如何理解小波
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设 X为 复 数 域 上 的 线 性 空 间 ， 从 XX到 C中 定 义 了 函 数 •,•， x,y,zX,， 满 足 1.x,yy,x*
2.,C,xy,zx,zy,z
3.x,x0,当 且 仅 当 x0时 x,x0.
称 •,•为 X中 的 内 积 ， X称 为 内 积 空 间 。 范 数x x,x， 距 离 (x,y) xy,xy
1992年，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十 讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重 要的推动作用。
1994年, AT&T公司Bell实验室的Wim Swelden提出的 提升方案Lifting Scheme，即第二代小波 。
小波的历史发展
6/20
S.Mallat
I.Daubechies Wim Swelden
小波分析典型参考书
7/20
荣获1994年Leroy P．Steele奖。该书印 数超过15000册，这在 学术著作中是极为罕见 的。
ISBN：7-118-03381-2 作者：Daubechies, 李建平，杨万年译
小波分析典型参考书
即g(t)X,有g(t) akek(t)
k
Leabharlann Baidu基底
如ek果 (t)是线性无 式 关 系 ak是 的 数 唯 ，一 使 {ek(t)的 得 k} Z为 ， 上 空 称 间的基底
正交(直交) x,y为内X 中 积的 空两 间 个 x,y元 0 ,称 x与 素 y正， 交x 若 ， y 记作
标准正交基（规范正交基）
Z表 示 整 数 集 合 R表 示 实 数 集 合 C表 示 复 数 集 合
2.对称性： (x, y)(y,x)
Z＋表 示 正 整 数 集 合
3.三角不等式 x,： y,zX,有(x, y)(x,z)(z, y)
R n表 示 n为 欧 氏 空 间
则称(x, y)为x和y之间的距离 X为，以(x, y)为距离的距离空间 内 积。 x , y x ( t ) y ( t ) * d t R
泛函知识初步函数空间
10/20
线性空间
设 X是任一非空 X中 集定 合义 ，了 在线素 性的 运加 算法 （和 元 运 元算 素） 的， 数乘 并且满足加结 法合 或律 数及 乘分 的配律。 对于线性空量 间， 的用 任 x来 范 一定 数 向义其长度。
赋范线性空间
设 X 为一线 x性 X,存 空在 间非 ， x与 负 之 实 对 数 应，满足
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1.5
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1
1
0.5
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0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Daubechies16阶
Meyer
小波的优点
3/20
小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特 性；
泛函知识初步
9/20
空间
空间的直观理解就是一种集合，其元素可能是函数、矢量等，而元素之间存在一 定的关系或性质。
函数空间
所谓函数空间，就是由函数构成的集合，并在集合上赋予了一定的代数结构。
距离空间
设X是任一集合 x,， yX,都对应一个实 (x,数 y),而且满足 1.非负性： (x, y)0，当且仅x当y时，(x, y)0.
如何理解小波?
1/20
Wavelet（小波）=Wave(波)+let
Booklet(小册子) =Book(书)+let
小波：即小区域的波，是一种特殊的、长度有限的、 平均值为零的波形。
它有两个特点： 一是“小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集； 二是正负交替的“波动性”，也就是直流分量为零。
如何理解小波?
内积空 { e n } 满 间 足 e 中 m ,e n： 元 1 0 素 m m n n ， 列 { 则 e n } 为 称 X 空 中间 的标准正
信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探 流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形
小波的历史发展
5/20
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的。当时未能得到数学家的 认可。
1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小 波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的多尺度 分析。
1.x0,当且 x仅 0时 x当 ， 02. R ,xx 3. x,y X,xyxy 距离定 (x,y) 义 yx为
Banach空间
设空 X中 间的任{x一 i}iZ都 序有 列极限，都 并 X 在 中 且， 此该 极空 限间为完备的。 完备的线性为 赋 Ba范 n空 a空 c间 h间 。称
Hilbert空间
完 备 的 内 积 空 间 称 为 H ilbert空 间
泛函知识初步基底
11/20
张成span
设ek(t)为一个函数 X表 序示 列 ek为 (t)， 所有可能的线 成性 的组 集合 合构 ，即
X{ akek(t);t,akR,kZ}称X为由序 ek(t)列 张成的线性空间：
k
Xspa{enk}
8/20
MATLAB 6.5辅助小波分析与应用 出版社:电子工业出版社 出版日期:2003年1月1日 作者:飞思科技产品研发中心 ISBN:7505381** 定价:26元
该书是作者总结多年研究小波分析的心得，以 MATLAB 6.5中的小波分析工具箱（wavelet toolbox）2.2版为基础，在简要介绍小波分析的 基础理论之后，重点说明了小波分析工具箱的 详细使用方法，并以信号和图像处理领域为例 展示了如何应用小波分析工具箱来解决工程中 的实际问题，以达到使读者快速入门小波分析 的目的。
小波变换可以自适应地调节时频窗口；
小波变换对信号奇异点非常敏感，可以用于分析 检测突变信号；
因而能在信号检测、降噪、特征提取方面发挥重 要作用，被誉为信号分析的“显微镜” 。
小波的应用
4/20
J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化
2.,C,xy,zx,zy,z
3.x,x0,当 且 仅 当 x0时 x,x0.
