EB==【答案】【解析】【分析】连接，取，连接，易得截面即为且是平行四边形求解.11,,A E A F EF 11C G =1B G 1A FCE 【详解】解：如图所示：连接，取，连接，11,,A E A F EF 11C G =1B G 则由长方体的特征知：，， 11//AF CG 1//BG C E 所以，且，1//A F CE 1A F CE =所以四边形是平行四边形，即为所求截面，1A FCE 因为11AF AE E F ===所以， 22211111cos 2AF AE E F FAE AF AE +-∠==⋅则，1si n FAE∠=所以截面的面积为1111222FAES S AF AE ==⨯⨯⨯⨯= 故答案为： .16. 如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三O ABC -OA OB OC OA OB OC >>条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，则的大小关系,,OA OB OC1S 23,S S 123,,S S S 为__________________．【答案】321S S S <<【解析】【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系运算求解.【详解】取的中点，连接，BC M ,OM AM 可知点到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积，,B C OAM OAM 因为平面，所以平面，,,,,OA OB OA OC OB OC O OB OC ⊥⊥=⊂I OBC OA ⊥OBC 且平面，则，OM ⊂OBC OA OM ⊥设，则， ,,,OA a OB b OC c a b c ===>>BC =因为为直角三角形，则， OBC △12OM BC ==所以， 11122S OA OM a =⋅==同理可得：， 23S S ==因为，则，a b c >>222222222222a b a c a b b c a c b c +>+>+所以.321S S S <<故答案为：.321S S S <<【点睛】方法点睛：体积问题的处理方法：1.用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积；2.求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法．四、解答题（本大题共3小题，共36.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，. ABC 5a b +=()2cos cos 0a b C c B ++=（1）若，求c ； ABC（2）若点D 为线段AB 的中点，，求a ，b .30ACD ∠=︒【答案】（1） c =（2）， 53a =103b =【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可求出，再由三角形的面积公式可求出，再由余弦定1cos 2C =-2ab =理即可求出c ；（2）记，，在直角中，，在中，由正弦定理即可ADC θ∠=AD BD m ==BCD △sin a m θ=ACD 求出，再结合，即可得出答案.2b a =5a b +=【小问1详解】因为，()2cos cos 0a b C c B ++⋅=由正弦定理可得，.()2sin sin cos sin cos 0A B C C B ++⋅=得， 2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++⋅=，即，()2sin cos sin 0A C B C ++=2sin cos sin 0A C A +=因为，所以，所以， ()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2C =-因为，因为，所以 1cos 2C =-()0,πC ∈sin C =所以，所以. 1sin 2ABC S a b C =⋅==△2ab =在中，，ABC ()22222cos 25223c a b ab C a b ab =+-=+-=-=所以.c =【小问2详解】因为，所以，又，所以. 1cos 2C =-120C =︒30ACD ∠=︒90BCD ∠=︒记，，ADC θ∠=AD BD m ==在直角中，BCD △sin a m θ=在中，，所以，所以， ACD sin30sin m b θ=︒2sin b m θ=2b a =又，因此，. 5a b +=53a =103b =18. 如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进11//A D B C //ME ND MNDE 而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；//MN DE （2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C 到1C CDE -1C DE ∆11C CDE C C DE V V --=平面的距离，得到结果.1C DE 【详解】（1）连接，ME 1B C，分别为，中点 为的中位线M E 1BB BC ME ∴1B BC ∆且 1//ME B C ∴112ME B C =又为中点，且 且 N 1A D 11//A D B C 1//ND B C ∴112ND B C =四边形为平行四边形//ME ND ∴∴MNDE ，又平面，平面//MN DE ∴MN ⊄1C DE DE ⊂1C DE 平面//MN ∴1C DE （2）在菱形中，为中点，所以，ABCD E BC DE BC ⊥根据题意有， DE =1C E =因为棱柱为直棱柱，所以有平面， DE⊥11BCC B所以，所以， 1DE EC ⊥112DEC S ∆=设点C 到平面的距离为，1C DE d根据题意有，则有， 11C CDE C C DE V V --=1111143232d ⨯=⨯⨯解得， d ==所以点C 到平面. 1C DE 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.19. 如图，已知直三棱柱，O ，M ，N 分别为线段，，的中点，为线段111ABC A B C -BC 1AA 1BB P 1AC 上的动点，，.116AA =8AC =（1）若，试证； 12AO BC =1C N CM ⊥（2）在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦6AB =P MP 11BB C C值最大，并求出最大值.【答案】（1）证明见解析（2）P 为的中点，1AC 35【解析】【分析】（1）由题意，可证平面，得，，通过勾股定理AB AC ⊥AB ⊥11ACC A AB CM ⊥CM MN ⊥证，可证得平面，得证. 1CM C M ⊥CM ⊥1C MN 1CM C N ⊥（2）利用几何方法表示线面角的正弦值，结合点位置，判断并求解正弦值的最大值.P 【小问1详解】在中，∵O 为BC 中点且，∴， ABC 12AO BC =AB AC ⊥∵平面平面，平面平面， ABC ⊥11ACC A ABC ⋂11ACC A AC =平面且，∴平面， AB ⊂ABC AB AC ⊥AB ⊥11ACC A 平面，∴.CM ⊂11ACC A AB CM ⊥∵M ，N 分别为，的中点，∴，∴. 1AA 1BB //MN AB CM MN ⊥在直角和直角中，AMC 11MAC △∵，，∴， 18AM A M ==118AC AC ==11AMC A MC ≅△△∴， 1CM C M ===∴，22221112812816CM C M CC +=+==∴，平面，， 1CM C M ⊥1,MN C M ⊂1C MN 1MN C M M ⋂=∴平面，平面，∴.CM ⊥1C MN 1C N ⊂1C MN 1CM C N ⊥【小问2详解】延长交于点Q ，作，与相交于点，如图所示，MP 1CC AD BC ⊥BC D，，，，得， 6AB =8AC =AB AC ⊥10BC =245AD =∵平面，平面，∴， 1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥又，面，，∴面， AD BC ⊥1,BC BB ⊂11BCC B 1BC BB B = AD ⊥11BCC B ∵面，∴与A 到面的距离相等，且距离为， 1//AA 11BCC B M 11BCC B AD 设直线与平面所成的角为，则， MP 11BB C C θsin AD MQθ=当时，即为的中点时最小，此时，MQ ⊥1CC P 1AC MQ 2435sin 85AD MQ θ===所以为的中点时，线段与平面所成角的正弦值取得最大值.P 1AC MP 11BB C C 35。

