考研数学常用图形求面积
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一,主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求,包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来,包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中,也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数,许多重要的概念都需要用极限理论精确定义,因此极限是微积分学的重要基础,这部分内容对后续内容的学习影响深远,故应重点掌握。
在这一部分,由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样,故这里不做分类。
考纲内容:1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形,初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系,无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算:掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限;10、函数连续的概念,函数间断点的类型;11、初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知,大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好,但由于这部分内容与后续内容多有交叉,因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位,而且它也是考研数学考查的重点。
在这里,对于数学(一)和数学(二)单独考点,包新卓老师会在相应的内容后面予以标出,未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
几何图形的面积计算
几何图形的面积计算几何图形的面积计算是数学中非常重要的一部分,它涉及到了诸多的几何知识和计算方法。
在几何学中,面积是用来描述平面图形所占的空间大小的一个指标。
不同的几何图形有不同的面积计算公式,下面将会一一介绍各个常见几何图形的面积计算方法。
一、矩形的面积计算矩形是最简单的几何图形之一,它的面积计算公式是:面积 = 长 ×宽。
例如,一个矩形的长为5cm,宽为3cm,那么它的面积 = 5cm ×3cm = 15cm²。
二、三角形的面积计算三角形也是常见的几何图形,它的面积计算公式是:面积 = 1/2 ×底边长 ×高。
例如,一个三角形的底边长为4m,高为6m,那么它的面积 = 1/2 ×4m × 6m = 12m²。
三、圆形的面积计算圆形是一种特殊的几何图形,其面积计算公式是:面积= π × 半径²。
其中,π是一个无理数,约等于3.14159。
半径是圆的半径长度。
例如,一个圆的半径为5cm,那么它的面积 = 3.14159 × 5cm × 5cm= 78.54cm²。
四、正方形的面积计算正方形是边长相等的矩形,因此它的面积计算公式与矩形相同,即:面积 = 边长 ×边长。
例如,一个正方形的边长为7cm,那么它的面积 = 7cm × 7cm =49cm²。
五、梯形的面积计算梯形也是一种常见的几何图形,它的面积计算公式是:面积 = 1/2 ×(上底 + 下底) ×高。
例如,一个梯形的上底为4cm,下底为8cm,高为5cm,那么它的面积 = 1/2 × (4cm + 8cm) × 5cm = 30cm²。
六、圆环的面积计算圆环是由两个同心圆围成的区域,它的面积计算公式是:面积= π× (外圆半径² - 内圆半径²)。
图形求解面积技巧
图形求解面积技巧图形求解面积是几何学中的基本内容,根据不同的图形形状,求解面积的方法也不同。
在解题过程中,我们可以利用一些技巧来更快地求解面积。
以下是一些常见的图形求解面积的技巧。
一、矩形和正方形的面积求解技巧矩形和正方形是最简单的图形,其面积求解公式是直接应用的,即面积等于长度乘以宽度。
如果给定的是边长,可以根据给定的边长求解面积。
二、三角形的面积求解技巧三角形的面积求解有多种方法。
常见的方法有:1. 正直角三角形的面积求解:对于直角三角形,可以利用两条直角边的长度来求解面积,公式为面积等于直角边乘以直角边除以2。
2. 任意三角形的面积求解:根据三角形的海伦公式,可以利用三条边长来求解面积,公式为面积等于根号下(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),其中 p 为半周长,p = (a +b + c) / 2。
