数学苏海涛解题方法突破构造辅助线第十五讲构造等腰(等边三角形汇编

合集下载

构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。

在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。

那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。

1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。

△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.）[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。

证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中*∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。

2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。

△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB.[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。

证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2…∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。

3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。

初中数学三角形辅助线技巧

初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。

以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。

2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。

3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。

4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。

5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。

6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。

7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。

8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。

以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。

在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。

解题方法突破构造辅助线第十五讲构造等腰(等边)三角形

（3）若 BAC ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系.
【解析】（1） DB 2DC （2） DB 2DC
证明：过点 C 作 CF P BE 交 AD 的延长线于点 F , 在 AD 上取点 G 使得 CG CF ，∴ 6 F 7 ∵ BED 2CED BAC 60 ，∴ 6 F 60 ， CED 30
（3）若 BAC ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系.
解题技巧
根据题目条件及图形特征：符合等腰三角形特征（特殊度数的角或边等的特征）、等边三角形的特征
（60°角等）
添加辅助线：构造等腰三角形（等边三角形）
利用等腰、等边定义性质得到结论
（全等三角形性质、角平分线性质、等边对等角、线段垂直平
BE BE
例 2．在△ ABC 中，AB AC , D 是底边 BC 上一点，E 是线段 AD 上一点，且 BED 2CED BAC ．
（1）如图 1，若 BAC 90，猜想 DB 与 DC 的数量关系为
；
（2）如图 2，若 BAC 60，猜想 DB 与 DC 的数量关系，并证明你的结论；
例 3．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB 于点 E．
【解析】（3）结论：AD = DG－DN．理由如下：
构造等腰(等边）三角形
直击中考
例：在△ ABC 中，AB AC , D 是底边 BC 上一点，E 是线段 AD 上一点，且BED 2CED BAC ．
（1）如图 1，若 BAC 90，猜想 DB 与 DC 的数量关系为
；
（2）如图 2，若 BAC 60，猜想 DB 与 DC 的数量关系例1．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之．

八年级数学三角形全等辅助线构造总结

三角形全等辅助线构造总结当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转旋转后的图形分析：1、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析板块一、常见旋转相关模型一、邻补模型（∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB）条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。

常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AC平分∠BCD2、AC CD BC 2=+ ②60°相关结论：1、AC 平分∠BCD 2、AC CD BC =+ ③120°相关结论：1、AC 平分∠BCD 2、AC CD BC 3=+补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断变式、不完整的邻补模型条件构成：有邻边相等或者对角互补，角平分线条件改成其中一个半角知道度数常见结论：与邻补模型一样解题方法：利用已知角构造等腰三角形得到手拉手全等二、邻八模型（∠CAD=∠CDB，AB=AC）条件构成：邻边相等、八字形、等腰三角形顶角为特殊角常见结论：1、外角平分线；2、线段的和差倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AD 为外角平分线 2、AD BD CD 2=-②120°相关结论：1、AD 为外角平分线2、AD BD CD 3=-变式、不完整的邻八模型条件构成：有邻边相等或者八字形，角平分线条件改成知道部分角度常见结论：与邻补模型一样解题方法：利用已知角构造等腰三角形得到手拉手全等④一般角时（∠ADC=∠ABC）（∠ADB+∠ABC=180°）注：当等腰三角形不为等腰直角三角形或等边三角形时，利用作垂和翻折构造等腰三角形，如上第二图中，可过A 作DC 垂线，垂足F ，然后找E 使DF=EF ，连接则可得到目标等腰三角形三、等腰直角三角形相关旋转模型1、条件构成：△ABC 为等腰直角三角形，D 为直线BC 上任意一点常见结论：2222AD CD BD =+解题思路：构造旋转全等补充说明：2、夹半角模型条件构成：△ABC 是等腰直角三角形，且∠DAE 为45°或135°角常见结论：222DE CE BD =+解题思路：构造旋转全等，证两次全等补充说明：1、以上半角模型的辅助线构造思路都是将△ABD 绕A 逆时针转90°，先后证明AFE ADE ACF ABD ∆≅∆∆≅∆,，再用勾股得到结论2、120°等腰三角形相关夹半角也有类似解法，但结论不同，需要用到解三角形四、对角互余模型（BA=BC,∠BAC+∠BDC=90°） ①等边三角形结论：222AD CD BD =+②等腰直角三角形结论：222BD=+2ADCD③120°等腰三角形结论：222+BD=CD3AD变式：向内时（∠ADC减等腰三角形底角=90°）结论：与相应对角互余模型相同一、拓展一：等腰+对角和为特殊角模型特点：四边形由一个顶角为特殊角的等腰三角形和一个任意三角形构成，其中一组对角和为特殊角。

等腰三角形的常用辅助线

等腰三角形的常用辅助线等腰三角形的常用辅助线，这个话题一说到，很多小伙伴可能会皱起眉头，觉得“哎呀，又是数学的那些东西”！其实呢，没那么复杂，只要把它看成一块小蛋糕，我们就能轻松地吃掉它。

