计算声学第七章数值微积分
初学者：声学计算公式大全
当声波碰到室内某一界面后（如天花、墙），一部分声能被反射，一部分被吸收（主要是转化成热能），一部分穿透到另一空间。
透射系数：反射系数：吸声系数：声压和声强有密切的关系，在自由声场中，测得声压和已知测点到声源的距离，就可计算出该测点之声强和声源的声功率。
1、声压级Lp取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp为：听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB听觉上限： P=20N/m2 为120dB2、声功率级Lw取Wo为10-12W,基准声功率级任一声功率W的声功率级Lw为：3、声强级：3、声压级的叠加几个声源同时作用时，某点的声能是各个声源贡献的能量的代数和。
因此其声压是各声源贡献的声压平方和的开根号。
即：声压级为：声压级的叠加•两个数值相等的声压级叠加后，总声压级只比原来增加3dB，而不是增加一倍。
这个结论对于声强级和声功率级同样适用。
•此外，两个声压级分别为不同的值时，其总的声压级为问题：10dB+10dB=? 0dB+0dB=? 0dB+10dB=?答案分别是：13dB,3dB,10dB.两个声强级获声功率级的叠加公式与上式相同在建筑声学中，频带划分的方式通常不是在线性标度的频率轴上等距离的划分频带，而是以各频率的频程数n都相等来划分。
声波在室内的反射与几何声学3.2.1 反射界面的平均吸声系数（1）吸声系数：用以表征材料和结构吸声能力的基本参量通常采用吸声系数，以α表示，定义式：材料和结构的吸声特性和声波入射角度有关。
声波垂直入射到材料和结构表面的吸声系数，成为“垂直入射（正入射）吸声系数”。
这种入射条件可在驻波管中实现。
其吸声系数的大小可通过驻波管法来测定。
当声波斜向入射时，入射角度为θ，这时的吸声系数称为斜入射吸声系数，。
建筑声环境中，出现垂直入射和斜入射的情况较少，而普遍情况是声波从各个方向同时入射到材料和结构表面，如果入射声波在半空间中均匀分布，，则称这种入射情况为“无规则入射”或“扩散入射”。
声学计算公式
100.0dB SPL 500 Watts相对于127.0dB127.0133.04相对于16.0dB1米(Meters)相对于10.0dB 133.0dB SPL33.0dBC 声音空气传播损耗96.023.096.045.08000.026.0299.01 2.67dB声学计算器应用指南：点击右上角的名称按钮A~M 会跳至相应的计算器。
计算器中白色单元格 为可输入区域，输入后请使用鼠标点击附近灰色区域确认。
请注意绿色说明文字。
部分内容翻译自DoctorProAudio 网站，希望对音响初学者有所帮助。
Freeman @ Oct 2008扬声器1 声压级 SPL 1 扬声器灵敏度 (1W@1m)额定功率 (AES/ANSI) 扬声器数量到扬声器距离B 扬声器组总声压级 (SPL)dB SPL 空气温度 Version 1.0 Acoustic Calculator声学计算器 By Freeman LooA 声压级 (SPL) 计算器扬声器4 声压级 SPL 4W 功率的SPL 增量个 扬声器的SPL 增量米 处的SPL 衰减值 总SPL 增减量空气相对湿度 赫兹(Hz)扬声器3 声压级 SPL 3 计算距离理论计算总声压级扬声器2 声压级 SPL 2 dB SPL 频 率 以上计算为理论值，不包含声音在空气中的传播损耗和扬声器的功率压缩（加载(受热)后的声压级下降）影响。
功率压缩：当音箱进入工作状态（譬如等于或大于满功率20秒之后），音圈和磁体受热温升后、由于它们性能下降改变了受热前单元的原有特性，这时，实际的声压输出就会减少，常规音箱，如音圈温升60度-80度，常见额定声压级下降3dB 为容限，如音圈散热优异，耐温达100度以上，实际的声压下降可达6至8dB 。
dB SPL % 摄氏度 °C 声音空气传播损失参考图个扬声器总声压级 (自由相位)dB SPL扬声器组总声压级计算公式dB SPL(峰值功率输出) dB SPL (RMS 功率输出)空气传播损耗 （dB @ 距离）dB SPL 最大声压级 (@1m)同相位自由相位Left Right1200.0950.0Watts功放输入电压200200 mV8.08.0 Ohms功放输出电压 9.089.08 V45.4033.10dB 功放电压增益 45.4045.40倍数（x）97.9887.18 Volts 1.92 1.92 Volts1.92 Volts7.88 dBu7.887.88 dBuF 声音传播速度 Speed of Sound90.03.020.0摄氏度 °C按听众坐立高度计算3.60343.410.181126.6时间(Time)10.0毫秒(ms) 3.434声音速度343.4 m/s房间尺寸长度宽度高度Length Width Height3.434米(Metres)16.68.04.0 m343.4厘米(CentiMetres)0.0100秒(Seconds)i P i Q i R i11.266英尺(Feet)10.0毫秒(Miliseconds)110.421.542.9 Hz135.197英寸(Inches)10000微秒(Microseconds)220.743.585.9 Hz米/秒Feet/S距离(Distance)上述结果按照理论声速343 m/s (1125 ft/s)计算（声音速度从自计算器F 引用）说明：输入距离值前，请先按下三角形按钮选择距离单位，可选单位为米、厘米、英尺、英寸。
