第3讲-湍流运动方程
湍流
引言
➢ 湍流研究的内容和手段
1. 认识湍流： 利用实验或数值模拟为某些湍流流动提供定性或定量的流动信息
2. 模拟预测湍流： 对湍流进行理论或模式研究，建立可行的数学模型来准确预测湍流
3. 控制湍流： 利用实验、理论、数值模拟等手段，研究湍流流动的控制方案 减小阻力、增强混合、延迟转捩、控制分离
雷诺实验
➢ 常见的随机声波(噪声)也是一种随机运动，但它的粘性损 耗很小，本质上是非耗散的，因此不属湍流的范畴。
湍流的分类
湍流的分类
自然界和工程技术中遇到的绝大多数流动是湍流。 对此可以举出许多例子，比如地球大气边界层、较高的 对流层、太阳风中地球的尾迹、海洋中的水流、河流和 沟渠内的水流、船舶和飞机的尾流等。根据Ferziger （1983）的建议，可将湍流大致分为：
——开辟了湍流统计理论的道路
提出了雷诺应力的封闭问题
分子运动对湍流脉动的比拟
Boussinesqe 湍涡粘度
Prandtl
混合长度
近代湍流的奠基人
G.I. Taylor 英国 随机涡
N. Kolmogorov 苏联 各向同性湍流
周培源
中国 湍流模式理论
Osborne Reynolds
（1842－1912）
➢ 由于大涡单位质量的动能为0.5u2，能量传输率应为u3/l。 在某些剪切湍流中，也会出现能量的反向传递。
湍流的耗散性
6.湍流的耗散性（dissipation）。
➢ 在最小尺度涡的脉动中，能量不断被粘性转换为热，从 而不会进一步出现更小乃至无限小尺度的运动。
➢ 为补偿粘性耗散，湍流需要不断补充能量，湍流中能量 耗散率应与能量传输率相当，否则将很快衰减。
➢ 控制流动状态的参数为雷诺数 Re UmD /
高等流体力学：03第3讲_湍流运动方程
Dt
xi
7
NS方程（4）
运动方程 不可压缩流动的方程简化
ui t
uj
ui x j
fi
p xi
2ui x j 2
3
xi
uk xk
D
Dt
ui xi
0
ui t
uj
ui x j
fi
1
p xi
2ui x j 2
ui xi
0
8
NS方程（5）
雷诺方程 NS方程的平均化处理
9
NS方程（6）
− 连续性假设？
NS方程自身有复杂的特性吗？
− 一般情况下，N-S方程初边值问题解的存在和唯一性尚未 完全 得到证明。只有在苛刻条件下，方程解的存在和唯一才有证明。
− 定常方程：存在解；但只有小雷诺数解才是唯一的
− 非定常二维方程：解是存在的，也是唯一的
− 非定常三维方程：小雷诺数时有唯一解；大雷诺数时情况比较 复杂，如只在一定时间内存在唯一解，雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小。
13
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程 雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能方程的各项
生成项
湍动能Βιβλιοθήκη 扩散项耗散项15
湍流标量的输运方程
标量方程 温度标量输运方程
被动性
16
高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
内容
NS方程
− 湍流问题 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动运动方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流流动
6. 湍流流动
6.2 湍流流动的雷诺方程
传 输 原 理 － － 2 物 0 0 理 6 量 湍流依然受到宏观物理规律的制约，满足连续性方程与 纳维－斯托克斯方程及相应的定解条件。 湍流运动是一种极不规则的随机运动，脉动频率很高， 从一般给定时间的条件去求解瞬时运动是不可能的。 从实际应用角度看，某种统计平均值比瞬来自值更重要。v′ = z
v z = v z + v′ z
时均化与偏微分相互独立，表现在数学上，可交换运算次序。
物
vz = 1
τ
∫
τ
0
vz dτ
∂ v z ∂v z = ∂x ∂x
∂v′ z =0 ∂x
∂ 2vz ∂ 2vz = 2 2 ∂x ∂x
∂ 2 v′ z =0 2 ∂x
′ v x v y = (v x + v′ )(v y +vvv y = v x v y + v′ v y + v x v′ + v′ v′y x xy) x y x v x v y = v x v y + v′ v′y x
vx
vx
∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂v y ∂z
=
µ ∂ v y ∂ v y ∂ v y 1 ∂p − + + ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂y
2 2 2
µ ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂vz ∂v ∂v + v y z + v z z = 2z + 2z + 2z ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z
∂ v′2 ∂ v′y v′ ∂ v′ v′ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x x = µ 2 + 2 + 2 − ρ x + ρ vx + vy + vz + z x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z