三、圆的面积求解技巧圆的面积求解需要用到圆周率π。
常见的圆的面积求解方法有:1. 根据半径求解圆的面积:对于给定半径的圆,可以直接用公式面积等于π乘以半径的平方来求解。
2. 根据直径求解圆的面积:如果给定的是圆的直径,可以先将直径除以2得到半径的长度,然后利用公式面积等于π乘以半径的平方来求解面积。
四、梯形的面积求解技巧梯形的面积求解需要利用梯形的上底、下底和高。
常见的梯形的面积求解方法有:1. 根据上底和下底求解梯形的面积:对于给定上底、下底和高的梯形,可以利用公式面积等于上底加下底乘以高除以2来求解面积。
2. 根据对角线和高求解梯形的面积:如果给定的是梯形的对角线和高的长度,可以利用公式面积等于对角线之和乘以高除以2来求解面积。
五、平行四边形的面积求解技巧平行四边形的面积求解需要利用平行四边形的底和高。
常见的平行四边形的面积求解方法有:1. 根据底和高求解平行四边形的面积:对于给定底和高的平行四边形,可以利用公式面积等于底乘以高来求解面积。
2. 根据对角线和夹角求解平行四边形的面积:如果给定的是平行四边形的对角线和夹角,可以利用公式面积等于对角线之积乘以夹角的正弦值来求解面积。
考研数学-专题11 平面域的面积与旋转体的体积
_______ .
[ 3 − ln 2] 2
∫x
【例 2】设 f (x) = t t d t, 则曲线 y = f (x) 与 x 轴所围成封闭图形的面积 −1 为 _________ . x
∫ 【解】 由于 t t 为奇函数,则 f (x) = t t d t 为偶函数, −1 而 f ′(x) = x x < 0, (x < 0), f (−1) = 0,
0
0
D y≥0
∫ = 2π π (1+ cosθ )3 sinθdθ = 8π
30
3
【例
10】已知曲线
L
:
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
f (t), (0
cos t
≤
t
<
π) 2
,其中函数
f
(t) 具有连续导数,且
f (0) = 0, f ′(t) > 0(0 < t < π ). 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1. 2
∫ = 4π
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
∫ = 4π 2 1− (x −1)2 dx 0
= 4π ⋅ π 2
(奇偶性平移) (定积分几何意义)
= 2π 2
方法二 Vy = 2π ∫∫ r(x, y)dσ = 2π ∫∫ xdσ
D
D
3
= 2π ∫∫[(x −1) +1]dσ D
(B)
【例 4】 设平面图形 A 由 x 2 + y 2 ≤ 2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 A 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
考研数学二课本要点指导
高数部分:(配同济六版教材)第一章函数与极限(考研必考章节,其中求极限是本章最重要的内容,要掌握求极限的集中方法)第一节映射与函数(一般章节)一、集合(不用看)二、映射(不用看)三、函数(了解)注:P1--5 集合部分只需简单了解P5--7不用看P7--17 重点看一下函数的四大性态:单调、奇偶、周期、有界P17--20 不用看P21 习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做(3)(5)(7)(8)5--9 均做10大题只需做(4)(5)(6)11大题只需做(3)(4)(5)12大题只需做(2)(4)(6)13做14不用做 15、16重点做17--20应用题均不用做第二节数列的极限(一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看) 一、数列极限的定义(了解)二、收敛极限的性质(了解)P26--28 例1、2、3均不用证p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30--31 习题1-21大题只需做(4)(6)(8)2--6均不用做第三节(一般章节)(标题不再写了对应同济六版教材标题一、(了解)二、(了解)P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6 要会做例7 不用做P36--37 定理2、3证明不用看定理3?4”完全不用看p37习题1--31--4 均做5--12 均不用做第四节(重要)一、无穷小(重要)二、无穷大(了解)p40 例2不用做p41 定理2不用证p42习题1--41做2--5 不全做6 做7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1--51题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明p50 准则1的证明要理解p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55--56柯西极限存在准则不用看p56习题1--71大题只做(1)(4)(6)2全做3不用做4全做,其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要)p58--59 定理1、2的证明要理解p59 习题1--7 全做第八节(基本必考小题)p60--64 要重点看第八节基本必出考题p64 习题1--81、2、3、4、5要做其中4、5要重点做6--8不用做第九节(了解)p66--67 定理3、4的证明均不用看p69 习题1--91、2要做3大题只做(3)——(6)4大题只做(4)——(6)5、6均要重点做第十节(重要,不单独考大题,但考大题会用到)一、(重要)二、(重要)p72三、一致连续性(不用看)p74习题1--101、2、3、5要做,要会用5的结论。