计算声学声场的方程和计算方法
书中深入浅出地讲解了声学的基础理论和计算方法。从声波的基本性质，到 声场的波动方程，再到声源的辐射和传播，书中都进行了详细的阐述。其中，特 别引人注目的是书中对于声场计算方法的描述。作者运用了数值方法和计算机模 拟技术，对声场的分布和变化进行了精确的预测和控制。这种方法不仅具有极高 的实用价值，更是在科学上具有重大意义。
这本书主要从计算声学的角度探讨了声场的方程和计算方法。对于声场的基 本概念、物理机制和数学模型进行了详细介绍。作者使用了简洁明了的语言，使 得这本书对于专业和非专业人士都易于理解。
书中的主题涵盖了声波的基本性质、声场的数学描述、声场的数值计算方法 以及声场的计算机模拟等。其中，我特别对声场的计算机模拟部分产生了浓厚的 兴趣。这部分内容深入探讨了如何使用计算机技术来模拟和预测声场的行为。通 过具体的案例和实例，作者详细地展示了计算机模拟在声学研究中的应用，让我 深刻体验到了计算声学的强大和实用性。
本书的目录共有14个章节，每个章节都涵盖了声学声场计算的不同方面，具 体内容如下：
该章节介绍了本书的研究背景、研究目的和意义，同时简要概述了声学声场 的基本概念和计算方法。
该章节介绍了声波的基本性质，包括波动现象、声速、声压等基本概念，同 时还介绍了声波传播的基本规律。
该章节主要介绍了声场的基本方程，包括Helmholtz方程、Navier-Stokes 方程等，以及它们在不同条件下的解法和适用范围。
该章节介绍了常用的声场模拟软件及其特点和应用范围。
该章节总结了本书的主要内容，并指出了不足之处和未来研究的方向。还提 出了一些具有挑战性的问题供读者进一步探讨。
作者简介
作者简介
这是《计算声学声场的方程和计算方法》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
Chapt数值微积分的数值解法
§5.2 梯形积分法
3.应用实例分析 例5.1 已知圆周率π 的近似值可以由下列定积分求出
试求出圆周率π 的似近值。 解： 因为 所以求解此问题的函数程序程序为
80C 90 100 110
函数子程序 FUNCTION f(x) f=4.0/(1+x*x) END FUNCTION f
•
§5.2 梯形积分法
•
§5.2 梯形积分法
变步长梯形积分法的截断误差为:
2. 变步长梯形积分法的程序框图与通用程序设计 变步长梯形积分法的通用程序框图如图5-4所示，也共分为 三个程序框图，即在图中（1）为调用子程序的主控程序框 图，（2）为函数子程序框图，（3）为积分通用子程序框图。 （1）和（2）与上一节雷同，因此这里只画出梯形变步长积 分法通用子程序框图（3）。
•
DO i=1,m
x1=a+(2*i-1)*h x2=a+(2*i)*h
§ 5.3 Simpson积分法
10 SUBRPUTINE Simpson(a,b,n) 20 h=(b-a)/n 30 m=n/2 40 S=f(a)-f(b) 50 DO i=1,m 60 x1=a+(2*i-1)*h 70 x2=a+2*i*h 80 S=S+4.0*f(x1)+2.0*f(x2) 90 END DO 100 S=S*h/3.0 110 END SUBROUTINE Simpson
§5.1 数值积分的基本思想
一、定积分的数学含义 由定积分的定义：
(5-1)
其中 为第i个积分区间 近似表达式：
内任一点。当n足够大时有以下
(5-2)
将被积函数在积分区间上足够多的离散点的函数值与其所在小 区间长度乘积之和作为定积分的近似数值。
最新声学计算公式大全
声学计算公式大全当声波碰到室内某一界面后（如天花、墙），一部分声能被反射，一部分被吸收（主要是转化成热能），一部分穿透到另一空间。
透射系数：反射系数：吸声系数：声压和声强有密切的关系，在自由声场中，测得声压和已知测点到声源的距离，就可计算出该测点之声强和声源的声功率。
