三角形内切圆几个公式的应用
三角形的内切圆与外切圆关系性质解析
三角形的内切圆与外切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它的内切圆和外切圆是三角形特有的属性。
本文将对三角形的内切圆与外切圆的关系性质进行详细解析。
一、内切圆内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在三角形ABC中，设内切圆的圆心为O，半径为r。
根据内切圆的定义，我们可以得出以下结论：1. 内切圆的圆心与三角形的三个顶点A、B、C的连线相交于一点。
这个交点常被称为内切圆心。
2. 内切圆的半径与三角形的三条边之间存在一定的关系。
根据欧拉公式，可得到如下公式：r = (p - a) / 2,r = (p - b) / 2,r = (p - c) / 2,其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，p为三角形的半周长。
3. 内切圆与三角形的三个内切点分别为三角形的三个内角的平分线与三角形的三边的交点。
二、外切圆外切圆是指与三角形的三个顶点都相切的圆。
在三角形ABC中，设外切圆的圆心为O，半径为R。
根据外切圆的定义，我们可以得出以下结论：1. 外切圆的圆心与三角形的三个顶点A、B、C的连线相交于一点。
这个交点常被称为外切圆心。
2. 外切圆的半径与三角形的三条边之间存在一定的关系。
根据柯西公式，可得到如下公式：R = abc / 4S,其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，S为三角形的面积。
3. 外切圆与三角形的三个外心分别为三角形的三个外角的平分线与三角形的三边的交点。
三、内切圆与外切圆的关系内切圆和外切圆之间存在着一定的关系。
具体表现在以下几个方面：1. 内切圆的圆心、外切圆的圆心和三角形的重心在一条直线上。
这条直线被称为欧拉直线。
2. 内切圆的半径是外切圆的半径的二分之一，即r = R / 2。
3. 外切圆的半径与内切圆的半径和三角形的半周长之间存在一定的关系：R = r + (p / 2)，其中，R为外切圆的半径，r为内切圆的半径，p为三角形的半周长。
4. 内切圆与外切圆的圆心、半径之间存在一定的比例关系。
内切圆公式大全
内切圆公式大全全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：内切圆是指一个圆完全嵌入在一个多边形内部，并且切正多边形的每一边。
内切圆在几何问题和工程设计中有着广泛的应用，因此了解内切圆的相关知识和公式是非常重要的。
在本文中，我们将分享一些关于内切圆的公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和应用。
一、内切圆的半径计算公式1. 内切圆的半径公式：对于一个正五边形，其内切圆的半径r可以通过下面的公式来计算：r = a * sqrt(10 + 2 * sqrt(5))/10a代表正五边形的边长。
二、内切圆和外接圆的关系公式1. 内切圆和外接圆的半径关系：对于任意多边形，其内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：R = 2r三、内切圆和多边形边长的关系2. 内切圆和多边形内角的关系：对于一个正n边形，其内切圆和内角之间存在以下关系：角A = 180 - (n-2)*180/nA表示正n边形的内角。
四、常见多边形的内切圆公式总结第二篇示例：内切圆，俗称内切圆，是指一个圆与一个给定的多边形（三角形、四边形、正多边形）相切。
内切圆在数学中有着重要的应用，特别是在几何学和工程学中。
在实际生活和工程中，我们常常需要计算内切圆的半径、圆心和切点等信息。
内切圆的相关公式是很有必要了解和掌握的。
在几何中，内切圆与多边形的关系是一个经典问题，经常出现在数学竞赛和学习中。
内切圆的半径、圆心和切点等可以通过一些简单的公式来求解，下面我们就来介绍一下关于内切圆的一些常用公式。
我们来看一下内切圆的半径计算公式。
对于一个三角形ABC，假设其三边分别为a、b、c，内切圆的半径r可以用以下公式来表示：\[r = \frac{2S}{a+b+c}\]其中S表示三角形ABC的面积，可以通过海伦公式来计算。
海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式如下：\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]其中p是三角形ABC的半周长，即\(p = \frac{a+b+c}{2}\)。
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式是一个与三角形面积和边长有关的公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r = S/s（s为半周长，s=（a+b+c）/2）。
此外，根据海伦公式，可求出三角形的面积S，公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
将海伦公式代入内切圆半径的公式中，可得r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
这是求解三角