山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

5月联合质量测评试题高一数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的n 有18人，则的值是（ ） n A. 20 B. 30C. 40D. 50【答案】B 【解析】【分析】按分层抽样的定义，建立比例关系可得答案.【详解】非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数比为， 600:300:1006:3:1=按分层抽样方法，其中非常喜欢的有18人可得， 61810n ⨯=解得. 30n =故选：B.2. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形,,a b c ABC ,,A B C π,4,3A c a ===个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 1或2【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. π4C =5π12B =【详解】因为，由正弦定理，所以π,4,3A c a ===sin sin a c A C =4sin C =， sin C =又因为，故，. 2π(0,3C ∈π4C =5π12B =故选：B.3. A ，B ，C 表示不同的点，n ，l 表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法正确的是（ ） αβA. 若，，，则 l αβ= n α∥n β∥n l ∥B. 若A ，，A ，，则B l ∈B α∉l α∥C. 若A ，，A ，B ，，，则 B α∈C β∈l αβ= C l ∈D. 若，，，则αβ∥l ⊂αn β⊂l n ∥【答案】A 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：选项A ，因为，，，所以，故A 正确； l αβ= n α∥n β∥n l ∥选项B ，因为A ，，A ，，所以或l 与相交，故B 不正确；B l ∈B α∉l α∥α选项C ，A ，，A ，B ，，，此时点C 不一定在平面a 内，所以不正确，故B α∈C β∈l αβ= C l ∈C 不正确；选项D ，由，，，则l 与n 可能平行，也可能异面，故D 不正确．αβ∥l ⊂αn β⊂故选：A.4. 已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 56π||1,||a b == (2)()a b a b -⋅+=A. B.C.D. 1-127252-【答案】D 【解析】【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】. ()()225522cos 21362a b a b a a b b π⎛-⋅+=+⋅-=+-=- ⎝ 故选：D.5. 在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为ABC ,,A B C ,,a bc π3,4a c B ===ABC （ ） A.B. C.D.5π210π5π47π2【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果. 【详解】已知， π3,4a c B===由余弦定理可得，(22222π2cos 323cos54b ac ac B =+-=+-⨯=由正弦定理可得2sin b R B ===R =则的外接圆面积. ABC 25ππ2S R ==故选：A .6. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===E 1DD 1BD 所成角的大小为（ ）AEA.B.C.D.π3π4π65π6【答案】C 【解析】【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在1CC F 1BD AE 1BD AF1D BF ∠1D BF中由余弦定理可得答案.【详解】取的中点，连接，所以， 1CC F 1D F BF 、//AE BF 直线与所成角即为直线与所成的，1BD AE 1BD AF1D BF ∠所以，，22211112D F D C FC =+=2222BF BC CF =+=，222221*********D B D C D A D D =++=++=在中由余弦定理可得, 1D BF2221111cos 2D B BF D F D BF D B BF +-∠===⨯因为，所以.1π0,2D BF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦1π6D BF ∠=故选：C.7. 已知分别为三个内角的对边，且满足,,a b c ABC ,,A BC 2cos ,(cos )a b C b c a C C =+=+，则的形状为（ ） ABC A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】分别利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，(cos )b c a C C +=+，sin sin sin (cos )sin cos sin B C A C C A C A C +=+=因为，所以，πA B C ++=π()B A C =-+则有，sin()sin sin cos sin A C C A C A C ++=+即，sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C ++=所以，因为，所以，cos sin sin sin A C C A C +=(0,π)C ∈sin 0C≠，即，因为，cos 1A A -=π1sin()62A -=(0,π)A ∈所以或，则或（舍去）.ππ66A -=π5π66A -=π3A =πA =又因为，由正弦定理可得， 2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以，πA B C ++=π()A B C =-+则，化简整理可得，， sin()2sin cos B C B C +=sin()0B C -=所以，又因为，所以为等边三角形， B C =π3A =ABC 故选：C.8. 已知梯形，且为平面内一点，则,ABCD AB CD ∥22,1,,AB CD AD AB AD P ===⊥ABCD 的最小值是（ ）()PC PB PC ⋅+A. B. C. D. 214-12-32-【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出和的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结PC PB PC +果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，22,1AB CD AD ===(1,1)C (2,0)B (,)P x y 所以，，故，(1,1)PC x y =-- (2,)PB x y =-- (32,12)PB PC x y +=--所以2222531()(1)(32)(1)(12)225342[((]444PC PB PC x x y y x y x y x y ⋅+=--+--=+--+=-+--，又为平面内一点，故当时，取到最小值.P ABCD 53,44x y ==()PC PB PC ⋅+ 14-故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） 20231ii z +=i A. 的虚部是 z 1-B.1i z =--C. 若复数满足，则的最大值是0z 01z z -=0z 1+D. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 220x x b ++=2b =【答案】BCD 【解析】【分析】化简得到，，的虚部是，A 错误，，B 正确，1i z =-+z =z 11i z =--C 正确，代入计算得到D 正确，得到答案.011z z ≤+=+【详解】，，202331i 1i 1i1i i i iz -+++====-+z =对选项A ：的虚部是，错误； z 1对选项B ：，正确；1i z =--对选项C ：，故 001z z z z -=≥-011z z ≤+=对选项D ：，即，故，正确； ()()21i 21i 0b -++-++=20b --=2b =故选：BCD.10. 已知向量，，，设的夹角为，则（ ）()2,3a b += ()4,1a b -=- ()2,1c = ,a bθA.B.|2|26b a +=ac ⊥C. D. b c∥cos θ=【答案】BD 【解析】【分析】根据向量的坐标运算得到，，计算，A 错误，，()1,2a =- ()3,1b = 2b a += 0a c ⋅=B正确，与不平行，C 错误，计算夹角得到D 正确，得到答案.b c【详解】设，，则， ()11,a x y = ()22,b x y = ()()1212,2,3a b x x y y +=++=，故，，()()1212,4,1a b x x y y -=--=-121224x x x x +=⎧⎨-=-⎩121231y y y y +=⎧⎨-=⎩解得，，故，，1213x x =-⎧⎨=⎩1221y y =⎧⎨=⎩()1,2a =- ()3,1b = 对选项A ：，故，错误； ()21,5b a +=2b a += 对选项B ：，故，正确；()()01,22,1a c =⋅=-⋅ a c ⊥对选项C ：，故与不平行，错误；3112⨯≠⨯b c对选项D ：，正确；cos a b a bθ⋅===⋅ 故选：BD.11. 在中，内角所对的边分别为，已知，ABC ,,A B C ,,a b c 221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++则（ ） A. 23A π=B. 若是底边为为其内心，则ABC N ::NBC NAC NAB S S S =△△△C. 若，则的周长为157,15a bc ==ABC D. 若，则0,2OA OB OC a ++== OBC S ≤△【答案】ACD 【解析】【分析】分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的相关知识进行求解即可. 