[线性代数电子讲义] [1] 行列式的定义
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
行列式的认识
行列式的认识行列式（Determinant）是线性代数中的重要概念，它是一个方阵的一个标量值。
行列式可以用于描述线性方程组的解的情况，它能够衡量矩阵的几何性质和线性方程组的解的个数。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中i和j的取值范围都是1到n，行列式的定义如下：当n=1时，行列式的取值就是矩阵中唯一的元素a_11。
当n>1时，行列式的取值等于所有排列的乘积之和，即det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn + a_11 * a_23 * ... * a_nn-1 + ... + (-1)^(1+n) * a_1n * a_22 * ... * a_n-1n在上述定义中，排列的符号为(-1)^(1+i)。
二、行列式的性质1. 行列式与转置：行列式的值不变，当A的转置记为A_T时，有det(A) = det(A_T)。
2. 行列式与倍数：若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以一个数k，则行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 行列式与行（列）的互换：若交换矩阵A的两行（列），则行列式的值变号，即det(A') = -det(A)，其中A'是A经过行（列）交换得到的矩阵。
4. 行列式与行（列）的线性组合：若将矩阵A的两行（列）相加（减），则行列式的值不变，即det(A'') = det(A)，其中A''是A的两行（列）进行线性组合后得到的矩阵。
5. 上三角矩阵和下三角矩阵的行列式：上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素的乘积，下三角矩阵的行列式也同样。
三、行列式的应用1. 判断矩阵是否可逆：若一个n阶矩阵A的行列式不等于0，那么矩阵A可逆，有唯一解。
2. 线性方程组的解：对于一个n阶的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，那么此方程组有唯一解。
当行列式等于0时，方程组可能有无穷多个解或无解。
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
大一线性代数行列式知识点
大一线性代数行列式知识点线性代数是大学数学课程中的重要内容之一，而线性代数中的行列式更是一个关键的概念。
行列式具有广泛的应用，在矩阵运算、方程求解、向量空间等方面都发挥着重要的作用。
本文将介绍一些大一学生常见的线性代数行列式知识点，包括行列式的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义行列式可以看作是一个方阵的一个具体的实数值。
对于一个n阶方阵A，行列式的定义如下：det(A)=∑(−1)^σP(a1,σ(1))a2,σ(2)...an,σ(n)其中，det(A)表示方阵A的行列式，σ表示一个置换，P表示这个置换的奇偶性，a1, a2, ..., an表示A的元素。
二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，下面将介绍其中一些常见的性质。
1. 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
这意味着行列式的值不受行、列次序的影响，只取决于方阵中元素的值。
2. 互换某两行（列）的位置，行列式的值变号。
这个性质说明了方阵中交换两行（列）的位置对行列式的值有影响。
3. 方阵中某行（列）的元素都乘以一个数k，行列式的值乘以k。
这个性质说明了方阵某行（列）的元素乘以一个数k对行列式的值有影响。
4. 方阵中某行（列）的元素表示为两个数之和，可以将行列式分成两项之和。
这个性质可以用于简化行列式的计算。
三、行列式的计算方法计算行列式的值是线性代数中的重要技能之一，下面将介绍两种常见的计算行列式的方法。
1. 代数余子式法代数余子式法是一种逐步缩小行列式规模的计算方法。
具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于第一行（列）的每个元素aij，计算其代数余子式Mij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijMij，计算行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种从行或列展开的计算方法。
具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于每个选定的元素aij，计算其余子式Aij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijAij，计算行列式的值。
行列式的认识
行列式的认识在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它是一个方阵的一个标量量度。
它在许多领域中都有着广泛的应用，包括物理，工程学，统计学和计算机图形学等。
1. 行列式的定义行列式通常表示为$det(A)$或$|A|$。
它是一个方阵的数字值，如果它是正的，则表示该矩阵是“正定”的，否则表示它是“负定”的。
一个矩阵的行列式的计算方式如下：$$ det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_i},$$其中，$n$是矩阵的阶数，$a_{i,j}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素，$S_n$是$n$个元素的置换群，$\sigma$是$S_n$中一个置换。
$\tau(\sigma)$表示置换$\sigma$的逆序数，即该置换可以通过多少次交换相邻的元素变为单位置换。
$(-1)^{\tau(\sigma)}$表示符号，当逆序数是偶数时取值为正，当逆序数是奇数时取值为负。
因此，行列式的值可以通过先列出所有可能的$n!$种置换，然后计算每个置换的贡献来得到。
2. 行列式的性质行列式有许多令人惊讶的性质。
以下是一些重要性质的概述：2.1 行列式的性质1：任意交换矩阵的两行或两列，行列式的值会发生反转。
根据上述公式，当交换两行时，置换的符号改变了，因为逆序数的奇偶性改变了。
当交换两列时，置换的奇偶性也改变了，因此结果符号仍然改变。
例如，对于一个3x3的矩阵A，如果我们交换第1行和第2行，那么行列式的值将由$det(A)$变为$-det(A)$。
2.2 行列式的性质2：如果矩阵的两行或两列成比例，那么该行列式的值为零。
如果两行成比例，那么矩阵的行列式为零，因为对于任何置换$\sigma$，这两行的元素始终被映射到了同一列。
结果是，对于每个乘积$a_{i,\sigma_i}$，该乘积乘以一个相同的因子$a_{j,\sigma_j}=ka_{i,\sigma_j}$，其中$k$是一个常数。
线性代数讲义-01行列式
第一章 行列式第一节 行列式的定义.一 排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列.按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n .定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数.例1.1 求排列32514的逆序数.解 按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++.例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半.证 将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等.二 行列式定义以前学过二阶与三阶行列式:2112221122211211a a a a a a a a -=;333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++=312213332112322311a a a a a a a a a ---. 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数ij a 称为它的元素. 其中元素321,,i i i a a a 组成行列式的第i 行, 元素j j j a a a 321,,组成行列式的第j 列, 元素332211,,a a a 组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标i , 表示该元素属于第i 行. 