形内切圆半径的一个常用方法。
同时，在具体的应用中，还需要针对三角形的具体类型（如等边三角形、直角三角形等）采取不同的求解方法。
例如，对于等边三角形，其内切圆半径r = a√3 / 6，其中a为三角形的边长。
另外，根据三角形的边角关系，亦可以推导出一种更通用的内切圆半径的公式：r = 4RsinA/2sinB/2sinC/2，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，R为三角形的外接圆半径。
值得注意的是，在具体计算时，要确保所有的计算都在合理的范围内进行，以避免出现数学错误。
总的来说，求解三角形内切圆半径的公式既考验了解题者的基础知识水平，也考察了解题者的综合运用能力。
九年级数学上册 3.5 三角形的内切圆 三角形内切圆几个公式的应用素材 (新版)青岛版
三角形内切圆几个公式的应用公式1 .△ABC，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆半径为r，则r＝12(a+b-c)。
证明:如图1，⊙O内切于△ABC，D、E、F为切点，由切线长定理知：AF=AE，CE=CD，BF=BD。
∴a+b-c=（BD+DC）+（AE+EC）-（AF+BF）=2CE=2r。
∴r＝12(a+b-c)。
点评：此公式只适用于直角三角形。
公式2 . 若O为△ABC的内心，则∠AOB=90°+ 12∠ACB。
证明:如图2，∴⊙O为△ABC的内切圆，∴∠1= 12∠CAB，∠2=12∠ABC，∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°- 12（∠CAB+∠ABC）=180°-12（180°-∠ACB）=90°+ 12∠ACB。
公式3 .如图3，在△ABC中，内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，则∠FDE=90°-12∠ACB。
证明:连结OE、OF，则OF⊥AC，OE⊥BC，四边形CFOE内角和为360°，∴∠FOE+∠C=180°，又因为∠FDE= 12∠FOE，∴∠FDE=90°- 12∠ACB。
点评：由在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可知，即使D点不为切点，只要∠FDE所对的弧为EF，都有∠FDE=90°- 12∠ACB。
公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r =2sa b c ++。
证明:如图4，⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC，S=S △AIB+S △AIC+S △BIC=12AB·r+12AC·r+12CB·rA CBDE图1ABC图2ABCD图3AC图4=12cr+ 12 ar+ 12br= 12（a+ b+c ）r ∴r = 2sa b c++。
等边三角形内切圆半径计算公式
等边三角形内切圆半径计算公式是一个重要的几何学知识点，它在数学和工程领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍等边三角形内切圆半径的计算公式，并探讨其推导过程和几何意义。
一、等边三角形内切圆的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切。
等边三角形内切圆的半径记为r。
二、等边三角形内切圆半径计算公式等边三角形内切圆半径的计算公式是：r = a * √3 / 6其中，a为等边三角形的边长。
三、推导过程我们来看一下等边三角形内切圆半径计算公式的推导过程。
1. 我们知道等边三角形的高等于√3/2乘边长，而内切圆的半径正好是等边三角形的高。
2. 我们可以得出等边三角形内切圆半径r等于边长a乘以√3/6。
四、几何意义等边三角形内切圆半径的计算公式给出了等边三角形内切圆半径与边长之间的关系，这有助于我们在实际问题中快速计算内切圆的半径。
五、应用举例假设一个等边三角形的边长为6cm，根据等边三角形内切圆半径的计算公式，我们可以直接求得内切圆的半径：r = 6 * √3 / 6 = √3 ≈ 1.73cm六、结论等边三角形内切圆半径的计算公式为r = a * √3 / 6，其中a为等边三角形的边长。
这个公式的推导过程清晰简单，关系直观明了，有着重要的几何意义和实际应用价值。
等边三角形内切圆半径计算公式是一个重要的数学公式，它有着广泛的应用领域，对于提高数学和工程问题的解决效率有着重要的意义。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
等边三角形内切圆是一个非常有趣的几何形状，它具有许多有趣的性质和应用。
在本文的下半部分，我们将进一步探讨等边三角形内切圆的性质、相关定理以及一些实际应用。
七、等边三角形内切圆的性质1. 等边三角形内切圆的半径和等边三角形边的关系通过上文的讨论，我们已经知道等边三角形内切圆的半径r与等边三角形的边长a之间满足以下关系：r = a * √3 / 6这个关系式可以帮助我们在已知等边三角形边长的情况下快速计算出内切圆的半径，为诸如工程设计、数学建模等实际问题的解决提供了便利。
几何中的三角形内切圆与外接圆