【详解】由可得，221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++，则，2221sin sin sin sin cos B C B C A =+++222sin sin sin sin sin A B C B C =++由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A 为三角形内角， 222a b c bc =++2221cos 22b c a A bc +-==-所以，故选项A 正确； 2π3A =若是底边为的等腰三角形，因为，则， ABC 2π3A =2BC ABAC ===设内切圆圆心为， ABC r 则，故选项B 错误； 111:::::1:1222NBC NAC NAB S S S BC r AC r AB r =⋅⋅⋅= 若，因为，由余弦定理可得， 7,15a bc ==2π3A =2222()a b c bc b c bc =++=+-所以，则的周长为15，故选项C 正确；8+=b c ABC 因为，所以为的重心，则，0OA OB OC ++= O ABC 13OBC ABC S S =△△因为，由余弦定理可得（当且仅当时去等号）， 2π3A =2223a b c bc bc =++≥b c =则，所以，故选项D 正确， 43bc ≤111sin 332OBC ABC S S bc A ==⨯≤ 故选：ACD.12. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所12l r 示，则（ ）A. 若，则1r =3l =B. C. 用过顶点的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形AD. 若一只小蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达 B G 【答案】ABD 【解析】【分析】先证明圆锥容球定理，写出推导过程，推出其中几何尺寸之间的代数关系，再根据本题的几何特征逐项分析.【详解】如图，O 为内切球的球心，设圆锥的高为，内切球的半径为R ， AD h =则，，()()2222222,,,CE r OD R l r h AO h R R l r ==-==-=+-()l r r h R-∴=又三角形ABC 的面积，， ()1122222S rh l r R =⨯=+()()(),l r R l r r l r R h r R r+-+∴=∴= ①即， 22R l rr l r-=+ ②设内切球的体积为，圆锥的体积为，内切球的表面积为，圆锥的表面积为，1V 2V 1S 2S 则有，将①代入上式得， 3312224π4π31ππ3R V R V r h r h ==()321122224π4ππππV S R R l r R V rl r S rr ===++由题意，，，将②代入上式得：， 21224π1ππ2V R V rl r ==+()28R r l r ∴=+()()28r l r l r -=+即，所以当时，，A 正确；22960,3l r lr l r +-==1r =3l =由②式得：，由式得：，B 正确； 2221,42R r R r r ===①h =sin h ACB l ∴∠==由于圆锥的对称性，过A 点的平面截圆锥所得的图形必定是等腰三角形，其顶角最大为， BAC ∠由于，，C错误； ()()()22222222233,2,AB AC r r BC r AB AC BC +=+=∴+>π2BAC ∠<对于D ，圆锥展开后的扇形如下图：在上图的扇形中，，由前面的计算知：，， 2π2π33r BAC r ∠==2AG r =3AB r =由余弦定理得：，D 正确； 22222cos 19,BG AB AG AB AG BAC r BG =+-∠=∴= 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．13. 已知一组数据1，2，，4，5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． m 【答案】2 【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. m 【详解】依题意，所以方差为12453,35m m ++++==.()()()()()22222113233343535⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦[]1411425=⨯+++=故答案为：.214. 已知外接圆的圆心为，且是与方向相同的单ABC O ||||,||||1,AB AC AB AC OA AB e +=-== BC位向量，则在上的投影向量为__________． BABC【答案】12e 【解析】【分析】根据题意结合数量积的运算律分析可得，进而可得，结合投影向量运AB AC ⊥60ABC ∠=︒算求解即可.【详解】因为，即，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 则，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 整理得，即，则为圆的直径，0AB AC ⋅= AB AC ⊥BC O 又因为，则为等边三角形，即， 1OB OA AB ===u u u r u u r u u u rOAB 60ABC ∠=︒所以在上的投影向量为.BA BC()11cos 122BA ABC e e e ⎛⎫∠=⨯= ⎪⎝⎭u u rr r r 故答案为：. 12e15. 直三棱柱的底面的直观图如图所示，其中，且111ABC A B C -ABC A B C '''2,1A B A C ''''==13AA =，则直三棱柱外接球的表面积为__________．111ABC A B C -【答案】 17π【解析】【分析】根据条件得出底面是等腰直角三角形，将把直三棱柱补成长方体，再利用ABC 111ABC A B C -长方体体对角线长即长方体外接球的直径，从而求出结果.【详解】因为在底面的直观图中，，由斜二测法知，底面中，ABC A B C '''2,1A B A C ''''==ABC ，且，2AB AC ==90CAB ∠=︒如图，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对线长是直三棱柱外接球的111ABC A B C -111ABC A B C -直径，设外接球的半径为，又，，所以，R 13AA =2AB AC ==12AD R ===故直三棱柱外接球的表面积为111ABC A B C -24π17πS R ==故答案为：.17π16. 在中，为的中点，的平分线分别交于点，且，ABC D AC A ∠BC BD 、E O 、2,6AB AC ==，则__________；__________．60BAC ∠=︒AE =cos EOD ∠=【答案】 ①.②. ##【解析】【分析】利用余弦定理求出，并借助三角形面积公式及角平分线求出，再用余弦定理求出；BC BE AE 然后利用向量数量积求出夹角余弦作答. 【详解】在中，由余弦定理得ABCBC ===因为平分，则，有， AE BAC ∠1sin 301213sin 302ABEACEAB AE S BE AB CE S ACAC AE ⋅====⋅14BE BC ==在中，，即有， ABE ABC BAC BAE ∠>∠>∠AE BE >=由，即，解得； 2222cos30BE AB AE AB AE =+-⋅2744AE =+-=AE 显然，则，12BD AC AB =- 2221136426cos 60744BD AC AB AC AB =+-⋅=⨯+-⨯=即，又，||BD =111()(3)444AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 于是2211(3)(2)(6)88AE BD AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-++⋅ ， 19(643626cos 60)84=-⨯++⨯= 因此cos cos ,||||AE BD EOD AE BD AE BD ⋅∠=〈〉===所以，=AE cosEOD ∠=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； ()2256232i,R z m m m m m =-++--∈z m （2）已知复数，若满足，求的值．i(,R)z a b a b =+∈z i 153i z z z ⋅+=+,a b【答案】（1）；（2）或 3m =33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）是纯虚数，则复数实部为0虚部不为0，计算得到答案.z （2）设，代入计算得到，解得答案. i z a b =+22315a a b b =⎧⎨+-=⎩【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得．z 225602320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩3m =（2）设，所以，i z a b =+i z a b =-．22i (i)(i)i(i)i 153i z z z a b a b a b a b b a ⋅+=+-++=+-+=+所以，解得或. 22315a a b b =⎧⎨+-=⎩33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩18. 某高校为了对该校研究生的思想道德进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100] 知，分值在的人数为15．2b a c =+[]90,100（1）求图中的值；,,a b c （2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的思想道德是否良好．【答案】（1），，0.0275a =0.02b =0.0125c =（2）该学校研究生思想道德良好． 【解析】【分析】（1）根据频率确定，再根据频率和为1计算得到答案. 0.0125c =（2）分别根据公式计算平均数和中位数，比较得到答案.【小问1详解】分值在的人数为15人，所以的频率为，即． [90,100][90,100]15=0.1251200.0125c =，又，所以，2a c b +=(0.030.00750.0025)101a b c +++++⨯=0.06a c b ++=解得，. 0.02b =0.0275a =【小问2详解】 这组数据的平均数为：，450.025550.075650.2750.3850.275950.1257675⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>前组频率和为， 3()100.00250.00750.020.3⨯++=前组频率和为，4()100.00250.00750.020.030.6⨯+++=故这组数据的中位数满足，解得， m 0.50.3(70)0.03m -=-⨯76.775m =>所以该学校研究生思想道德良好．19. 如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是ABCD PQSH -ABCD PADH ⊥,ABCD PAD 正三角形，是底面的中心，是线段上的点．