等腰三角形，顾名思义，就是两条边相等的三角形。

它的特性呢，大家都知道，底边两侧的角度相等。

可是呀，单纯的等腰三角形有时候看着不太显眼，搞不好就会错过一些隐藏的“玄机”。

这个时候，辅助线就派上用场了。

你可别小看这些不起眼的辅助线，它们可真是神奇的工具，让我们在解题时游刃有余。

那这些辅助线到底有哪些呢？今天我们就来聊聊这个。

最常见的辅助线，就是垂直平分线。

哎呀，这个名字一听就有点严肃是不是？不过其实呢，它就是把等腰三角形的底边“砍”成两段一样长的线。

如果你仔细看看，垂直平分线还跟三角形的顶点连在一起，那是有多神奇！它不仅能把底边分成两段一样长的部分，还能让顶点到这条线的距离是最短的。

更妙的是，它还能帮助你把三角形分割成两个完全对称的小三角形，哇，简直是像拆解拼图一样，一块一块的弄清楚，结果一下子问题就解决了。

所以啊，碰到等腰三角形，想要对称性好一点，垂直平分线一定得用起来！然后，还有个很重要的辅助线，那就是角平分线。

角平分线啊，说白了，就是把三角形的一个角一分为二，把两边分成对称的部分。

好家伙，你看，这个角平分线的作用可大了。

它不仅能帮助你把角度弄清楚，还能直接给出一些相等的比值。

简直是无敌的“妙招”，解题时能带来不小的帮助。

你知道吗？有时候你在一个等腰三角形里，角平分线不仅能告诉你角度之间的关系，还能帮助你计算一些线段的长度。

不管是在解几何题目，还是在日常的数学练习中，这个“神器”都能让你快速抓住关键，给出精准的答案。

所以呢，如果你遇到需要计算比例关系的题目，角平分线就是你最好的朋友。

不过，别以为只有垂直平分线和角平分线才厉害，还有一个秘密武器叫做中线。

中线呢，就是从顶点往下拉，连接底边的中点。

看起来像是个平凡无奇的小线段，可实际上它的功能不容小觑。

初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

例2．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD图1-2DBC图1-4C分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。

近而证∠A DC 与∠B 之和为平角。

例2．已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练

初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练初中数学：有关三角形的辅助线方法归纳，共是19种类型，结合例题实战演练，适合想要提升自己解题能力的同学。

辅助线的使用对大部分初中同学来说是难以逾越的一条鸿沟，难度大，无从下手已经成为常态，今天唐老师带大家一起搞定三角形有关的辅助线使用方法。

第一类型：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可以连接两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证明。

第二类型：在利用三角形的外角大于任何不相邻的内角证明角的不等关系时，如果证不出来，就连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处于内角的位置上，再利用外角定理证明。

第三类型：有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。

第四种类型：有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。

第五类型：在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。

第六种类型：截长补短作辅助线的方法。

其实这个很好理解的，截长表示在较长的线段上截取与较短线段相等长度的线段，反之补短则是通过延长较短线段与已知较长线段相等的方法。

总之截长补短的方法的使用还是要看具体的情况而定，唐老师在这只是给大家提出解决问题的具体方法，大家可以顺着这个思路看看下面的例题，然后找相同类型的题进行练习。

只有熟练运用这个方法，才能在考试的做题中自由发挥。

反之，没有深刻的理解和熟练的运用，遇到题目时，总感觉自己很乏力，没有做题的思路，甚至都找不到突破口。

对于大部分的同学来说，解难题已经很困难了，要是遇到需要做辅助线才能完成的题目，那将更是雪上加霜了。

第七类型：条件不足时，延长已知边构造三角形。

第八类型：连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。

解题的方法并不是唯一的，但适时地打开思维，找到解题的突破口那将是变化多端。

第九类型：有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

三角形辅助线总结及口诀要点

三角形作辅助性方法大全口诀：总则：{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。

{3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。

等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形，原顶角是新底角的二倍，新底边垂直原底边。

{4}2、求角大小，需构造出有数值的角；两角做比较，连点延边构三角，大外小找中介；相等角，等腰、对顶、平行、同余和同补；给出二倍角，构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以。

{3}3、两线做比较，截长补短可求证。

特殊角求三边，带平方都要用直角三角形。

三角形构四边，四边周长小于三角形周长；。

{3}4、角分线，到边距离相等经常用，也可两边截等段；三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等，三角形角平分线交予一点，且到三边距离相等。

平行线间角分线的交点一定是中点(见后){2}5、中线，倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段；{1}6垂分线上点连线段端点有帮助；{3}7、多边变身三角形，延两边、连对角、连顶点；如图，AE\AD是角分线，AB//DC.E一定是bc中点Bc为任意线段一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