图形的面积计算方法
图形的面积计算方法面积是图形的一个重要属性,它描述了图形所占有的平面区域的大小。
计算图形的面积是数学中一个基本的问题,而不同类型的图形有不同的面积计算方法。
本文将为您介绍几种常见图形的面积计算方法。
一、长方形的面积计算方法长方形是一种矩形,它的两边长度不同,但相邻两边分别相等。
长方形的面积计算方法非常简单,只需要将长方形的长度与宽度相乘即可计算得出。
设长方形的长度为l,宽度为w,则其面积S可以表示为:S = l × w。
二、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的长方形,它的四条边长度都相等。
正方形的面积计算方法与长方形类似,也是将正方形的边长平方即可。
设正方形的边长为a,则其面积S可以表示为:S = a × a = a²。
三、三角形的面积计算方法三角形是由三条边所围成的图形,它没有平行边。
计算三角形的面积需要使用三角形的底和高的长度。
设三角形的底为b,高为h,则其面积S可以表示为:S = 1/2 × b × h。
四、圆形的面积计算方法圆形是一个完全由曲线所围成的图形,其特点是任意两点到圆心的距离都相等。
计算圆形的面积需要使用圆的半径。
设圆的半径为r,则其面积S可以表示为:S = π × r²,其中π是一个常数,近似取值为3.14159。
五、梯形的面积计算方法梯形是一个由两条平行边和两条非平行边所围成的图形。
计算梯形的面积需要使用梯形的上底、下底及高的长度。
设梯形的上底为a,下底为b,高为h,则其面积S可以表示为:S = 1/2 × (a + b) × h。
六、其他图形的面积计算方法除了上述几种常见图形外,还有许多其他类型的图形,如圆环、扇形、多边形等。
这些图形的面积计算方法不在本文的讨论范围内,但是它们的面积计算方法一般都可以通过将图形划分为若干个已知面积的基本图形来计算。
综上所述,计算图形的面积需要根据图形的类型选择相应的面积计算方法。
数学图形面积的知识点总结
数学图形面积的知识点总结一、基本概念1.1 面积面积是指平面图形所围成的区域大小,用于描述图形的大小和形状。
在数学中,面积通常用于描述二维图形的大小,比如矩形、三角形、圆等。
面积通常用单位平方来表示,例如平方米、平方厘米等。
1.2 单位面积单位面积是指用于计量面积的标准单位,通常用平方米(m²)作为国际标准单位。
其他常用的单位面积包括平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方千米(km²)等。
1.3 图形在数学中,图形是指可以用线段和曲线相互连接的点组成的集合。
常见的图形包括直线、圆、多边形等。
二、常见图形的面积计算方法2.1 矩形的面积计算矩形的面积计算公式为:面积 = 长 × 宽。
其中,长和宽分别表示矩形的两条边的长度。
2.2 正方形的面积计算正方形是一种特殊的矩形,它的四条边相等。
正方形的面积计算公式为:面积 = 边长 × 边长。
2.3 三角形的面积计算三角形的面积计算公式为:面积 = 底边长 × 高 ÷ 2。
其中,底边长表示三角形的底边的长度,高表示从顶点到底边的垂直距离。
2.4 梯形的面积计算梯形的面积计算公式为:面积 = 上底长 + 下底长 × 高 ÷ 2。
其中,上底长和下底长分别表示梯形的上底和下底的长度,高表示梯形的高度。
2.5 圆的面积计算圆的面积计算公式为:面积= π × 半径的平方。
其中,π表示圆周率,半径表示圆的半径长度。
2.6 正多边形的面积计算正多边形是一种边数相等、边长相等的多边形。
正多边形的面积计算公式为:面积 = 1/4× n × 边长的平方× cot(π/n)。
其中,n表示正多边形的边数,边长表示正多边形的边长。
三、特殊图形的面积计算3.1 梯形的面积计算不规则图形的面积计算通常通过分解成规则图形来解决。
将不规则图形分成若干个三角形、矩形或者其他规则图形,并分别计算他们的面积,再将这些面积相加,就得到了整个图形的面积。
常见几何图形的面积计算
常见几何图形的面积计算在我们的日常生活和学习中,几何图形无处不在,而计算它们的面积是一项重要的技能。
无论是在装修房屋时计算地板的面积,还是在农业中计算田地的面积,又或者是在数学考试中解答相关题目,都需要我们掌握常见几何图形面积的计算方法。
下面,让我们一起来了解一下几种常见几何图形的面积计算吧。
首先,我们来看看矩形(包括正方形)。
矩形的面积计算非常简单,只需要用长乘以宽就可以了。
假设一个矩形的长是 5 米,宽是 3 米,那么它的面积就是 5×3 = 15 平方米。
正方形是一种特殊的矩形,它的四条边长度相等。
如果正方形的边长是 4 米,那么它的面积就是 4×4= 16 平方米。
接下来是三角形。
三角形的面积计算稍微复杂一点,需要用底乘以高再除以 2。
比如一个三角形的底是 6 米,高是 4 米,那么它的面积就是 6×4÷2 = 12 平方米。
这里要注意,底和高必须是相互垂直的。
再说说平行四边形。
平行四边形的面积计算方法和矩形类似,用底乘以高。
假设有一个平行四边形,底是 7 米,高是 3 米,它的面积就是 7×3 = 21 平方米。
梯形也是常见的几何图形之一。
梯形的面积计算公式是(上底+下底)×高÷2。
例如一个梯形的上底是 2 米,下底是 6 米,高是 4 米,那么它的面积就是(2 + 6)×4÷2 = 16 平方米。
圆形在生活中的应用也很广泛,比如计算圆形花坛的面积。
圆的面积计算公式是π×半径的平方。
π通常取 314 左右。
如果一个圆的半径是 3 米,那么它的面积就是 314×3×3 = 2826 平方米。
在实际应用中,我们可能会遇到一些组合图形,需要把它们分割成我们熟悉的基本几何图形,分别计算面积后再相加或相减。
比如,有一个图形是由一个矩形和一个三角形组成的。
矩形的长是5 米,宽是 4 米;三角形的底是 3 米,高是 2 米。
各种形的面积计算
各种形的面积计算面积计算是数学中的一个重要概念,广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