N ABCD M PD（1）当//平面时，求证：平面；MN PABQ AM ⊥PCD （2）求二面角的余弦值． P BC A --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）连接，证得，由底面是正方形，所以，根据面面垂直的PB MN PB ∥ABCD CD AD ⊥性质，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证CD ⊥PADH CD AM ⊥AM PD ⊥得平面；AM⊥PCD （2）取的中点分别为，连接，证得即为所求二面角的,AD BC ,G O ,,PG PO GO POG ∠P BC A --平面角，在直角中，结合，即可求解. PGO △cos GOPOG PO∠=【小问1详解】 证明：连接，PB 因为平面，平面，且平面平面， //MN PABQ MN ⊂PBD PBD PABQ PB =所以，MN PB ∥又因为在中，是的中点，所以是的中点，PBD △N BD M PD 因为底面是正方形，所以，又因为平面平面， ABCD CD AD ⊥PADH ⊥ABCD 平面平面平面，所以平面， PADH ⋂,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥PADH 因为平面，所以，所以是正三角形， AM ⊂PADH CD AM ⊥PAD 所以，因为，且平面，所以平面．AM PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD AM ⊥PCD 【小问2详解】解：取的中点分别为，连接， ,AD BC ,G O ,,PG PO GO 所以是正三角形，所以，PAD PG AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PG ⊂PAD 所以平面，PG ⊥ABCD 因为平面，所以，BC ⊂ABCD PG BC ⊥又因为且平面，所以平面，BC GO ⊥,,PG GO G PG GO =⊂ PGO BC⊥PGO 因为平面，所以，则即为所求二面角的平面角， PO ⊂PGO BC PO ⊥POG ∠P BC A --设，则， AD a =,GO a PG ==在直角中，，所以， PGO △PO =cos GO POG PO ∠==即所求二面角． P BC A --20. 已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，以为邻边作平行四边O 4,AB C =A ,AO AC 形，且，如图所示，设AODC 2ED CE =,OC a AD b ==（1）若，求的值；OE a b λμ=+λμ+（2）在线段上是否存在一点，使得?若存在，确定点的位置，并求；若不存AC F DF OE ⊥F ||AF 在，请说明理由．【答案】（1）1 （2）存在，为线段靠近的四等分点，AC C 3||2AF = 【解析】【分析】（1）法一：以作为基底向量，利用平面向量的线性运算法则表示向量，结,OC a AD b == OE合平面向量基本定理列方程求得，即可得的值；法二：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标,λμλμ+运算，列方程求解的值，即可得的值；,λμλμ+（2）法一：令，由得数量积为，根据向量的线性运算即可列方程求解即可得答AF t AC = DF OE ⊥0案；法二：根据数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】法一：因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A60AOC ∴∠=︒又因，则为正三角形且平行四边形为菱形AO CO =AOC AODC2ED CE = 为线段靠近的三等分点E ∴CD C因，令,OC a AD b ==AD OC K ⋂=∴1111151()3332266OE OC CE a CD a KD KC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，则51,66λμ==∴1λμ+=法二：如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系O AB xxOy因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A 且为正三角形、平行四边形为菱形60AOC ∴∠=︒,AOC COD AODC 则(2,0),(2,0),(A B C D --为线段靠近的三等分点2ED CE E =∴CD C ，故13E ⎛∴- ⎝13OE ⎛=- ⎝(a OC b AD ==-==OE a b λμ=+((13133λμλμ⎧-+=-⎪⎛∴-=-+∴ ⎝+=56116λλμμ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪=⎪⎩【小问2详解】法一：存在点，使得F DF OE ⊥令因平行四边形为菱形，所以AF t AC = AODC 0,||2,||a b a b ⋅===112()2222t t DF AF AD t AC b t KC KA b t a b b a b -⎛⎫=-=-=--=+-=+ ⎪⎝⎭2251252524120662212121212t t ta t t t DF OE a b a b b ---⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且33||||42AF AC == 法二：存在点，使得F DF OE ⊥令()AF t ACt t ===(3,()(DF DA AF t t ∴=+=-+=-33303t DF OE t -∴⋅=-+-=34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且.33||||42AF AC == 21. 今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了2π,,3BAC AB AC ∠=ABC 保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．AEF △π3EAF ∠=（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带AE AF π12CAF ∠=总长为多少米？AE AF +（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？ AEF △【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理和三角形面积公式求出面积的表达式，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解. 【小问1详解】因为为等腰角形，且顶角为，所以， ABC 2π3π6B C ==在中，由，则， AFC △ππ,126CAF C ∠==3π4CFA ∠=由正弦定理， πsin sin6AC AFCFA=∠12AF =中， AF ∴==ABE ππππ,31246BAE B ∠=-==则，由正弦定理可得， 7π12AEB ∠=πsin sin 6AB AEAE AEB=∴==-∠，所以灯带总长为.AE AF ∴+=AE AF +【小问2详解】设，则， CAF θ∠=π3BAE θ∠=-由正弦定理可， 3030,5πcos sin 6AF AE θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭1πsin 23AEF S AE AF ∴=⨯⨯=△=，πππ5π0,2,3666θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当即时，，ππ262θ+=π6θ=πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭面积最小为AEF S =△所以就餐区域面积最小值为平方米.22. 如图①，在梯形中，，，，将ABCD ,2,60AB CD AB A =∠=︒∥90ABD Ð=°45CBD ∠=︒沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交ABD △BD A BD ' A C '=B A C '于点．,A D A C '',E F（1）求证：平面； BE ⊥A CD '（2）求点到平面的距离． F A BD '【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质得到，最后CD A D '⊥CD BE ⊥利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）方法一：通过作垂线的方法得到垂线段的长度即为点到平面的距离，然后求距离即FG F A BD '可；方法二：利用等体积的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：如图①，，，，， 2AB = 60A ∠=︒90ABD ∠=︒45CBD ∠=︒，，4AD ∴=BD CD ==如图②，∵，，，4A D '=CD =A C '=，222A D CD A C ∴+=''，CD A D '∴⊥，且，平面，CD BD ⊥ A D BD D '= ,A D BD '⊂A BD '平面，CD \^A BD '又平面，，BE ⊂ A BD 'CD BE ∴⊥平面，且平面，，A C '⊥ BEF BE ⊂BEF BE A C '∴⊥又，且平面，平面．A C CD C '⋂= ,A C CD '⊂A CD 'BE ∴⊥A CD '【小问2详解】方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， F FG A D '⊥G BE ⊥A CD '而平面，FG ⊂A CD '，BE FG ∴⊥且，平面，平面， A D BE E '⋂=,A D BE '⊂A CD 'FG ∴⊥A BD '则垂线段的长度即为点到平面的距离．FG F A BD '在中，，，A BC ' 2AB '=BC =A C '=，222A B CB A C ''∴+=，BC A B '∴⊥由已知得，则 BF A C '⊥A F '=由（1）知，，， CD A D '⊥A F FG A C CD '∴='FG ∴=即点到平面． F A BD '方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， F A BD 'F A BE '由（1）知平面，平面，， BE ⊥A CD 'A D '⊂A CD 'BE AD ∴⊥在直角三角形中，，，，A BD '2AB '=4A D '=BD =由等面积得，， 1122A B BD A D BE ''⨯⨯=⨯⨯即，， A B BD BE A D'⨯=='1A E '∴=平面，且平面，，A C '⊥ BEF EF ⊂BEF EF A C ∴⊥'由（1）知，∽，， CD A D '⊥A FE '∴△A DC ' A F A D A E A C ''∴=''A F '∴=则在直角三角形中， A FE 'EF =设点到平面的距离为， F A BE 'd 在三棱锥中，由等体积得，，F A BE '-F A BE B A EF V V ''--=即 1133A BE A EF d S BE S ''⨯⨯=⨯⨯ △， 11113232d BE A E BE EF A F ''∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， d ∴=即点到平面． F A BD '。