几何中的三角形内切圆与外接圆在几何中的三角形中，内切圆和外接圆是两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及相关推论，进一步探讨它们在几何中的应用。
一、三角形内切圆首先，我们来定义三角形内切圆。
在一个三角形中，如果存在一个圆，这个圆与三角形的三条边都有且仅有一个公共点，那么这个圆就是三角形的内切圆。
三角形的内切圆有以下性质：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合。
根据这个性质，我们可以很容易地找到内切圆的圆心。
2. 内切圆的半径等于三角形三边长度之和的一半再除以周长。
3. 三角形三个顶点与内切圆的切点构成的切线互相垂直。
二、三角形外接圆接下来，我们来定义三角形外接圆。
在一个三角形中，如果存在一个圆，这个圆与三角形的三条边的延长线相交于圆上，那么这个圆就是三角形的外接圆。
三角形的外接圆有以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形任意一条边的长度的一半再除以正弦定理中的正弦值。
3. 三角形的三条边分别是外接圆与相应角的切线。
三、应用与推论三角形内切圆和外接圆在几何中有广泛的应用。
它们不仅帮助我们理解和解决一些几何问题，还在实际生活中有很多实际应用。
1. 运用内切圆或外接圆，我们可以求解三角形的面积。
通过计算内切圆的半径和外接圆的半径，结合数学公式，可以得到三角形的面积。
2. 内切圆和外接圆还可以帮助我们进行几何证明。
在证明过程中，利用内切圆和外接圆的性质，可以简化证明的步骤，提高证明的效率。
3. 三角形内切圆和外接圆的概念还在工程和建筑设计中有很多应用。
例如，在建筑设计中，设计师可以利用内切圆和外接圆的性质来确定柱子和梁的位置和角度。
通过对三角形内切圆和外接圆的了解，我们可以进一步探索几何学中的更多知识和应用。
这些概念和性质不仅仅是理论上的，它们在实际生活中也有着很多实际应用和意义。
综上所述，三角形内切圆和外接圆是几何中重要的概念和性质。
三角形内切圆的性质及其应用_彭代光
三角形内切圆的性质及其应用彭代光(四川省成都市郫县犀浦镇实验学校,611731) 初中数学中内切圆的内容看似简单,其实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形的面积、三角形的全等及相似等知识有着密切的联系.本文旨在对三角形内切圆的性质及应用作一些分析.一、三角形内切圆的基本性质三角形内切圆的圆心称为内心.由三角形内切圆的定义可以直接得到下面的结论:1.内心的位置由三角形任意两个角的平分线的交点确定,反过来内心与三角形的每个顶点的连线平分这个角.2.内心到三角形三边的距离相等,这个距离就是三角形内切圆的半径.例1 如图1,已知点O 是 A B C 的内心,∠A O C=110°,∠A O B=130°,求 A B C 的三个内角的度数.简析 可设∠B A C =x ,∠A B C =y ,∠A C B=z .据上述结论,再结合三角形内角和定理,可得:12x +12y=180-130,12x +12z =180-110.∴x+y=100,x +z =140.∴z =80,y=40.∴x=60,y=40,z =80.于是三个内角便可求得.例2 如图2,已知⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠C=90°,切点分别是点D ,E ,F .连接A O 并延长交B C 于点G .求证:A F ·A G=A O ·A C .简析 由题设知O 是内心,那么根据结论1知A O 就是∠B A C 的平分线,连接O F ,由格标上数1或-1.如果能使60个方格剪成15块符合要求的“四连格”,则每一“四连格”中数字之和为2或-2.设其中数字之和为2的有x 块,数字之和为-2的有y 块,由于方格中“1”和“-1”的个数是相同的,故有x +y=15,2x-2y=0.解得x=152,y=152.这与x 、y 都为整数相矛盾.因此,余下的方格不能剪成15块符合要求的“四连格”.请注意:倘若按上述推理方法,对某一类似的图形则得x ,y 为整数.不能断定可以剪成若干块形如图1的“四连格”,你能举出这样的例子吗?·7·第12期 初中数学教与学切线的性质知O F⊥A B .于是∠C=∠A F O ,那么 A F O∽ A C G .根据相似三角形的性质以及比例的性质就可得结论.二、三角形内切圆的三个切点到各个顶点的距离若已知三角形的三边长,则可以求出其内切圆的三个切点分别到三角形各个顶点的距离.如图3,已知: A B C 的三边分别为a ,b ,c .⊙O 是内切圆,切点分别是点D ,E ,F .设A D=A E=x ,B D=B F=y ,C E=C F =z .运用切线长定理可得x +y=c ,y +z =a ,x +z =b.解得x=b +c -a2,y=a+c -b2,z=a+b-c 2.为了方便记忆,如果我们设三角形三边和的一半为q ,即q=a+b +c2.显然有x=q -a ,y=q -b ,z=q -c .于是得到A D =A E=q -a ,B D=B F =q-b ,C F=C E=q -c .三、三角形的面积、三边长与内切圆半径之间的关系如图4,连接A O ,B O ,C O ,D O ,E O ,F O ,由切线的性质以及三角形面积公式得:S A B C =S B O C +S A O C +S A O B =12a r +12b r +12c r =12r (a+b+c ).