立体几何中的向量方法求夹角

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专题8.8 立体几何中的向量方法(二)—求空间角与距离(重难点突破)(解析版)

专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离一、考纲要求1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二、考点梳理考点一异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则a 与b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ范围 (0，π) ⎝⎛⎦⎤0，π2 求法cos β＝a ·b|a ||b |cos θ＝|cos β|＝|a ·b ||a ||b |考点二求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点三求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.三、题型分析例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32【答案】A【解析】因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【变式训练1-1】、（天津新华中学2019届高三质检）如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值.【解析】(1) 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.例2、（2018年天津卷）如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.【变式训练2-1】、（吉林长春市实验中学2019届高三模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，所以PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2，则PA ―→＝2EG ―→，故PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )．又DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .例3、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求异面直线BC 与AE 所成的角的大小．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)．设AE →与BC →的夹角为θ，则cosθ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4，所以异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.【变式训练3-1】、如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．【答案】55【解析】不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C 1(0，2，0)，A(2，0，0)，B 1(0，2，1)，所以BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，所以BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，所以直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.【变式训练3-2】、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】 (1)证明：连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E -xyz . 不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0,2,0)．因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1,0)．由EF ―→·BC ―→＝0得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC ―→·n ＝0，A 1C ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，∴cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.。

3.2.4立体几何中的向量方法求夹角

C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量A B C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设是二面角n 1 n 2 的法向量,则向量与
的两个面的夹角(或其补
n 1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A 1B1C1中，D是AC的中点，当AB1 BC 1时，求二面角DBC 1C 的余弦值。
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.2分取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-x yz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)
31
2
D(
4
, ,0) 4
C1 (0,0,
) 2
∴
C1D(
3,1, 44
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
ab
若两直线l , m
所成的角为(0≤ ≤ ), 则
2
cos
ab
l

立体几何求线线角的方法

立体几何求线线角的方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积和角度等概念。

其中，线线角是立体几何中的一个重要概念，它描述了两条直线之间的夹角。

本文将介绍几种求解线线角的方法。

方法一：使用向量法求解线线角向量是立体几何中常用的工具之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。

在求解线线角时，我们可以利用向量的夹角来求解。

我们需要确定两条直线的方向向量。

假设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b。

那么，直线L1和L2之间的夹角θ可以通过以下公式求解：θ = arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，|a·b|表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。

通过计算向量的点积和模，我们可以得到直线L1和L2之间的夹角θ。

方法二：使用三角函数法求解线线角三角函数是数学中常用的函数之一，它可以用来描述角度之间的关系。

在求解线线角时，我们可以利用三角函数的性质来求解。

假设直线L1和L2之间的夹角为θ。

我们可以利用正弦定理来求解θ，该定理表示：sin(θ) = |AB| / |AC|其中，|AB|表示直线L1和L2之间的距离，|AC|表示直线L1上一个点到直线L2的垂直距离。

通过计算这两个距离，我们可以得到夹角θ的值。

方法三：使用平行四边形法求解线线角平行四边形是立体几何中的一个重要概念，它可以用来描述两条直线之间的关系。

在求解线线角时，我们可以利用平行四边形的性质来求解。

假设直线L1和L2之间的夹角为θ。

我们可以构造一个平行四边形，其中两边分别为直线L1和L2，另外两边分别为直线L1上的一条边和直线L2上的一条边。

根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的对角线相交于一点，且对角线相互平分。

因此，我们可以通过构造平行四边形，找到对角线的交点，从而求解出夹角θ的值。

方法四：使用投影法求解线线角投影是立体几何中常用的工具之一，它可以用来描述空间中的投影关系。

空间向量与立体几何之夹角的计算

若直线l与平面的夹角为夹角为
1当0
rr u, a
时， =
r r u, a ，
2
2
0，2
l
，则
u a 此时：sin
sin
2
rr u, a
rr
= cos
rr u, a
ua rr
ua
2当
rr u, a
时， =
rr u, a
，
2
2
此时：sin
sin
rr u, a
2
l a
= cos
（1）求证：直B线1O 面MAC （2）求二面角B1 MA C 的余弦值
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
rr a, b
=
rr ab rr
ab
rr
ab
ab
a
l cos = r r
a b
b
m
b
a
l m
练习一：P45 1 ur
已知直u线ur l1的方向向量为s1=(1,-1,1)，直线l2的方向向量为s2 =(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值
2. 平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个
2
rr
设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面的
夹角为，则
1当0
rr u, v
时， =
rr u, v
，此时：cos
cos
rr u, v
rr
=
uv rr
2
uv
u 注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角 v
2当
rr u, v
时， =