1、三线合一例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE = DF 证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ，求证：EF ⊥BC2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，∠NDE = ∠E ，∵AB = AC ， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF（证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B （过程略）引入：如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行(,端点除外),设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是( ) A 、d ＞h B 、d ＜h C 、d ＝hFE D C B A21NF E D C B A 21M F ED C B AD、无法确定三种方法1.过点P做底边的平行线利用等边三角形三条高相等2.连接B、P，将大三角形转换为两个小三角形，并利用三角形面积公式。

初中数学等腰三角形,7种常用辅助线的添加方法,技巧归纳专题

初中数学等腰三角形，7种常用辅助线的添加方法，技巧归纳专
题
初中数学：等腰三角形，7种常用辅助线的添加方法，技巧归纳专题 -
八年级数学，等腰三角形和等边三角形是几何试题中最常见的考查要素之一。

时间过得真快，转眼又到周末。

这个周末，和大家一起分享，这套《技巧专题，等腰三角形，7种常用辅助线添加方法》，一起讲一些简单的技巧招式归纳在一起，助力练就解题神功。

前面有9个例子，有详细的分析步骤。

课后练习10个，暂时没有打和分析过程。

这些问题并不难。

你可以把它们打印下来，适当地研究一下。

方法一。

三线融合法。

三条线的组合是等腰三角形的一个非常重要的性质，也是一个非常基本的性质定理。

方法二。

用一条腰的平行线构成一个等腰三角形。

方法三，取长补短，构造等腰三角形。

截取互补，三角形解题技巧中很常见的一种添加辅助线的方法。

方法四。

在证明存在与底部相关的线段时，通常是与底部平行的直线。

这个例子不是一个好主意。

当然，用切掉长点的方法更容易互补。

方法五。

双倍长度中线法。

在三角题型中，当我们遇到中线时，要经常思考是否可以用中线翻倍的方法。

方法六。

以底边或腰为边做一个等边三角形，这样会有三角形的全等。

这种方法在解决某些求角问题时非常实用。

这个例子后面有一个类比，可以试试。

方法七，旋转。

说到等腰三角形，就必须提到旋转的方法。

换句话说，任何与旋转有关的东西都应该有一个等腰元素。

中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线

解等腰三角形问题时常用的辅助线等腰三角形是平面几何中的一种重要图形，等腰三角形问题大多需要添加适当的辅助线．下面谈谈等腰三角形问题中的几种常用的辅助线.一、作底边上的中线或高或顶角的平分线例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E,F分别在AB.AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．分析由点D是等腰三角形底边BC的中点，容易联想作底边上的中线，利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明．证明如图1，连接AD．∵AB＝AC，∠A＝900，∴∠B＝∠C＝45°．∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．∴AD＝CD．又AE＝CF，∴△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形．二、作腰或底的平行线例2 如图2，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，判断△ADE的形状，并证明你的结论．分析猜想△ADE是等边三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要证DE＝AD，可先证DE所在的△DEC与AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，∠ADB<120°，显然两个三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，所以可以尝试在大△ABD中截出一个三角形和△DEC全等．过点D作DG∥AC，则可达到目的．解△ADE是等边三角形．如图2，过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．∴△ADE是等边三角形．三、作以底或腰为边的等边三角形例3如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，点P为三角形内一点，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度数．分析由图中的40°＋20°＝60°，联想到等边三角形．于是以某一边为边作等边三角形．如图3，以等腰△CAP的底AP为边在点C一侧作等边△APD，连接CD，则AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．注：例3还有以下作等边三角形的方法．①以底BC为边在点A一侧作等边△BCD，连接AD；②以腰AC为边在点B－侧作等边△ACD，连接BD．以等腰三角形的底或腰为边作等边三角形是常用的辅助线，练习中的第3题也可以用这两种方法求解．四、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例4如图4，在△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC．求证：PC>PB．分析要证PC>PB，自然想到证∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>∠APC”这个条件用不上，所以将∠APB所在的△ABP绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合．证明设∠BAC＝n°．如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转n°，得△ACQ，连接PQ．则。