第二个是列标j , 表示该元素属于第j 列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作333231232221131211a a a a a a a a a ∑-=321321)1(p p p t a a a , 其中t 是列标排列321p p p 的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到n 阶行列式的定义. 定义1.4 称111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(为n 阶行列式, 其中t 是列标排列n p p p 21的逆序数, 而求和遍及所有n 阶排列.常将行列式简记作D . 如果需要明确行列式的阶, 则将n 阶行列式记作n D .一个n 阶行列式有!n 项. 当1>n 时, 其中正项与负项各占一半.与三阶行列式类似，n 阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式.注意 一阶行列式||11a 与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式2|2|-=-,而作为数的绝对值2|2|=-. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象.例1.3 求四阶行列式中包含元素23a 的所有负项.解 在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素23a 的负项为44322311a a a a -, 41342312a a a a -, 42312314a a a a -.当n 较大时, n 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少.例1.4 求证：行列式1112122200n n nna a a a a a nn a a a 2211=.证 为了得到非零项, 在第n 行中只能取nn a . 此后不能再取第n 列的其他元素. 因此,在第1-n 行只能取1,1--n n a . 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项nn a a a 2211.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果.例1.5 求证: 行列式12,1100000n n n a a a -11,212/)1()1(n n n n n a a a ---=.证 仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为1)1( -n n . 逆序数为2/)1(1)2()1(-=++-+-n n n n .例1.6 求证：行列式000000044434241343332312111=a a a a a a a a a a .证 因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素， 所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形.定理 1.2 行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n p p p s n a a a 2121)1(. 其中s 是行标排列n p p p 21的逆序数.证 行列式定义中的一般项为n np p p ta a a 2121)1(-. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积n np p p a a a 2121不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是t)1(-, 其中t 是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理 1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即=-s)1(t)1(-.定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定.习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性. (1) 135792468; (2) 219786354.2. 选择i 与k 使下列九阶排列(1) 9561274k i 为偶排列; (2) 4897251k i 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数.4. 已知排列n p p p 21的逆序数为k ，求排列11n n p p p - 的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) 233146521465a a a a a a ; (2) 256651144332a a a a a a . 6. 计算下列行列式.(1) 613322131; (2) 0551111115----. 7. 计算下列行列式.(1)00000012,11,11,2222111,11211n n n n n n a a a a a a a a a a ----; (2)nn 0000100200100-.8. 求证: 0000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a . 9. 设一个n 阶行列式至少有12+-n n 个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节 行列式的性质用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法.定义1.5 将行列式D 的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作D '.例如, 行列式613322131的转置是631123321. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即D D ='.证 设行列式D 的元素为ij a , 转置D '的元素为ij b , 则有ji ij a b =. 根据定理1.2, 有D '∑-=n np p p t b b b 2121)1(D a a a n p p p t n =-=∑ 2121)1(.注意 在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立.性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证 交换D 的第h 行与第k 行产生的新行列式记作hk D . 设hk D 的元素为ij b , 则有kj hj a b =, hj kj a b =,n j ,,2,1 =, 而hk D 的其他行的元素与D 相同. 设n 阶行列式D 的一般项为n k h np kp hp p ta a a a 11)1(-, 其中t 是列标排列n k h p p p p 1的逆序数. 在hk D 的定义中与上面D 的一般项具有相同元素的项为11(1)h k n s p kp hp np b b b b -= 11(1)k h n s p hp kp np b b b b - ,其中s 是列标排列n h k p p p p 1的逆序数. 根据定理 1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为hk D 与D 的具有相同元素的项符号都相反, 所以D D hk -=. 推论1.1 如果行列式D 中有两行的元素对应相等, 则0=D .证 设行列式D 的第h 行与第k 行相同, 交换这两行产生的行列式记作hk D , 则D D hk =. 然而根据性质1.2, 又有D D hk -=. 于是0=D .性质1.3 用数k 乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k 乘以原行列式. 即有111111j n i ij in n njnn a a a ka ka ka a a a111111j ni ij in n nj nna a a a a a k a a a =. 证 设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a a aD 11)1(, 用数k 乘以其第i 行的每个元素产生的新行列式记作)(k D i , 根据定义, 有)(k D i ∑-=n i np ip p t a ka a )()1(11kD a a a k n i np ip p t =-=∑ 11)1(.