3.2立体几何中的向量方法-夹角

0
题型一：利用空间向量求线线角、线面角
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，

※注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的
题型一：利用空间向量求线线角、线面角空间中的角题目如下：
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
0
2012•山东18题
由已知线线平行关系面EFG//面ABCD.由EA 面ABCD EA 面EFG. Z E Z F Z G, 设G （x，， 0 z），AC=m，AD=n D(0，n，， 0) C （m，0,0） n 1 1 m M (0，，， 0) B(m， -n，。又 0) EG // AC EG // AC （x，0,0）（ = ，0,0）。 2 2 2 2 m m m n x=（，0,z） G （，0,z） GM （- ，，）。可表示出 -z AE =（0，， 0 z）， 2 2 2 2 AB =(m， -n，。由共面向量定理：只要 0) GM =p AE +q AB （）（p，q为未知数）即可。 m n 把（）代入整理（- ，，）（ -z = 0，0,pz） +(qm， -qn， 0)=(qm， -qn，pz) 2 2 m n 1 - =qm， =-qn， -z=pz q=- ，p=-1。故成立！ 2 2 2

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3、探究题型，掌握解法。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。

探究题型，掌握解法。

三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。

在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。

四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。

设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。

因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。

在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。

立体几何求夹角方法总结

立体几何求夹角方法总结立体几何体现了空间中物体的立体形态，它的重要性在于能够帮助人们更好地理解三维物体，并求出它们之间的夹角，这在数学、物理等领域都有着广泛的应用。

本文将总结出常见的几何求夹角方法，供读者参考。

方法一：向量求夹角向量是几何学中的常用概念，它由矢量和标量组成。

可以通过计算两个向量之间的夹角，得到它们之间的几何夹角。

具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个向量；2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积；3. 分别计算出两个向量的长度；4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。

方法二：平面法线求夹角在三维空间中，可以通过平面的法线向量来计算两个平面之间的夹角。

具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个平面的法线向量；2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积；3. 分别计算出两个平面的法线向量的长度；4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。

方法三：点法线求夹角与平面法线类似，我们也可以通过点和法线向量计算两个平面之间的夹角。

具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个平面的任意一点坐标和两个平面的法线向量；2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积；3. 分别计算出两个平面的法线向量的长度；4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。

方法四：球面三角学法求夹角该方法适用于计算球面上两个点或两个平面之间的夹角，方法稍微复杂。

具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个点或平面的经纬度坐标；2. 根据球面三角学公式求出两个点之间的夹角或两个平面之间的夹角；3. 将弧度转化为角度，得到最终的夹角。

综上所述，立体几何求夹角的方法有计算向量之间的夹角、平面法线之间的夹角、点法线之间的夹角和球面三角学法求夹角。

每种方法都有其适用范围和计算步骤，要根据实际情况选择合适的方法进行计算。

3[1].2.3立体几何中的向量方法求夹角、距离

若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则
ur r
ur r
一进一出： cos cos m, n 同进同出：cos cos m, n
2
例4、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD,
SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。 2
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
A (0,0,0),C (- 1,1,0),D(0, 1 ,0), S(0,0,1)
S
易知，面SBA的法向量n1
2 AD
CD
(1,
1
,0),
SD
(0,
1
,1)
(0,
1 2
,0),
x
A
B Dy
C
2
2 uur
uur uuur uur uuur
设平面 SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
Duu(u4r,0,0)，E(2,u4uu,r0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF
设平面
(2, 2, 0), EG (2, r4, 2), EFG 的一个法向量为 n ( x,
y,
z
)x
D
C
Q r uuur r n EF，n
r n
(
1
,
3
1 3
uEuGuruu2ur2x x24y y02 Z ,1) ,BE (2, 0, 0)
uuur uuur uuur uuur Q AA EA, AA AF
解:如图1,不妨设 AB AA1 AD 1 ，
D1
C1
BAD BAA1 DAA1 60

立体几何中的向量方法求夹角

立体几何中的向量方法求夹角1.确定两个向量假设有两个向量A和B，它们的坐标分别为(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)。

2.计算向量的点积向量的点积是两个向量各个对应坐标分量的乘积之和，可以用以下公式表示：A·B=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂3.计算向量的模向量的模是向量的长度，可以用以下公式表示：A，=√(x₁²+y₁²+z₁²)B，=√(x₂²+y₂²+z₂²)4.计算夹角的余弦值夹角的余弦值可以通过点积和模的关系计算得到，用以下公式表示：cosθ = (A·B) / (，A，，B，)5.计算夹角夹角的弧度可以通过余弦值计算得到，用以下公式表示：θ = arccos(cosθ)6.将弧度转换为度数为了方便阅读和理解，可以将弧度转换为角度，用以下公式表示：α=θ*180°/π以上就是利用向量方法求解立体几何中夹角的具体步骤。