不同形状的物体,其面积计算方法也各不相同。
本文将介绍一些常见形状的面积计算方法,包括矩形、三角形、圆形、梯形和正多边形。
一、矩形的面积计算矩形是最常见的形状之一,其面积计算方法非常简单。
给定矩形的长为L,宽为W,其面积S可以通过公式S = L * W来计算。
例如,一个长为5米,宽为3米的矩形的面积为15平方米。
二、三角形的面积计算三角形是另一种常见的形状,它有多种计算方法。
其中最常用的方法是通过底边长和高来计算。
给定三角形的底边长为b,高为h,其面积可以通过公式S = (1/2) * b * h来计算。
例如,一个底边长为6米,高为4米的三角形的面积为12平方米。
三、圆形的面积计算圆形是一种特殊的形状,其面积计算方法与其他形状有所不同。
给定圆的半径为r,其面积可以通过公式S = π * r^2来计算,其中π是一个常数,约等于3.14159。
例如,一个半径为2米的圆的面积约为12.57平方米。
四、梯形的面积计算梯形是一个有两个平行底边和两个不平行的侧边的四边形。
给定梯形的上底长为a,下底长为b,高为h,其面积可以通过公式S = (a + b) * h / 2来计算。
例如,一个上底长为6米,下底长为4米,高为3米的梯形的面积为15平方米。
五、正多边形的面积计算正多边形是一个有n个等边等角的边的多边形。
给定正多边形的边长为s,其面积可以通过公式S = (n * s^2) / (4 * tan(π/n))来计算,其中n为边的个数,tan是一个三角函数。
例如,一个边长为3米的六边形的面积约为23.38平方米。
通过上述例子,我们可以了解到不同形状的面积计算方法。
需要注意的是,在实际计算中,单位要保持一致,并且准确测量相关参数。
此外,对于更复杂的形状,可以将其分解为基本形状的组合来计算其面积。
综上所述,各种形状的面积计算方法不尽相同,需要根据具体形状的特点选择合适的计算方法。
考研数学一分类真题一元函数积分学
考研数学一分类真题一元函数积分学(总分:65.00,做题时间:90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数:14,分数:26.00)1.由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:这种求面积问题一般先画草图(见下图),然后确定积分表达式.[*] 解1 令lnx=0,得x=1;令e+1-x=0,得x=e+1;令lnx=e+1-x,得x=e.则所求面积为 [*] 解2 对y积分,则所求面积为 [*] 本题主要考查利用定积分求面积,显然解2较解1方便.2.设f(x)f(7)=______.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:解等式[*]f(t)dt=x两边对x求导,得3x2f(x3-1)=1.令x=2,得12f(7)=1,f(7)=[*]本题主要考查变上限积分求导.3.设f(x)是连续函数,且f(x)=______.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:x-1.)解析:解1 令[*],则f(x)=x+2a.将f(x)=x+2a代入[*],得[*],即[*]+2a=a,由此可得a=[*] 则f(x)=x-1 解2 等式f(x)=x+[*]两端从0到1对x积分得 [*] 即 [*],由此可知从而可知 f(x)=x-1.本题主要考查定积分的计算.本题的关键是要注意[*]是个常数,只要定出这个常数,f(x)便可求得.4.>0)的单调减少区间为______.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:解F'(x)=[*](x>0) 令[*],解得[*].则F(x)单调减少区间为[*] 本题主要考查变上限求导和函数单调性的判定..(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:解由于[*] 所以 [*] 本题主要考查变上限积分求导..(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:sinx2.)解析:解令x-t=u,则 [*] 本题主要考查定积分变量代换和变上限积分求导..(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:解1 [*]△解2 由定积分的几何意义知,积分[*]应等于圆x2+y2=2x围成面积的[*],此圆半径为1,其面积为[*],故[*].本题主要考查定积分换元法(解1),但显然解2最好..(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:1)解析:解 [*] 本题主要考查广义积分计算.9.已知f'(e x)-xe-x,且f(1)=0,则f(x)=______.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:解令e x=t,则x=Int,代入f'(e x)=xe-x得[*]由f(1)=0知,C=0,故f(x)=[*]本题主要考查对f'(e x)的理解和不定积分.解决此类问题的方法是先作变量代换求出f'(t),然后积分便可求得f(t)..(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:解1 [*] 解2 令[*],则 [*] 本题主要考查计算定积分的分部积分法..(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:-4π)解析:解令[*],则x=t2,dx=2tdt原式=[*]=-4π本题主要考查定积分的计算方法.重点是两种方法,即换元积分法和分部积分法.12.s=______.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*].)