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.推论1.2 如果行列式D 的某两行的元素对应成比例, 则0=D .证 设行列式第h 行的每个元素是第i 行的对应元素的k 倍, 提取第h 行元素的公因数k , 根据性质 1.3, 原行列式等于数k 乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有0=D .性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有1111111j n i i ij ij in in n njnna a abc b c b c a a a +++111111j n i ij in n nj nna a ab b b a a a =111111j n i ij in n nj nna a a c c c a a a +. 证 设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a b aD 111)1(,∑-=n i np ip p t a c a D 112)1(,其中只有第i 行不同. 将两个行列式的第i 行求和, 其他行不变产生的新行列式记作)(+i D ,根据行列式定义, 有)(+i D ∑+-=n i i np ip ip p t a c b a )()1(11∑-=n i np ip p t a b a 11)1(∑-+n i np ip p t a c a 11)1(21D D +=.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质 1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k 个数的和, 则它等于k 个行列式的和.性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k 倍, 行列式不变. 证 设n 阶行列式∑-=n h i np hp ip p ta a a aD 11)1(, 将第i 行的元素加上第h 行的对应元素的k 倍产生的新行列式记作)(k D ih , 根据性质1.4与推论1.2, 有)(k D ih ∑+-=n h h i np hp hp ip p t a a ka a a )()1(11∑-=n h i np hp ip p t a a a a 11)1(∑-+n h h np hp hp p t a a ka a )()1(11D a a a a n h i np hp ip p t =-=∑ 11)1(.例1.7 求证: 行列式h g i g ih e d f d fe b a c a cb +++++++++i h g f e dc b a 2=. 证 先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得h g i g i h e d f d f e b a c a c b +++++++++h g i g h e d f d e b a c a b ++++++=h g i g i e d f d fb ac a c +++++++ gi g hd fd e a c a b +++=hg gi e d d fb a ac ++++gihd fe a c b =hgie df b a c +ihgf e dc b a 2=. 例1.8 计算行列式4321651005311021.解 用性质1.5, 得43216510053110213300651015101021-=3300700015101021-=21700330015101021-=--=.注意 用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.例1.9 计算行列式3111131111311113.解 先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6， 再用下面各行分别减去第一行. 得31111311113111133111131111316666=31111311113111116=4820000200002011116==.注意 如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.例1.10 计算行列式yyx x-+-+1111111111111111.解 用第一列减第二列, 提取x ; 第三列减第四列, 提取y . 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得yy x x -+-+1111111111111111yy y xx x --=110110101101y x xy--=111111010111011yx xy--=1000100001000122y x =.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.习题1-21. 求证: bzay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z y z y x b a )(33+=. 2. 计算行列式efcfbfde cd bdae ac ab---. 3. 计算下列行列式.(1)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a ; (2) n222232222222221.4. 求t 的值, 使得行列式226332111=tt .5. 计算下列行列式(1)3214214314324321; (2)121212n n n x mx x x x m x x x x m---.6. 计算行列式01211111001na a a a, 其中021≠n a a a .7. 用两种方法计算行列式ab cc abbc a， 从而证明因式分解: ))((3222333bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.8. 计算行列式111212122212n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------, 其中2>n .9. 计算行列式1231110000220000020011n n nn n------.10. 计算行列式aba ba b b a b a ba D n=2，其中未写出的元素都等于0.第三节 行列式的展开在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(. 将行列式的元素ij a 所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式, 记作ij M . 而称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式.例如，行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中元素12a 的余子式为2123123133aa M a a =， 而代数余子式为212312123133(1)a a A a a +=-.注意 左上角元素11a 的代数余子式11A 取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素iia 的代数余子式ii A 全取正号.引理1.1 如果一个n 阶行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0, 则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积. 即ij ij A a D =.证 先考虑n j i ==的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D 的第n 行只能取nn a . 于是, 有∑---=nn p n p p t a a a a D n 121)1(21)1( ∑---=121)1(21)1(n p n p p t nn a a a a ,其中t 是列标排列n p p p n 121- 的逆序数, 求和遍及1,,2,1-n 的所有排列121-n p p p . 然而排列n p p p n 121- 与排列121-n p p p 的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为nn p n p p tM a a an =-∑--121)1(21)1( nn nn n n A M =-=+)1(.