立体几何中的向量方法求夹角

∴二面角
D

2 BC1

C
的大n小方等向朝于面〈外m，,mn〉方向朝
面内，属于“一进一出”C
∴
cos〈
m,
n〉=
m m

n的 量n 情 夹况 角3，3二2面角等22于法x向
D
By A
2
即二面角 D BC1 C 的余弦值为 2
例3 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz
如图所示，设 CC1 1 则：
A(1,0,0), B(0,1,0),
2
z
S
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
B
C
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0,0,1)
2
易知面SBA的法向量n1

AD

x
(0,
A
1
, 0)
D
y
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
2
2
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B 的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m (x, y, z) 同法一，可求 B(0,1,0)
D(
3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴ C1D (
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD 2
与面SBA所成二面角的余弦值.
S
B
C
AD
例3 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD
与面SBA所成二面角的余弦值.
成的角. (2)范围:
(0,

2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为
,则有
cos
|
cos
|
|
|ab| a||b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
例2 Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着

x y 2
yz 2

0 0
Baidu Nhomakorabea


x


z

y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos

n1, n2

|
n1 n2 n1 || n2
|

6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3

如图所示，正三棱柱
ABC－A1B1C1的所有棱长都 为2，D为CC1的中点，求二 面角A－A1D－B的余弦值．
m, n
m
n


注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角

L
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos .
uv
3.二面角
(1)范围: [0, ]
(2)二面角的向量求法:

B
①若AB、CD分别是二面角 l 的两
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
2、二面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的
方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为
其中AB l, AB ,CD l,CD
cos cos AB,CD ABCD
B
AB CD

A
C
D
L

2、二面角
②法向量法如将图，二向面量角转n化为，二m面角 的两，个面的法向量的夹角。 则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
31 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
[策略点睛]
[规范作答] 如图所示，取BC中点 O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
所以：
AF1

(
1 2
,
0,1),
F1C1 z
A1
D1 C
A
B1 By
x BD1

(1 2
,

1 2
,1)
cos

AF1,
BD1


|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|

1 1 4 5 3
30 . 10
42
所以
BD1与
AF1所成角的余弦值为
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量AB C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n1 n2 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补

n1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A1B1C1 中，D是AC的 中点，当AB1 BC1时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l, m 的方向向量分别为a, b
ab
若两直线
l
,
m
所成的角为
(0
≤
≤

2
)
,
则
cos
ab
l

a

m
l

a
b m
空间三种角的向量求解方法
1.两条异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线
a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b所