高三限时训练5-8

高三限时训练5

17．某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该

厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31

k

x m =-+（k 为常数），

如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．

（1）将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

17．某公司2009年9月投资14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用20元，为保证有一定的利润，公司决定纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．

根据市场调研结果，设该纪念品的销售单价为x （元），年销售量为u （万件），平均每件纪念品的利润为y （元）．

⑴求年销售量为u 关于销售单价x 的函数关系式；

⑵该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价x 为多少时，平均每件纪念品的利润y 最大？

17.如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？

并求最大面积；

（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD

为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），

应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？

并求最大面积.

高三限时训练5答案

17．解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，

∴231x m =-

+，每件产品的销售价格为8161.5x

x

+⨯元. ∴2009年的利润)168(]1685.1[m x x

x

x y ++-+⨯= m m m x -+-

+=-+=)123(8484)0(29)]1(1

16[≥++++-=m m m ……8分

（2）∵0m ≥时，

16

(1)81

m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当

16

11

m m =++，即3m =时，max 21y =.………………14分 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.……15分

17．

高三限时训练6

16．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品, 该工艺品由一个圆柱和一个半球组成, 要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为2:3, 工艺品的体积为3cm 34π. 设圆柱的底面直径为)cm (x 4, 工艺品的表面积为)cm (S 2. (1) 试写出S 关于x 的函数关系式;

(2) 怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

17.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间

x(小时)的关系为

()[]212,0,2413x f x a a x x =

+-+∈+，其中a 与气象有关的参数，且30,4a ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a . (1)令[]2,0,241

x

t x x =

∈+，求t 的取值范围； （2）求函数()M a ；

（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

高三限时训练6答案

16．【解】(1) 由题知圆柱的底面半径为x 2, 半球的半径为x 3. 设圆柱的高为)cm (h . 因为工艺品的体积为3

cm 34π, 所以

,.34h )x 2()x 3(342123π=π+⨯∴-=∴,x 2

9

x 217h 2工艺品的表面积为 222)x 2(2)x 3(h )x 2(2)x 3(42

1

S π⨯+π+π+π⨯=

)..x 2

x (17)x 29x

217(x 4x 35222+π=-π+π=

由0x >且,0x 29x 217h 2>-=得.3

51

x 03

<< 所以S 关于x 的函数关系式是.3

51

x 0),x 2x (17S 3

2

<<+π=

(2) 由(1)知, .351

x 0,x

)1x (34)x 2x 2(17S 3

2

3<<-π=-π=' 令,0S ='得.1x =

当1x 0<<时, S ,0S ∴<'关于]1,0(x ∈是单调减函数;

当351x 13

<<时, .S ,0S ∴>'关于)3

51

,1[x 3

∈是单调增函数

∴当1x =时, S 时取得最小值π=+π=51)1

2

1(17S 2min , 此时.4h =

答: 按照圆柱的高为cm 4, 圆柱的底面半径为cm 2, 半球的半径为cm 3设计, 工艺品的 表面积最小, 为.cm 512

π 17.解（1）∵[]2,0,241

x

t x x =

∈+,0x =时，0t =. 024x <≤时，1

,21x t x x x x

=+≥+，∴102t <≤.

∴10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

。

（2）令()112,0,32g x t a a t ⎡⎤

=+

-+∈⎢⎥⎣⎦

.