湍流一方程模型
一方程模型
延迟符
代入（v）式得雷诺应力的偏微分方程如下：
一方程模型
延迟符
该式也称为雷诺应力输运方程，其中各项的物理意义如下：
①单位质量流体雷诺应力的物质导数，包括当地变化率和迁移变化率。② 产生项，雷诺应力对时均流速场所做的变形功。③、④统称湍流扩散项，但其物理本质有所不同，其中：③实质为脉动流速场中单位质量流体雷诺应力 的迁移变化率。这一项为脉动流速的三阶矩，共有 27 项，又由于对称性，故只有 18 项。④由于脉动压力引起的湍流扩散。⑤为分子扩散项。⑥ 为粘性耗散项。⑦ 湍流脉动压力与脉动变形速率的作用，称为压力变形项。
此时雷诺方程为：
两式相减可以得到：
一方程模型
延迟符
将（ii）式中脚标 j 改为 l（因为是哑标，对方程式无影响，而对下一步推导却带来很大方便），得：
对于 N-S 方程和雷诺方程中 j 方向的方程相减得到：
一 u′j加上(iv)式乘以u′i ，然后加以时间平均，得：
一方程模型
延迟符
可以得到
式中
一方程模型
代入（i）式，并化简得
延迟符
从左到右共六项，物理意义如下：脉动动能的当地变化率脉动动能的迁移变化率产生项脉动流场的空间不均匀性而导致的脉动动能与脉动压能的迁移变化率脉动扩散项在动能方程中的脉动粘性耗散项，即ε
一方程模型
延迟符
下面将用更一般的方法来推导有关湍流脉动流速的有关方程。当不考虑质量力，或在重力场中，压力项代表流体动压力时，湍流瞬时的 N-S 方程可写成
一方程模型
延迟符
令 i＝j，并以
代入，即可得湍流脉动动能方程，即 k 方程：
该公式与第一次求得k方程是一致的
一方程模型
湍流模型方程
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
第3章-均匀各项同性湍流
上面三式构成了不可压湍流的基本方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不 可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能 利雷诺应力方程可以简化为：
由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程
脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化， 一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任 何作用。
上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早 由Karman和 Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman-Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单 得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。
由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。
于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。
，或者说湍流脉
动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.2 不可压缩均匀湍流的谱理论 对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，
可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：
湍流方程及其解法
湍流方程及其解法湍流是大自然中常见的一种流动方式。
在许多工业和实际应用中，湍流的存在和发展是无法避免的。
因此，对湍流的研究一直是科学家们关注的焦点。
湍流方程是描述湍流流动的一组偏微分方程，其解法对于理解湍流现象有着重要意义。
一、湍流方程湍流方程可以分为两类：一类是基于平均场的运动方程，另一类是直接模拟湍流流动的Navier-Stokes方程。
对于前者，一般采用雷诺平均方法（RANS）来进行模拟。
RANS假设湍流流动可以用时间平均值表示，这样可以把湍流流动分解成平均流动和湍流脉动两部分。
根据这个假设，可以得到雷诺平均Navier-Stokes方程和湍流模型。
其中，湍流模型根据不同的湍流流动特性和物理机制，采用不同的假设和公式来描述湍流脉动。
对于后者，Navier-Stokes方程是描述流体运动基本规律的方程之一。
它由连续性方程和动量方程组成。
其中，连续性方程描述了连续体的质量守恒定律，动量方程描述了连续体的动量守恒定律。
由于这两个方程的非线性和耦合性，Navier-Stokes方程的解析解一直未能得到，只能采用数值方法对其进行求解。
二、湍流模拟方法对于湍流方程的求解，可以采用直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均模拟（RANS）等方法。
DNS是直接模拟湍流流动的方法，它对Navier-Stokes方程进行数值求解，没有对湍流进行平均处理。
由于DNS需要对所有长度尺度的湍流涡进行精细模拟，所以计算量非常大。
目前，DNS主要用于理论研究和小规模问题的模拟。
LES是基于湍流能量分布的假设，将大尺度涡流动进行模拟，小尺度涡流动则采用湍流模型进行预测。