于是, 有nn nn A a D =.现在考虑一般情况, 设行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0. 将D 的第i 行与第1+i 行交换, 再将所得行列式的第1+i 行与第2+i 行交换, 继续进行, 直到D 的第i 行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行i n -次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j 列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行j n -次交换列. 最后得到的行列式记作B , 则在B 的最后一行中只有最后一个元素ij a 不等于0, 而且ij a 在B 中的代数余子式就是ij a 在D 中的余子式ij M . 由前面证明的特殊情况, 有ij ij M a B =. 另一方面, 根据性质1.2, 有D B j n i n )()()1(-+--=, 即B D j i +-=)1(. 于是,有ij ij ij ij ji A a M a D =-=+)1(.定理1.3 对于n 阶行列式D , 有in in i i i i A a A a A a D +++= 2211; nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.证 将行列式D 的第i 行的每个元素改写成n 个数的和, 其中由ij a 改写成的和中的第j 个加数等于ij a , 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D 等于n 个行列式的和. 在第j 个行列式的第i 行中, 只有属于第j 列的元素等于ij a , 其他元素等于0.对这n 个行列式分别用引理1.1, 得in in ij ij i i A a A a A a D ++++= 11.注意 用定理 1.3, 可以将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1-n 阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.例1.11 计算行列式500134267002430.解 先按照第四行展开, 得50013426700243043032(1)5006241+=-321018006=-=-.有时用数学归纳法计算n 阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式n D 与1-n D ,2-n D 之间的关系.例1.12 求证: 000100010000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++b a b a n n --=++11. 证 计算可得ba b a b a D --=+=221, b a b a b ab a D --=++=33222. 设命题对于1-n 阶与2-n 阶行列式成立.考虑n 阶行列式, 按第一行展开, 得0001000100000001n a b ab a b ab a b D a bab a b +++=++00100()0001a baba b a b a b ab a b++=+++1000000001ab a b ab a bab a b+-++21)(---+=n n abD D b a b a b a n n --=++11.例1.13 求证: 123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=∏<-=ji i j x x )(. 解 当2=n 时, 有122x x D -=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 从下边开始, 下面一行减去上面一行的1x 倍, 得123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------232131122223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x ---=---111312)())((----=n n D x x x x x x ∏<-=ji i j x x )(.与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第n 行开始, 逐行向上做.这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当n x x x ,,,21 两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.例1.14 求证: 211212212221212n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+)1(!12∑=+=nk kka n .解 当1=n , 2111a D +=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 按照最后一行分成两个行列式的和, 得21121221222121200n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+++21121221221200n na a a a a a a a a a n++= 211212212221212n nn n na a a a a a a a a a a a a a a +++21121122122121112112(1)n n n n n a a a a a a a a a a na a a a n a -----++=-+110002nn na a a a +=21)!1(nn a n nD -+-211[(1)!(1)]n k k a n n k -==-+∑2(1)!n n a +-)1(!12∑=+=nk k ka n .推论 1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当j i ≠时, 有02211=+++nj ni j i j i A a A a A a ; 02211=+++jn in j i j i A a A a A a .证 只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211等于一个n 阶行列式. 这个行列式的第i 行与第j 行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.习题1-31. 计算行列式11312111311021---=D 的第二行所有元素的余子式与代数余子式.2. 计算行列式0000000000000000n x y x y x D x y yx =.3. 求证: 11211000010000000001n nn n x x x D xa a a a a +----=-n n n n a x a x a x a ++++=--1110 .4. 求证: 210001210001200100021012n D n ==+.5. 设常数c b a ,,两两不等, 解方程01111)(33332222==x c b a x c b a x c b a x f .6. 求证: 12322221231231111nn n n n n nn n n nnx x x x D x x x x x x x x ----=∑∏=<-=nk k ij j i x x x 1)(.7. 求证: 1231111111111111111n na a D a a ++=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=ni i n aa a a 12111 , 其中 021≠n a a a .补充材料一 拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.行列式中任意k 行与k 列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式k D . 删除这k 行与k 列得到的k n -阶行列式k M 称为k 阶子式k D 的余子式， 而=k A ∑-+hh h j i )()1(k M 称为k D 代数余子式. 其中h h j i ,是k D 所在的行标与列标. 命题 设||A 是n 阶行列式, 任意取其中的k 行,n k <<0, 则行列式等于这k 行中所有k 阶子式与其代数余子式的乘积之和.证明略.注意 这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有kn C 项, 每项是一个k 阶子式与其代数余子式的乘积.例1 求证：行列式aba ba b b a b a b a D n=2n n b a b a )()(-+=.证 按照第一行与第n 2行展开， 得)1(2222)(--=n n D b a D . 用这个递推式即可得到所需结果.例2 求证:nnk n nkn nk k k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a1,1,11,1.11,111110000++++++kk k k a a a a 1111=nnk n n k k k a a a a 1,,11,1++++ 证 按照前k 行展开.注意 由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