七年级数学5月月考试卷及解析

七年级数学5月月考试卷及解析

第1页 共2页七年级联考数学试卷一、选择题（10×3=30分）1.下列方程组中，二元一次方程组是（ ）.（A ）2526xy x y =⎧⎨-=⎩ （B ）23,3410x y x y -=⎧⎨+=⎩ （C ）2131x y y z -=⎧⎨=+⎩ （D ）211x y x ⎧=⎨-=⎩2．如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（ ）奥迪 本田 大众 铃木A B C D3．如图,小手盖住的点的坐标可能是( )(A)( 6,-4) (B)(5,2) (C)(-3,-6) (D)(-3,4)4．如图，点E 在B C 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是（ ）A ．∠3=∠4B ．∠B=∠DCEC ．∠1=∠2D ．∠D+∠DAB=180°5．如图一直角三角形硬纸板ABC 的直角顶点C 放在直线DE 上，使AB ∥DE ，若∠BCE = 35°，则∠A的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°6.下列各组数中是方程组23,3410x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为( )（A ） 21x y =⎧⎨=⎩ （B ） 27x y =-⎧⎨=-⎩ （C ） 11x y =⎧⎨=-⎩ （D ） 33x y =⎧⎨=⎩7．某车间有56名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓16个或螺母24个，问怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母按1︰2配套。