另海伦公式是重要的三角形面积公式,即:S=q (q -a )(q -b )(q -c ),(其中q=a+b +c2).这样若知道三角形的三条边的长度,就可以求出内切圆的半径与面积.例3 如图4,已知 A B C 的三边为a ,b ,c ,并且a=14c m ,b =13c m ,c =15c m .求这个三角形的内切圆的面积.解 ∵a 2+b 2≠c 2,∴ A B C 显然不是直角三角形.∴q=13+14+152=21,由S=12r (a+b+c )r=q r ,则21(21-14)(21-13)(21-15)=21r ,得r =8421=4.∴ A B C 的内切圆面积为:πr 2=π×42=16π(c m 2).四、直角三角形的内切圆半径如图5,⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠A C B=90°,三边分别是a ,b ,c .切点分别是点D ,E ,F .连接O E ,O F ,显然∠C=∠O E C=∠O F C =90°,则四边形O E C F 是矩形.又O E=O F=·8·初中数学教与学 2010年r ,所以四边形O E C F 是正方形.并且由勾股定理a 2+b 2=c 2,及直角三角形面积S=12a b ,我们可进一步推导发现新的规律.由上述结论可得12a b=12r (a+b +c ),容易得r =a ba+b +c.于是我们就得到直角三角形的内切圆半径为:r=a +b -c 2=a ba+b +c.通过对以上这个等式的变形,很容易就得到a 2+b 2=c 2.这也是证明勾股定理的一种方法.掌握好内切圆的上述几个知识点,并能够灵活应用,就能解决较为复杂的数学问题.例4 如图6,已知A D 是R t A B C 斜边B C 上的高.∠B A C=90°,⊙O 1,⊙O 2,⊙O 分别是R t A B D ,R t A D C ,R t A B C 的内切圆.圆心分别是O 1,O 2,O,求证:(1) A B O 1∽ C A O 2;(2)S ⊙O 1∶S ⊙O 2=BD∶C D ;(3)S ⊙O =S ⊙O 1+S ⊙O 2.提示 (1)在此条件中容易得到∠B A D =∠A C D ,∠A B D =∠D A C ,可运用结论1知A O 1平分∠B A D ,B O 1平分∠A B D ,A O 2平分∠D A C ,C O 2平分∠AC D ,可得结论.(2)S ⊙O 1∶S ⊙O2=r 21∶r 22=r1r 22=A B 2A C2.(3)直接应用(2)的结论,有:S ⊙O 1S ⊙O +S ⊙O 2S ⊙O=A B 2B C 2+A C2B C 2=1.例5 抛物线y=x 2-4x +k +2与x 轴有两个不同的交点.(1)求k 的取值范围.(2)当两个交点的横坐标的平方和等于10时,求这个抛物线的解析式.(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M ,它与x 轴的两个交点从左到右依次为A ,B ,与y 轴的交点为P ,求 P M B 的内切圆与外接圆半径之比.(成都市中考题)略解 (1)k<2;(2)y=x 2-4x +3;(3)P B=32+32=32,P M =22+(3+1)2=25,M B=12+12=2.根据勾股定理逆定理,可判断 P M B 为直角三角形,P M 为斜边.设 P M B 的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,则R = P M2=5.由上述结论知:S P M B =12(P B+M B+P M )r .于是122·32=12(32+2+25)·r .整理得r =22-5.∴r R =22-55=210-55.可见,三角形内切圆的知识有着广泛的应用,它可与全等三角形、相似三角形、面积、函数等知识结合起来形成综合题型,表现出代数与几何知识的有机融合.熟练应用这些知识,能够培养学生思维的灵活性、严密性,提高分析问题解决问题的能力,有利于养成良好的数学思维品质.·9·第12期 初中数学教与学。
内切圆半径公式所有
内切圆半径公式所有
内切圆是指一个圆与一个给定多边形的每一条边都相切。
内切
圆的半径可以通过多种方式来计算，具体取决于给定的多边形类型。
以下是一些常见的多边形和对应的内切圆半径公式：
1. 对于正多边形（正n边形）：
内切圆的半径公式为 r = a (sqrt(2) / 2)，其中a为正
多边形的边长。
2. 对于任意三角形：
三角形的内切圆半径可以通过三角形的面积S和半周长s计
算得出，公式为 r = S / s，其中s = (a + b + c) / 2，a、b、c
分别为三角形的三条边长。
3. 对于正方形：
正方形的内切圆半径公式为 r = a / 2，其中a为正方形的边长。
4. 对于正五边形（五角星）：
正五边形的内切圆半径公式为 r = a (sqrt(5) 1) / 4，其中a为正五边形的边长。
5. 对于正六边形（正六边形）：
正六边形的内切圆半径公式为 r = a (sqrt(3) / 2)，其中a为正六边形的边长。
以上是一些常见多边形的内切圆半径公式，不同的多边形有不同的计算方法。
希望这些公式能够帮助到你。
三角形内切圆的计算公式
三角形内切圆的计算公式在我们的数学世界里，三角形内切圆可是个很有趣的存在。
说起三角形内切圆，就不得不提到它的计算公式啦。