声压级Lp取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp 为：听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB听觉上限： P=20N/m2 为120dB1、声压级Lp取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp 为：听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB能量提高100倍的 P=2*10-3N/m2 为20dB听觉上限： P=20N/m2 为120dB2、声功率级Lw取Wo为10-12W,基准声功率级任一声功率W的声功率级Lw为：3、声强级：3、声压级的叠加10dB+10dB=? 0dB+0dB=? 0dB+10dB=? 答案分别是：13dB,3dB,10dB. 几个声源同时作用时，某点的声能是各个声源贡献的能量的代数和。
因此其声压是各声源贡献的声压平方和的开根号。
即：声压级为：声压级的叠加•两个数值相等的声压级叠加后，总声压级只比原来增加3dB，而不是增加一倍。
这个结论对于声强级和声功率级同样适用。
•此外，两个声压级分别为不同的值时，其总的声压级为两个声强级获声功率级的叠加公式与上式相同在建筑声学中，频带划分的方式通常不是在线性标度的频率轴上等距离的划分频带，而是以各频率的频程数n都相等来划分。
声波在室内的反射与几何声学3.2.1 反射界面的平均吸声系数（1）吸声系数：用以表征材料和结构吸声能力的基本参量通常采用吸声系数，以α表示，定义式：混响室界面全反射，声能在声音停止后，无限时间存在。
普通厅堂房间等界面部分反射，声能在声音停止后，经过多次反射吸收，能量逐渐下降。
微积分中的微分方程与变分法
微分方程的定义
微分方程是包含 未知函数及其导 数的等式
微分方程描述了 变量之间的依赖 关系和变化规律
微分方程的解是 满足等式的函数
微分方程在科学、 工程等领域有广 泛应用
微分方程的分类
线性微分方程：方程中的未知函数及其导数都是一次幂的函数 非线性微分方程：方程中的未知函数及其导数都是高于一次幂的函数 常微分方程：只含有一个自变量的微分方程 偏微分方程：含有多个自变量的微分方程
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微分方程与变分法的互补性
微分方程在描 述物理现象和 解决实际问题 中具有重要地 位，而变分法 是研究泛函极 值的数学工具。
微分方程关注 方程的解，而 变分法关注泛
函的极值。
微分方程可以 用来求解具体 的初值或边值 问题，而变分 法可以用来求 解泛函极值问
题。
微分方程和变 分法在数学和 物理领域中相 互补充，共同 推动科学的发
微分方程是描述 函数变化规律的 数学模型，而变 分法是研究函数 极值的数学方法。
微分方程的解通 常表示函数的变 化规律，而变分 法的目标是最优 化某个函数或泛 函。
在某些情况下， 微分方程的解可 以通过变分法得 到，而变分法的 极值条件可以转 化为微分方程的 形式。
微分方程和变分 法在数学、物理、 工程等领域都有 广泛的应用，且 在解决实际问题 时经常相互借鉴 和交叉使用。
经济问题中的微分方程
描述经济现象的数学模型
微分方程在经济学中的应 用案例
微分方程在经济学中的求 解方法
微分方程在经济学中的实 际意义
生物问题中的微分方程
描述种群增长规律的微分方程
描述生物代谢过程的微分方程
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初中物理声学公式
初中物理声学公式声学是物理学中的一个分支，研究声音的产生、传播、感受及其与物质相互作用的规律。
在初中物理中，我们学习了一些常见的声学公式，让我们一起来看看。
第一段：声速公式“声速”是指声音传播的速度，它的单位是米每秒（m/s）。
声速公式为：v = f × λ其中，v表示声速，f为频率，λ为波长。
由此可以看出，当频率不变时，声速和波长成反比例关系，即声速越大，波长越短。
第二段：共振频率公式共振是指固有频率与外加频率相同的物体能够产生最大振幅的现象。
共振频率公式为：f = nf0其中，f0表示固有频率，n为任意正整数。
共振频率就是在n倍于固有频率时，发生共振。
第三段：波长公式波长是指声波在某个介质中传播一周期的距离，单位为米（m）。
波长公式为：λ= v/f其中，v为声速，f为频率。
可以看出，频率越高，波长越短，声音越尖锐。
第四段：频率公式频率指的是单位时间内发射出的声波波峰数，单位为赫兹（Hz）。
频率公式为：f = 1/T其中，T为周期，表示波形重复的时间。
可以看出，频率和周期成反比例关系。
第五段：声强公式声强是指单位时间内通过单位面积的声能量，单位为瓦特每平方米（W/m²）。
声强公式为：I = P/S其中，P为音源输出的声功率，S为声波传播的面积。
可以看出，声强和声功率成正比例关系，与传播面积成反比例关系。
以上就是初中物理声学中常见的公式，它们紧密联系，相互影响，通过这些公式，我们可以更加深入地了解声音的传播和发生的规律，也可以更好地应用这些知识。
1.微积分发展历史
第一讲微积分思想的产生与发展历史在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。
人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。