解析:解[*] 则 [*] 本题主要考查平面曲线弧长计算和变上限积分求导.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:解1 由于[*]令x-1=sint, 则dt=costdt[*]解2 由于[*]令x-1=t, 则dx=dt[*]本题是一道定积分计算的基本题,用到定积分计算中很多常用方法和结论、换元法(x-1=sint, x-1=t), 其中结论[*][*]定积分几何意义:[*](单位圆x2+y2≤1面积的[*])..(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:(ln2).)解析:[*] 本题主要考查反常积分的计算.二、{{B}}选择题{{/B}}(总题数:19,分数:19.00)15.设f(x)s>0,t>0,则I的值 ______∙ A.依赖于s和t.∙ B.依赖于s.t,x.∙ C.依赖于t和x,不依赖于s.∙ D.依赖于s,不依赖于t.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:解 [*] 由此可见,I的值只与S有关,所以应选D.本题主要考查定积分的概念和变量代换.16.设f(x)是连续函数,且F'(x)等于 ______∙ A.-e-x f(e-x)-f(x)∙ B.-e-x f(e-x)+f(x)∙ C.e-x f(e-x)-f(x)∙ D.e-x f(e-x)+f(x)(分数:1.00)A. √B.C.D.解析:解由[*]可知F'(x)=-e-x f(e-x)-f(x)故应选A.本题主要考查变上限积分求导.17.x→0时,f(x)是g(x)的 ______∙ A.等价无穷小.∙ B.同阶但非等价的无穷小.∙ C.高阶无穷小.∙ D.低阶无穷小.(分数:1.00)A.B. √C.D.解析:解因为[*] 所以,当x→0时,f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小.本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导.18.双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为______A.. B..C.. D.(分数:1.00)A. √B.C.D.解析:双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的图形关于y轴和x轴都对称.因此,所求面积应为第一象限的4倍.而在计算双纽线围成的面积时应用极坐标方程r2=cos2θ,并且应特别注意在第一象限θ的取值范围应是0≤θ≤[*],而不是0≤θ≤[*].解设双纽线在第一象限围成的面积为S1,则[*]所求面积为 [*]所以应选A.本题主要考查平面图形的面积计算.19. ______∙ A.N<P<M.∙ B.M<P<N.∙ C.N<M<P.∙ D.P<M<N.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:注意本题中所给三个定积分的积分区间都是关于原点对称,因此首先应考虑被积函数的奇偶性.解由被积函数的奇偶性可知 M=0 N=[*] P=[*] 因此P<M<N,故应选D.本题主要考查关于原点对称区间上奇偶函数积分的性质.20.设f(x)有连续导数,f(0)=0,f'(0)≠0,x→0时,F'(x)与x k是同阶无穷小,则k 等于 ______∙ A.1.∙ B.2.∙ C.3.∙ D.4.(分数:1.00)A.B.C. √D.解析:解1 F(x)=[*]F'(x)=[*][*]由于[*]=f'(0)≠0,而上式右端极限存在且为非零常数,则k=3,所以应选C.解2 由原题知当x→0时,F'(x)与x k为同阶无穷小,换句话说,当x→0时,F'(x)是x的k阶无穷小,本题要决定k,即要决定当x→0时,F'(x)是x的几阶无穷小,如果能决定F(x)是x的几阶无穷小,降一阶就应是F'(x)的阶数.下面来决定F(x)是x的几阶无穷小.由于f(t)=f(0)+f'(0)t+o(t)=f(0)t+o(t)由于上式中第二项o(t)是高阶无穷小,略去它不影响F(x)的阶数,则x→0时,[*]与F(x)的阶数相同,而[*]显然它是x的四阶无穷小。
(完整版)各种图形面积计算公式
各种图形面积计算公式1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×22、正方形的周长=边长×4 C=4a3、长方形的面积=长×宽S=ab4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷26、平行四边形的面积=底×高S=ah7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷28、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷29、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr10、圆的面积=圆周率×半径×半径Ѕ=πr11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×212、长方体的体积=长×宽×高V =abh13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a= a15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch17、圆柱的体积=底面积×高V=ShV=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h18、圆锥的体积=底面积×高÷3V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷319、长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高 