先给大家简单介绍一下什么是三角形内切圆。
想象一下，有一个三角形，然后在它的内部画一个圆，这个圆和三角形的三条边都相切，那这个圆就是三角形的内切圆。
那三角形内切圆的计算公式到底是啥呢？它是这样的：r = （S）/p 。
这里的 r 表示内切圆的半径，S 表示三角形的面积，p 表示三角形的半周长，也就是（a + b + c）/ 2 ，其中 a、b、c 分别是三角形的三条边的长度。
这个公式看起来好像有点复杂，但其实理解起来并不难。
比如说，咱们有一个三角形，三条边的长度分别是 3、4、5。
那首先咱们得算出半周长 p ，（3 + 4 + 5）÷ 2 = 6 。
接下来算面积 S ，这可以用海伦公式来算，先算出三角形的周长的一半 s = （3 + 4 + 5）÷ 2 = 6 ，然后面积S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)] = √[6×(6 - 3)×(6 - 4)×(6 - 5)] = √[6×3×2×1] = 6 。
最后把 S 和 p 代入公式，r = 6 ÷ 6 = 1 ，所以这个三角形内切圆的半径就是 1 。
我记得有一次，在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这公式怎么来的呀，感觉好神奇。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来探究探究。
” 于是，我带着他们一起，通过画图、切割、拼凑，一步一步地推导这个公式。
看着他们从一开始的困惑，到逐渐明白，最后露出恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
在实际应用中，三角形内切圆的计算公式用处可大了。
比如说在建筑设计中，要设计一个三角形的花坛，然后在里面铺一个内切圆形状的草坪，那就得用到这个公式来计算草坪的半径，从而确定需要多少草皮。
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
三角形内切圆和外接圆的性质
三角形内切圆和外接圆的性质在数学几何中，三角形内切圆和外接圆是两个重要的概念，它们具有一些特殊的性质。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质及其相关定理。
一、三角形内切圆的性质三角形内切圆是指与三角形的三边都相切于一个点的圆。
下面是三角形内切圆的一些性质：1. 三角形内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点，称为内切圆心。
2. 由内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等。
3. 三角形的三条边与内切圆的切点连接起来，构成的三个三角形面积之和等于原三角形的面积。
4. 内切圆的半径等于三角形的周长除以两倍的三角形的面积。
这些性质都可以通过几何推导或利用一些定理来证明。
二、三角形外接圆的性质三角形外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一个圆上的圆。
下面是三角形外接圆的一些性质：1. 三角形外接圆的圆心是三角形的三条中垂线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形的任意一条边的长度的一半除以正弦值。
3. 外接圆的直径等于三角形的外接圆切线之间的距离。
4. 外接圆的切线与三角形的边相交于同一个点。
同样，这些性质也可以通过几何推导或利用一些定理来证明。
三、相关定理在三角形内切圆和外接圆的性质基础上，还有一些重要的定理与之相关，如下所示：1. 欧拉定理：三角形的内心、重心、垂心和外心四个点共线。
2. 欧拉-波利亚公式：三角形的内心到三个顶点的距离之和等于三角形的外心到三个顶点的距离之和，且和为内切圆半径的三倍。
3. 欧拉三角恒等式：三角形的外心、垂心和内心的距离平方之和等于内切圆的半径的平方加上九倍的四面角和两倍的外角和。
这些定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值，深化了对三角形内切圆和外接圆的理解。
综上所述，三角形内切圆和外接圆具有一系列的性质和定理，这些性质和定理有助于我们更深入地研究和理解三角形的特性。
三角形内切球半径公式
三角形内切球半径公式在几何学中，三角形内切圆是指能够刚好触碰三角形内部三条边的圆。
如果记三角形的三边分别为a、b、c，三角形内切圆的半径为r，则可以利用以下公式来计算其值：r = A / s其中，A表示三角形的面积，s表示半周长，即s = (a+b+c) / 2下面我们来一步步证明这个公式：首先，我们需要了解三角形内切圆的一些特性。
假设三角形内切圆心为O，则连接三角形顶点和圆心O的三条线段等分角A、B、C。
同时，连接圆心O和三角形三边的第一条交点P、第二条交点Q、第三条交点R，可以得出如下著名结论：1. OA⊥BC, OB⊥AC, OC⊥AB.2. OP=OQ=OR=r.3. PA+PB+PC=a+b+c.4. 三角形内心O是中线AM、BN、C指向点A、B、C连线的交点。