行列式知识点汇总
行列式知识点汇总在数学中，行列式是一个重要的概念，用于描述线性代数中的一些性质和运算。
它在各个领域中都有广泛应用，如线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算等。
本文将对行列式的相关知识点进行汇总介绍，帮助读者更好地理解和应用行列式。
1. 行列式的定义行列式是一个用来对方阵进行运算的函数。
对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算通常通过对方阵进行按行展开或按列展开的方式来进行，根据展开的元素进行递归计算。
2. 行列式的性质行列式具有以下性质：- 性质1：互换行（列）会改变行列式的符号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示通过互换A的两行（两列）得到的新方阵。
- 性质2：如果行（列）中有零元素，则行列式的值为0。
- 性质3：行（列）成比例，则行列式的值为0。
- 性质4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以k，等价于行列式乘以k。
- 性质5：若A的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可以分解为两个行列式的和。
- 性质6：若A的某一行（列）元素都是两数之差，则行列式可以分解为两个行列式的差。
3. 行列式的计算方法行列式的计算可以根据方阵的阶数和具体性质来选择不同的方法，主要有以下几种方法：- 按行（列）展开法：通过按行（列）展开元素，并对展开的结果进行递归计算。
- 初等行变换法：通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角矩阵，再利用三角矩阵行列式的计算公式求解。
- 对角线法则：将方阵按对角线划分为若干小方阵，利用小方阵行列式的性质求解。
4. 行列式的重要应用行列式在线性代数中有广泛的应用，下面介绍几个重要的应用：- 线性方程组的求解：利用行列式可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷解，并可以通过克拉默法则求解方程组。
- 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为0，则A可逆，且可以通过行列式求解矩阵的逆。
- 特征值和特征向量：方阵A的特征值为使得det(A-λI)=0成立的λ值，其中I为单位矩阵。
行列式的认识
行列式的认识行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。
本文将介绍行列式的概念、性质和计算方法，并探讨其在代数学和几何学中的应用。
一、行列式的定义行列式是一个标量，通常用竖线或方括号表示。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、|A|或[A]，定义如下：det(A) = a11*a22*a33...ann - a11*a23*a32...ann-1n +a11*a24*a42...ann-1n-1 - ... - a1n*a2n-1*a3n-2...a(n-1)(n-1)其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
在该定义中，n阶方阵A被展开成n!个乘积的和，这些乘积称为行列式的项。
二、行列式的性质1. 互换行列式的两行（列），其值不变。
2. 行（列）成比例，行列式的值为0。
3. 行列式中某行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，其值不变。
4. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
5. 若矩阵A可逆，则其行列式不为0。
三、行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按行或列展开法。
1. 按第一行（列）展开：根据定义展开第一行（列）的各个元素乘以其代数余子式，并与其对应符号相乘后求和。
2. 代数余子式求和：对于n阶方阵A的元素aij，其代数余子式定义为Aij = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij为A去掉第i行第j列后所形成的(n-1)阶方阵。
行列式的值可以通过对A的一行（列）元素与其代数余子式相乘求和得到。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
若det(A)≠0，则方程组存在唯一解；若det(A)=0，则方程组可能无解或有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性：对于n阶方阵A，若det(A)≠0，则A可逆；若det(A)=0，则A不可逆。
3. 判断向量组的线性相关性：给定一组向量v1，v2，...，vn，将其排列成矩阵A=[v1, v2, ..., vn]。
行列式的基本概念
行列式的基本概念===========行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个由矩阵元素构成的数学表达式。
本篇文章将详细介绍行列式的定义、性质、运算、应用、发展历程、相关问题与技巧以及在数学中的地位与价值。
1. 行列式的定义--------行列式是由一个方阵的元素构成的数学表达式。
它可以看作是矩阵的一种性质，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
行列式的定义如下：设A是一个n阶方阵，即A是一个n行n列的矩阵，A的行列式记作det(A)，并且满足以下性质：1. 交换律：det(A)=det(AT)，其中AT为A的转置矩阵。
2. 结合律：对于任意的常数k，det(kA)=k^n * det(A)。
3. 单位元：当A为n阶单位矩阵I时，det(I)=1。
2. 行列式的性质--------行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A中有两行或两列相等，则det(A)=0。
2. 如果矩阵A是一个对称矩阵，那么它的行列式等于它的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。
即det(A)=a11*a22*...*ann - a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。
3. 如果矩阵A是一个埃尔米特矩阵（即AT=A），那么它的行列式等于它的特征值的乘积。
即det(A)=a11*a22*...*ann * a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。
4. 如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么它的行列式不等于零。
即det(A)!=0。
5. 如果矩阵A是一个正定矩阵，那么它的行列式大于零。
即det(A)>0。
6. 如果矩阵A是一个负定矩阵，那么它的行列式小于零。
即det(A)<0。
7. 如果矩阵A是一个半正定矩阵，那么它的行列式大于等于零。
即det(A)>=0。
8. 如果矩阵A是一个半负定矩阵，那么它的行列式小于等于零。
即det(A)<=0。
初中行列式的基本概念知识点
初中行列式的基本概念知识点行列式是线性代数中的一个重要概念，也是初中数学学科中的一部分内容。
本文将介绍初中行列式的基本概念和知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握行列式的概念。
一、行列式的定义行列式是一个数学运算符号，用于将一个方阵转换成一个数。
对于一个n阶的方阵A(a_ij)，其行列式记作|A|或det(A)。