V=Sh各种图形体积计算公式平面图形名称符号周长C和面积S1、正方形a—边长C=4aS=a22、长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab3、三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)4、四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα5、平行四边形a,b-边长h-a边的高α-两边夹角S=ah=absinα6、菱形a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sinα7、梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2=mhd-直径C=πd=2πrS=πr2=πd2/49、扇形r—扇形半径a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360)S=πr2×(a/360)10、弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2=παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/311、圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/412、椭圆D-长轴d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6h-高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=πr2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=πr2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3球r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)圆形的面积=。
考研数学函数图像大全 (最新完整版)
y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e 的值(1)e 的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx 等价于xtanx 等价于xarctanx 等价于x1-cosx 等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性(2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$$cos(pi/2+a)=-sin(a)$$sin(pi-a)=sin(a)$$cos(pi-a)=-cos(a)$$sin(pi+a)=-sin(a)$$cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的 )$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中$tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中$tan(c)=a/b$ $1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2和角公式3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.2半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式。
几何图形的面积计算方法
几何图形的面积计算方法一、平面几何图形的面积概念及计算方法1.面积的概念:面积是用来表示平面图形占据平面空间大小的量。
2.计算方法:(1)矩形的面积计算:矩形的面积等于长乘以宽。
(2)平行四边形的面积计算:平行四边形的面积等于底乘以高。
(3)三角形的面积计算:三角形的面积等于底乘以高除以2。
(4)梯形的面积计算:梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。
(5)圆的面积计算:圆的面积等于π乘以半径的平方。
(6)扇形的面积计算:扇形的面积等于π乘以半径的平方乘以圆心角除以360°。
二、立体图形的体积及表面积计算方法1.体积的概念:体积是用来表示立体图形占据空间大小的量。
2.表面积的概念:表面积是用来表示立体图形各表面大小之和的量。
3.计算方法:(1)长方体的体积计算:长方体的体积等于长乘以宽乘以高。
(2)长方体的表面积计算:长方体的表面积等于(长乘以宽+长乘以高+宽乘以高)乘以2。
(3)正方体的体积计算:正方体的体积等于棱长的三次方。
(4)正方体的表面积计算:正方体的表面积等于棱长的平方乘以6。
(5)圆柱体的体积计算:圆柱体的体积等于π乘以底面半径的平方乘以高。
(6)圆柱体的表面积计算:圆柱体的表面积等于底面圆的周长乘以高加上底面圆的面积乘以2。
(7)圆锥体的体积计算:圆锥体的体积等于π乘以底面半径的平方乘以高除以3。
(8)圆锥体的表面积计算:圆锥体的表面积等于底面圆的周长乘以母线除以2加上底面圆的面积。
三、面积单位及换算1.面积单位:平方米(m²)、平方分米(dm²)、平方厘米(cm²)、公顷(hm²)、平方千米(km²)等。
2.面积单位换算:(1)1平方米(m²)=100平方分米(dm²)(2)1平方米(m²)=10000平方厘米(cm²)(3)1公顷(hm²)=10000平方米(m²)(4)1平方千米(km²)=100公顷(hm²)=1000000平方米(m²)四、面积的实际应用1.计算土地面积:如农田、住宅区、公园等。