这样可以降低计算量，同时也能够保留一定的湍流结构。
LES主要用于工程实践问题的模拟。
RANS则是利用时间平均方法对流场进行模拟。
RANS基于湍流统计平均，采用不同的湍流模型来描述湍流脉动。
RANS计算量比DNS和LES小得多，但精度也相对较低，主要用于工程大规模问题的模拟。
湍流运动方程
湍流运动方程
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程之一，它在流体力学中具有重要的意义。
湍流是指流体在运动过程中产生的无规则、混乱的流动状态。
它具有高度的不可预测性和复杂性，因此对湍流的研究一直是流体力学领域的重点之一。
湍流运动方程能够描述湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供了理论基础。
湍流运动方程的基本形式可以用一维不可压缩Navier-Stokes方程组来表示，即连续性方程和动量方程。
连续性方程描述了流体质点的质量守恒，它表明在流体运动过程中，单位体积内的质量保持不变。
动量方程则描述了流体质点的动量守恒，它包含了流体的惯性力、压力力和粘性力等因素的影响。
湍流运动方程的求解是一个极为复杂的问题，因为湍流本身的非线性和不可预测性使得方程的解析解难以得到。
目前，研究者主要采用数值模拟方法来求解湍流运动方程，通过计算机模拟湍流现象的发展和演化过程，从而获得湍流的统计特性和动力学行为。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究具有重要意义，也在工程技术领域有着广泛的应用。
例如，湍流运动方程的研究可以用于优化飞机、汽车和船舶等交通工具的设计，改善其流体力学性能；同时，湍流运动方程的研究也可以应用于气象预报、水力学和环境工程等领域，提高相关问题的解决效率和准确性。
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程，它具有重要的理论和应用价值。
通过研究湍流运动方程，可以深入了解湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供理论支持。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究有着重要意义，也在工程技术领域具有广泛的应用前景。
通过进一步深入研究和探索，相信湍流运动方程的应用将会得到进一步的拓展和发展。
湍流的数学模型
湍流的数学模型第五讲流体仿真与应用◆湍流认识19世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动，Reynolds最初将这种流动现象称之为摇摆流（sinuous motion），其后Kelvin将其改名为湍流（turbulence），这个名字一直沿用至今。
◆湍流物理特征湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成，其中最大涡尺度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定；流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并，流体质点轨迹不断变化；在某些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些情况下，流场随机运动和拟序运动并存。
“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
▼不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组出现不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。
要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。
基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。
湍流模型雷诺应力模型雷诺应力方程模型代数应力方程模型两一零方程模型方程模型方程模型湍动粘度类模型◆雷诺应力类模型这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。
▼雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型。
▼若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为代数应力方程模型。
▼一方程模型一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程模型更为合理。
但是，一方程模型中如何定长度比尺仍是不容易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭的一类处理方法。
▼二方程模型两方程模型中标准模型及各种改进模型在工程中获得了最广泛的应用。
εκ−▼标准两方程模型εκ−○标准两方程模型常数取值εκ−▼标准模型的控制方程εκ−▼标准模型的适应性εκ−①模型中的相关系数，主要根据一些特定条件下的试验结果而确定的。
湍流基础知识
1 u ui pudu N i 1
雷诺平均方程
RANS 方程和封闭问题 N-S方程：
u i 0 xi
ui ui 2ui 1 p uj fi t x j xi x j x j