其中，a_ij表示A 矩阵中第i行第j列的元素。
例如，对于一个2阶矩阵A：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21。
二、行列式的性质行列式具有一些特殊的性质，可以用于简化运算或推导其他性质。
以下是行列式常用的性质：1. 交换行列式的两行（列），行列式的值不变。
2. 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
3. 行列式的某一行（列）的倍数取出来，行列式的值也要相应除以这个倍数。
4. 行列式的某一行（列）的倍数和另一行（列）的组合，等于这个行列式中对应位置元素的代数余子式乘以另一行（列）对应位置的元素之和。
三、行列式的计算方法初中阶段，我们主要关注2阶和3阶方阵的行列式计算。
对于2阶矩阵，行列式的计算方法已经在行列式的定义中给出。
对于3阶矩阵，行列式的计算方法有两种常用的形式：1. 代数余子式法：将3阶矩阵中的每个元素分别作为一个2阶矩阵，计算出每个2阶矩阵的行列式值，再按照符号规律相加减得到行列式的值。
2. 公式法：使用公式法计算3阶矩阵的行列式，可以简化计算过程。
公式如下：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32- a31 * a22 * a13 - a32 * a23 * a11 - a33 * a21 * a12四、行列式的应用行列式是线性代数中的重要概念，也有很多实际的应用。
以下是一些行列式在实际问题中的应用：1. 判断线性方程组的解的情况：对于一个n个未知量的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为0，则该线性方程组有唯一解。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它将一个方阵与一个实数相关联。
行列式有广泛的应用，例如求解线性方程组、计算逆矩阵、求解二次方程等。
本文将介绍行列式的一般定义和计算方法。
1.行列式的一般定义设A是一个n阶方阵，其中有n行n列。
对于n=1的情况，行列式即为该方阵中唯一的元素。
行列式的定义可以通过代数余子式和代数余子式的代数化简方式来推导得到。
1.1代数余子式对于 n 阶矩阵 A = [a_{ij}]，我们可以通过去掉 A 中的第 i 行和第 j 列来得到一个新的矩阵 A_{ij}，它的阶数为 (n-1) 阶。
则称A_{ij} 的行列式为元素 a_{ij} 的代数余子式，记作 M_{ij}。
1.2代数余子式的代数化简代数余子式 M_{ij} 和元素 a_{ij} 之间的关系可以通过递归的方式进行定义。
假设 A 是一个 n 阶矩阵：M_{ij} = （-1）^{i+j} * det(A_{ij})其中，A_{ij} 是去掉 A 中第 i 行和第 j 列所得到的 (n-1) 阶矩阵。
当 n=1 时，代数余子式即为该方阵中唯一的元素。
2.行列式的计算方法行列式有多种计算方法，包括拉普拉斯展开法、三角行列式法和按行（列）展开法等。
2.1拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是最常用的计算行列式的方法之一、通过选择一行（列）展开计算，可以将一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式的代数和。
例如计算一个3阶行列式：abcdefghi选择第一行展开，可以得到：det(A) = a * det(A_{11}) - b * det(A_{12}) + c * det(A_{13})其中，A_{11}、A_{12}和A_{13}是去掉A的第一行所得的子矩阵。
2.2三角行列式法三角行列式法是计算行列式的另一种常用方法，通过将一个n阶行列式转化为三角形矩阵的行列式来计算。
例如计算一个3阶行列式：abc0ef00i可以发现，该矩阵是一个上三角形矩阵，对角线以下的元素全为0。
行列式的概念与计算
行列式的概念与计算行列式是线性代数中一种重要的概念。
它可以用来描述线性变换对于向量空间的影响，也是求解线性方程组的基本方法之一。
本文将介绍行列式的概念与计算方法。
一、行列式的概念行列式是由元素构成的一个二阶矩阵，表示为|A|。
其中，A是一个n阶方阵，n≥2。
行列式的值是一个实数，用det(A)表示。
行列式的计算需要用到某种特定的排列求和方式，这种排列被称为置换。
设有n个元素，它们可以组成n!种排列。
用S(n)表示这些排列的全体。
如果有一个排列σ={(1,i1),(2,i2),…,(n,in)}，其中1≤i1,i2,…,in≤n且不同，则称σ是n个元素的一个置换。
每个置换都有一个符号，用sgn(σ)表示。
对于一个n阶方阵A，我们可以将它的行列式表示为：|A|=∑σ∈S(n)sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)其中，a1σ(1)表示A的第1行第σ(1)列的元素；a2σ(2)表示A 的第2行第σ(2)列的元素，以此类推。
由于每个排列σ都会贡献一个符号sgn(σ)，因此行列式的值是对各种排列的元素积求和的结果。
二、行列式的计算方法2.1 二阶行列式二阶行列式是最简单的情况，由一个2×2矩阵构成。
设A=[aij]是一个2×2矩阵，则它的行列式表示为：|A|=a11a22−a12a21这个公式可以通过我们之前介绍的方法直接计算得出。
2.2 三阶行列式三阶行列式是由一个3×3矩阵构成的行列式。
设A=[aij]是一个3×3矩阵，则它的行列式表示为：|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a3 3a21a12这个公式可以通过三阶行列式的定义直接计算得出，也可以用高斯消元法或其他适当的方法计算得出。
2.3 高阶行列式对于高阶行列式，计算就要更加复杂。
一般情况下，我们会采用行列式的性质来简化计算。
行列式的定义是什么
行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。
行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。
对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。
2阶： 3阶：。
但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。
二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。
两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。
并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。
行列式是一个双线性映射。
三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。
三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。
同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。
基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。
这并不是说平行六面体的体积不唯一。
恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。
可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。
也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。
线性代数1.行列式定义与性质
ai1
ai 2
ain
a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0, j s.
ak1 ak 2
akn
证 把行列式 D按第 j 行展开，有 an1 an2
例如
2 3 5 1 2 2 624
A23 1 23 M23
2
6
3 2
14
8
于是：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12 A12 a13 A13
0___k___1____1___0
0
00k2 0 0 k2 0
k 2 (k 1)(k2 4)
2k
002k 0 0 2k
所以，D=0的充要条件是 k 1 或 k 2
27
定理
n 阶行列式的任一行（列）各元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a11
a12
a1 n
ai1Ak1 ai2 Ak2 ain Akn 0, i k.