在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。
到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。
在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。
在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。
令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。
前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。
两者都包含了极限与无穷小的思想。
1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。
”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。
而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”更是道出了无限分割的极限思想。
公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。
他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了141024<π，.3<.3142704并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。
”用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们的体积(“积”)必然相等。
2．十七世纪前微分学与积分学的发展历史公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了“穷竭法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。
振动与声学问题分析中的积分方程方法研究
振动与声学问题分析中的积分方程方法研究在声学和振动领域的问题研究中，积分方程方法已被广泛应用。
积分方程方法是将微分方程问题转化为积分方程问题，从而实现数值计算求解。
积分方程方法最基本的思路是将待解问题的边界或者整个区域分解成一系列小元素，然后利用数学积分和叠加原理将这些小元素的影响相加得到整个区域内待解问题的精确解或者数值近似解。
在声学领域，积分方程方法的研究重点在于声波传递的特征问题。
通过积分方程方法可以比较精确地计算声波在各种介质中的传递路径和散射特性，进一步推导出各种特征参数。
例如，在考虑声波传播过程中的反射和折射问题时，可以使用积分方程方法求解边界上的声压分布，从而得到反射和折射的幅值和相位信息。
此外，还可以使用积分方程方法来描述声波在介质中的衰减规律，以及在介质表面产生散射现象的原因和机理。
在振动领域，积分方程方法的研究则更多的集中在结构动力学和振动控制领域。
通过积分方程方法可以分析结构的振动模态，预测结构在振动过程中的应力分布和形变情况，以及计算结构或机械系统的固有频率和阻尼系数等。
例如，在分析结构在地震等自然灾害下的响应特性时，可以使用积分方程方法提取结构的模态参数，进一步得到结构动态应力分布以及对结构的地震响应特性进行优化。
此外，在振动控制领域，积分方程方法也可以用于分析结构响应是振动源数量、位置以及振动源频率的变化等参数对结构振动响应影响的灵敏度。
除了上述应用，积分方程方法还在其他领域有广泛应用，例如电磁场的计算、热传导问题分析、材料工程优化设计等。
在积分方程方法的应用中，最大的挑战之一是数值计算问题。
因为积分方程方法具有高维度和高频域等特点，所以需要使用高效、稳定且准确的数值计算方案来求解。
此外，在分析复杂结构或介质时，还需要使用高阶数值方法以提高计算精度和计算效率。
总之，积分方程方法是声学和振动领域中重要的求解工具，具有较高的研究价值和发展前景。
未来，将通过对数学模型和数值计算方法的不断完善和创新，推动积分方程方法在声学和振动问题分析中的应用进一步发展和应用。
声学参数计算
Force
Vab
cms
Cmb
vas
Wo SQ = 63165.5 Wc SQ = ####### = 0.575 x RT (Sd CU) = 0.00702 kg = 7.01587 grams = （1/Cmb-Mmr(1.85 x Wc SQ-Wo SQ) Wc SQ - Wo SQ = 0.285 kg = 285 grams = Mmd + Mmr = 63.1497 grams = 0.06315 kg = 1/(Wo SQ x Mms) = 250.697 uM/N = Cms x Sd SQ x Po x C SQ = 0.1 cu M = 99.9998 Liter = 3.53589 cu Ft
