计算声学第七章数值微积分

按照这种思想，可以构造一些求积分值的近似公式，如 梯形公式：
b
a
f
xdx
b
2
a
f
a
f
Biblioteka Baidu
b
中矩形公式：
b
a
f
x
dx
b
a
f
a
2
b
第七章 数值微积分
当函数 f (x)已知时，讨论定积分的计算问题
I
f
b
a
f
(x)dx
为了避开求原函数的困难，通过被积函数 f (x) 的值来求解积
分值。由积分中值定理，对连续函数 f (x)，有
第七章 数值微积分
数值积分的基本思想
找到一个符合精度要求的简单函数Px 代替原来的函数
f x ，得到
b
a
f
x
dx
b
a
Px
dx
由于简单函数Px积分容易计算，所以积分值容易得到。
采用数值方法计算积分值，首先需要把积分区间细分，
在每一个小区间内用简单函数来代替原来的复杂函数进行积
分计算。本章学习利用代数插值多项式来代替被积函数 f x
2x 1 1 arctan 2x 1 2 2
2x 1 arctan
2x 1
第七章 数值微积分
(4) f (x) 本身没有具体的解析表达式，仅有表格或图形给出 的实验测量数据点。
以上几种情况下就无法应用牛顿-莱布尼兹公式，所以， 需要研究计算定积分的近似方法——数值积分法；在微分学 中，函数 f (x) 的导数是通过极限定义的，如果函数以一组观 测数据的形式给出，或者表达式过于复杂时，就需要用数值 方法求解函数的导数或微分。
计算问题。
在微积分中，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种
有效工具。对于上面的定积分，如果 f (x) 在区间[a,b]上连
续，并且 f (x) 的原函数为 F(x) ，则可计算定积分
I
f
b
a
f
(x)dx
F (b)
F (a)
第七章 数值微积分
实际计算积分时可能存在的困难： (1) f (x)本身形式复杂，求原函数更为困难，如
a
右矩形公式：I f
b
f (x)dx (b a) f (b)
a
中矩形公式：I f b f (x)dx (b a) f a b
a
2
第七章 数值微积分
对于一般情况，由定积分定义，f (x)在 [a,b] 内n+1个节点 xi 处高度为 f (xi ) (i 0,1,, n)，通过加权 Ai 后再求和，从而得 到积分的近似值，这类公式一般形式为
§1 牛顿-柯斯特（Newton-Cotes）公式
用拉格朗日插值多项式 Ln (x) 作为 f (x) 的近似函数，设 [a,b]上的节点为a x0 x1 x2 xn b 则有
n
Ln (x) li (x) f (xi ) i0
其中
li (x)
n j0
x xj xi x j
ji
则计算定积分时，有
I f
b
f (x)dx
a
b
a Ln ( x)dx
b a
n
li ( x) f ( xi )dx
n
b
a li ( x)dx f ( xi )
i0
i0
§1 牛顿-柯斯特（Newton-Cotes）公式
记 则有公式
b
Ai a li (x)dx
I f
b
f (x)dx
进行积分计算。
第七章 数值微积分
对于积分
I
f
b
a
f
(
x)dx
其几何意义为由 x a, x b, y 0, y f x 所围成曲边梯形的面
积。计算曲边梯形面积比较困难，因为有一条曲边 y f x
y
y f x
B
A
0
a
bx
第七章 数值微积分
如果用直线、抛物线等代替曲边梯形的曲边，则面积计 算变得容易。用容易计算面积的图形来代替曲边梯形，就可 以求出曲边梯形面积的近似值，从而得到积分的近似值。
I
f
b
a
f
( x)dx
(b
a)
f
( )
(a b)
但是 的值一般是不知道的，f ( ) 难以准确计算。称 f ( ) 为
f (x) 在区间[a,b]的平均高度。寻找 f ( ) 的一种近似算法，
便可得到一种数值积分公式。
第七章 数值微积分
例如
左矩形公式：I f
b
f (x)dx (b a) f (a)
反射波；最后把所有反射波分量通过积分进行叠加，从而得
到球面波在平面界面上的反射声场。
通过坐标变换和化简，得到反射声场的表达式为
pr
jk
0
2
j
V
J 0
e
j z
sind
第七章 数值微积分
求函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分
I
f
b
a
f
(x)dx
是微积分学中的基本问题之一，也是实际问题中经常遇到的
第七章 数值微积分
数值求积方法的特点是直接利用积分区间 a,b上一些离 散节点处的被积函数值进行线性组合来近似计算定积分的值 ，从而将定积分的计算归结为函数值的计算，这就避开了牛 顿-莱布尼兹公式需要求解原函数的困难，并为计算机计算积 分提供了可行性。
数值求积公式的节点可以包含积分区间的端点，也可以 不包含。求积节点包含积分区间端点时称为闭型求积公式， 如梯形公式；求积节点不包含积分区间的端点时，称为开型 求积公式，如中矩形公式。
a
n
Ai f ( xi )
i0
上式称为插值型求积公式。其中 Ai 只与插值节点xi有关，与
被积函数 f (x)无关。
截断误差：
Rn[ f ]
b
[
a
f
(x)
Ln (x)]dx
(n
1 1)!
第七章 数值微积分
球面波在水平界面上的反射声场求解
球面波在平面界面上的反射和折射问题处理起来比较复
杂，可以采用波动声学的方法来进行处理。首先对点声源作
空间傅立叶变换，即把点声源辐射的球面波分解成按照不同
方向传播的平面波，表达式为平面波的双积分形式；然后应
用平面波在分界面上的反射理论，计算得到各平面波分量的
I f
b
f (x)dx
a
n
Ai f (xi )
i0
其中xi 称为求积节点；Ai 为求积系数（或节点 xi的权），它仅
与节点值及区间[a,b] 有关，而与被积函数 f (x)的形式无关。
记
b
n
Rn[ f ]
f (x)dx
a
Ai f (xi )
i0
称Rn[ f ] 为积分公式的余项或是截断误差。
f (x) ax2 bx c
(2) f (x) 虽然形式简单，但是其原函数不能用初等函数表示成
有限的形式，如
f (x) 1 , ex2 , sin x2 , sin x
ln x
x
(3) f (x) 的原函数能用初等函数表示，但较为复杂，如
f
(x)
1 1 x4
,
Fx
1 42
ln
x2 x2