设生产螺栓x 人，y 人生产螺母，由题意，可列出方程组（ ）（A ）56,22416x y x y +=⎧⎨⨯=⎩ （B ）56,21624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩ （C ）28,1624x y x y +=⎧⎨=⎩ （D ）56,2416x y x y+=⎧⎨=⎩ 8．将一组整数按如图所示的规律排列下去. 若有序数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示的数为8，则（7, 4）表示的数是（ ）A. 32B.24C.25D. -25....................10-98-76-54-32-1第2页 共2页9．坐标平面内，点P 在y 轴右侧，且点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标是 （ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（2，3）或（2，-3）D ．（3，2）或（3，-2）10．如图, AB ∥CD, OE 平分∠BOC, OF ⊥OE, OP ⊥CD, ∠ABO ＝40°, 则下列结论:①∠BOE ＝70°; ②OF 平分∠BOD; ③∠PO E ＝∠BOF; ④∠POB ＝2∠DOF. 其中正确结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④二、填空题（6×3=18分） 11．9的算术平方根是 ，2)4(±的算术平方根是 ，36的算术平方根是 .12．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-1，3），线段AB ∥X 轴，且AB=4，则点B 的坐标 为13．如图所示将一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠后，ED 与BF 交于G 点，若∠EFG =50°，则∠BGE的度数为14．如图所示，直角三角形ACB, 90C ∠=,AC=12, 将直角三角形ACB 沿CB 方向平移得直角三角形DEF ，BF=4，DG=3,则阴影部分面积为 .1５．如图所示，直线BC 经过原点O ，点A 在，４）,C(n ，-６)，A （５，0）， 则AD · BC= .16．如图所示，已知：AB ∥CD ，BF 平分∠ABE ，DF 平分∠CDE ，∠BFD=140°,∠BED 的度数为 。

高一5月月考试卷含解析 试题

高一5月月考试卷含解析 试题

HY中学2021-2021学年高一语文5月月考试卷〔含解析〕现代文阅读阐述类文本阅读阅读下面的文字，完成小题。

中土香事有着长远的传统，一是礼制中的祭祀之用，熏燃蒿草和动物脂肪，使气味上达于天，祖先神灵于是安而飨之。

二是日常生活中的焚香，即焚于室内，以祛秽气：熏衣与被，以取芳馨。

魏晋南北朝时期，随佛教东传的香事不过是融A外乡固有的风俗，而非创立新制。

到两宋，香事兴盛兴旺。

元代出现线香，香事里便有了“快餐文化〞，不过追求古法与古意的一脉，却始终不曾断绝，直到明清。

中土香事开展演变，有两条主要线索，一是香料的变化，二是香具的变化。

影响香具变化的因素也大致有两项：其一与香料相关，其一与用处相关。

后者便是因供养器具与日常生活用器之别而有了香炉的式样和风格之别，或者者说俗与雅之别。

设于寺院为公众所用者，自然不以难为HY；设于桌案为士人所用者，自求古朴典雅。

两宋，香妒传统式样完成它最后的演变，并且新创的形制几乎都成为后世开展变化的样范。

焚香以求雅韵，即把它作为一种生活方式，大约自唐代始，宋人那么把香事的日常化、诗意化推向极致。

宋代士人之焚香，追求的不是豪奢，亦非点缀风雅，更没有仪式化的成分，而是本来保持着的一种生活情趣。

宋代士人视焚香为日常，从水沉香的使用可知当时用香的大概情况。

南北朝时期沉香已经入药，作为香料，它也被这时候的合香家引入香方。

不过这时候合香所用，仍以霍香、郁金、麝香为多。

宋人重沉香，和合众香制作香饼，水沉香也是核心。

调和众香制作香饼，从两宋的香方来看，根本原那么与现代调香工艺多有相通。

而宋人艳称的“龙涎香品〞也是以水沉香为本，杂以脑麝香花而制成的舍香。

为宋人所喜者又有“蒸沉〞，即用蒸馏香水的方法薰制水沉香，调配出个性化的香气。

类似的方法宋人创造了不少。

随佛教东传而来的合香之法，两宋已经完全外乡化。

本草学的开展此际到达一个HY，园艺学的兴旺也可谓空前。

牡丹、梅、菊等各有专谱，“更将花谱通香谱〞乃是必然，成为宋代合香的重要特色之一。

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五月月考试卷解析现代文阅读一①知识分子应该担负起一种特殊的责任——知识的责任。

所谓知识的责任，既指学术责任，更指社会责任。

②担负学术责任，他的前提是建立起负责任的思想。

怎样才算负责任呢？它需要搜集大量的事实根据，再经过逻辑的审核，最后形成周密的体系。

从这个标准来看，建立负责任的思想是很艰辛的，需要漫长的过程，有时需要付出巨大的代价。

比如在实验室做实验，受伤的人不知有多少，有的甚至献出生命；再如去荒山沙漠勘探，因为天灾人祸而死伤的人也不知有多少。

他们不依赖空想和幻想，他们看重实验，这便是对思想负责任。

③担负学术责任，还要能对这种思想去负责。

思想一旦建立之后，就应该去发表，去推进，去扩充。

在发表以前，当然要斟酌它是不是真理，可不可以发表；但做出发表的决定之后，如果没有新的发现或修正，也没有为别人更精辟的学说所折服，那就应当以大无畏的精神把它更有力地推进，更广大地扩充。

