立体几何判定定理与性质定理汇总
高中数学立体几何判定定理及性质
高中数学立体几何判定定理及性质-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
ααα⊂⇒∈∈∈∈lBAlBlA,,,①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）llP∈=⋂⇒⋂∈P且βαβα①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线CBACBA,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面αααα⊂∈⇒∉aAA,使，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个βαβα∥⇒⎭⎬⎫⊥'⊥'OOOO平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何所有定理和判定
立体几何所有定理和判定立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和物体的性质。
在立体几何中，有许多重要的定理和判定，它们帮助我们理解和解决与立体图形相关的问题。
本文将介绍一些主要的定理和判定。
一、平行线与平面的关系1. 平行线定理：如果两条线与第三条线平行，则这两条线也互相平行。
2. 平行线截割定理：如果一对平行线被一组截线截割，则所得的对应线段成比例。
3. 平行线的垂直定理：如果两条平行线被一条截线垂直截断，则所得的对应线段也相互垂直。
二、线段与角的关系1. 点到直线的距离定理：一个点到一条直线的距离等于这条直线上任意一点到该点的距离。
2. 线段相等定理：如果两个线段的长度相等，则它们是相等的。
3. 角的平分线定理：如果一条直线将一个角分成两个相等的角，则这条直线是该角的平分线。
三、平面图形的性质1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2. 直角三角形定理：如果一个三角形的一个角是直角，则它是直角三角形。
3. 等腰三角形定理：如果一个三角形的两边相等，则它是等腰三角形。
4. 等边三角形定理：如果一个三角形的三边都相等，则它是等边三角形。
四、立体图形的性质1. 正方体的性质：正方体是一种六个面都是正方形的立体图形。
2. 立方体的性质：立方体是一种六个面都是正方形且相互平行的立体图形。
3. 正四面体的性质：正四面体是一种四个面都是等边三角形的立体图形。
五、空间图形的判定1. 平行四边形的判定：如果四边形的对边平行，则它是平行四边形。
2. 正多面体的判定：如果一个多面体的每个面都是正多边形且每个顶点的相邻边相等，则它是正多面体。
3. 立体图形的对称性判定：如果一个立体图形可以通过某种变换与自身完全重合，则它具有对称性。
以上只是立体几何中的一部分定理和判定，它们是我们理解和解决立体图形问题的基础。
通过运用这些定理和判定，我们可以更好地分析和推导立体图形的性质，从而解决各种与立体图形相关的问题。
(完整版)高中立体几何八大定理
lmβααba线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行 三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行nmAαaαbaBA l βαaβα五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。
立体几何证明定理及性质总结
一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行2. 线面相交l符号表示：符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβαmlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：l学习资料分享学习资料分享1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭。
常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
高中数学立体几何判定定理与性质.docx
高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言公理 1A l ,B l , A, B如果一条直线上的两l点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理 2作用①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行Pl 且 P lA, B, C 不共线A, B,C 确定一个平面A有且只有一个平面，使 A, aa b P有且只有一个平面，使 a,ba ∥ b有且只有一个平面，使 a,ba ∥ ba ∥ cb ∥c ①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
用来证明多点共面，多线共面用来证明线线平行二、平行关系文字语言（1）公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .符号语言图像语言作用a ∥ ba ∥ cb ∥ ca ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ baa ∥b ∥a b O∥ab（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
OOOO∥（6）面面平行的性质定理如果两个∥a a ∥ b平行平面同时和第三b个平面相交 ,那么它们的交线平行。
（ 7）面面平行的性∥质如果两个平面平行 , a ∥那么其中一个平面内a的直线平行于另一个平面。
高中数学立体几何判定定理及性质大全
有一个平面．
使得aA
推
论
a
2
Ab
有 且 经 只 过 有 两 一 条 个 相 平 交 面 直 ． 线 存 使 a 在 得b 唯 ba一 A 的 平 面 ,
推
论
b
a
3
有 且 只 经 有 过 一 两 个 条 平 平 面 行 ． 直 线 存 使a 在 得∥ 唯 b ba一 的 平 面 ,
知识清单
图形语言
文字语言
符号语言
如 果 一 个 平 面 经 过 另 一
个 两 平 个 面 平 的 面 一 互 条 相 垂 垂 线 直 , ． 那 么 这 aa⊥ ⊥
作用
直 线 平 面 平 面 平 面
知识清单
线 ⊥ 面 的 性 质 定 理
图形语言
文字语言
符号语言
如 果 两 个 平 面 互 相 垂 直 ， ⊥
如 果 平 面 外 一 条 直 线 和
这 个 平 面 内 一 条 直 线 平 行 , a 那 么 这 条 直 线 和 这 个 平 面 b
a
∥
平行．
a
∥
b
作用
直 线 ∥ 直 线 直 线 ∥ 平 面
知识清单
线 ∥ 面 的 性 质 定 理
图形语言
文字语言
符号语言
面 平 如 行 果 ,经 一 过 条 这 直 条 线 直 和 线 一 的 个 平 平 a∥ 面 和 这 个 平 面 相 交 ,那 么 这 a
图形语言
知识清单
基本性质4
文字语言
符号语言
a b
c
线 条 直 平如 线 行果 平 .两 行 条 ,直 那 线 么 都 这 和 两 第 条 三 直 ac∥ ∥bba∥c
高中数学立体几何判定定理及性质