苏科版九年级数学上册：构造辅助圆巧解三角形问题

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯构造辅助圆巧解三角形问题在解决三角形相关问题时，有时常规方法求解难度大，技巧性强，且不易奏效，但若能针对题目的本质特征，恰当地构造辅助圆，巧妙地运用圆的有关知识，则可起到化隐为显、化难为易、化繁为简的作用，使复杂的问题迎刃而解．下面结合实例谈谈构造辅助圆在巧解三角形问题中的应用，希望给大家以启示，一、构造辅助圆求三角形的面积例1 如图l ，已知AB=AC=BC=AD ，AE 平分∠CAD ，CE ⊥BC ，AE =3，BD =5，则ABC S ∆=__________.解 AB=AC=AD ，∴点B 、C 、D 在以A 为圆心， AB 为半径的圆上(如图1). CE ⊥BC ，∠ACB=60°，∴∠ACE=30°.又 ∠BDC=21∠BAC=30°， ∴∠ACE=∠BDC. AE 平分∠CAD ，∴∠CAE=21∠CAD∠DBC=21∠CAD ， ∠CAE=∠DBC ，△ACE ∽△BDC ， BCAEBD AC =∴ AC=BC ，BD AE BC ⋅=∴2． ABC S ∆=243BC ，∴ABC S ∆=341543=⋅BD AE . 评注本题主要考查了圆的性质、相似三角形的性质与判定以及三角形的面积公式．由条件AB=AC=AD ．自然联想到构造辅助圆⊙A ，从而得到∠BDC=30°，其中由△ACE∽△BDC 得出BC 2 = BD AE ⋅是求解的关键．二、构造辅助圆求三角形的内角例2 如图2，已知AD 、AE 、AM 分别为△ABC 的BC 边上的高、角平分线、中线，且∠1=∠2，则∠BAC=____°．解作△ABC 的外接圆交AE 延长线于点N ，连结MN ，BN ，CN.∠BAE=∠CAE ， ∴BN ⌒ =CN ⌒ ，则BN=CN.又 MB=MC ，∴MN ⊥BC ．而 AD ⊥BC ，∴MN ∥AD ，于是∠ANM=∠l=∠2，故MA=MN.∴点M 是弦BC 、AN 的中垂线的交点，即M 为圆心．又BC 为直径，∴∠BAC=90°.评注此题若直接求∠BAC 的度数很难达到目的，而通过构造△ABC 的外接圆之后，可充分利用等腰三角形及圆的相关性质，说明点M 是外接圆的圆心，又因BC 为直径，从而得出∠BAC=90°，问题得以巧妙解决．三、构造辅助圆求三角形的高例3 如图3，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACB=45°，AD =2，BD =3，求CD 的长．解作△ABC 的外接圆⊙O ，连结AO ，BO ，CO. 过点D 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ．∠ACB=45°， ∴∠AOB=90°， ∴△AOB 是等腰直角三角形.AB=AD+BD=5，∴OC=OB=225，OE=DF=25．又 DE=AE - AD=21，∴OF=21．在Rt △COF 中，由勾股定理，得CF=27，∴CD=CF+DF=6．评注由于AB 的长及∠ACB=45°是确定的，可联想构造出△ABC 的外接圆⊙O ．于是得到△AOB 是等腰直角三角形，再利用勾股定理问题便得以顺利解决，当然本题还有其它解法，其中构造辅助圆应是一种比较巧妙的解法．四、构造辅助圆求三角形的边长例4 知图4，已知1⎰，2⎰，3⎰同一平面内的三条平行直线，1⎰与2⎰的距离是l ，2⎰与3⎰的距离是2，等边△ABC 的三个顶点分别在1⎰，2⎰，3⎰上，则等边△ABC 的边长为______。

数学解题方法突破构造辅助线第十五讲构造等腰(等边)三角形

A．51
B．70
C．76
D．81
【解析】设棋子的颗粒 y 与次序 x 之间的关系为： y ax 2 bx c
例3．已知 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 ，求A、B的值.
x3
A
B
【解题秘籍】
待定系数法（上）
讲师：王保爱
直击中考
A．（45，77） C．（32，46）
（1）如图 1，若 BAC 90 ，猜想 DB 与 DC 的数量关系为（3）若 BAC ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系.
；
（2）如图 2，若 BAC 60 ，猜想 DB 与 DC 的数量关系，并证明你的结论；
【解析】（1） DB 2 DC （2） DB 2 DC 证明：过点 C 作 CF
BE 交 AD 的延长线于点 F ,
在 AD 上取点 G 使得 CG CF ，∴ 6 F 7 ∵ BED 2CED BAC 60 ，∴ 6 F 60 ， CED 30
例 3．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，∠A=30° ，BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB 于点 E．
B．（45，39） D．（32，23）
A．502
B．503
C．504
D．505
A．51
B．70
C．76
D．81
解题技巧
常用方法
比较系数法
代入特殊值法
比较系数法
通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解．例如：已知x23=(1A) x2＋Bx＋C，求A，B，C的值，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值（这里的A，B， C就是有待于确定的系数）．

八年级数学上册【等腰三角形】辅助线的作法,3大类型复习必看!

八年级数学上册【等腰三角形】辅助线的作法，3大类型复习必看！一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝4.2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，AE=AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.3、如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝1/2AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.二、构造等腰三角形4、如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(B)A．3B．4C．5D．5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE ⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.∴EM＝EC＝1/2MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.类型二：6、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F 分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.证明：连接CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.类型三：7、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC ＝AB＋CD.证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝1/2×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8、如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD ＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝1/2AF＋1/2CF＝1/2AC.又∵AC＝1，∴DE＝1/2.。