a11
证明： D
as1
at 1
an1
a12
as2
at 2
an2
a1n
a11
a12
asn
rs krt
as1 kat1
as2 kat2
atn
at1
at 2
ann
an1
an 2
a1n asn katn
行列式的三种定义
行列式的三种定义
行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它在线性代数、微积分、微分方程等数学领域中都有广泛的应用。
行列式的概念可以通过三种不同的方式进行定义。
第一种定义是代数定义，即行列式是一个多项式，它的系数是矩阵中不同行不同列元素的乘积。
例如，一个2×2矩阵的行列式可以表示为(ad-bc)。
这种定义方法可以通过展开式来计算行列式的值。
第二种定义是几何定义，即行列式表示由矩阵列向量组成的平行六面体的有向体积。
例如，一个2×2矩阵的行列式可以表示为由列向量组成的平行四边形的面积。
这种定义方法非常直观，也可以用来解释行列式的一些性质。
第三种定义是线性映射定义，即行列式是一个线性映射对空间体积的缩放因子。
例如，一个2×2矩阵的行列式表示由线性映射所作用的空间体积的缩放因子。
这种定义方法适用于更高维的矩阵，也可以解释为行列式的性质。
这三种定义方法可以互相转化，可以根据具体情况选择不同的定义方法来计算行列式的值。
在实际应用中，三种定义方法都有其独特的优势。
- 1 -。
线性代数(经管类)讲义
高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
例如）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
线性代数§1.1 行列式的定义
21 D2 x2 3. D 7
13
类似地, 为讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
引进记号
3 1 1 2 5 2 3
.
x 2. 2
3 1 1 解得 x = 4. 故当 x = 4时, 行列式 2 5 x 2. 2 3 2
解 由行列式的定义，有 3 1 1 2 5 x 3 5 2 2 3 (1)＋2 1 x (1) 5 2 x 3 3 2 1 2 2 3 2 = 30－7x = 2,
a1 j1 a2 j2 a3 j3
31
即其中每一项都是取自不同行、不同列的3个元素的 乘积. 其中 j1 j2 j3 是123的一个排列，共有 3! = 6项. 2. 展开式中每一项都带有符号. 当 j1 j2 j3 是偶排列时, 项 a1 j1 a2 j2 a3 j3 取正号; 当 j1 j2 j3 是奇排列时, 项
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 , a31 b3 a33
则三元线性方程组的解为
a11 D3 a21 a31
a12 a22 a32
b1 b2 . b3
D1 x1 , D
D2 x2 , D
D3 x3 . D
20
例2 计算行列式
2 1 1
.
0 4 8
1 1 . 3
列标 行标
对角线法则
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
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[线性代数]第一章行列式1 二阶与三阶行列式的引入2n阶行列式的定义3行列式的性质4余子式与代数余子式5行列式的展开定理6线性方程组的Gramer 法则7典型例题回顾用消元法解二元线性方程组:⎩⎨⎧=+=+,,22221211212111b x a x a b x a x a :2x 消去◇二阶行列式2122211211b b a a a a ,)(212221*********b a a b x a a a a -=-:1x 消去,)(211211*********a b b a x a a a a -=-时，当021122211≠-a a a a ，211222112122211a a a a b a a b x --=.211222112112112a a a a a b b a x --=1.二阶与三阶行列式的引入22211211a a a a [定义1]22211211a a a a 21122211a a a a -=:记号主对角线副对角线[二阶行列式计算:对角线法则]2211a a =2112a a -22211211a a a a :224列的数表行个数排成设有，211222112122211a a a a b a a b x --=.211222112112112a a a a a b b a x --=21122211a a a a -代数式称为该数表所确定的二阶行列式.,22211211a a a a D =⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组:[系数行列式][二元方程组的Gramer 法则]⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =,2221211a b a b D =⇒211222112122211a a a a b a a b x --=DD x 11=⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =.2211112b a b a D =⇒.211222112112112a a a a a b b a x --=⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =,2221211a b a b D =⇒DD x 11=DD x 22=,2DD =,1D D =211222112122211a a a a b a a b x --=211222112112112a a a a a b b a x --=⎪⎩⎪⎨⎧,021122211时当≠-=a a a a D :方程组有唯一解⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组:,,22211211a a a a D =其中,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =,,2211D D x D D x ==,021122211时当≠-=a a a a D :方程组有唯一解⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组:,,22211211a a a a D =其中,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =,2,1,==i D D x ii ,021122211时当≠-=a a a a D :方程组有唯一解⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组:,,22211211a a a a D =其中,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =⎩⎨⎧=+=-.12,12232121x x x x 解1223-=D ,07≠=112121-=D ,14=121232=D ,21-=D D x 11=,2714==D D x 22=.3721-=-=于是[例1]:求解二元线性方程组◇三阶行列式⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 321333231232221131211b b b a a a a a a a a a 用消元法解二元线性方程组:通过两次消元可解得:,11DD x ==D 11a 32a 2312a a +21a 13a +3322a a 31a 21a 33a 12a -3223a a -2213a a -11a 31a =1D 1b 32a 2312a a +2b 13a +3322a a 3b 33a 12a -3223a a -2213a a -1b 2b 3b[定义2]333231232221131211a a a a a a a a a 312213332112322311312312322113332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a 称为上述数表所确定的三阶行列式.:339列的数表行个数排成设有代数式=D 11a 32a 2312a a +21a 13a +3322a a 31a 21a 33a 12a -3223a a -2213a a -11a 31a[三阶行列式的计算: 对角线法则]特别注意对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．