向量知识点总结
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向量知识点总结
标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
向量知识点总结
一、教学要求:
1. 理解向量(平面向量、空间向量)的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念,掌握向量的加法、减法,掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理,掌握向量的数量积及其几何意义,了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题,理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。
2. 理解向量(平面向量、空间向量)的坐标的概念,掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。
3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式,并掌握平移公式。 二、知识串讲:
平面向量及其运算 (一)向量的基本运算 1. 有关概念
(1)向量——既有大小又有方向的量叫做向量。 常用有向线段表示向量
向量二要素方向
长度⎧⎨
⎪⎩⎪ ()向量的模—有向线段的长度,2||||AB a →→
长度等于的向量叫做单位向量,10a a
a →=→→
|| 零向量(的方向不定),0000→→→
=||
(3)共线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。
()相等的向量——长度相等方向相同4⎧⎨⎪⎩⎪→=→
a b
规定:00→=→
向量可以在平面(或空间)平行移动而不变。 规定:零向量与任一向量平行。 2. 向量有三种形式(或三种表示) 几何表示几何运算←→−−代数表示代数运算←→−−
坐标表示坐标运算←→−−
3. 向量的加法、减法与数乘
(1)向量的加法——三角形法则或平行四边形法则
如图:
向量加法的多边形法则
如图,求a b c →+→+→
(2)向量的减法:
a b a b a b →-→=→+-→→→
(),即向量加上的相反向量。
(的箭头指向被减向量)a b →-→
(3)实数与向量的乘积
λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→=→=→⎫
⎬⎪⎪⎭⎪⎪→→
⎧
⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪长度·方向:时与同向时与反向时,∥||||||
0000
※∥()存在唯一实数,使b a a b a →→→≠→⇔→=→0λλ
4. 向量的运算法则(加、减、数乘)
设向量,,及实数,,则:a b c →→→
λμ ①a b b a →+→=→+→
②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→
③()λμλμ+→=→+→
a a a
④λλλ()a b a b →+→=→+→
⑤·||||||λλa a →=→
⑥||||||||||a b a b a b →-→≤→±→≤→+→
(此不等式表示三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,也称为三角不等式。)
5. 平面向量基本定理(向量的分解定理)
e e a 12→→→
,是平面内的两个不共线向量,那么对该平面内任一向量,存在
唯一实数对,,使得。λλλλ121122a e e →=→+→
(这个定理表明:平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯
一一对向量的
和。叫做向量,的线性组合,,叫做表这一平面内所λλ11221212e e e e e e →+→→→→→
有向量的一组基底。
①基底不唯一,关键是不共线②基底给定,分解形式唯一⎛⎝ ⎫⎭⎪
应用:
设,不共线,点在直线上(即、、三点共线)OA OB P AB A B P →→
⇔→=→+→
+=∈OP OA OB R λμλμλμ且(,)1
(二)向量的坐标运算
1.在直角坐标系内,分别取与轴,轴同方向的两个单位向量,作为基x y i j →→
底,则该平面内任一向量,有且只有一对实数,,使得,a x y a x i y j →→=→+→
称(,)叫做向量的(直角)坐标,记作,,即为向量的坐标表x y a a x y →→
=()
示。
(如图,当把向量的起点移至原点时,(,)是向量终点的a x y a OA A →→=→
()
坐标,即,,,是向量在,轴上的射影,与相等的向量的坐标
A x y x y a x y a →→
也相同。)
2. 向量的坐标运算
已知,,,,a x y b x y R →=→
=∈()()1122λ
则:()11122a b x i y j x i y j →+→=→+→+→+→
()()
()()()
=+→++→
=++x x i y y j
x x y y 12121212
,
()()(
)(),,设,,,212121122
a b x x y y A x y B x y →-→
=--
(
)BA a b x x y y →=→-→
=--1212
,
()()||AB x x y y =
-+-122122
()(
)(),,31111
λλλλa x y x y →
==
(三)平面向量的数量积 1. 数量积的概念
设向量,,∠叫做向量与的夹角。记作OA a OB b AOB a b →=→→=→=→→
θ
<→→>︒≤<→→
>≤︒a b a b ,,,0180