2010高中数学竞赛标准讲义数列
高二数学：数列(讲义)
高考数学基础知识复习：数列概念知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作na ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作na ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，na ，……，简记作{}na 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{na 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是na = 1n（n N +∈）。
说明：①{}na 表示数列，na 表示数列中的第n 项，na = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，na =(1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2010年高考数学数列专题复习38页PPT文档
第17讲 │ 要点热点探究
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第17讲 │ 课本挖掘提升
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第17讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
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第17讲 │数列建模、三角模型
第17讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
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高中数学数列综合讲义(知识点+模型总结+高考试题全部类型解析)
重要组成部分： 首项 a1 ， 每一项 a1 , a 2 , a3 , a 4 通项 a n Y3:分类： [项数角度] 有限数列 无限数列 如： {1，2，3，5，8，13，21，34……} 常数数列 ⊃ 单项数列 如： {1} ，
[常数角度]
多项数列 如： {1,1,1,1,1,1,1} 非常数数列 如：{1，2，3，5，8，13，21} [项的正负性角度] 纯正数数列 如：{1，2，3，5，8，13，21} （ a n > 0 ） 纯负数数列 如：{-2，-4，-6，-8，-10，-12……} （ an < 0 ）
+ an
⎧ S n − S n −1 (n ≥ 2, n ∈ N * ) ⎩ S1 (n = 1)
[函数]数列是定义域为自然数集，值域为实数集的函数。 [表示方法] 列表法、图像法、解析法、递推法 [两项之间的关系] ⊃ 相邻两项 [等差数列] a n − a n −1 = d [等比数列]
an = q ( q ≠ 0) a n −1
2
S 2 n −1 2n − 1
n
[积与通项之间的关系] 等比数列 an =
Tn 2 a1 S tk − S (t −1) k Stk − S(t −1) k }
2 n
= an −1 • an +1 (n ≥ 2)
间隔 k 项的三项
[等差数列] [等比数列]
2an = an − k + an + k (n ≥ k + 1)
a 2 n = an − k • an + k (n ≥ k + 1)
ma m − na n m−n
特殊三项： a n , a m , a n + m
高中数学讲义：等比数列性质(含等差等比数列综合题)
等⽐数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ¹，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q-=×，也可以为：n mn m a a q-=×3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=Þ=（2）若{}n a 为等比数列，则n N *"Î，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+Û=4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na =当1q ¹时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，设11ak q =-，可得：n n S k q k=×-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有①数列{}n ka （k 为常数）为等比数列②数列{}na l （l 为常数）为等比数列，特别的，当1l =-时，即1n a ìüíýîþ为等比数列③数列{}n n a b 为等比数列④数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212k m n mm m m k mkn n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L 2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=Î（2）通项公式：n n a k q =×（指数类函数）（3）前n 项和公式：n n S kq k=-注：若()n n S kq m m k =-¹，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *"Î，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ìüíýîþ前n 项和n T 的关系()111n n a q S q-=-，因为1n a ìüíýîþ是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n n n n q a q q q T q a q q a q q-éùæö--êúç÷èøêú-ëû===---×()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T qq ----=×=--例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（）A.64 B.64- C.8 D.8-思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-×=-思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =-答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
2010届高考数学复习强化双基系列课件__《数列概念》
六,重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1); … a2 a3 an an=a1 a a … a . n-1 1 2
Hale Waihona Puke 典型例题1.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2), 若数列 … 则当 n≥2 时, {an} 的通项 an= . an= n! 2 2.定义"等和数列": 在一个数列中 如果每一项与它的后 定义" 定义 等和数列" 在一个数列中, 一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 一项的和都为同一个常数 那么这个数列叫做等和数列 这个 常数叫做该数列的公和. 是等和数列, 常数叫做该数列的公和 已知数列 {an} 是等和数列 且 a1=2, 3 公和为 5, 那么 a18 的值为 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算 . 为奇数时 S = 5 n- 1 ; n 为偶数时 S = 5 n. 公式为 n 为奇数时, n 2 2 为偶数时, n 2 a1(3n-1) 3.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, Sn= 2 (对于所有n≥1), 设数列 对于所有 ) 且 a4=54, 则 a1 的数值为 2 . 1 , a -a = 1 , 求数列 {a } 的通项 4.在数列 {an} 中, a1= 2 n+1 n 在数列 n 4n2-1 公式. 公式 4n-3 an= 4n-2
故 a2, a3 的值分别为 4, 13.