比如哥白尼最先发表地动学说，说太阳是不动的，地球及其他行星都在他的周围运行，他因此受到教会的迫害。

后来布鲁诺继续研究，认可了这个思想，并极力传播，结果惹怒了教会，被处以极刑。

伽利略继起，凭借物理学的证明，发扬光大了这种学说，却为此锒铛入狱。

他们虽受尽困辱，但科学思想因他们的负责而熠熠生辉。

④再进一层说，知识分子还应为社会担负起更大的责任----做“社会的良心”。

他们要用责任的思想照亮时代，用高尚的人格感染世人，否则如何对得起自己的天赋？如果对得起国家民族的赐予？又如何对得起历史先哲的伟大遗留？在中国，知识分子被称为“士”。

曾子说：“士不可以不弘毅，任重而道远。

”身为知识分子，就应该抱一种天降大任义不容辞的态度，去担当领导大众继往开来的责任。

范仲淹主张“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”，也正是有了这样的抱负，他才被称为真正的知识分子。

他的“胸中十万兵”，也是由此而来的。

⑤古人说“天下兴亡，匹夫有责”，更何况知识分子？让我们互相勉励，勇敢地担负起知识的责任来，克服困难，振兴民族。

【分析文章】1、明确文体：议论文2、明确话题：题目即是文章的话题——知识的责任3、理清说明层次：第一层（1）：提出中心论点——知识分子应该担起知识的责任。

第二层（2—4）：论证为什么和怎样担负知识责任。

2：担负学术责任的前提是建立起负责任的思想。

3：担负学术责任还要对这种思想去负责。

4：知识分子应为社会担负起更大的责任——作“社会的良心”。

第三层（5）号召知识分子要勇敢地担负起知识的责任【题目解析】5、本文的中心论点是（）A、让我们相互勉励，勇敢地担负责任，克服困难，振兴民族。

B、知识分子应该担负起知识的责任。

C、担负学术的责任前提是建立负责任的思想。

D、知识分子应做“社会的良心”。

【分析】：1、审题：概括本文中心论点2、明确答题思路：紧扣论证话题，思考中心论点，往往是文章的开头或结尾，往往会以“我们要------”、“我们应该------”或肯定的判断句来体现，有时也需要自己概括。

3、阅读文章，理清全文思路，概括出论点。

可以得出，A在文章结尾，似乎是文章的总结重申论点，但是此答案将“知识的责任”换成了“责任”，属于将概念外延扩大。

B是中心论点。

C和D是文章的分论点，与B是从属关系。

4、明确答案：B6、下列表述不符合内容的一项是（）A、本文中作者所说的知识分子的责任由两个方面，一是指学术的责任，二是指社会的责任；B、文中通过做实验会受伤、荒山沙漠的勘探说明建立负责任的思想是艰辛的、需要付出代价；C、引用伽利略的事例论证了”思想一旦建立之后，就应该去发表，去推进，去扩充。