高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言 符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,①用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）ll P ∈=⋂⇒⋂∈P 且βαβα① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面不共线C B A C B A ,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这αααα⊂∈⇒∉a A A ,使，有且只有一个平面条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄么这条直线和这个平面平行。
（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何判定方法和性质汇总
四、直线系方程有几种？ 都怎样设出？ 怎样求一直线系过定点？
例 1 、 求 直 线 (m+1)x+(m1)y2=0 所 通 过 的定点P的坐标.
五、两点间距离公式是什么？
推导此公式时的重要思想方法是什么？ 中点坐标公式？
点到直线的距离、两条平行直线间的距 离公式？
六、有哪些常见的对称问题？ 各如何解决？
例5．在正四棱柱AC1中，底面边长为1， 侧棱长为2 ，⑴求D1B1与平面A1BCD1所 成的角 ⑵求B1到平面A1BC1的距离
D1
C1
A1
B1
DE
C
平面解析几何的公式与方法
一、直线的斜率定义（两种） 二、直线的方程的四种特殊形式和一般式
三、已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0与 l2：A2x+B2y+C2=0(A1,B1不全为零，A2,B2 不全为零).则: (1) l1∥l2 (2) l1⊥l2
4.已知一直线被两条已知直线A1x+B1y+C1=0、 ： A2x+B2y+C2=0所截得的线段中点P的坐标为 （x0,y0），求这条直线的方程如图所示。
解：设直线与直线相交于A(x1,y1), 因为P(x0,y0) 是线段AB的中点，所以直线与直线的交点B的坐标
为(2x0- x1, 2y0 -y1).将点A(x1,y1)、交点B(2x0x1, 2y0 -y1) 的坐标分别代入直线： A1x+B1y+C1=0、 ：A2x+B2y+C2得方程组
(2)用斜率公式。分别计算一个点与另两个 点连线的斜率，若两斜率相等或者两斜率都 不存在，则这三点共线，否则不共线；
(3)用直线方程。计算经过其中两个点的直 线方程，再判断另一个点的坐标是否满足该 直线方程，若满足则这三点共线，否则不共 线。
立体几何公式定理大全
立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。
范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
立体几何性质定理集锦
立体几何性质定理集锦
一、空间点、线、面之间的位置关系
公理1：如果一条直线上的两点在这个平面内，那么这条直线在这个平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：过直线及直线外一点，有且只有一个平面。
推论：过两条平行直线有且只有一平面。
推论：过两条相交平面有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过交点的公共直线。
公理4：（直线平行的传递性）平行于同一条直线的两条直线平行。
二、平行与垂直的判定和性质定理
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平
面平行。
2、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。
3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平
面平行。
4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
5、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。
6、直线与平面垂直的性质定理：
（1）一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的所有直线。
（2）垂直同一条直线的两个平面平行。
7、平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
高中数学立体几何判定定理与性质
高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理 2如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他公共点 ,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行符号语言图像语言A l ,B l , A, BlPl 且 P lA, B, C不共线A, B,C确定一个平面A有且只有一个平面，使A, aa b P有且只有一个平面，使a,ba ∥ b有且只有一个平面，使a,ba ∥ ba ∥ cb ∥ c作用①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
用来证明多点共面，多线共面用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（ 1）公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行（ 2）线面平行的判定定理a ∥ bb ∥ ca ∥ c如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（ 3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 ,那么这两个平面平行 .（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行。
（7）面面平行的性质如果两个平面平行 ,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（8）面面平行的性a ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ b aa ∥b ∥a b O∥abOO∥OO∥a a ∥ bb∥a∥a质如果一条直线 ∥垂直于两个平行平 ll面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
(完整版)高中立体几何八大定理