物理量的瞬态值定义为系综平均值与脉动值之和
ui x, t ui
3.5×106
雷诺平均方程
雷诺平均 考虑到湍流的随机性， 1895 年 Reynolds 首 次将瞬时湍流看作为时均运动（描述流动的平 均趋势）+脉动运动（偏离时均运动的程度）。 以后逐渐提出空间分解和统计分解等方法。
（1）时间分解法（Reynolds的时均值概念)
如果湍流运动是一个平稳的随机过程，则在 湍流场中任一点的瞬时速度 u可分解为时均速度 ＋脉动速度。 u u u
T T
雷诺平均方程
平稳随机过程
非平稳随机过程
雷诺平均方程Biblioteka （2）空间分解法（空间平均法） 如果湍流场是具有空间均匀性的随机场， 则可采用空间平均法对湍流的瞬时量进行空间 分解。即 1 u udx L （3）系综平均法（概率意义上的分解） 如果湍流运动既不是时间平稳的、也不是空 间均匀的，那么我们可在概率意义上对湍流的 瞬时运动进行分解。即
湍流基本特征
雷诺数的影响
Re < 5 5-15 < Re < 40 40 < Re < 150 150 < Re < 3×105 3×105 < Re < 3.5×106
蠕动层流
层流尾迹中具有一对 稳定的涡 层流涡街 层流分离，湍流尾迹 边界层转捩后流动分 离 湍流涡街，但是分离 比层流窄
Re >
流体的湍流模型
流体的湍流模型湍流是流体力学中一个重要的概念，指的是流体运动过程中的混乱无序的状态。
湍流现象普遍存在于自然界中，例如大气中的风、海洋中的波浪以及河流中的涡流等。
湍流模型是用来描述湍流运动的数学模型，它通过建立流体的动量和能量传输方程，来揭示湍流形成和演化的规律。
一、湍流模型的基本原理湍流的形成是由于流体运动过程中存在的各种非线性的物理过程，比如惯性力、摩擦力和压力梯度等。
湍流模型的基本原理是基于雷诺平均导出的方程式，其中雷诺平均是指对流体宏观属性进行时间平均运算。
通过平均之后，湍流运动可以被看作是均匀流动和湍流脉动两个部分的叠加。
二、湍流模型的分类湍流模型可以分为两大类：一类是基于统计理论的湍流模型，另一类是基于运动方程的湍流模型。
基于统计理论的湍流模型通常使用统计学中的概率密度函数和相关函数等概念来描述湍流运动中的各种参数。
而基于运动方程的湍流模型则是通过对流体动量和能量传输方程进行进一步的分析和求解，从而得到流体湍流运动的演化规律。
三、湍流模型的应用湍流模型在工程领域中有着广泛的应用。
例如在空气动力学研究中，湍流模型可以用来评估飞机的气动性能，优化机体的设计。
在流体力学领域，湍流模型可以用于预测和模拟液体的流动，帮助优化流体管道的设计和运行。
湍流模型还可以应用于天气预报、水利工程和环境保护等领域。
四、湍流模型的发展趋势随着计算机科学和数值模拟技术的发展，湍流模型也在不断地完善和演进。
近年来，随着大规模计算能力的提升，湍流模型的数值模拟能力得到了显著的提高，可以更准确地描述湍流现象和湍流的演化规律。
另外，机器学习和人工智能等新兴技术的引入，也为湍流模型的发展带来了新的机遇和挑战。
五、结语湍流模型是流体力学研究中的重要工具，通过对湍流现象的建模和仿真，可以帮助我们更好地理解和预测流体运动的行为。
随着科学技术的不断发展，湍流模型将继续完善和更新，为人类的科学研究和工程应用提供更准确、可靠的支持。
我们相信，在不久的将来，湍流模型将在更多领域发挥出重要的作用，促进科学技术和工程领域的进步和发展。
湍流运动方程
湍流运动方程
湍流运动方程是描述流体湍流运动的基本方程。
它是由纳维-斯托克斯方程经过一系列的推导和近似得到的。
湍流运动方程的求解对于理解
流体湍流运动的本质和预测流体湍流运动的发展具有重要意义。
湍流运动方程的基本形式为：
∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ∇p + ν∇²u + f
其中，u是流体的速度场，p是压力场，ρ是流体的密度，ν是流体的粘度系数，f是外力场。
这个方程描述了流体的运动状态，包括速度、压力和密度等。
湍流运动方程的求解是一个非常困难的问题，因为它是一个非线性偏
微分方程组。
目前，对于湍流运动方程的求解主要有两种方法：直接
数值模拟和统计理论方法。
直接数值模拟是通过计算机模拟流体的运动状态来求解湍流运动方程。
这种方法需要高性能计算机的支持，计算量非常大，但是可以得到非
常精确的结果。
直接数值模拟已经成为研究湍流运动的主要手段之一。
统计理论方法是通过对湍流运动的统计特性进行研究来求解湍流运动方程。
这种方法不需要进行大规模的计算，但是需要对湍流运动的统计特性有深入的了解。
目前，统计理论方法已经成为研究湍流运动的另一种重要手段。
总之，湍流运动方程是研究流体湍流运动的基础方程，对于理解流体湍流运动的本质和预测流体湍流运动的发展具有重要意义。
湍流运动方程的求解是一个非常困难的问题，需要通过直接数值模拟和统计理论方法来进行研究。
湍流运动方程
湍流运动方程湍流运动是一种复杂而普遍存在的现象，它在自然界和工程领域中都起着重要的作用。
湍流运动方程是描述湍流运动的数学模型，它可以帮助我们理解和预测湍流的特性和行为。
湍流运动方程是由一组偏微分方程组成，它描述了流体中速度、压力和密度的变化。
其中最著名的方程是Navier-Stokes方程，它是描述流体运动的基本方程之一。
Navier-Stokes方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。
连续性方程是描述流体质量守恒的方程，它表示流体的质量在空间中的分布是连续的。