接下来，我们来证明公式r = A / s：首先根据三角形面积公式，可以得出a、b、c和半周长s的关系式：A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]接着，我们需要用到公式sin(A/2) = r / (s-a)，将r表示为r = (s-a)sin(A/2)同理，还可以得出r = (s-b)sin(B/2)r = (s-c)sin(C/2)将这三个式子代入公式s = (a+b+c) / 2并进行整理，可以得出以下式子：[s(s-a)(s-b)(s-c)] = r * (s-a) * r * (s-b) * r * (s-c) 将三个式子相乘可以得到：A^2 = r * [(s-a)(s-b)(s-c)]将A和s代入原公式中可以得出r = A / s这就完成了问题的证明。
值得注意的是，三角形内切圆半径公式与三角形的边长和面积有关。
在计算时，需要先求出三角形的半周长和面积，然后才能使用公式求出内切圆的半径。
求解三角形的内切圆和外接圆
求解三角形的内切圆和外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
在三角形内切圆和外接圆的研究中，确定这两个圆的圆心和半径是关键问题。
本文将介绍如何求解三角形的内切圆和外接圆。
一、求解三角形的内切圆内切圆是与三角形的三条边均相切的圆，它的圆心被称为内心，圆心到三角形三边的距离相等，且垂直于三边。
根据三角形的性质，我们可以通过以下步骤求解内切圆：1. 计算三角形的半周长半周长可以通过三角形的三条边长之和除以2得到，即s=(a+b+c)/2，其中a、b、c分别表示三角形的三条边长。
2. 根据海伦公式计算三角形的面积海伦公式是一种计算任意三角形面积的公式，它的形式为S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中sqrt表示开平方根。
3. 根据面积计算内切圆的半径内切圆的半径可以通过三角形的面积除以半周长得到，即r=S/s。
4. 根据垂直关系确定内切圆的圆心坐标内切圆的圆心坐标可以通过三角形的三边方程相交点的坐标求解。
这里不进行具体推导，直接给出结论：内切圆的圆心横坐标为x=(a*A.x+b*B.x+c*C.x)/(a+b+c)，其中A、B、C分别表示三角形的三个顶点，A.x、B.x、C.x分别表示它们的横坐标。
内切圆的圆心纵坐标为y=(a*A.y+b*B.y+c*C.y)/(a+b+c)，其中 A.y、B.y、C.y分别表示它们的纵坐标。
二、求解三角形的外接圆外接圆是能够完全包围三角形的圆，它的圆心被称为外心，外心到三角形的三个顶点距离相等。
求解外接圆的步骤如下：1. 计算三角形的垂直平分线方程三角形的垂直平分线是将三个内角平分并垂直于对边的线段，可以通过三角形的两个顶点坐标求解。
这里同样不进行具体推导，直接给出结论：三角形的垂直平分线方程为(ax+by+c=0)，其中(a,b,c)为方程的系数。
2. 计算垂直平分线的交点坐标垂直平分线的交点坐标即为外接圆的圆心坐标。
三角形内切圆
三角形内切圆三角形内切圆是指正好与三角形的三边相切的圆，也被称为内切圆。
内切圆是数学中一个重要的概念，它与三角形的许多性质和关系密切相关。
在三角形内切圆的研究中，人们发现了许多有趣而重要的结论，这些结论不仅深化了人们对三角形和圆的理解，而且在几何学的研究中也起到了重要的作用。
首先，我们来看一下内切圆的定义以及它的一些基本性质。
内切圆的定义是：如果一个圆与一个三角形的三条边分别相切于三个点，那么我们称这个圆为这个三角形的内切圆。
内切圆的圆心与三角形的三条边的三个垂直平分线的交点重合，我们把它称为内心。
内切圆与三角形的三边的切点又分别称为切点。
内切圆的半径又称为内切圆半径。
内切圆有一些独特的性质。
首先，内切圆的半径与三角形的面积存在一个简单的关系。
我们可以通过以下公式来计算内切圆的半径：内切圆半径 r = (s - a) / 2tan(A/2)其中，s表示三角形的半周长，a表示三角形的边长，A 表示三角形的角度。
内切圆的半径不仅与三角形的边长和角度有关，还与三角形的面积有关。
三角形的面积可以通过以下公式计算得到：三角形面积 S = (r * s) / 2其中，S表示三角形的面积，r表示内切圆的半径，s表示三角形的半周长。
除了与三角形的面积和边长有关之外，内切圆还与三角形的三条边的长度有一种重要的关系，这就是内切圆的切点与三角形的边的中点相重。
也就是说，内切圆的切点分别是三角形的三条边的中点。
这个性质被称为艾尔迪的定理。
艾尔迪的定理表明，内切圆的切点与三角形的边的中点的关系是十分紧密的。
利用这个关系，我们可以得到内切圆的半径和三角形的边长的关系。
根据艾尔迪的定理，我们可以得到以下公式：a = (b +c - a) / 2b = (a +c - b) / 2c = (a + b - c) / 2其中，a、b、c分别表示三角形的三边的长度。
根据艾尔迪的定理，我们可以得到内切圆的半径与三角形的边长之间的关系：r = (a + b + c) / 4上述的公式是由艾尔迪的定理推导而来的。
三角形内切圆的几个结论及应用
当Ｃ Ｇ上 Ａ Ｇ时 ， 结 Ｈ 联 由 上 Ａ 知 Ａ Ｇ Ｆ、 Ｂ， 、 、 ，四点 共 圆．
又 为内心 ， 则
ＡＦＧ ＝
，
结论 １ 如 图 １ △ Ａ Ｃ的 内切 圆 ｏ， ， Ｂ 分 别 切边 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ、Ａ、Ｂ于点 Ｄ、 Ｆ， Ｅ、 ． ｓ和 、 和 Ｎ、 Ｇ和 日分 别 为角平 分 线 Ａ 、 、 所 在 直 ，