数学苏海涛解题方法突破构造辅助线第十五讲构造等腰(等边)三角形

（3）若 BAC ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系.
整理课件
3
解题技巧
整理课件
4
根据题目条件及图形特征：符合等腰三角形特征（特殊度数的角或边等的特征）、等边三角形的特征
（60°角等）
添加辅助线：构造等腰三角形（等边三角形）
利用等腰、等边定义性质得到结论
（全等三角形性质、角平分线性质、等边对等角、线段垂直平
整理课件
10
例 3．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB 于点 E．
整理课件
11
【解析】（3）结论：AD = DG－DN．理由如下：
整理课件
12
整理课件
13
构造等腰(等边）三角形
讲师：苏海涛
整理课件
1
直击中考
整理课件
2
例：在△ ABC 中，AB AC , D 是底边 BC 上一点，E 是线段 AD 上一点，且BED 2CED BAC ．
（1）如图 1，若 BAC 90，猜想 DB 与 DC 的数量关系为
；
（2）如图 2，若 BAC 60，猜想 DB 与 DC 的数量关系，并证明你的结论；
；
（2）如图 2，若 BAC 60，猜想 DB 与 DC 的数量关系，并证明你的结论；
（3）若 BAC ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系.
整理课件
9
【解析】（1） DB 2DC （2） DB 2DC
证明：过点 C 作 CF BE 交 AD 的延长线于点 F , 在 AD 上取点 G 使得 CG CF ，∴ 6 F 7 ∵ BED 2CED BAC 60 ，∴ 6 F 60 ， CED 30

构造等边三角形的解题技巧

构造等边三角形的解题技巧
从几何学的角度来看，构造等边三角形的方法有多种，其中一
种方法是利用圆和直线的性质。

首先，我们可以利用圆规在一张纸
上画一个任意长度的线段AB，然后以A为圆心，AB为半径画一个圆，再以B为圆心，AB为半径画另一个圆。

两个圆的交点分别记为C和D，连接CD，则三角形ACD就是一个等边三角形。

这个方法的原理
是利用圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都相等，因此AC和
AD的长度相等，所以三角形ACD是一个等边三角形。

另一种方法是利用直线的性质，我们可以先在纸上画一个任意
长度的线段AB，然后以A为起点，利用量角器画出一个60度的角，再以B为起点，同样利用量角器画出一个60度的角，连接AB上的
这两个60度角的顶点，得到一个等边三角形ABC。