它的数学表达式是一个偏微分方程，描述了流体密度的变化与速度的关系。
连续性方程可以帮助我们理解湍流的扩散和混合现象。
动量方程是描述流体运动的方程，它表示流体的动量在空间中的变化与力的关系。
动量方程也是一个偏微分方程，它包含了流体的惯性、压力、粘性和外力等因素的影响。
动量方程可以帮助我们理解湍流的湍动能量转移和湍流的产生机制。
湍流运动方程的解析解通常是很困难甚至不可能得到的，因此我们常常使用数值方法来求解湍流运动方程。
数值模拟是一种基于计算机的方法，通过离散化方程和求解差分方程来模拟和分析湍流运动。
数值模拟可以帮助我们研究湍流的统计特性、能量谱和湍流结构等。
湍流运动方程的研究对于许多领域都具有重要的意义。
在气象学中，湍流运动方程可以帮助我们理解大气运动和气象现象，从而改善天气预报和气候模拟。
在航空航天工程中，湍流运动方程可以帮助我们优化飞机和火箭的设计，提高其性能和安全性。
在地质学和地球物理学中，湍流运动方程可以帮助我们了解地下水流和地震波传播等现象。
湍流运动方程是描述湍流运动的数学模型，它在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
通过研究湍流运动方程，我们可以更好地理解和控制湍流运动，从而推动科学技术的进步和应用的发展。
希望通过不断的研究和探索，我们能够深入理解湍流运动的本质和机制，为人类创造更美好的未来。
流体的湍流运动
流体的湍流运动湍流运动是一种复杂而难以预测的流体运动现象，常见于自然界和工程实践中。
它的产生和发展过程涉及各种物理机制和数学模型，对于了解和控制流体的行为具有重要意义。
一、湍流运动的产生湍流运动的产生源于流体运动过程中的不稳定性。
当流速较低或流动状态较稳定时，流体呈现层流运动。
然而，当流体速度增大或流动状态变得不稳定时，就会转变为湍流运动。
这种转变通常发生在某一临界流速处，称为临界雷诺数。
二、湍流运动的特点湍流运动具有以下几个特点：1. 随机性：湍流流体运动是一种不规则的、无序的运动形式。
在湍流中，各个流动层之间呈现交织、涡旋、混沌等特征，没有规律可循。
2. 级联效应：湍流中存在着多个尺度的涡旋结构，从宏观尺度到微观尺度都存在涡旋。
这些涡旋之间通过不断的分裂和合并形成级联结构，对流体运动起着重要作用。
3. 能量耗散：湍流运动具有强烈的内聚力和能量耗散特性。
在湍流过程中，涡旋之间发生能量交换和转化，将流体的动能逐渐转化为内部能或热能，使流体分子之间发生碰撞和混合。
三、湍流运动的模拟和研究湍流运动是复杂的非线性问题，需要借助计算机模拟和实验手段来进行研究。
目前，主要的湍流研究方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均模拟（RANS）等。
直接数值模拟是通过数值方法求解流体的基本方程，对湍流流场进行全面而精确地模拟。
大涡模拟采用滤波技术将湍流流场分解成大尺度和小尺度湍流结构，并对大尺度湍流结构进行模拟。
雷诺平均模拟是通过对湍流场进行平均处理，得到平均流动量和湍流平均动能方程，然后通过统计理论求解方程。
四、湍流运动的应用湍流运动广泛应用于各个领域，包括天气预报、工程流体力学、空气动力学、海洋工程等。
在工程实践中，湍流运动的研究能够为流体力学问题的解决和工程设计提供重要依据。
例如，在设计飞机、汽车和船舶时，需要考虑湍流对气动和水动力性能的影响，以提高车辆和船舶的流体力学性能。
此外，湍流运动还与能源转换、城市规划、环境保护等方面有关。
2湍流流动的数学模型
目前，对湍流问题的研究仍处于探索其结构，机理和描述 方法阶段，面对解决工程湍流问题有两种选择： 1）等待湍流理论研究的成果 2）探索研究湍流新途径 4、湍流的数值模拟方法 1）直接模拟 是三维非稳态的N-S方程对湍流进行直接数值计算的方法。 其特点是必须采用很小的时间与空间步长，才可能研究清 楚湍流的空间结构及时间特性。因此对计算机的要求比较 高。
f f ; f 0; f f ;f f f
f
f ; f 0; f
f ;f
f
f
（3）
0; 2 0
xi
xi 2
3.2 湍流对流换热的雷诺时均方程
1、连续性方程
u x
v y
w z
0
2、动量方程
u x
v y
w z
0
u u 2 u v u w 1 p [v u (u)2 ]
脉动值时均值的微分方程和三个速度脉动值乘积时均值的近似处理的方程）
3.3.2 湍流粘性系数法
1、湍流粘性系数法：把湍流应力表示成湍流粘性系数的函 数，计算的关键就在于求解湍流粘性系数。
1）湍流粘性系数
• 通过给出雷诺应力与均流速度场之间的关系式，把均流方 程的不封闭性由雷诺应力转移到湍流粘性系数上。
2）湍流扩散 湍流的扩散性是所有湍流运动另一个重要特征。湍流混掺扩 散增加了动量、热量和质量的传递率。 3） 能量耗损 湍流中小涡体的运动,通过粘性运动大量耗损能量,实验表明, 湍流中的能量的损失比同条件下层流大得多。 3、湍流的物理结构： 大尺度涡旋由边界条件决定，是引起低频脉动的原因。小尺 度涡旋主要由粘性力决定，是引起高频脉动的原因。 大涡旋 →小涡旋 →更小的涡旋 →消失
2）雷诺时均方程法 雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺应力的封闭模
第三章 湍流模型
第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量（笛卡尔坐标系）表示，即有：ij i j j i t j i k x u x u u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 ij δ为DELT 函数，一般i=j 时为1，否则为0.模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