计算面积的五种方法
计算面积的五种方法计算面积是数学中的基本概念之一,它是指一个平面图形所占据的空间大小。
在日常生活中,我们经常需要计算面积,比如测量房间的面积、计算地块的面积等等。
本文将介绍五种计算面积的方法。
一、平行四边形法平行四边形法是计算平行四边形面积的常用方法。
它的计算公式为:面积=底边×高。
其中,底边是平行四边形的一条边,高是从底边垂直向上的线段长度。
例如,一个底边长为5cm,高为3cm的平行四边形的面积为15平方厘米。
二、三角形法三角形法是计算三角形面积的常用方法。
它的计算公式为:面积=底边×高÷2。
其中,底边是三角形的一条边,高是从底边垂直向上的线段长度。
例如,一个底边长为6cm,高为4cm的三角形的面积为12平方厘米。
三、梯形法梯形法是计算梯形面积的常用方法。
它的计算公式为:面积=(上底+下底)×高÷2。
其中,上底和下底分别是梯形的上下两条平行边的长度,高是从上底向下底垂直的线段长度。
例如,一个上底长为3cm,下底长为5cm,高为4cm的梯形的面积为16平方厘米。
四、圆形法圆形法是计算圆形面积的常用方法。
它的计算公式为:面积=π×半径的平方。
其中,π是一个常数,约等于3.14,半径是圆的半径长度。
例如,一个半径为2cm的圆的面积为12.56平方厘米。
五、复合图形法复合图形法是计算由多个简单图形组成的复合图形面积的方法。
它的计算方法是将复合图形分解成若干个简单图形,然后分别计算每个简单图形的面积,最后将它们的面积相加得到复合图形的面积。
例如,一个由一个矩形和一个三角形组成的复合图形,可以将它分解成一个矩形和一个三角形,分别计算它们的面积,然后将它们的面积相加得到复合图形的面积。
计算面积是数学中的基本技能之一,掌握了这些计算方法,可以更加方便地进行测量和计算。
如何计算各种图形的面积
如何计算各种图形的面积图形有很多种,你可能会出于各种原因而需要知道它们的面积!无论你是要完成家庭作业,还是想算出翻新客厅要用多少油漆,本文都能帮到你!从下面的第一步开始,学习如何计算各种图形的面积。
方法1正方形、长方形和平行四边形1 测量宽和高。
首先要找出该图形的宽和高(也就是说,要找出相邻两边的长度)。
在平行四边形中,就是要找出底和垂直高度,这跟宽和高是一个意思。
现实生活中需要自己进行测量;如果是作业,老师应该会将这些测量值与图形一起列出来。
2 将边长相乘。
将宽和高相乘。
假设某个长方形的高为16厘米,宽为42厘米,即为16 x 42。
如果要计算正方形的面积,可以使用计算器求出边长的平方,这样能节省点时间。
因此,如果边长是4米,按下计算器上的4和平方键就能得出答案。
按平方键能自动将数字与其本身相乘。
3 得出答案。
相乘之后得出的答案就是该图形的面积,写做“平方单位”。
因此长方形的面积应该是674平方厘米。
有时候也会被称为是厘米平方,或者在厘米的右上方写个小2代替“平方”两个字。
方法2梯形1 先测量。
需要测量梯形的上底、下底和垂直高度。
上底与下底是两条平行的边,而高则垂直于其中一条边。
现实生活中需要自己进行测量;如果是作业,老师应该会将这些测量值与图形一起列出来。
2 将上底和下底的边长相加。
假设上底为5cm,下底为7cm。
相加后得12。
3 将所得结果除以2。
计算后得出6。
4 将结果乘以高。
假设这个梯形的高为6cm。
计算后得出36。
5 得出结果。
乘以高之后的结果就是梯形的面积。
因此对于5x6x7的梯形,面积为36平方厘米。
方法3圆形1 找出半径。
要求出圆的面积,需要知道半径长度。
半径是圆心到圆周的距离。
也可以取圆的直径,或者说是圆的宽度,然后除以2就得出半径。
现实生活中需要自己进行测量;如果是作业,老师应该会将这些测量值与图形一起列出来。
2 将半径平方。
用半径乘以半径。
假设半径的长度为8米,计算后得出64。
小学数学必会图形求面积的10个方法!图文并茂,太神奇了!
小学数学必会图形求面积的10个方法!图文并茂,太神奇了!01小学数学学过的几何图形有三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形,这些几何图形一般称为基本图形或规则图形,我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表:实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算。
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。
例1:如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积。
一句话:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面积之和。
例2:如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积。
一句话:因为△ABE、△ADF与四边形AECF 的面积彼此相等,都等于正方形ABCD面积的三分之一,也就是12厘米.解:S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。
例3:两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的面积。
一句话:阴影部分面积=S△ABG-S△BEF,S△ABG和S△BEF都是等腰三角形。
总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。
02常用的基本方法1 相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积。
基本图形的面积计算方法
基本图形的面积计算方法面积是研究几何学中的一个重要概念,它描述了一个物体或图形所占据的平面范围的大小。
在几何学中,面积的计算方法与图形的形状有关,在本文中,我将介绍一些常见基本图形的面积计算方法。