线面地址关系的八大定理一、直线与平面平行的判判定理：文字语言：若是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与平面平行a图形语言：符号语言：a bb a //a // b作用：线线平行线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：若是一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：l //l符号语言： l l // mm m作用：线面平行线线平行三、平面与平面平行的判判定理文字语言：若是一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：aba Ib A//a∥b∥作用：线线平行面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：若是两个平行平面同时和第三个平面订交, 那么所得的两条交线平行图形语言 ://符号语言 :a a // bb作用 :面面平行线线平行五、直线与平面垂直的判判定理：文字语言：若是一条直线和一个平面内的两条订交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：aa ma na m n Am, nAn m作用：线线垂直线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：假设两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行图形语言：符号语言：aa //b b ab作用：线面垂直线线平行七、平面与平面垂直的判判定理：文字语言：若是一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
图形语言：a a符号表示：a注：线面垂直面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：若是两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：I l符号语言：ABABAB l Al B作用：面面垂直线面垂直。
立体几何判定定理与性质定理汇总
文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行． 符号语言:α⊄a ,α⊂b ,且b a //α//a ⇒.图形语言：定理二(平面与平面平行的判定定理）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言:β⊂a ,β⊂b ,P b a = ，α//a ，α//b αβ//⇒．定理三(直线与平面平行的性质定理）文字语言:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言:α//a ，β⊂a ，且b =βα b a //⇒．图形语言：证明:因为b =βα ,所以α⊂b ．又因为α//a ,所以a 与b 无公共点．又因为β⊂a ,β⊂b ,所以b a //.定理四(平面与平面平行的性质定理)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行． 符号语言:βα//，a =γα ,b =γβ b a //⇒.图形语言:αb a αa αβa bαγa b αβ文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ,α⊂a ，α⊂b α//c ⇒．图形语言:定理六(平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言:α⊥a ,β⊂a ,αβ⊥⇒．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理)文字语言:垂直于同一平面的两条直线平行．符号语言:α⊥a ,α⊥b b a //⇒．图形语言：定理八(平面与平面垂直的性质定理)文字语言:对于两个相互垂直的平面,在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言:βα⊥，m =βα ,β⊂a ，m a ⊥α⊥⇒a ．图形语言：αβa αb a βam α。
立体几何判定定理及性质定理汇总
立体几何判定定理及性质定理汇总一线面平行
线面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线面平行性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行.
二面面平行
面面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行.
面面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.
三线面垂直
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面平行.
线面垂直性质定理1
如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.
线面垂直性质定理2
垂直于同一个平面的两条直线平行.
四面面垂直
面面垂直判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
面面垂直性质定理1
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直性质定理2
两个平面垂直,过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内.
1。
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文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号语言：α⊄a ，α⊂b ，且b a //α//a ⇒．
图形语言：
定理二（平面与平面平行的判定定理）
文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 符号语言：β⊂a ，β⊂b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//⇒．
定理三（直线与平面平行的性质定理）
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
符号语言：α//a ，β⊂a ，且b =βα b a //⇒．
图形语言：
证明：因为b =βα ，所以α⊂b ．
又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．
又因为β⊂a ，β⊂b ，所以b a //．
定理四（平面与平面平行的性质定理）
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //⇒．
图形语言：
α
b a α
a α
βa b
αγ
a b αβ
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α⊂a ，α⊂b α//c ⇒．
图形语言：
定理六（平面与平面垂直的判定定理）
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号语言：α⊥a ，β⊂a ，αβ⊥⇒．
图形语言：
定理七（直线与平面垂直的性质定理）
文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行．
符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //⇒．
图形语言：
定理八（平面与平面垂直的性质定理）
文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言：βα⊥，m =βα ，β⊂a ，m a ⊥α⊥⇒a ．
图形语言：
αβa αb a βa
m α。