(2)证: ∵a1=1, an=3n-1+an-1, ∴an-an-1=3n-1. 证 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) … -
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文：高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了更好地应对数列专题的挑战，我们需要对这一专题有全面的了解，包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。
首先，高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛，如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。
在这些竞赛中，数列专题具有很高的出现频率和重要性，因此，对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。
数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。
等差数列与等比数列是数列的基本类型，它们在数学竞赛中占据重要地位。
等差数列具有以下性质：任意两项之差相等；等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列具有以下性质：任意两项之比相等；等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
在高中数学竞赛中，还常遇到一些常见的数列类型，如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。
这些数列具有独特的性质和规律，需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。
数列的性质与应用方面，我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列，以及数列在实际问题中的应用。
递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。
在这节数学精品课的辅导公开课中，我们将深入解析数列与递推关系，帮助同学们更好地掌握相关知识，并在竞赛中取得优异成绩。
一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。
通常用字母表示，如a₁、a₂、a₃，其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，还存在其他特殊数列，如斐波那契数列、递增数列等。
二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质，根据已知项与后一项的关系，可以推导出数列中的其他项。
2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。
通常用递推公式表示，如an = an-1 + d，其中an-1表示前一项，d为公差。
2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件，逐步推导出数列的后续项。
常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。
2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律，根据已知的条件得出数列的递推关系。
这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。
2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。
通过多次差分，可以得出数列的递推公式。
2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式，进而推导出数列的递推关系。
这种方法适用于等差数列和等比数列。
三、常见数列问题的解析在数学竞赛中，常常会出现与数列与递推关系相关的问题。
下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。
高中数学竞赛试题汇编六《数列》讲义1
高中数学竞赛试题汇编六《数列一》1. 数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则317a a +=A. 36B. 35C. 34D. 332. 等比数列{}n a 满足13a =且第1项至第8项的几何平均数为9，则3a =A. B. C.D. 3. 数列{}n a {}n b 分别为等差数列和等比数列，且11444,1a b a b ====，则 A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b > 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59S S =，则35:a a = A.9:5 B. 5:9 C. 3:5 D. 5:35. 从满足12211,(1)n n n a a a a a n ++===+≥的数列{}n a 中，依次抽出能被3整除的项组成数列{}n b ，则100b =A.100aB.200aC.300aD.400a6. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =， 533a b =，则n a = ；n b = ；7. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n S a =-，则n a = ；8. 数列{}n a 满足2111,n n a a a n +=+=-，则15a = ；9. 数列{}n a ，{}n b 满足1,1,2,3,k k a b k ⋅==L ，已知数列{}n a 前n 项和为1n nA n =+，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n B = ；10. 数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===-，前n 项和为n S ，100S = ；11. 数列{}n a ，{}n b 满足235212312,log ()n n n n a b a a a a n+==L ，则n b = ；12. 正实数1239,,,a a a a L 构成等比数列，且1234a a +=，345615a a a a +++=， 则789a a a ++=13. 已知,n n S T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2142n n S n T n +=-， 则1011318615a ab b b b +=++14. 设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n C ，且满足1n n b c +=，则1na =。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。
本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。
数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。
数列的性质包括有界性、单调性以及极限。
有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。
单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。
而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。
二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。
等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。
等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。
等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。
斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。
三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。
通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。
在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。
解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。
高中数学竞赛标准讲义：第5章：数列
2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。
其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
高二数学：数列(讲义)
高二数学：数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念，它通常用来描述一组事物的性质，是数学上组织一系列数的有效方式。
它可以概括出许多数学性质，例如等差数列的等差性质。
数学中使用数列的许多应用，几乎无处不能被见，科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。
通常情况下，数列可分为两类：等差数列和等比数列。
等差数列，又称等差级数，即每两项之差（公差）相等。
它大多数情况下是由某个初始数（首项）和某个常量公差组成的，每一个数的值都是比前面数要大的。
通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。
等差数列的构成要素有三个：首项、公差、项数，因此，它又可分为等差等比数列。
许多数学性质可以作为数列的研究内容，如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。
数列在多方面涉及到数学研究，也提供了许多应用，例如计算机编程中使用数列来实现，统计学中使用数列推断，物理学中描述物质运动规律也可使用数列，数学中常涉及到数列的比较、计算等。
几乎在所有数学应用中，都可以看到数列的存在。
高中数学竞赛试题汇编六《数列》讲义2
9. 已知数 an 1 的前 2n 项和 T2 n an1 3 2 1 n为偶数
10. 等差数列 an 中， a20
1 1 1 ， a201 ， a2012 ，则 1992ac 1811bc 181ab a b c
(an 1) 2 4. 设等比数列 an 的前 n 项和 S n ，满足 S n ，则 S 20 4
.