（模拟大空间建筑空气流动）μt=0.038 74ρvl （模拟通风空调室内的空气流动）比例系数由直接数值模拟的结果拟合而得，其中：v 为当地时均速度，l 为当地距壁面最近的距离。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
参见：湍流模型的选择资料。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图大涡模拟启动需要用命令：(rpsetvar 'les-2d? #t)Direct Numerical Simulation包含更多物理机理 每次迭代计算量增加 提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程输运过程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，故称为输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
湍流流动
时均值:取一时间间隔，使之 比湍流的振荡时间要长得多，比 vxi 宏观特征时间又要短得多，在该 时间间隔内做时间平均
时均速度 v x = 脉动速度 v′ x , 瞬时速度 v xi = vx + v x
v′ x
1 Δt v xi dt Δt ∫0
vxi
o
Δt
vx
t
时均参数不随时间改变的紊流流动 瞬时轴向速度与时均速度图 称为准定常流动或时均定常流
∂Vy ∂t
+
∂VxVy ∂x
+
∂VyVy ∂y
+
∂VzVy ∂z
∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂ 2V y 1 ∂p =− +ν ( 2 + 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂z ρ ∂y
∂Vz ∂VxVz ∂VyVz ∂VzVz ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V 1 ∂p + + + =− +ν ( 2z + 2z + 2z ) ρ ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
2
方程组（14）就是著名的不可压缩流体作湍流运动时的时均运 动方程称为雷诺方程。 将时均运动方程（ 14 ）和N—S方程（12a）相比可以看出，湍 流中的应力，除了由于粘性所产生的应力外，还有由于湍流脉 动运动所形成的附加应力，这些附加应力称为雷诺应力。雷诺 方程与N—S方程在形式上是相同的，只不过在粘性应力项中多 出了附加的湍流应力项。 以上导出 的雷诺方程和连续方程中，除过要求解的四个变 Vy 、 Vz 和 p 外，还有与脉动速度有关的如 V 'x V 'x 、 V 'x V ' y 等 量 Vx 、 六个未知数。四个方程中有十个未知数，即方程组不封闭。要 使方程组封闭，必须补充其它未知量的关系式才能够进行求 解。
湍流s-a模型公式推导
湍流s-a模型公式推导湍流S-A模型是一种用于计算湍流流动的模型，它是基于雷诺平均纳维-斯托克斯方程（RANS）的。
在S-A模型中，湍流运动的速度和湍流动能是通过求解运输方程来确定的。
下面我将从多个角度来回答你的问题。
首先，我们来看一下湍流S-A模型的基本方程。
S-A模型中的湍流动能方程和湍流耗散率方程如下所示：湍流动能方程：∂(ρk)/∂t + ∂(ρu_i k)/∂x_i = ∂/∂x_j[(μ+σ_k/σ_ω) ∂k/∂x_j] + P_k ρε。
湍流耗散率方程：∂(ρω)/∂t + ∂(ρu_i ω)/∂x_i = ∂/∂x_j[(μ+σ_ω/σ_k) ∂ω/∂x_j] + βρω^2/k + 2(1-F_1)ρσ_ωS_ijS_ij ρC_ωω^2。
在这里，ρ是流体密度，k是湍流动能，ω是湍流耗散率，u_i是流速分量，μ是动力粘度，P_k是湍流动能的产生项，ε是湍流动能的耗散率，σ_k和σ_ω是模型参数，S_ij是应变率张量，β是耗散率方程中的常数，F_1和C_ω是模型参数。
其次，我们来看一下湍流S-A模型的推导过程。
湍流S-A模型是通过对雷诺平均纳维-斯托克斯方程进行平均处理得到的。
在这个过程中，湍流动能和湍流耗散率的运输方程被引入，并通过一系列假设和近似得到了最终的模型方程。
最后，我们来看一下湍流S-A模型的应用。
S-A模型在工程领域中被广泛应用于流体力学和传热学的计算模拟中。
它能够较好地描述湍流流动的特性，对于工程实际问题的模拟具有一定的准确性和可靠性。
总的来说，湍流S-A模型是一种用于计算湍流流动的模型，通过求解湍流动能和湍流耗散率的运输方程来描述湍流的特性。
它在工程领域中有着广泛的应用，并且通过对雷诺平均纳维-斯托克斯方程的平均处理得到。
希望这些信息能够帮助你更好地理解湍流S-A模型。
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4
因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。 尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。
