山西省太原市2018届高考一模数学试卷(理)有答案

太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=P Q I （ ）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++L 的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=L （ ）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a <.C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB AD AB ，点M 在边CD 上，则MB MA ⋅的最大值为（ ）.A 5 .B 2 .C 221- .D 31-11、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （ ）.A 1 .B 21 .C 31 .D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞ .B (,44ln 2][1,)-∞---+∞U .C (,33ln3][1,)-∞---+∞U .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、121(1sin 2)x x dx --+=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.正视图侧视图俯视图12 21217、（本小题满分12分） 已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,PA AC AP ⊥=（1）若3AB =，求PC ； （2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O,2,60PD PB AB PA BCD ====∠=o .（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所成锐二面角的若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20()P K K ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0K0.455 0.708…6.6357.87910.828APBCDOA CPB20、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()xf x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学 参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4. B 5. B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q >∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0a q a q a a q>∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q >∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立.8.B 【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤.2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9. A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y 两点连线的斜率，由线性规划可得03172y x ≤≤+，所以002713x y +-≤-≤-，1a ≤-. 10.B 11.B12.D 22(2)x x x m -≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x x m x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =，(3)2ln 320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln3m --<≤-- 13.2π 14. 1 15. 2 16. [0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-=g ，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=cos3AP PC π=（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin 2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=--.所以2sin()11cos 6=sin PB PC AP AP AP πθθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA.∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－1，0)，→ CD ＝(3，-1，0)，设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 . 即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=， 数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人， 数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：X123P314275615561283271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）2×2列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀6612数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20. 【解析】=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ， 由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ， 联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMN OPQ S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ，所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x xf x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=--因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =. ① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln21a <，则所以：有极大值(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值③2ea >时，ln21a >，则所以：有极大值，极小值(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02e a <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2e a >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --； （2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥， 且()()(1)(2)xg x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知 a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <， 所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a . 22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ.曲线3C 的直角坐标方程：(0)3y x x =>，...........5分 （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ.将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ， 将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin 16d OC π==.所以11111)222C PQ S PQ d ∆===g . ......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--. 令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-， 所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。