5. 数列 an 满足 a1 2 ， a2 1 ， an an 1 an 2 an an 1 an 2 ，则
a1 a2 L a2011
高中数学竞赛试题汇编六《数列二》
1. 已知等差数列 an 的前 15 项和 S15 30 ，则 a1 a8 a15 2. 设等比数列 an 的前 n 项和 S n ，若 S10 10, S30 70 ，则 S 40 3. 设等差数列的前 n 项和 S n ，若 a1 0 ， S3 S11 ，则当 S n 取得最大值时 n . . .
.
6. 数列 an 满足 a0 0, a1 1, a2 n an ， a2 n 1 an 1 ， a2013
7. 数列 an 满足 a1 2, an 1
1 an ， Tn a1a2 a3 L an ，则 T2010 1 an
8. 数列 an 满足 a1 a2 1, an 3an 1 an 2 (n 3) ，则 a2013
13. 在等差数列 an 中， S4 4 ， S5 15 ，则 a4 的最小值是
an , an偶为数 14. 已知数列 an 满足： a1 为正整数， an 1 2 ， 3an 1, an为奇数
高中数学 高中数学竞赛辅导讲座-数列(一)
高中数学竞赛辅导讲座---数列（一）数列是高中数学的重要内容之一，也是高考及高中数学联赛考查的重点。
而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。
近几年的数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。
一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n对于这类问题，可以用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .1.2 已知a n 求S n这类问题实际上就是数列求和的问题。
数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。
2．递推数列：⎩⎨⎧==+)(11n n a f a aa ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
二、等差数列与等比数列1．定义：数列{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d ⇔a n+1-a n =a n -a n-1；数列{b n }为等比数列⇔q a b n n =+1⇔11-+=n n n n b bb b 。
2．通项公式与前n 项和公式：数列{a n }为等差数列，则通项公式a n =a 1+(n-1)d, 前n 项和S n =2)(1n a a n +=2)1(1dn n na -+. 数列{a n }为等比数列，则通项公式a n =a 1q n-1, 前n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=)1(1)1()1(11q qq a q na n .3．性质：（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？ 数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换． 数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系． 〖典型例题分析〗例1 已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列； (2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列． 分析 判断三个数成等差数列或等比数列的充要条件，一是定义，二是中项公式． 证明：（1）∵ a 、b 、c 依次成等差数列 ∴ b －c ＝－d ，c －a ＝2d ，a －b ＝－d （d ≠0）代入① 得 －d （log m x －2 log m y + log m z ）＝0 ∵d ≠0 ∴，＝＝ 0 log log log 2log 2yxz z y x mm m m +-，y 2＝xz ，可知x 、y 、z 成等比数列． （2）∵ x 、y 、z 依次成等比数列）（＝，＝＝1 2≠q q xz q x y y z ∴ 两边取对数，得 log m z －log m y ＝log m y －log m x ＝log m q log m z －log m x ＝2 log m q ① 式可变为a （log m z －log m y ）－b （log m z －log m x ）+c （log m y －log m x ）＝0 即 log m q （a －2b + c ）＝0 ∵ log m q ≠0∴ 2b ＝a +c ，可知a 、b 、c 成等差数列．例2 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．分析 应从转化出数列｛a n ｝的通项公式入手． 解：a 1＝S 1＝2a + b 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1=(a ·2n +b )－(a ·2n －1+b )＝a · 2n －1由此可知：当a ≠0时， a 2 , a 3 … ,a n , … 是公比为2的等比数列． ∴｛a n ｝为等比数列的充要条件是a ≠0，且2a +b ＝a ·20，即a ≠0，且a + b ＝0．例3 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 7＝56，S n ＝420，a n －3＝34，则n ＝________．