运筹学复习题及答案

运筹学复习题及答案

一、一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A、B、C 混纺毛料，生产 1 单位

A 、B、C 分别需要羊毛和涤纶3、2；1、1；4、4 单位，三种产品的单位利润分别为4、1、5。每月购进的原料限额羊毛为8000单位，涤纶为3000 单位，问此毛纺厂如何安排生产能获得最大利润？（要求：建立该问题的数学模型）解：设生产混纺毛料 ABC 各 x1、 x2、x3 单位

max z＝ x1+x 2+5x3

3x1+x 2+4x 3≤ 8000

2x1+x2+4x3≤ 3000

x1,x 2,x 3≥ 0

二、写出下述线性规划问题的对偶问题

max s=2x1+3x2-5x3+x4

x1+x2-3x3+x4≥5

2x1 +2x3-x4≤4

x2 +x3+x4=6

x1,x2,x3≥0；x4无约束

解：先将原问题标准化为：

max s=2x 1+ 3x2-5x 3+x 4

-x1-x2+3x3-x4≤-5

2x1 +2x 3-x 4≤ 4

x2 +x3+x 4=6

x1,x2,x3≥0； x4无约束

则对偶问题为：

min z=-5y 1+4y 2+6y 3

-y1+2y2≥2

-y1+ y2≥3

3y1+ 2y 2+y 3≥ -5

-y1-y2+y3=1

y1,y2≥0,y3 无约束

三、求下述线性规划问题

min S =2x1＋3x2－5x3

x 1＋x 2－3x 3 ≥ 5 2x 1 ＋2x 3 ≤ 4 x 1，x 2，x 3≥0

解：引入松弛变量 x4， x5，原问题化为标准型：

max Z=-S =-2x 1-3x 2+5x 3

x 1＋x 2－3x 3 －x 4=5 2x 1 ＋2x 3

+x 5=4

x 1， x 2，x 3, x 4,x 5≥ 0 对应基 B 0＝( P2,P5)的单

纯形表为

5

1 1

-3 -1 0 T(B 0)= 4

2

2

0 1

15 1 0 -4 -3 0

x1 的检验数为正， x1 进基，由 min{5/1,4/2 }=4/2 知， x5 出基，迭代得新基 对应的单纯形表为

3

0 1 -4 -1 -1/2 T(B 1)= 2

1 0 1

1/2

13 0

-5 -3 -1/2

至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。对应的最优解为：

x1=2,x2=3,x3=x4=x5=0,max z=-13, 故原问题的最优解为： x1=2,x2=3,x3 =0,min s=13 。

四、利用大 M 法求解下面线性规划问题 :

2x 1 x 2 x 3 x 4

x 1,x 2, x 3,x 4, x 5

max

s

x

1

2 x 2 x

3

2 x 1

x 2 x 3 4 s.t.

x

1 2 x 2 6

x

1

x 2,x 3

x 4 和人工变量 x 5，构造如下规划：

max s x 1 2x 2

x

3 Mx =(P2,P1),

解：引入松弛变量

s.t.

x 1 2x 2 x 5 6

对应基 B0＝（ P4,P 5）的单纯形表为

)

x 1的检验数为 -1+ M>0，x 1进基，由 min{6/1 }=6/1 知， x 5出基，迭代得新基 B 1=(P 4,P 1), 由 min{ 16/1 }=16/1 知，x 4 出基，

迭代得新基 x 3的检验数为 1>0，x3 进基， 对应的单纯形表为 B2=(P3,P1

),

16

0 5 1 1 2

T(B 2)

6

1 2 0 0 1

-1 0

-1 0

-1

0 -1-M

至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。对应的最优解为： x 1=6,x 2=0,x 3=16,x 4=x 5=0, 最优值 max z=10 。 五、已知线性规划问题 (L): min s x

1 2x

2 3x

3

2 x 1 x 2

2x

3 6 s.t.

x

1 3x

2 2 x

3 8

x 1, x 2, x 3 0

(1) 写出该问题的对偶表 , 从而给出其对偶问题 (D). (2) 用对偶单纯形法求解问题 . 解：(1) 该问题的对偶表

其对偶问题 (D) 为 max Z=6y1+8y2 2y1+ y2 ≤

1 y1+3y

2 ≤

2 2y1+2y2≤3

1,y2 ≥ 0 x4、 x5，构造如下规

划： maxZ S x 1 2x 2 3x

3

2x 1

x

2

2x 3 x 4 6 s.t.

x

1

3x 2

2x 3 x 5

8

x , x 2, x 3 , x 4, x 5 0

对应基 B 0＝ ( P 4,P )

的单纯形表为

(2) 用对偶单纯形法求解问题 . 引入松弛变量

－6 -2 -1 -2 1 0

T(B 0)= －8 -1 -3 -2 0 1

0 -1 -2 -3 0 0

检验数全为非正，基变量 x 4＝－ 6，x4 出基,利用偶单纯形法，由 min{－ 1/ －2，－