= = = = = = = = = = = = = = = =
4 0.053250.697 63.1497 285 40 18.3818 4.99996 0.42 0.38745 1.47781 % 93.7144 dB
ohm sq M ohm mH TxM Ltr uM/N grams grams Hz Hz
D PI Mx X Po C g I Wo Wc
= 6.5 Inch = 3.14159 = 2 kg = 6.4 mm = 1.2 Kg/M = 344 M/S = 9.8 M/S = 1.13 Amps = 251.327 = #######
L*W*H Fc Rx Res Rms Rmvc Cmt Ras Xl Xc Q
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NomZ Sd Revc Levc BL Vas Cms Mms Mmd Fo Fi Qms Qes Qts no SPLo
= = = = = = = = = = = = = = = =
第6章 数值微积分
第6章 数值微积分6.1 引言在科学研究和生产实际中，经常遇到求函数()f x 的导数（或微分）和求函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分等问题. 由高等数学知道：若函数()f x 为初等函数，则可由基本求导公式和运算法则求出()f x 的导函数()f x '；若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且原函数为()F x ，则由Newton-Leibniz 公式()d ()()ba f x x Fb F a =-⎰可求得()f x 在区间[,]a b 上的定积分.但是，在实际问题中遇到的求导数、求定积分的计算中，经常会有这样的情况：(1) 函数()f x 的原函数无法用初等函数给出，例如定积分121sin sin sin d ,d x xe x x x x⎰⎰等，从而无法用Newton-Leibniz 公式计算定积分。
(2) 只给出了函数()f x 的若干数据，函数表达式未知，因而无法用导数公式或定积分公式。
(3) 函数()f x 的导函数或原函数虽然能够求出，但形式过于复杂，不便使用.由此可见，利用求导公式及求导法则求导数或利用原函数求定积分有它的局限性。
因此，研究如何利用函数()f x 在有限个点处的函数值计算其导数的近似值，以及定积分的近似值的数值计算方法——数值微分(numerical differentiation)和数值积分(numerical integration)，既有理论意义又有实际应用价值。
这些方法也是微分方程和积分方程数值解法的基础。
6.2 数值微分6.2.1 插值型的数值微分公式已知数据(,)0,1,,i i x y i n = . 记 [,]a b 是包含插值节点01,,,n x x x 的区间,(),0,1,,i i y f x i n == ，则()f x 的n 次插值多项式为∑==ni i i n x l y x p 0)()(,其中()()()()n i i ni x l x x x x ωω='-, 0()()()n n x x x x x ω=-- ，误差为 (1)()()()()(), (,)(1)!n n n n f R x f x p x x a b n ξωξ+=-=∈+,故(1)(1)()()d ()()()()(1)!(1)!d n n n n n f x f x p x x f n n x ξωωξ++⎡⎤'''-=+⎢⎥++⎣⎦. (6.2.1) 因为ξ是x 的未知函数，所以无法对上式右端的第二项作出判断，因而对于任意给定的点x ，误差()nR x '是无法预估的. 如果只是求某个节点(0,1,,)i x i n = 上的导数值，这时有 (1)()()()()(1)!n i n i ni f f x p x x n ξω+'''-=+. (6.2.2) 以2n =为例，为简便起见，设01020,,,2x x x h x x h =+=+，已知001122(),(),()f x y f x y f x y ===.设满足插值条件200211222(),(),()p x y p x y p x y ===的2次插值多项式为2()p x ，即0201122012010210122021020112012222()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),22x x x x x x x x x x x x p x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y h h h------=++------------=++-则0201122012222222()22x x x x x x x x x p x y y y h h h ------'=++-. (6.2.3) 于是得三点插值型数值求导公式1220012210202220121()(34)()231()()(),(,)(0,1,2)261()(43)()23i h f x y y y f h h f x y y f x x i h h f x y y y f h ξξξξ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-+-+''''=-+-∈=''''=-++'''' (6.2.4)类似上述推导，在等距节点的情形，即0,0,1,,i x x ih i n =+= 时，可得如下常用的数值求导公式.