分析 将题设的三个数据，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式， 布列出三个关于a 1，公差d ，项数n 的方程，并求解，会使过程复杂化，应设法直接布列关于＝，＝＝ xz q xy yzn 的方程解：∵ S 7＝a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7＝7a 4 ∴ 由S 7＝56，可得a 4＝8 又a 1+ a n ＝a 4+ a n －3＝8+34＝42． ∴ 由 S n ＝420，解得n ＝20．例4.等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求S 13 解：由求和公式713113132)(13a a a S =+=知问题转化为求a 7由条件得：a 7=12例5.各项均为实数的等比数列{an }的前n 项之和为S n ，若S 10=10，S 30=70，求S 40。
高中数学竞赛辅导讲座-数列(二)
高中数学竞赛辅导讲座—数列（二）【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列{a n }中的第n 项a n 与它前面若干项a n-1,a n-2…a n-k ，（k<n ）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法，不动点法，归纳猜想等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =A αn +B βn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
5、与递归数列有关的综合问题，一般可先求其通项公式，利用通项公式，结合多方面的知识和各种数学方法加以解决。
如与不等式结合的综合题，就利用比较法、放缩法等。
若给出的数列难于求通项，可借助与构造法、数学归纳法、函数与方程的知识等加以解决。
【例题选讲】1、已知a 1=2，a n=1n 2a 2-+，求数列{a n }的通项公式。
解：由数学归纳法，不难证明0< a n <2(n=1,2,….),故可设a n =2cos θn （0<θn <2π）,于是2cos θn =1n 2a 2-+=2cos 21n -θ故θn =21θn-1 ，由a 1=2，得θ1=4π因此，θn =θ1（21）n-1=12+n π，所以a n =2cos 12+n π 2、正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇因子（例如g （3）=3，g （20）=5），求g （1）+ g （2）+ g （3）+……..+ g （2n ）(其中n ∈N*)解：设S n = g （1）+ g （2）+ g （3）+ ……. g （2n ）,则易知S 1= g （1）+ g （2）=2 由g （k ）定义知：当k 为奇数时，g （k ）=k ；当k 为偶数，即k=2m （m ∈N*）时，g （k ）=g （m ）。
高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)
11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。
高中数学讲义：等差数列性质
等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ¹：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+（2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *"³Î，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。
例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=×+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。
《高中数学竞赛》数列讲课稿
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竞赛辅导
数列 ( 等差数列与等比数列 )
数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的
问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列 {a n} 的第 n 项 an 与项数 (下标 )n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n) 来表示，这 个公式就叫做这个数列的通项公式。
解 : 3a 8 5a13
3( a1 7d) 5(a1 12d )故
an a1 ( n 1) d a1 2a1 ( n 1) a1 (40 2n)
39
39
令 an 0,则 : n 20,当 n 20时 an 0
所以 :S19=S20 最大，选 (C)
注：也可用二次函数求最值
例 6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 的和为 972，则这样的数列共有 ( )
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常 用字母 d 表示。 等差数列 {an} 的通项公式为： an a1 (n 1)d (1)
前 n 项和公式为： Sn
n(a1 an )
n(n 1)d
na1
( 2)
2
2