下面通过一个例子来说明向量方法求解立体几何中夹角的应用。

例题：给定两个向量A(2,3,-1)和B(1,-2,4)，求它们之间的夹角。

解答：首先计算向量A和向量B的点积：A·B=2*1+3*(-2)+(-1)*4=2-6-4=-8然后计算向量A和向量B的模：A，=√(2²+3²+(-1)²)=√(4+9+1)=√14B，=√(1²+(-2)²+4²)=√(1+4+16)=√21接下来计算夹角的余弦值：cosθ = (A·B) / (，A，，B，) = -8 / (√14 * √21)然后计算夹角：θ = arccos(cosθ)最后将弧度转换为角度：α=θ*180°/π通过以上计算，可以得到向量A和向量B之间夹角的大小。

利用向量内积计算立体几何中的“距离”和“夹角”

不难求出相关点及相关向量的坐标：Ｄ（０，０，０），Ａ，Ｏ），ｃ（ｏ，２，０），Ｐ（０，２，Ｘ／Ｔ），Ｅ（Ｘ／Ｙ＃３－０
＿
一
１
，
，
，
Ｏ），商
置时，利用公式ｄ＝
二（１）（是平面法向量，Ｐ是平面外的
（，一要，ｏ），＝（０，０，ｘ／Ｔ），设０【的法向量：（ｘ，ｙ，ｚ），
，０），ｘｏ－－－ｄ：（０，２，
ｊ
由．矗：０，ｎ．：ｏ易求得一个：（１，
ＭＣＤ上平面ＢＣＤ，ＡＢ上平面ＢＣＤ，ＡＢ＝２、ｖ／３，求点Ａ到平面
－
：
（、／，一１，１），代人公式（１）得所求距离ｄ：
３： — ２Ｘ／
—
、／５
２
一
距离和夹角（两条异面直线之间的距离、点到平面的距离和异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等）是立体几何中的计算难点。也是考试热点．用传统知识和方法解决这些问题．往往要对图形做过多的分析．需要作辅助线和一些烦琐的拼凑技巧．对学生而言不易掌握．利用向量内积知识一般可将上述的问题转化为代数问题来解决．可避免许多繁难的图形分析，将问题的解决程序化和公式化，易于操作，学生也容易掌握，可大大降低思维难度，提高学生的解题能力．正如张奠宙教授说的．利用向量许多几何命题迎刃而解 … … 比起综合方法需要 “ 个别处理 ” 的技巧，它是一个 “ 一揽子” 解决

用向量法求立体几何中的夹角与距离

用向量法求立体几何中的夹角与距离
詹天飞
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2007(000)022
【摘要】数学教学是引导学生发现问题,解决问题、解决问题时往往体现创新能力,创新来自数学问题的研究,数学问题出自数学情景.因此,创设好数学情景,找到好的切入口,引导学生观察、分析、质疑,解决问题,从而达到提高数学课堂教学的质量.【总页数】2页(P177-178)
【作者】詹天飞
【作者单位】四川省广安中学,638000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.用平面法向量求空间距离和夹角 [J], 朱月祥;
2.向量数量积在求立体几何距离中的应用 [J], 温慧丽
3.向量法解决立体几何中的夹角与距离问题 [J], 黄赛英
4.立体几何中利用向量法求距离 [J], 曹文军;
5.用基向量法解决立体几何中的夹角问题 [J], 杨德强
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用空间向量计算夹角问题方案

B1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
C
B
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
AD1 DB1, AC DB1 又AD1 AC A,
DB1 平面ACD1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1

0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)

0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1

0

0

1 4

1 4
11

15 16
,
D
O
A
x
2019/9/3
C
y | BE1 |
17 4
利用向量解决夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2019/9/3
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |

立体几何中的向量方法---夹角问题

1 1 DE (0, , ) 2 2
F
D
A X G
E
平面PBD的一个法向量为：
1 1 CG ( , , 0) 2 2
C B
Y
练习
的棱长为 1. z
D1
求二面角A-BD1 -C的大小.
解1 建立直角坐标系.
C1
A1
B1
平面ABD1的一个法向量为平面CBD1的一个法向量为
x
D
A y
B
C
cos 1/ 2, 120 . 则二面角A-BD1 -C的大小为120 .
3.2.4
立体几何中的向量方法
——夹角问题
1.异面直线所成角
夹角问题：设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) l , m的夹角为， 0 ,90 , cos cos a, b .
l
lLeabharlann mm2、线面角
夹角问题：设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 (2) l , 的夹角为， sin cos a, u .
0 ,90 ,l

l

π cos < a,u >= cos( -θ ); 2

1 1 1 1 1 2 1 ( , , ) ( , , ) 1 3 6 6 3 3 3 6 1 2 6 6 3 6 3 所以EFD 60 ,即二面角 C PB D的大小为 60 .
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D Z 的大小。解2:如图所示建立 cos 1/ 2, 60 空间直角坐标系，设DC=1. P 平面PBC的一个法向量为：