这个方法的原理
是利用等边三角形内角相等的性质，以及利用量角器可以准确地画
出指定角度的性质。

从数学方法来看，构造等边三角形也可以利用坐标系和向量的
方法。

假设我们要构造一个等边三角形，我们可以先随意选取一个
顶点的坐标，然后利用向量的平移和旋转性质，可以求得另外两个
顶点的坐标，使得这三个顶点构成一个等边三角形。

总的来说，构造等边三角形的解题技巧有很多种，可以通过利用几何学的性质，也可以通过数学方法来实现。

希望以上介绍对你有所帮助。

【中考数学专题】15：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之等腰旋转

专题15：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之等腰旋转一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（）A．4B．2C．1D．1 2二、填空题2．已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过点O作一直角⊥MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转⊥MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________(填序号)．⊥2EF OE=；⊥S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：2；⊥2BE BF OA+=；⊥OG•BD=AE2+CF2；⊥在旋转过程中，当⊥BEF与⊥COF的面积之和最大时，34 AE=．3．已知直角三角形ABC ，⊥ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC 为边向外作正方形ACEF ，则这个正方形的中心O 到点B 的距离为______．4．如图，折线AB BC -中，3AB =，5BC =，将折线AB BC -绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD DE -，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE BC ⊥，则tan EDC ∠=_____°．三、解答题5．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，⊥BAC ＝90°，BF 平分⊥ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．6．如图（a ），（b ），（c ）所示，点E 、D 分别是正ABC 、正四边形ABCM ，正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE CD =，DB 交AE 于点P ．（1）在图（a ）中，求APD ∠的度数．（2）在图（b ）中，APD ∠的度数为________，图（c ）中，APD ∠的度数为________．（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．7．（1）操作发现：将等腰Rt ABC 与等腰Rt ADE 按如图1方式叠放，其中90︒∠=∠=ACB ADE ，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，M 为BE 的中点，连结CM ，DM ．小明发现CM DM =，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转45︒（如图2），其他条件不变，发现结论CM DM =依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转135︒（如图3），其他条件不变，则结论CM DM =还成立吗？请说明理由．8．已知在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，点D 是BC 上的任意一点，探究22+BD CD 与2AD 的关系，并证明你的结论.9．如图所示，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 在AB 上，且45DCE ∠=，2BE =，3AD =．将BCE ∆绕点C 逆时针旋转90，画出旋转后的图形，并求DE 的长．10．如图，在四边形ABCD 中，⊥C =60°，⊥A =30°，CD =BC ．（1）求⊥B +⊥D 的度数．（2）连接AC ，探究AD ，AB ，AC 三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC =2，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足DE 2=CE 2+BE 2，求点E 运动路径的长度．11．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，⊥B+⊥D＝180°，AB＝AD，⊥BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且⊥EAF12=α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当⊥BAD＝⊥B＝⊥D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在⊥ABC中，⊥BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且⊥DAE＝45°，若BD2=请直接写出DE的长．12．如图，在线段AB上任取一点M（12BM AB<）、把线段MB绕M点逆时针旋转90°至MC．连接AC，作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，MN AM BN>≥，⊥ABC、⊥MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=______.13．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，⊥EBF的周长等于BC 的长．（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；（2）求⊥EOF的度数；（3）若OE=52OF，求AECF的值．参考答案1．C【解析】【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，⊥OAE＝⊥OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明⊥AOE⊥⊥BOF，从而可得⊥AOE的面积＝⊥BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝14正方形ABCD的面积，问题即得解决．【详解】解：⊥四边形ABCD是正方形，⊥OA＝OB，⊥OAE＝⊥OBF＝45°，AC⊥BD，⊥⊥AOB＝90°，⊥OE⊥OF，⊥⊥EOF＝90°，⊥⊥AOE＝⊥BOF，⊥⊥AOE⊥⊥BOF（ASA），⊥⊥AOE的面积＝⊥BOF的面积，⊥四边形AFOE的面积＝14正方形ABCD的面积＝14×22＝1；故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．