一、三角形的面积计算方法三角形是最简单的平面图形之一,其面积计算公式为:面积 = 底边长度 ×高 / 2其中,底边长度是指三角形的底边的长度,高是指从底边到与之平行的顶点的垂直距离。
二、矩形的面积计算方法矩形是一个拥有四个直角的四边形,其面积计算公式为:面积 = 长 ×宽其中,长代表矩形的长边的长度,宽代表矩形的短边的长度。
三、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的矩形,其四条边相等,且都是直角形成的。
正方形的面积计算公式为:面积 = 边长 ×边长其中,边长指正方形的任意一条边的长度。
四、圆的面积计算方法圆是一个几何学中重要的图形,其面积计算公式为:面积= π × 半径 ×半径其中,π是一个无理数,可以近似取为3.14或22/7,半径代表圆的半径长度。
五、椭圆的面积计算方法椭圆是一个具有两个焦点的几何图形,其面积计算公式为:面积= π × 长半径 ×短半径其中,长半径代表椭圆的长轴的一半长度,短半径代表椭圆的短轴的一半长度。
六、正多边形的面积计算方法正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形,例如正三角形、正四边形等。
对于正多边形的面积计算,我们可以使用以下公式:面积 = (边长 ×边长) × (边数/ 4 × tan(π / 边数))其中,边长代表正多边形的任意一条边的长度,边数代表正多边形的边的数量。
通过以上的介绍,我们可以看到不同基本图形的面积计算方法是不同的,但都可以通过找到合适的公式来求解。
掌握这些方法对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。
最后,需要注意的是,在应用这些面积计算方法时,要确保所使用的长度单位一致,以求得准确的面积值。
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F = K • a2
三边形 K 3 = 0 .433 四边形 K 4 = 1 .000 五边形 K 5 = 1 .720 六边形 K 6 = 2 .598 七边形 K 7 = 3 .614 八边形 K 8 = 4 .828 九边形 K 9 = 6 .182 十边形 K10 = 7 .694 在内、外接圆心处
r −半径
圆形
d −直径 p −圆周长
1 a+b FF= = πr 2 •= πd 2 h 2 4 = 0.785d 2 = 0.07958 p 2 p = πd
在圆心上
椭圆形
a·b-主轴
F= (π/4) a·b
在主轴交点 G 上
r − 半径
扇形
s − 弧长 α − 弧 s的对应中心角
1 α F = r • s = πr 2 2 360 απ s= r 180
h −高 1 l − 周长 2 a, b, c − 对应角A, B, C的边长
三角形
bh 1 = ab sin C 2 2 a+b+c l= 2 F =
GB=1/3BD CD=DA
平行四 边形
a , b − 棱边 h − 对边间的距离
F = b • h = a • b sin α AC • BD = sin β 2
G0 =
1 b2 • 12 F
h = r−
r2 −
1 α 4
2
当 α = 180 0 时 4r G0 = = 0 . 4244 r 3π
R − 外半径 r − 内半径 D − 外直径
圆环
d − 内直径 t − 环宽 D pj − 平均直径
F = π (R 2 − r2 ) π = (D 2 − d 2 ) = π • D pjt 4
F = r 2 (π − P =π −
π α + sin α ) = r 2 • P 180
新月形
π α + sin α 180 P值见下表
O1G=(π-P)L/2P
b − 底边
抛物线 形
h −高 l −曲线长 S − ∆ ABC 的面积
l = b 2 + 1.3333h 2 2 4 F = b• h = • S 3 3
常用图形求面积公式
图形 尺寸符号 面积(F) 表面积(S) 重心(G)
正方形
a − 边长 b − 对角线
a − 短边
F = a2 a = F = 0.77 d d = 1.414a = 1.414 F
在对角线交点上
F = a•b d = a2 + b2
在对角线交点上
长方形
b − 长边 d − 对角线
a − 边长
等多边 形
Ki − 系数i 指多边形的边数
G0 =
2 rb • 3 s
当 α = 90 0 时
G0 =
4 2 • r 3 π ≈ 0 .6 r
r − 半径 s − 弧长 α −中心角 b − 弦长 h−高
F =
=
1 2 απ r ( − sin α ) 2 180
弓形
1 [ r ( s − b ) + bh ] 2 π s = r •α • = 0 . 0175 r • α 180
=
pr 2
在 o 点上
菱形
d 1 , d 2 − 对角线 a − 边α − 角
F = a 2 sin α =
d1d 2 2
在对角线交点上
CE = AB AF = CD
梯形
a = CD(上底边) b = AB (下底边) h −高
h a + 2b • 3 a+b h 2a + b KG = • 3 a+b HG =
对角线交点上
任意四 边形
d1, d 2 − 对角线 α − 对角线夹角
d2 ( h1 + h 2 ) 2 d d = 1 2 s in α 2 F =
r − 内切圆半径 R − 外接圆半径
正多边 形
F=
2
a = 2Ro Nhomakorabea2
− r
一边
n 2 R sin 2α 2
a − 180 : n ( n − 边数) p − 周长 = an
在圆心 O
R − 外半径 r − 内半径 D − 外直径 d − 内直径 t − 环宽 R pj − 圆环平均直径
部分圆 环
απ 2 2 (R − r ) 360 απ = R pj • t 180 F =
α 2 G0 = 38.2 2 2 • α R −r 2 R 3 − r3
sin
L − 两个圆心间的距离 d − 直径