2 u u ui uk p i i u f j i 2 x j xi 3 xi x j t xk ui D 0 Dt xi
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雷诺应力
雷诺应力的量级
雷诺应力的估计
DOSE, Zhejiang University
粘性应力的估计 两者之比
12
雷诺应力方程（3）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的推导
脉动方程
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力方程
13
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
3
湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。 在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
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笛卡尔坐标下
u v w ＝0 t x y z
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张量下标形式
ui 0 t xi
或
u D i 0 Dt xi
7
NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
雷诺方程
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脉动பைடு நூலகம்程
10
雷诺应力方程（1）
雷诺应力
-
?r
ui ' u j ' > ¶xj
慢 层 质 点 上 跃
u'< 0
快 层 质 点 下 跃
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u'> 0
11
雷诺应力方程（2）
16
涡量输运方程（1）
涡量
涡量的定义
涡线
17
DOSE, Zhejiang University
涡量
涡量输运方程（2）
涡通量
涡通量守恒
18
DOSE, Zhejiang University
涡量输运方程（3）
涡量方程
涡量的平均方程和脉动方程
涡量输运方程
涡量平均方程
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高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
宋 丹
浙江大学海洋学院 Ocean College, Zhejiang University
wanzhanhong@ DOSE, Zhejiang University
内容
N-S方程
− − − − 湍流与N-S方程 连续性方程、运动方程 雷诺方程 脉动方程
生成项 再分配项
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扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
生成项
湍动能
扩散项
耗散项
15
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湍流标量的输运方程
标量方程
温度输运方程
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具有被动性！
涡量脉动方程
19
涡量输运方程（4）
涡量方程
拟涡能 生成项
脉动量的拟涡能
扩散项
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耗散项
20
涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
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湍流标量方程
2
N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？
ui ui 2 ui 1 p uj fi 2 t x x x j i j ui 0 xi
8
NS方程（5）
雷诺方程
NS方程的平均化处理：
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9
NS方程（6）
脉动方程
DOSE, Zhejiang University
5
NS方程（2）
物理原理 反映流体物质的特性
− 流体的本构方程 − 流体的状态方程
反映普适规律
− 物质守恒定律 − 牛顿运动定律 − 能量守恒定律
DOSE, Zhejiang University
6
NS方程（3）
连续性方程
三维连续性方程
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下， N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
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− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比 较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小