ｊ
ＨＣ ＋ Ｃ Ａ＝ Ｂ Ｈ＋ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ａ＝９ Ｂ ０。
Ｃ Ｈ上 Ａ Ｂ
ｊ Ｈ为△ Ａ Ｃ的垂 心． Ｂ
必要 性．
当 日为 △ Ａ Ｃ的垂心 时 ， Ｂ 由
２１ ０ ２年第 ６ 期
Ａ
Ａ
９
Ｅ 图８
Ｃ
图 ７
证 明 设 Ａ Ｂ △ Ａ 的 内切 圆 与 Ａ Ｘ、 Ｃ
ＢＨ ＢＦ ＢＤ 疋 ’ ＣＨ —ＣＥ — Ｃ ‘ Ｄ
Ｂ Ｃ上 的 高 线 Ａ 与 Ｆ 交 于 点 则 日 为 Ｐ Ｅ △Ａ Ｃ Ｂ 的垂心 的充分 必要条 件是 Ｄ ｊ Ｆ ． Ｈ － Ｅ
证明 如 图 ５ 不 妨设 Ａ Ａ ． ， Ｂ＞ Ｃ
从 而 ， Ｈ平 分 Ｂ Ｃ Ｄ Ｈ．
由 Ｃ ＝Ｃ Ｆ Ｅ
／ Ｔ ＤＥ ＝ Ｔ ＥＤ ＝ Ｃ Ｅ Ｆ
Ｂ Ｘ分别 切 于点 Ｄ、 与 Ａ Ｆ， 分 别 切 于 点 Ｅ 、
Ｇ 则 Ｄ ∥Ｆ ， Ｄ 、 Ｇ与 Ａ Ｂ的平分线 ． Ｅ Ｇ且 Ｅ Ｆ Ｘ
垂直．
ｏ ／ｃ 历 Ｔ／ ｃ Ｇ Ｄ＝
．
又 由结论 ４知丽 Ｂ Ｅ＝
ＢＡ ＝ Ｈ ＨＣ ＝ Ｃ ＨＣＣ
从而 ， 、 四点共 圆． Ｍ、 、 例 ２ 如 图 ７ 已知 △ Ａ Ｃ Ｘ是直 线 Ｂ ， Ｂ ， Ｃ 上 的动点 ， 且点 Ｃ在 点 Ｂ、ｆ 间 ， △ Ａ Ｘ、 Ｊ之 ］ ｊ 又 Ｂ △ Ａ Ｘ 的内切 圆有 两个 不 同 的交 点 Ｐ、 ． Ｃ Ｑ 证 明 ：Ｑ经过一 个不依 赖 于 的定 点． Ｐ （ ４ 第 ５届 Ｉ ＭＯ预选题 ）
做三角形的内切圆的方法
做三角形的内切圆的方法
2.作出三角形的三条平分线，即从三个顶点分别画出与对边相等的线段。
这三条线段的交点就是三角形的内心I。
3. 从点I向三角形的三条边分别作垂线，垂足分别为D、E、F。
连接点D、E、F与点I，得到三条线段。
4. 以点I为圆心，ID（或IE、IF）为半径作圆，这个圆就是三角形ABC的内切圆。
注意事项：
1. 三角形的内切圆的圆心是三角形的内心，内切圆与三角形的三条边相切，且切点分别为垂足D、E、F。
2. 三角形的内切圆的半径r可以用下面的公式计算：
r = S / p
其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长（即三条边长之和的一半）。
以上就是做三角形的内切圆的方法。
这种方法简单易懂，但需要用到三角形的平分线和垂线等基本几何概念。
在实际应用中，可以选择其他更加高级的方法来求解三角形的内切圆。
- 1 -。
三角形内切圆的几个结论及应用
三角形内切圆的几个结论及应用三角形内切圆结论：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
一般情况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
三角形的内切圆的用处就更大了，出现三条切线，就会出现三个垂直，还会用到切线长定理。
中考重点三角形的外接圆与内切圆
中考重点三角形的外接圆与内切圆中考重点：三角形的外接圆与内切圆三角形是中考数学中的一个重要内容，其中与三角形相关的圆也是必须掌握的知识点。
本文将重点讨论三角形的外接圆与内切圆。
一、外接圆外接圆指的是一个圆能够完全围住一个三角形，并且三角形的三个顶点均在这个圆上。
我们下面以直角三角形和一般三角形来介绍外接圆的求解方法。
1. 直角三角形在直角三角形中，外接圆的圆心位于斜边的中点，并且半径等于斜边的一半。
这个性质可以通过勾股定理来进行推导。
假设直角边分别为a和b，斜边为c，斜边的中点坐标为(M, N)。
首先根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²由于斜边的中点坐标为(M, N)，根据坐标推导，我们可以得到：M = (a + b) / 2N = (a - b) / 2根据外接圆的性质，斜边的中点与外接圆圆心重合，即斜边的中点坐标即为外接圆圆心的坐标。
所以外接圆的圆心坐标为(M, N)。
而外接圆的半径等于斜边的一半，即半径R = c / 2。
2. 一般三角形对于一般三角形，我们可以利用三角形的垂心来求解外接圆的圆心和半径。
垂心是三角形的三条高所共有的交点，即三条高的交点称为垂心。
垂心到三角形三个顶点的距离分别等于它到三个高的距离。
首先，我们需要求解出三角形的垂心坐标。
求解过程中可以利用垂心的性质：三条高的交点到三个顶点的距离乘积相等。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)，垂心的坐标为(Dx, Dy)。
首先我们可以计算三角形三条边的长度：a = √((By-Cy)² + (Bx-Cx)²)b = √((Ay-Cy)² + (Ax-Cx)²)c = √((Ay-By)² + (Ax-Bx)²)然后我们可以根据垂心的性质，求解垂心的坐标：Dx = (a²*Ax + b²*Bx + c²*Cx) / (a² + b² + c²)Dy = (a²*Ay + b²*By + c²*Cy) / (a² + b² + c²)根据垂心的坐标，我们就可以求得外接圆的圆心坐标，同时外接圆的半径等于垂心到任意一个顶点的距离。
《三角形的内切圆》 讲义
《三角形的内切圆》讲义一、三角形内切圆的定义在平面几何中，三角形的内切圆是一个与三角形的三边都相切的圆。
这个圆位于三角形的内部，它的圆心被称为三角形的内心。