从(1)式可以看出， an 是 n 的一次数函 ( d 0 )或常数函数 ( d 0 )， ( n,an )排在一条直线上，由 (2)式知， Sn 是 n 的二次函数 ( d 0 )或一次函 数 ( d 0, a1 0 )，且常数项为 0。在等差数列 { an } 中，等差中项： an 1 a n a n 2 且任意两项 a m , an 的关系为： a n am (n m)d
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2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如 1, 2, 3,…，n ,….数列分有穷数列和无穷数 列两种，数列｛a n ｝的一般形式通常记作a i , a 2, a 3,…,a n 或a i , a 2, a 3,…,a n …。
其中a i 叫做数 列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示｛a n ｝的前n 项和，则S l =a i ,当n>1时，a n =S n -S n-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数 n ,都有a n+1-a n =d (常数)，则｛a n ｝称为等差数列， d 叫做公差。
若三个数a, b, c 成等差数列，即2b=a+c ,则称b 为a 和c 的等差中项，若公差 为 d,贝U a=b-d, c=b+d.定理2等差数列的性质：1)通项公式a n =a 1+(n-1)d ； 2)前n 项和公式：S n =n(a 1 竝 二 吃 ; 3) a n -a m =(n-m)d ，其中 n, m 为正整数；4)若 n+m=p+ q ,贝U 2 2a n +a m =a p +a q ； 5)对任意正整数p, q ,恒有a p -a q =(p-q)(a 2-a 1); 6)若A , B 至少有一个不为零， 则｛a n ｝是等差数列的充要条件是 Sn=A n 2+B n.定理3等比数列的性质：1) a n =a 1q n-1; 2)前n 项和S n ,当q"时，0=內(17);当q=11- q时，S n = na 1； 3)如果a, b, c 成等比数列，即b 2=ac(b = 0),则b 叫做a, c 的等比中项；4)若 m+n=p+q ,贝U a m a n =a p a q 。
定义4极限，给定数列｛a n ｝和实数A ,若对任意的；>0,存在M ，对任意的n>M( n € N ),都 有|a n -A|< ；，则称A 为n —+x 时数列｛a n ｝的极限，记作lim a n 二AA —JpQ定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛a n ｝的公比q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列， 其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为 旦(由极限的定义可得)。
1-q定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：(1) p(n o )成立；(2)当p(n)时n=k 成立时能 推出p(n)对n=k+1成立，则由(1),( 2)可得命题p(n)对一切自然数n 》n o 成立。
竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：(1) p(n o )成立；(2)当p(n)对一切n W k 的 自然数n 都成立时(k >n o )可推出p(k+1)成立，则由(1),( 2)可得命题p(n)对一切自然 数n 》n o 成立。
定理5对于齐次二阶线性递归数列X n =ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x 2=ax+b 的两个根为a ,B ：(1)若a = B ，贝U X n =C 1a n-1+C 2 B n-1，其中C 1, G 2由初始条件X 1, x 2的值确定；⑵若a = B ，则 x n =(ci n+C 2)a n-1，其中C 1, c 2的值由X 1, X 2的值确定。
二、方法与例题1 •不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探 索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。
例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1) o , 3, 8, 15, 24, 35,…；2) 1, 5, 19, 65,…；3) -1 , o , 3, 8, 15,…。
【解】1) a n =n 2-1 ； 2) a n =3n -2n ； 3) a n =n 2-2n.定义3等比数列，若对任意的正整数n ,都有空=q ，则｛an ｝称为等比数列, q 叫做公比a n例2 已知数列｛a n｝满足a i = ^,a i+a2+…+a n=n2a n, n》1,求通项a n.21 2【解】因为a i=，又a i +a2=2 • a2,2所以a2= — , a3= --r-a2-，猜想a n - (n》1).3x2 32-1 3x4 n(n+1)证明；1)当n=1时，&1=丄，猜想正确。
2)假设当n W k时猜想成立。