⊥⊥⊥【解析】【分析】⊥⊥⊥证明⊥BOE⊥⊥COF ，结合正方形的性质可判断；⊥证明OEG OBE △△，结合⊥BOE⊥⊥COF 的性质即可证得；⊥作OH⊥BC ，表示出S ⊥BEF +S ⊥COF ，即可判断．【详解】⊥⊥四边形ABCD 是正方形，⊥OB=OC ，⊥OBE=⊥OCF=45°，⊥BOC=90°，⊥⊥BOF+⊥COF=90°，⊥⊥EOF=90°，⊥⊥BOF+⊥COE=90°，⊥⊥BOE=⊥COF ，在⊥BOE 和⊥COF 中，BOE COF OB OCOBE OCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ⊥⊥BOE⊥⊥COF （ASA ），⊥OE=OF ，BE=CF ，OE ；故⊥正确；⊥⊥S 四边形OEBF =S ⊥BOE +S ⊥BOE =S ⊥BOE +S ⊥COF =S ⊥BOC =14S 正方形ABCD ， ⊥S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故⊥错误；OA ；故⊥正确；⊥⊥,45EOG BOE OEG OBE ︒∠=∠∠=∠=⊥OEG OBE △△ ⊥OE OG OB OE = ⊥2OG OB OE ⋅= ⊥12,22OB BD OE EF == ⊥2OG BD EF ⋅=⊥在Rt BEF △中，222EF BE BF =+⊥222EF AE CF =+⊥22OG BD AE CF ⋅=+，故⊥正确；⊥过点O 作OH⊥BC ，⊥BC=1，⊥OH=12BC=12，设AE=x ，则BE=CF=1-x ，BF=x ，⊥S ⊥BEF +S ⊥COF =12BE•BF+12CF•OH=12x （1-x ）+12（1-x ）×12=-12（x -14）2+932，⊥12a =-＜0， ⊥当x =14时，S ⊥BEF +S ⊥COF 最大；即在旋转过程中，当⊥BEF 与⊥COF 的面积之和最大时，AE=14；故⊥错误；故答案为⊥⊥⊥．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知以上知识点是解题的关键． 3．42【解析】如图，延长BA 到D ，使AD=BC ，连接OD ，OA ，OC ，⊥四边形ACEF 是正方形，⊥⊥AOC=90°，CO=AO ，⊥⊥ABC=90°，⊥ABC+⊥AOC=180°，⊥⊥BCO+⊥BAO=180°，⊥BCO=⊥DAO ，在⊥BCO 与⊥DAO 中，BC AD BCO DAO CO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥BCO⊥⊥DAO（SAS），⊥OB=OD，⊥BOC=⊥DOA，⊥⊥BOD=⊥COA=90°，⊥⊥BOD是等腰直角三角形，⊥BD=2OB，⊥BD=AB+AD=AB+BC=8，⊥OB=42.故答案为42.4．24 7【解析】【分析】连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H．再证明四边形AFCH是矩形,可得AF=CH ,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5，⊥ABC=⊥ADE，则⊥ABC⊥⊥ADE，即AC=AE ；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答即可．【详解】解：如图：连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H．⊥CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC⊥四边形AFCH是矩形，⊥AF=CH，⊥将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE⊥AD=AB=3、BC=DE=5，⊥ABC=⊥ADE⊥⊥ABC⊥⊥ADE⊥AC=AE ，⊥AC=AE ，AB=AD ，AF⊥BC ，AH⊥EC ，BF=DF ，CH=EH⊥222222,AB AF BF DE DC CE =+=+⊥22229,25(52)4AF BF BF AF =+=-+ ⊥BF=95，AF=125 ⊥249722,52555EC CH AF CD ====-⨯= ⊥24tan 7EC EDC CD ∠== 故答案为：2【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，根据题意求得EC 、CD 的长是解答本题的关键．5．见解析【解析】【分析】作BF 的中点E ，连接AE 、AD ，根据直角三角形得到性质就可以得出AE ＝BE ＝EF ，由BD 平分⊥ABC 就可以得出⊥ABE ＝⊥DBC ＝22.5°，从而可以得出⊥BAE ＝⊥BAE ＝⊥ACD ＝22.5°，⊥AEF ＝45°，由⊥BAC ＝90°，⊥BDC ＝90°就可以得出A 、B 、C 、D 四点共圆，求出AD ＝DC ，证⊥ADC ⊥⊥AEB 推出BE ＝CD ，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，⊥⊥BAC＝90°，⊥AE＝BE＝EF，⊥⊥ABD＝⊥BAE，⊥CD⊥BD，⊥A，B，C，D四点共圆，⊥⊥DAC＝⊥DBC，⊥BF平分⊥ABC，⊥⊥ABD＝⊥DBC，⊥⊥DAC＝⊥BAE，⊥⊥EAD＝90°，⊥AB＝AC，⊥⊥ABC＝45°，⊥⊥ABD＝⊥DBC＝22.5°，⊥⊥AED＝45°，⊥AE＝AD，在⊥ABE与⊥ADC中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABE ⊥⊥ADC ，⊥BE ＝CD ，⊥BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）90︒，108︒；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ABE BCD △≌△，得出BAE CBD ∠=∠，再根据APD ABD BAE ∠=∠+∠计算得出APD ∠的度数；（2）方法与（1）相同；（3）由（1）、（2）可得出规律：APD ∠等于这个正n 边形的一个内角的度数．【详解】（1）⊥⊥ABC 是正三角形，⊥AB ＝BC ，⊥ABE=⊥C=60︒，在ABE △和BCD 中AB BC ABE C BE CD ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＝，⊥ABE BCD △≌△，⊥BAE CBD ∠=∠．⊥60ABD CBD ABC ∠+∠=∠=︒，⊥60ABD BAE ∠+∠=︒．⊥APD ABD BAE ∠=∠+∠，⊥60APD ∠=︒．（2）如图（b ）:⊥⊥ABCM 是正四边形，⊥AB ＝BC ，⊥ABE=⊥C=90︒，在ABE △和BCD 中AB BC ABE C BE CD ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＝，⊥ABE BCD △≌△，⊥BAE CBD ∠=∠．⊥90ABD CBD ABC ∠+∠=∠=︒，⊥90ABD BAE ∠+∠=︒．⊥APD ABD BAE ∠=∠+∠，⊥90APD ∠=︒．如图（c ）:⊥⊥ABCMN 是正五边形，⊥AB ＝BC ，⊥ABE=⊥C=108︒，在ABE △和BCD 中AB BC ABE C BE CD ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＝，⊥ABE BCD △≌△，⊥BAE CBD ∠=∠．⊥108ABD CBD ABC ∠+∠=∠=︒，⊥108ABD BAE ∠+∠=︒．