内心是三角形三条角平分线的交点，具有到三角形三边距离相等的性质。
二、三角形内切圆的性质1、圆心位置三角形内切圆的圆心（即内心）是三角形三条角平分线的交点。
这意味着内心到三角形三边的距离相等。
2、半径内切圆的半径可以通过三角形的面积和周长来计算。
假设三角形的三边分别为 a、b、c，面积为 S，半周长（即周长的一半）为 p（p ＝（a ＋ b ＋ c) ／ 2 ），则内切圆的半径 r 为：r ＝ S ／ p 。
3、与三角形边的关系内切圆与三角形的三边都相切，切点分别为三角形三条边的中点。
三、三角形内切圆的作图方法1、角平分线法（1）分别作出三角形三个角的角平分线。
（2）角平分线的交点就是内切圆的圆心。
（3）过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径。
（4）以圆心为圆心，以半径为半径作圆，即为三角形的内切圆。
2、面积与周长法（1）计算三角形的面积和周长。
（2）根据公式 r ＝ S ／ p 计算出内切圆的半径。
（3）任选三角形的一个顶点，以该顶点到对边的距离为直径作圆，该圆即为内切圆。
四、三角形内切圆半径的计算1、已知三角形的三边长度假设三角形的三边分别为 a、b、c，根据海伦公式先求出三角形的面积 S：＼S ＝＼sqrt{p(p a)（p b)（p c)｝＼其中，＼（p ＝＼frac{a ＋ b ＋ c}｛2}＼），然后再根据＼（r ＝＼frac{S}｛p}＼）求出内切圆的半径 r。
2、已知三角形的某些角度和边长如果已知三角形的某个角和对应的边长，可以利用三角函数来计算内切圆的半径。
五、三角形内切圆的应用1、计算三角形的面积当知道三角形的内切圆半径和周长时，可以通过面积公式＼（S ＝pr\）计算三角形的面积。
2、实际问题中的应用在工程、建筑等领域，经常会遇到与三角形内切圆相关的问题。
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三角形内切圆几个公式的应用
公式1 . △ABC ，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c
为r ，则r ＝
1
2
(a+b-c)。
证明:
如图1，⊙O 内切于 △ABC ，D 、E 、F 为切点， 由切线长定理知：AF=AE ，CE=CD
，BF=BD 。
∴a+b-c=（BD+DC ）+（AE+EC ）-（AF+BF ）=2CE =2r 。
∴r ＝12
(a+b-c)。
点评 ：此公式只适用于直角三角形。
公式2 . 若O 为 △ABC 的内心，则∠AOB=90°+ 1
2
∠ACB 。
证明:如图2，∴⊙O 为 △ABC 的内切圆， ∴∠1=
12∠CAB ，∠2= 1
2
∠ABC ， ∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°
-
12（∠CAB+∠ABC ）=180°- 1
2
（180°- ∠ACB ）=90°+ 1
2
∠ACB 。
公式3 .如图3，在△ABC 中，内切圆O 和BC 、AC 、AB 分别相切于点E 、F 、D ，则∠FDE=90°-12
∠ACB 。
证明:连结OE 、OF ，则OF ⊥AC ，OE ⊥BC ， 四边形CFOE 内角和为360°，∴∠FOE+∠C
=180°，又因为∠FDE= 1
2
∠FOE ，∴∠FDE=
90°- 1
2
∠ACB 。
点评 ：由在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可知，即使D 点不为切点，只要∠FDE 所对的弧为EF ，都有∠FDE=90°-
1
2
∠A
C
B
D
E
图1
A
B
C
图2
A
B
C
D 图3
ACB。
公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，，内切圆半径为r，则r = 2s
a b c
++。
证明:如图4，⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC，
S=S △AIB+S △AIC+S △BIC=1
2AB·r+ 1
2
AC·r+ 1
2
CB
= 1
2cr+ 1
2
ar+ 1
2
br= 1
2
（a+ b+c）r
∴r = 2s
a b c
++。
点评：⑴. 三角形的面积等于周长与内切圆半径的乘积的一半，
即S= 1
2
p·r（p表示周长，r表示内切圆半径），这是一个很有用的结论，在解题时可以直接引用。
⑵. 若∠C=90°，则有r = ab
a b c
++。
应用以上我们所总结的几个公式去解答某些有关三角形内切圆的问题时，能让我们快速的找到准确答案。
【练习：】⑴.在△ABC中，BC＝12，AC＝13，AB＝5，则此三角形的内切圆的半径r=______.
⑵.若O为△ABC的内心，∠ACB=80°,则∠AOB=_______.
⑶.在△ABC中，内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，若∠ACB=70°,则∠FDE=______.
⑷.△ABC中，AC=AB=5，BC=6，求△ABC的半径长。
⑸.已知△ABC为等腰直角三角形,其腰长为1,那么它的内切圆的半径r=______.
【附答案:】⑴. 2 ⑵. 130°⑶. 55°⑷. 3
2A
C
图4
⑸. 2
2。