332211a a a =.322311a a a -322113a a a +312312a a a +312213a a a -332112a a a -333231232221131211a a a a a a a a a [例]243122421----=D )3(12-⨯⨯+.14-=)2(21-⨯⨯=)4(4)2(-⨯⨯-+)3(2)4(-⨯⨯--)2()2(2-⨯-⨯-411⨯⨯-[三元方程组的Gramer 法则],0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D 则三元线性方程组的解为:,)3,2,1(==i DD x ii ,3332323222131211a a b a a b a a b D =如果三元方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,,b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的系数行列式,3333123221131112a b a a b a a b a D =.3323122221112113b a a b a a b a a D =其中解则设,)(2c bx ax x f ++=,0)1(=++=c b a f ,324)2(=++=c b a f ,2839)3(=+-=-c b a f .28)3(,3)2(,0)1(=-==f f f 使求一个二次多项式),(x f [例2]⎪⎩⎪⎨⎧,20139124111-=-=D ,4013281231101-=-=D ,2028393240113-=-=D ,6012891341012==D,20139124111-=-=D ,4013281231101-=-=D ,2028393240113-=-=D ,6012891341012==D 由Gramer 法则得,21==DD a ,32-==D D b ,13==D D c 故所求多项式为.132)(2+-+=x x x f我们的问题元方程组对于n ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1) 是否也有如此结构简洁的求解公式？是什么？如有i ii D D n i DD x ,,),,2,1()2( ==线性代数严钦容的线性代数课件仅用于网络课堂例排列32514 中，[定义1]n 个不同的自然数, 规定由小到大为标准次序.◇排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序则称这若中在一个排列,,)(21s t n s t i i i i i i i 两个数构成一个.逆序2. n 阶行列式的定义[定义2]一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数.[例]排列32514 的逆序数.3 2 5 1 4122:)(21的逆序数记为排列n j j j )32514(τ）（n j j j 21τ逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列..500212=++++=奇排列333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---◇三阶行列式展开式的规律,321321j j j a a a 213132321321j j j 312231123321j j j +符号：-符号：展开式的一般项为个全排列：的项的列标63,2,1)(6321正好取遍j j j )(321j j j τ)(321j j j τ022311偶排列奇排列∑=)(321333231232221131211321321j j j j j j a a a a a a a a a a a a )(321)1(j j j τ-,321321j j j a a a 213132321321j j j 312231123321j j j +符号：-符号：展开式的一般项为个全排列：的项的列标63,2,1)(6321正好取遍j j j )(321j j j τ)(321j j j τ022311偶排列奇排列不同行阶行列式等于所有取自个数组成的由n n 2[定义3]).det(ij a 简记为元．的称为行列式数),(j i D a ij .)1()(21)(12121∑-n nn j j nj j j j j j a a a τnnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=记作◇n 阶行列式的定义特别：一阶行列式aa =:个元素的乘积的代数和不同列的n[关于定义的说明]○行列式是一种特定的算式,代表一个数○n阶行列式是n!项的代数和○每项都是位于不同行不同列n个元素的乘积∑-=)(21)(12121)1(nnniiniiiii i aaaDτ○行列式的等价定义:∑-=)(21)(12121)1(nnnjjnjjjjjj aaaDτ对比[例1]计算上三角行列式:.00022211211nnnn a a a a a a D=,,2121中在于是nnj j j a a a ,0,才可能不为时当ij a i j ≥解,0,,2,121时才可能不为仅当n j j j n ≥≥≥ ,从而仅当()nn n a a a D 221112)1(τ-=.2211nn a a a =由定义,0,,2,1212121才可能不为时n nj j j n a a a n j j j ===nnλλλλλλ2121=对角行列式：nn nnnn a a a a a a a a a221122211211000=nnnnn n a a a a a a a a a 221121222111000[例2]计算行列式:4003002001000=D .43214321j j j j a a a a D 的展开式的一般项为则,0,4111=≠j a j 时当,41只能等于所以j ,1,2,3432===j j j 解,41322314a a a a 只有即行列式中不为零的项()4321)1(4321⋅⋅⋅-=τD .24=从而,0否则该项为,)(44⨯=ij a D 记同理可得()nn n nλλλλλλ212121)1(--=[公式: 反对角行列式]解的有两项：含有3x 44332211)1234()1(a a a a τ-,221)1(3x x x x -=⋅⋅⋅-=.13-的系数为故x ()433422111243)1(a a a a τ-,13x x x x =⋅⋅⋅=[例1]求多项式1211123111211)(x x x x x f -=.3的系数中x线性代数严钦容的线性代数课件仅用于网络课堂。