(1) 两点公式(two-point formulas)0101101()()(),21()()().2hf x y y f h hf x y y f h ξξ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=--'''=-+''' (6.2.5)(2) 三点公式(three-point formulas)一阶求导公式：200122102220121()(34)(),231()()(),261()(43)().23h f x y y y f h hf x y y f h h f x y y y f h ξξξ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-+-+''''=-+-''''=-++'''' (6.2.6) 二阶求导公式：2(4)20012122(4)10122(4)22012121()(2)()(),61()(2)(),121()(2)()().6h f x y y y hf f h h f x y y y f h h f x y y y hf f h ξξξξξ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-+-+'''''=-+-''=-++-''''' (6.2.7) (3) 五点公式(five-point formulas)一阶求导公式：4(5)0012344(5)1012344(5)201344(5)301234401()(254836163)(),1251()(310186)(),12201()(88)(),12301()(618103)(),12201()(31612h f x y y y y y f h h f x y y y y y f h h f x y y y y f h h f x y y y y y f h f x y h ξξξξ=-+-+-+'=--+-+-'=-+-+'=-+-++-'=-'4(5)1234364825)().5h y y y y f ξ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩+-++ (6.2.8) 二阶求导公式：(5)32001234(5)32101234(5)422012344(5)230123415()(351041145611)(),12611()(112064)(),121211()(163016)(),12901()(462011)(1220f x y y y y y h f h f x y y y y y h f h f x y y y y y h f h h f x y y y y y f h ξξξξ=-+-+-''=-++--''=-+-+-+''=-++-+-''(5)32401234),15()(115611410435)().126f x y y y y y h f h ξ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=-+-++''(6.2.9)注 上述数值求导公式不仅是计算导数近似值的有效方法，而且在微分方程数值解及样条插值的数据扩充方面都很有用处.明：五点公式比三点公式与两点公式准确，步长h越小结果越准确. 一般情况下，这个结论也是对的. 但由误差表示式可见，如果高阶导数无界，或者舍入误差超过截断误差时，这个结论就不对了。
声学计算公式大全(K12教育文档)
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当声波碰到室内某一界面后（如天花、墙),一部分声能被反射，一部分被吸收（主要是转化成热能），一部分穿透到另一空间。
透射系数：反射系数：吸声系数：声压和声强有密切的关系,在自由声场中，测得声压和已知测点到声源的距离，就可计算出该测点之声强和声源的声功率。
声压级Lp取参考声压为Po=2*10-5N/m2为基准声压,任一声压P的Lp为:听觉下限： p=2*10-5N/m2 为0dB能量提高100倍的 P=2＊10-3N/m2 为20dB听觉上限： P=20N/m2 为120dB1、声压级Lp取参考声压为Po=2*10—5N/m2为基准声压，任一声压P的Lp为：听觉下限: p=2*10—5N/m2 为0dB能量提高100倍的 P=2＊10—3N/m2 为20dB听觉上限： P=20N/m2 为120dB2、声功率级Lw取Wo为10-12W，基准声功率级任一声功率W的声功率级Lw为：3、声强级:3、声压级的叠加10dB+10dB=? 0dB+0dB=? 0dB+10dB=？答案分别是:13dB,3dB，10dB。