“这一观点；D、引用曾子的话说明身为知识分子就应该有一种领导大众继往开来的责任和担当。

【分析】：1、审题：不符合内容的一项2、明确答题范围：全文内容3、阅读选择项，明确选择项的信息。

A、知识分子的责任的两个方面；B、举做实验受伤、荒山沙漠的勘探的例子的作用；C、举伽利略的例子的作用；D、引用曾子的话的作用。

4、明确选择项对应段落，确定选择项与原文是否相符。

A对应第1段，与原文相符。

B对应第2段，与原文相符。

C对应第3段，与原文不符，应该是证明“担负学术责任，要能对这种思想去负责”。

D对应第4段，与原文相符。

5、明确答案：与原文不相符的是C（事例与论点的关系）7、下列材料不支持本文观点的一项是（）A、面对国民党的独裁统治，闻一多拍案而起，用实际行动唤醒民众追求民主。

B、面对外族入侵，文天祥苦苦支撑，领兵报国，舍生取义，一片丹心，光耀青史。

C、面对山间美景，王维流连不去，甘愿远离官场，写诗自娱，为后人留下优美的诗句。

D、面对麻木的民众，鲁迅毅然弃医从文，在茫茫黑夜中的呐喊，激励中华儿女前行。

【分析】：1、审题：材料不支持观点的2、阅读选择项，明确选择项的信息。

A、闻一多唤醒民众追求民主；B、文天祥领兵报国；C、王维写诗自娱，留下诗句；D、鲁迅弃医从文，呐喊激励中华儿女。

3、结合论点，思考答案。

A、B、C中的知识分子都担负了知识的责任；而C中的王维却只做到了写诗自娱。

文言文阅读【甲】万历末，詹懋举者守颍州，偶召木工。

詹适弹琴，工立户外，矫画指，若议其善否者。

呼问之曰：“颇善此乎？”曰：“然。

”使之弹，工即鼓前曲一过，甚妙。

詹大惊异，诘所自。

工曰：“家在西郭外，曾见一老人，贸薪入城，担头常囊此，因请观之，闻其弹，心复悦之，遂受学耳。

”詹予以金，不受，曰：“某，木工也，受工之直而已。

”又曰：“公琴皆下材，工有琴，即老人所贻，今以献公。

”果良琴也。

詹乃从之学，一时琴师莫能及。

【乙】钟弱翁所至，好贬驳榜额字画，必除去之，出新意，自立名为重书之，然书实不工，人皆苦之。

尝过庐陵一山寺，有高阁壮丽。

翁弱与僚属部曲拥立，望其榜，曰：“定惠之阁”，旁题姓名漫灭。

弱翁放意称谬，使僧梯取之，拂拭就视，乃鲁国颜真卿书，弱翁顾谓曰：“似此字画，何不刻石？”即令刻石，侍者以为笑【文章分析】1、万历末，詹懋举者守颍州，偶召木工。

做太守偶尔万历年间，詹懋举任颍州的太守。

有次偶尔召用木工。

2、詹适弹琴，工立户外，矫首画指，若议其善否者。

恰好抬起来好像评价好詹正在弹琴，木工站在窗外，抬头画指，好像在评价好坏。

3、呼问之曰：“颇善此乎？”曰：“ 然。

”代词很擅长是的詹懋举把他叫来问道：“你很擅长弹琴吗？”木工答说“是”。

4、使之弹，工即鼓前曲一过，甚妙。

让代词就弹奏量词，遍很詹懋举让他弹，木工就演奏了一遍刚才詹懋举弹的曲子，弹得很好。

5、詹大惊异，诘所自。

工曰：“家在西郭外，非常问从詹懋举非常惊讶，问他从哪学来的。

木工回答说：“家在西郊外，6、曾见一老人，贸薪入城，担头常囊此，卖柴用口袋装见一老人进城卖柴，总把琴装在口袋里挂在担头，7、因请观之，闻其弹，心复悦之，遂受学耳。

于是看代琴听他对------感到高兴接受于是我请求看那琴，听他弹奏，心里又感到很高兴，于是就向他学习弹琴。

8、詹予以金，不受，曰：“某，木工也，受工之直而已。

”给予拿接受的同“值”，价值詹给他钱，他不要，说：“我，是贫贱的木工，只要做工的酬劳。

”9、又曰：“公琴皆下材，工有琴，即老人所贻，今以献公。

”都下等是赠给把又说：“您的琴是下品，我有琴，是老人赠的，现在献给您。

”10、果良琴也。

詹乃从竟学，一时琴师莫能及。

果真于是跟从完成没有人比得上果然是把好琴。

詹懋举于是跟着木工学琴，学完以后，当时的琴师没有一个能比得上他。

【乙】1、钟弱翁所至，好贬驳榜额字画，必除去之，到喜欢贬低一定消除钟弱翁每到一地方,都喜欢贬低榜额上的字画,总是要把它们消除掉,2、出新意，自立名为重书之，然书实不工，人皆苦之。

自己替重新写但是实在工整以------为苦想一些新的东西,自己拟名为他们重新书写,但是写的实在不够工整,人们都饱受其害.3、尝过庐陵一山寺，有高阁壮丽。

弱翁与僚属部曲拥立，望其榜经过侍从兵士他曾经路过庐陵的一个山中寺庙,那有一个很壮丽的高高阁楼.钟弱翁和手下人站在下面看塔的榜文,4、曰：“定惠之阁”，旁题姓名漫灭。

弱翁放意称谬，旁边模糊随心所欲错误而旁边的题字人的名字看不清楚，弱翁就肆意的说榜文的缺点，5、使僧梯取之，拂拭就视，乃鲁国颜真卿书，让用梯子靠近是叫寺僧拿梯子取下榜文, 擦拭后靠近一看，是鲁国颜真卿书写的,6、弱翁顾谓曰：“似此字画，何不刻石？”即令刻石，侍者以为笑。

像就把------当作弱翁就说:"像这样的字画,怎么能不刻一个石碑?"就命令为字刻石碑,他手下的服侍的人把这当做一个笑柄。

8、下列句子中加点的词语解释错误的一项是：（）A、工即鼓前曲一过（过：经过）B、受工之直而已（同“值”，这里指工钱。

）C、即老人所贻（贻：赠送）D、自立名为重书之（重：重新）【分析】A中的“过”在这里应是量词，为“遍”。

9、下列句子中加点字的用法相同的一项是（）A、今以献公先帝不以臣卑鄙B、必除去之徐公不若君之美也C、自立名为重书之无老壮皆为垂涕D、乃鲁国颜真卿书詹乃从竟学【分析】A中的以是把、因为的意思；B中的之时代词、取独的用法；C中的韦都是替的意思；D中的乃是是、于是的意思。

答案为C10、下列表述不符合文本意思的一项是A、到詹懋举家做工的木工出众的琴技，是从一位卖柴的老人那里习得的。

B、詹懋举向这位木工学习琴技，并把自己从老人那里得到的一把琴赠给木工。

C、钟若翁喜欢随意贬低别人的字画，说明他很自以为是。

D、钟若翁知道榜文上的字是颜真卿写的后，让人将其刻为石碑，他手下的人把这件事当做笑柄。

【分析】答案B中不是詹懋举把琴赠给木工，而是木工将自己从老人那里得到的琴送给詹懋举。

现代文阅读二经济学家、社会学家、人类学家可能找得出一百个方式来回答“文化为什么重要”这个问题，但是我可以从一场戏说起。

有一天台北演出《四郎探母》，我特别带了八十五岁的父亲去听。

从小听他唱“我好比笼中鸟，有翅难展；我好比虎离山，受了孤单；我好比浅水龙，困在了沙滩……”，老人想必喜欢。

遥远的十世纪，宋朝汉人和辽国胡人在荒凉的战场上连年交战。

杨四郎家人一一壮烈阵亡，自己被敌人俘虏，娶了敌人的公主，在异域苟活十五年。

铁镜公主聪慧而善良，异乡对儿女已是故乡，但四郎对母亲的思念无法遏止。

悲剧的高潮就在四郎深夜潜回宋营探望老母的片刻。

卡在“汉贼不两立”的政治斗争之间，在爱情和亲情无法两全之间，在个人处境和国家利益严重冲突之间，已是中年的四郎跪在地上对母亲痛哭失声：“千拜万拜，赎不过儿的罪来……”我突然觉得身边的父亲有点异样，侧头看他，发现他已老泪纵横，泣不成声。

父亲十六岁那年，在湖南衡山乡下，挑了两个空竹篓到市场去，准备帮母亲买菜。

路上碰见国民党政府招兵，这十六岁的少年放下竹篓就跟着去了。

此后在战争的炮火声中辗转流离，在两岸的斗争对峙中仓皇度日，七十年岁月如江水漂月，一生不曾再见到那来不及道别的母亲。

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