2"当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] a k+1,,1 1 1所以=k(k+2)a k+1,2 疋13 汉2 k 汉(k+1)即1_丄J—1…•丄l=k(k+2)a k+1,2 23 k k +1k 1所以--- =k(k+2)a k+1,所以a k+1= - .k+1 (k+1)(k+2)由数学归纳法可得猜想成立，所以a n 1.n(n +1)1对任意n€ N+,有a n>1.例 3 设0<a<1，数列｛a n｝满足a n=1+a, a n-1=a+一，求证:a n【证明】证明更强的结论：1<a n< 1+a.1) 当n=1时，1<a1=1+a，①式成立；2) 假设n=k时，①式成立，即1<a n< 1+a，则当n=k+1时，有, 1 1 1+a+a2 1+a ,1a a k 1 a a 1.a k1+a 1+a 1+a由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
2 .迭代法。
数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n€ N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列｛a n｝满足a n+pa n-1+qa n-2=0, n>3，q = 0，求证：存在常数c，使得2 2 na n 1 pa n 1 • a n+qa n cq =0.【证明】a n 1 ' pa n 1 • a n+1 +qa* 1 = a* 2 (pa n+1+a n+2)+qa n ・1 =a n+2 • (_qa n)+qa* 1 = q(a21 -a n a n 2) = q[a：1+a n(pq n+1+qa n)]=q(a： 1 pa n 仙qa f).若a； ' pa?a1 •qa；=0，则对任意n, a：「pa“ 何+qa；=0，取c=0 即可.若a； ' pa2a * qa； =0，则｛a；1 • pa n^a n + qa；｝是首项为a； ' pa?a1 • qa；，公式为q 的等比数列。
所以a；」pa n 1a n+qa2 = (a| pa?a1 qa；) • q n.1取 c = _(a； ' pa1 a2 ' qa；) • 即可.q综上，结论成立。
例 5 已知a1=0, a n+1=5a n^..24a；1，求证：a n都是整数，n€ N+.【证明】因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n》1时a n+1>a n.1 1 1又由a n+i =5a n + . 24a 1 2 1移项、平方得a n 1 -10a n 3n 1 B n ~^0.①当n 》2时，把①式中的n 换成n-1得a ； -10a n 3nj • a ；」-1 = 0，即2 2an 1■ 10a n a n 1 a n - 1 二 0・ ②因为a n-1<a n+1，所以①式和②式说明a n-1, a n+1是方程x 2-10a n x+a 2-1=0的两个不等根。
由韦达 定理得 a n+1+ a n-1=10a n (n > 2).再由a 1=0, a 2=1及③式可知，当n € N +时，a n 都是整数。
3. 数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
1 例 6 已知 a n =- 而(n=1,2,…)，求 S 99=a 1+a 2+ …+a 99.4 +22 2100 4n • 410°』 1 1 1 _+ =4- . 21004100 -n . 2100 4100 2 - 2100 (4- . 4100』)2100 ?——A 弧。
2? 2’ 24 25 2n 1一 2 七 一(n 十1)(n +2) 一4 2(n 1)(n 2)例8 已知数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n , S n 为数列」< > 的前n 项和，求证：S n <2【证明］由递推公式可知，数列 1 丄 Z A A 2 22 23 24 25 因为Sh = ｛a n ｝前几项为1， .8亠.亠an26 2n ，1, 12 J 2， 3， 5， 8，13。
2 2100 - 4n • 4100』 【解］因为a n +a 100-n = 1 99所以 S 99= (a n2 n £例7求和：S n ［解］ 般地,a、 1 v 99 99'a100 -n ) 硕. 而.2 2 21 1: ----- + --------- ….+—1 2 32 3 4 n(n 1)( n 2)1 k2 -kk(k 1)(k 2)1 、12 (k(k +1) (k +1)(k +2)丿 1n所以S n 八心 k(k +1)(k+2) 1 1 1.1丄2 ||1 22 3 2 3 3 4丄1 1 〕n(n +1) _ (n +1)(n+2)_由①-②得詁亦丄 22 a a n ，1 1 1 a n所以一S nS n _2 nr。
22 42又因为S n-2<S n 且品>0, 所以Q J 」&,所以^S n2244所以S n <2，得证。
4. 特征方程法。
例 9 已知数列｛a n ｝满足 a 1=3, a 2=6, a n+2=4n+1-4a n ，求 a n . ［解］ 由特征方程x 2=4x-4得X 1=X 2=2.‘3 = o + P6 = (。
+20)X 2，5 •构造等差或等比数列。
例 11 正数列 a o ,a 1,…,a n ,…满足-a n a n ^ - ■. a n d a n ^ =2a n-1(n > 2)且 a o =a 1=1，求通项。
— +1 ,则｛b n ｝是首项为；丄+仁2,公比为an 4: a o+1an1 = 2a n 4所以b n = n +1=2 , 所以 a 2 所以a n =^ •也a n 4 an -2n 注：I 丨 C i 二C 1 ・ C 2 .......... i ±电=(2n -1) 2, a n 4a 1C n . n k 2 -a o =i 【(2 -1). k 珀 例12 已知数列｛X n ｝满足X 1=2, X n+1 =［解］考虑函数f(x)=2x的不动点，由 x 2 2 』-,n € N +,2x nx 22 求通项。