几个声源同时作用时,某点的声能是各个声源贡献的能量的代数和。
因此其声压是各声源贡献的声压平方和的开根号。
即：声压级为：声压级的叠加•两个数值相等的声压级叠加后，总声压级只比原来增加3dB，而不是增加一倍。
一篇文章入门计算声学
一篇文章入门计算声学声学是一门发展较早的学科，计算声学也是CAE的重要一个分支；计算声学主要用于研究声环境与声疲劳等噪声问题。
根据不同的分类方式，噪声可分为振动噪声与气动/流动噪声，或者中低频噪声与高频噪声。
对应的研究方法主要有边界元法、有限元法、统计能量法。
本文介绍一下计算声学的相关入门知识。
说到声音，就要提到波动。
我们知道声音是一种机械波，机械振动在介质中的传播称为机械波（mechanical wave）。
机械波与电磁波既有相似之处又有不同之处，机械波由机械振动产生，电磁波由电磁振荡产生；机械波的传播需要特定的介质，在不同介质中的传播速度也不同，在真空中根本不能传播，而电磁波（例如光波）可以在真空中传播；机械波可以是横波和纵波，但电磁波只能是横波；机械波与电磁波的许多物理性质，如：折射、反射等是一致的，描述它们的物理量也是相同的。
常见的机械波有：水波、声波、地震波。
声波的常用物理量：振幅表示质点离开平衡位置的距离，反映从波形波峰到波谷的压力变化，以及波所携带的能量的多少。
高振幅波形的声音较大；低振幅波形的声音较安静。
周期描述单一、重复的压力变化序列。
从零压力，到高压，再到低压，最后恢复为零，这一时间的持续视为一个周期。
如波峰到下一个波峰，波谷到下一个波谷均为一个周期。
频率声波的频率是指波列中质点在单位时间内振动的次数。
以赫兹（Hz）为单位测量，描述每秒周期数。
例如，440 Hz 波形每秒有 440 个周期。
频率越高，音乐音调越高。
相位表示周期中的波形位置，以度为单位测量，共360º。
零度为起点，随后90º 为高压点，180º 为中间点，270º 为低压点，360º 为终点。
相位也可以弧度为单位。
弧度是角的国际单位，符号为rad。
波长表示具有相同相位度的两个点之间的距离，也是波在一个时间周期内传播的距离。
以英寸或厘米等长度单位测量。
波长随频率的增加而减少。
微积分论域
微积分论域
内容
微积分论域是数学中的一大领域，被认为是数学家们计算和分析
自然观察现象之门徒。
它可以帮助人们从初等数学发展到拥有更强大
的分析能力，并有利于研究物理、化学、科学、经济和社会科学等复
杂现象。
在学微积分时，首先学习的是初等函数的概念，即函数的初
等函数，如多项式、指数函数和对数函数等。
这些函数用来抽象描述
不同数量之间的关系，并成为以下易于学习的概念：极限、微分、积
分和微积分。
极限是用来计算函数在某一特定时刻的行为，可以用来
衡量函数在不同情况下的变化；而微分是应用于函数的计算，对其导
数进行分析；积分则是用来计算定义在某一区域内函数的面积；而微
积分则是运用积分、微分和极限的技术来计算函数的各种性质和概念。
学习微积分论域的最终目标是，能够用精确的数学工具来描述和
探究复杂的自然现象。
这些从初等数学到微积分论域的技术可以用于
分析各种科学和技术专业的问题，如物理声学、抛体运动、液体流动、圆柱面波动和空气动力学等，以及研究复杂的财务问题，如定价、估
计和风险评估。
总之，微积分论域是数学中的一个重要领域，旨在加深对自然现
象的理解和探究，可用于研究众多科学和技术方面的问题，并应用于
分析复杂的实践问题。
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b
a
f
xdx
b
2
a
f
a
f
b
中矩形公式：
b
a
f
x
dx
b
a
f
a
2
b
第七章 数值微积分
当函数 f (x)已知时，讨论定积分的计算问题
I
f
b
a
f
(x)dx
为了避开求原函数的困难，通过被积函数 f (x) 的值来求解积
分值。由积分中值定理，对连续函数 f (x)，有
I f
b
f (x)dx
a
n
Ai f (xi )
i0
其中xi 称为求积节点；Ai 为求积系数（或节点 xi的权），它仅
与节点值及区间[a,b] 有关，而与被积函数 f (x)的形式无关。
记
b
n
Rn[ f ]
f (x)dx
a
Ai f (xi )
i0
称Rn[ f ] 为积分公式的余项或是截断误差。
2x 1 1 arctan 2x 1 2 2
2x 1 arctan
2x 1
第七章 数值微积分
(4) f (x) 本身没有具体的解析表达式，仅有表格或图形给出 的实验测量数据点。
以上几种情况下就无法应用牛顿-莱布尼兹公式，所以， 需要研究计算定积分的近似方法——数值积分法；在微分学 中，函数 f (x) 的导数是通过极限定义的，如果函数以一组观 测数据的形式给出，或者表达式过于复杂时，就需要用数值 方法求解函数的导数或微分。