选2-13.2立体几何中的向量方法(夹角问题)

∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
E
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE
∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°
∴AD与平面CBD所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE ∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明由AM (1 ,1, 1),CE (1,0,1), AD (0,2,0),
22
可得CE AM 0，CE AD 0.因此CE AM,CE AD. 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE 平面
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
求法向量坐标
求两法向量夹角
定值
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，
SA 1 , AB=BC=1， AD 1 .
2
2
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦。
z S
A
By
D
x
C
图5
解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，
则
S
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
P
Az By
E
D
C
x
设BE=m，则 A(0, 0, 0), P(0, 0,1), D( 3, 0, 0), E(m,1, 0),

1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题

探究已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F

二面角向量夹角公式

二面角向量夹角公式1.引入在立体几何中，我们经常需要计算空间中两个向量的夹角，这个夹角的大小可以用二面角来表示。

本文将介绍二面角的概念和向量夹角的计算公式。

2.二面角概念二面角是指两个平面的夹角，这两个平面分别与一个公共的边相交。

可以用一个开合角来描述二面角的大小，当两个平面互相垂直时，二面角为90度，如果二面角小于90度，则称为锐角，大于90度则为钝角。

3.向量夹角公式对于空间中的两个向量，记它们的夹角为θ，则有以下计算公式：cosθ=(a·b)/(│a││b│)其中，a和b分别代表两个向量，│a│和│b│代表它们的长度，a·b代表它们的点积。

夹角可以用反三角函数cos^-1来计算，即θ=cos^-1([(a·b)/(│a││b│)])如果直接计算夹角的话，需要不断开方和乘除，比较复杂，我们可以将cos θ展开后用向量模长的乘积来计算：cosθ=(a·b)/(│a││b│)=(a1b1+a2b2+a3b3)/(│a││b│)=(a1/│a│)(b1/│b│)+(a2/│a│)(b2/│b│)+(a3/│a│)(b3/│b│)=cosαcosβ+cosγcosδ+cosεcosζ其中，α、β、γ、δ、ε、ζ分别是向量a和向量b各个分量的夹角。

这个公式看上去很长，但实际上，它的计算比较简便，只需要计算六个三角函数的值，不用进行开方和乘除运算，因此，在计算机图形学和计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。

4.总结本文介绍了二面角的概念和向量夹角的计算公式。

对于计算机科学中的相关问题，特别是在计算机图形学和计算机视觉领域中，掌握向量夹角公式是非常重要的。

不仅帮助我们了解计算机图形学中的矩阵变换和仿射变换，还可以用于图像处理、目标检测等领域的算法设计和性能评价。

立体几何两直线夹角公式

立体几何两直线夹角公式在咱们学习立体几何的时候，有一个特别重要的公式，那就是两直线夹角公式。

这玩意儿可有意思啦，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。

先来说说啥是两直线夹角。

想象一下，在一个三维的空间里，有两条线，它们不平行，就会形成一个夹角。

这个夹角可不是随便量量就行的，得用专门的公式来算。

两直线夹角公式就像是一个精准的测量工具。

假设咱们有直线 L1和直线 L2，它们的方向向量分别是 v1 和 v2 。

那这两条直线的夹角的余弦值就等于这两个方向向量的点积除以它们的模长的乘积。

用数学式子表示就是cosθ = (v1·v2) / (|v1| × |v2|) 。

记得我之前教过一个学生小明，这孩子特别聪明，就是有时候有点马虎。

有一次做作业，碰到一道要用两直线夹角公式的题。

题目是这样的：在一个空间直角坐标系里，直线 L1 的方向向量是 (1, 2, 3) ，直线 L2 的方向向量是 (4, -5, 6) ，让求这两条直线的夹角。

小明拿到题，刷刷刷就开始算，结果算出来夹角的余弦值是个负数。

他就有点懵了，跑来问我：“老师，这咋算出个负数呢？”我一看，原来他在计算向量点积的时候，符号弄错了。

我就给他仔细地又讲了一遍点积的计算方法，还让他重新做了一遍。

这孩子呀，经过这次小挫折，以后再碰到这种题就特别小心，再也没出过错。

咱们再来说说这个公式的用处。

比如说在建筑设计里，工程师们要确定不同钢梁之间的角度，是不是就得靠这个公式呀？还有在机器人的运动规划中，为了让机器人的手臂能够准确地到达指定的位置，也得用这个公式来计算关节之间的角度。

在学习这个公式的时候，大家可别死记硬背。

要多做几道题，通过实际的运用来加深理解。

比如说，给你一个正方体，让你求其中两条棱之间的夹角，这时候你就得先找到这两条棱的方向向量，然后再代入公式计算。

还有啊，有些同学可能会觉得这个公式有点复杂，其实只要你一步一步来，别着急，肯定能掌握的。