称 •,•为 X中 的 内 积 ， X称 为 内 积 空 间 。 范 数x x,x， 距 离 (x,y) xy,xy
1992年，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十 讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重 要的推动作用。
1994年, AT&T公司Bell实验室的Wim Swelden提出的 提升方案Lifting Scheme，即第二代小波 。
小波的历史发展
6/20
S.Mallat
I.Daubechies Wim Swelden
小波分析典型参考书
7/20
荣获1994年Leroy P．Steele奖。该书印 数超过15000册，这在 学术著作中是极为罕见 的。
ISBN：7-118-03381-2 作者：Daubechies, 李建平，杨万年译
小波分析典型参考书
即g(t)X,有g(t) akek(t)
k
Leabharlann Baidu基底
如ek果 (t)是线性无 式 关 系 ak是 的 数 唯 ，一 使 {ek(t)的 得 k} Z为 ， 上 空 称 间的基底
正交(直交) x,y为内X 中 积的 空两 间 个 x,y元 0 ,称 x与 素 y正， 交x 若 ， y 记作
标准正交基（规范正交基）
Z表 示 整 数 集 合 R表 示 实 数 集 合 C表 示 复 数 集 合
2.对称性： (x, y)(y,x)
Z＋表 示 正 整 数 集 合
3.三角不等式 x,： y,zX,有(x, y)(x,z)(z, y)
R n表 示 n为 欧 氏 空 间
则称(x, y)为x和y之间的距离 X为，以(x, y)为距离的距离空间 内 积。 x , y x ( t ) y ( t ) * d t R
泛函知识初步函数空间
10/20
线性空间
设 X是任一非空 X中 集定 合义 ，了 在线素 性的 运加 算法 （和 元 运 元算 素） 的， 数乘 并且满足加结 法合 或律 数及 乘分 的配律。 对于线性空量 间， 的用 任 x来 范 一定 数 向义其长度。
赋范线性空间
设 X 为一线 x性 X,存 空在 间非 ， x与 负 之 实 对 数 应，满足
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2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Daubechies16阶
Meyer
小波的优点
3/20
小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特 性；
泛函知识初步
9/20
空间
空间的直观理解就是一种集合，其元素可能是函数、矢量等，而元素之间存在一 定的关系或性质。
函数空间
所谓函数空间，就是由函数构成的集合，并在集合上赋予了一定的代数结构。
距离空间
设X是任一集合 x,， yX,都对应一个实 (x,数 y),而且满足 1.非负性： (x, y)0，当且仅x当y时，(x, y)0.
如何理解小波?
1/20
Wavelet（小波）=Wave(波)+let
Booklet(小册子) =Book(书)+let
小波：即小区域的波，是一种特殊的、长度有限的、 平均值为零的波形。
它有两个特点： 一是“小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集； 二是正负交替的“波动性”，也就是直流分量为零。
如何理解小波?
内积空 { e n } 满 间 足 e 中 m ,e n： 元 1 0 素 m m n n ， 列 { 则 e n } 为 称 X 空 中间 的标准正
信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探 流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形
小波的历史发展
5/20
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的。当时未能得到数学家的 认可。
1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小 波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的多尺度 分析。
1.x0,当且 x仅 0时 x当 ， 02. R ,xx 3. x,y X,xyxy 距离定 (x,y) 义 yx为
Banach空间
设空 X中 间的任{x一 i}iZ都 序有 列极限，都 并 X 在 中 且， 此该 极空 限间为完备的。 完备的线性为 赋 Ba范 n空 a空 c间 h间 。称
Hilbert空间
完 备 的 内 积 空 间 称 为 H ilbert空 间
泛函知识初步基底
11/20
张成span
设ek(t)为一个函数 X表 序示 列 ek为 (t)， 所有可能的线 成性 的组 集合 合构 ，即
X{ akek(t);t,akR,kZ}称X为由序 ek(t)列 张成的线性空间：
k
Xspa{enk}
8/20
MATLAB 6.5辅助小波分析与应用 出版社:电子工业出版社 出版日期:2003年1月1日 作者:飞思科技产品研发中心 ISBN:7505381** 定价:26元
该书是作者总结多年研究小波分析的心得，以 MATLAB 6.5中的小波分析工具箱（wavelet toolbox）2.2版为基础，在简要介绍小波分析的 基础理论之后，重点说明了小波分析工具箱的 详细使用方法，并以信号和图像处理领域为例 展示了如何应用小波分析工具箱来解决工程中 的实际问题，以达到使读者快速入门小波分析 的目的。
小波变换可以自适应地调节时频窗口；
小波变换对信号奇异点非常敏感，可以用于分析 检测突变信号；
因而能在信号检测、降噪、特征提取方面发挥重 要作用，被誉为信号分析的“显微镜” 。
小波的应用
4/20
J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化