§1 牛顿-柯斯特（Newton-Cotes）公式
用拉格朗日插值多项式 Ln (x) 作为 f (x) 的近似函数，设 [a,b]上的节点为a x0 x1 x2 xn b 则有
n
Ln (x) li (x) f (xi ) i0
其中
li (x)
n j0
x xj xi x j
ji
第七章 数值微积分
球面波和折射问题处理起来比较复
杂，可以采用波动声学的方法来进行处理。首先对点声源作
空间傅立叶变换，即把点声源辐射的球面波分解成按照不同
方向传播的平面波，表达式为平面波的双积分形式；然后应
用平面波在分界面上的反射理论，计算得到各平面波分量的
第七章 数值微积分
数值求积方法的特点是直接利用积分区间 a,b上一些离 散节点处的被积函数值进行线性组合来近似计算定积分的值 ，从而将定积分的计算归结为函数值的计算，这就避开了牛 顿-莱布尼兹公式需要求解原函数的困难，并为计算机计算积 分提供了可行性。
数值求积公式的节点可以包含积分区间的端点，也可以 不包含。求积节点包含积分区间端点时称为闭型求积公式， 如梯形公式；求积节点不包含积分区间的端点时，称为开型 求积公式，如中矩形公式。
反射波；最后把所有反射波分量通过积分进行叠加，从而得
到球面波在平面界面上的反射声场。
通过坐标变换和化简，得到反射声场的表达式为
pr
jk
0
2
j
V
J 0
e
j z
sind
第七章 数值微积分
求函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分
I
f
b
a
f
(x)dx
是微积分学中的基本问题之一，也是实际问题中经常遇到的
a
右矩形公式：I f
b
f (x)dx (b a) f (b)
a
中矩形公式：I f b f (x)dx (b a) f a b
a
2
第七章 数值微积分
对于一般情况，由定积分定义，f (x)在 [a,b] 内n+1个节点 xi 处高度为 f (xi ) (i 0,1,, n)，通过加权 Ai 后再求和，从而得 到积分的近似值，这类公式一般形式为
a
n
Ai f ( xi )
i0
上式称为插值型求积公式。其中 Ai 只与插值节点xi有关，与
被积函数 f (x)无关。
截断误差：
Rn[ f ]
b
[
a
f
(x)
Ln (x)]dx
(n
1 1)!
第七章 数值微积分
数值积分的基本思想
找到一个符合精度要求的简单函数Px 代替原来的函数
f x ，得到
b
a
f
x
dx
b
a
Px
dx
由于简单函数Px积分容易计算，所以积分值容易得到。
采用数值方法计算积分值，首先需要把积分区间细分，
在每一个小区间内用简单函数来代替原来的复杂函数进行积
分计算。本章学习利用代数插值多项式来代替被积函数 f x
则计算定积分时，有
I f
b
f (x)dx
a
b
a Ln ( x)dx
b a
n
li ( x) f ( xi )dx
n
b
a li ( x)dx f ( xi )
i0
i0
§1 牛顿-柯斯特（Newton-Cotes）公式
记 则有公式
b
Ai a li (x)dx
I f
b
f (x)dx
进行积分计算。
第七章 数值微积分
对于积分
I
f
b
a
f
(
x)dx
其几何意义为由 x a, x b, y 0, y f x 所围成曲边梯形的面
积。计算曲边梯形面积比较困难，因为有一条曲边 y f x
y
y f x
B
A
0
a
bx
第七章 数值微积分
如果用直线、抛物线等代替曲边梯形的曲边，则面积计 算变得容易。用容易计算面积的图形来代替曲边梯形，就可 以求出曲边梯形面积的近似值，从而得到积分的近似值。
f (x) ax2 bx c
(2) f (x) 虽然形式简单，但是其原函数不能用初等函数表示成
有限的形式，如
f (x) 1 , ex2 , sin x2 , sin x
ln x
x
(3) f (x) 的原函数能用初等函数表示，但较为复杂，如
f
(x)
1 1 x4
,
Fx
1 42
ln
x2 x2
I
f
b
a
f
( x)dx
(b
a)
f
( )
(a b)
但是 的值一般是不知道的，f ( ) 难以准确计算。称 f ( ) 为
f (x) 在区间[a,b]的平均高度。寻找 f ( ) 的一种近似算法，
便可得到一种数值积分公式。
第七章 数值微积分
例如
左矩形公式：I f
b
f (x)dx (b a) f (a)
计算问题。
在微积分中，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种
有效工具。对于上面的定积分，如果 f (x) 在区间[a,b]上连
续，并且 f (x) 的原函数为 F(x) ，则可计算定积分
I
f
b
a
f
(x)dx
F (b)
F (a)
第七章 数值微积分
实际计算积分时可能存在的困难： (1) f (x)本身形式复杂，求原函数更为困难，如