⊥APD ABD BAE ∠=∠+∠，⊥108APD ∠=︒．（3）问题：如图（d ）所示，点E ，D 分别是正n 边形中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE CD =，DB 交AE 于P 点．则APD ∠等于这个正n 边形的一个内角的度数，即(2)180n APD n-⋅︒∠=．【点睛】考查了全等三角形的判定、性质和三角形外角的性质，解题关键是利用SAS 方法求证三角形全等和三角形外角的性质．7．（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）连接DM 并延长，作BN⊥AB ，与DM 的延长线交于N ，连接CN ，先证明⊥EMD⊥⊥BMN ，得到BN=DE=DA ，再证明⊥CAD⊥⊥CNB ，得到CD=CN ，证明⊥DCM 是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延长DM 交BC 于N ，根据平行线的性质和判定推出⊥DEM=⊥MBC ，根据ASA 推出⊥EMD⊥⊥BMN ，证出BN=AD ，证明⊥CMD 为等腰直角三角形即可；探究二：作BN⊥DE 交DM 的延长线于N ，连接CN ，根据平行线的性质求出⊥E=⊥NBM ，根据ASA 证⊥DCA⊥⊥NCB ，推出⊥DCN 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出⊥CMD 为等腰直角三角形．【详解】解：（1）如图一，连接DM 并延长，作BN⊥AB ，与DM 的延长线交于N ，连接CN ，⊥⊥EDA=⊥ABN=90°，⊥DE⊥BN ，⊥⊥DEM=⊥MBN ，⊥在⊥EMD 和⊥BMN 中，DEM NBM EM BMEMD NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥⊥EMD⊥⊥BMN （ASA ），⊥BN=DE=DA ，MN=MD ，在⊥CAD 和⊥CNB 中，45AC BC A CBN BN DA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，⊥⊥CAD⊥⊥CNB ，⊥⊥DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线，⊥CM⊥DN ，⊥⊥DCM 是等腰直角三角形，⊥DM=CM ；（2）探究一，理由：如图二，连接DM 并延长DM 交BC 于N ，⊥⊥EDA=⊥ACB=90°，⊥DE⊥BC ，⊥⊥DEM=⊥MBC ，⊥在⊥EMD 和⊥BMN 中，DEM NBM EM BMEMD NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥⊥EMD⊥⊥BMN （ASA ），⊥BN=DE=DA ，MN=MD⊥AC=BC ，⊥CD=CN ，⊥⊥DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线，⊥CM⊥DM ，⊥DCM=12⊥DCN=45°=⊥BCM ， ⊥⊥CMD 为等腰直角三角形．探究二，理由：如图三，连接DM ，过点B 作BN⊥DE 交DM 的延长线于N ，连接CN ，⊥⊥E=⊥MBN=45°．⊥点M 是BE 的中点，⊥EM=BM ．⊥在⊥EMD 和⊥BMN 中，E MBN EM BMDME NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊥⊥EMD⊥⊥BMN （ASA ），⊥BN=DE=DA ，MN=MD ，⊥⊥DAE=⊥BAC=⊥ABC=45°，⊥⊥DAC=⊥NBC=90°⊥在⊥DCA 和⊥NCB 中DA BN DAC NBC CA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DCA⊥⊥NCB （SAS ），⊥⊥DCA=⊥NCB ，DC=CN ，⊥⊥DCN=⊥ACB=90°，⊥⊥DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线，⊥CM⊥DM，⊥DCM=12⊥DCN=45°=⊥CDM，⊥⊥CMD为等腰直角三角形．⊥DM=CM【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．8．2222BD CD AD+=【解析】【分析】作AE⊥BC于E，可得BE=CE=12BC，然后再使用勾股定理即可完成解答.【详解】2222BD CD AD+=. 证明如下：如图：作AE⊥BC于E，由题意得：ED=BE-BD=CD-CE，在ABC中，⊥BAC=90°，AB=AC，⊥BE=CE=12BC ，由勾股定理可得：222AB AC BC +=22222222AE AB BE AC CE ,AD AE ED =-=-=+2222222222AD 2AE 2ED AB BE (BE BD)AC CE (CD CE)∴=+=-+-+-+-2222AB AC BD CD 2BD BE 2CD CE =+++-⨯-⨯22221AB AC BD CD 2BC BC 2=+++-⨯⨯ 22BD CD =+即2222BD CD AD +=.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的知识，解题的关键是做辅助线构造直角三角形. 913【解析】【分析】将⊥CEB 绕点C 逆时针旋转90°，得到⊥ACE′，连结DE′，根据旋转的性质可得CE ＝C E′，AE′＝BE ，再求出⊥ADE′是直角三角形，然后勾股定理得出22222313DE AE AD ''=+=+=⊥ACE′＝⊥BCE ，⊥CAE′＝⊥B ＝45°，然后求出⊥DCE′＝45°，从而得到⊥DCE ＝⊥DCE′，再利用“边角边”证明⊥E′CD⊥⊥DCE ，根据全等三角形对应边相等可得13【详解】解：如图，由旋转性质知CAE B '∠=∠，⊥90B BAC CAE BAC '∠+∠=∠+∠=︒，即90DAE '∠=︒，⊥2AE BE '==，在Rt ADE '∆中，22222313DE AE AD ''=+=+=，⊥45DCE ∠=，⊥ECB=⊥E′CA ，⊥⊥ECB+⊥DCA=⊥E′CA+ ⊥DCA=⊥E′CD=45°=⊥DCE ，又⊥E′C=CE ，CD=CD⊥⊥E′CD⊥⊥DCE ， ⊥DE= DE′=13.【点睛】本题考查了作图−旋转变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．10．（1）⊥D +⊥B =270°；（2）AD 2+AB 2=AC 2；理由见解析；（3）点E 运动路径的长度是23π．【解析】【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可；（2）如图，将⊥ABC绕点C顺时针旋转60°，得到⊥QDC，连接AQ，证明⊥QDA=90°，根据勾股定理可得结论；（3）如图中，将⊥BCE绕C点顺时针旋转60°，得到⊥CDF，连接EF，想办法证明⊥BEC=150°即可解决问题.【详解】（1）在四边形ABCD中，⊥C=60°，⊥A=30°，⊥⊥D+⊥B=360°-⊥A-⊥C=360°-60°-30°=270°．（2）如图，将⊥ABC绕点C顺时针旋转60°，得到⊥QDC，连接AQ，⊥⊥ACQ=60°，AC=CQ，AB=QD，⊥⊥ACQ是等边三角形，⊥AC=CQ=AQ，由（1）知：⊥ADC+⊥B=270°，⊥⊥ADC+⊥CDQ=270°，可得⊥QDA=90°，⊥AD2+DQ2=AQ2，⊥AD2+AB2=AC2；（3）将⊥BCE绕C点顺时针旋转60°，得到⊥CDF，连接EF，⊥CE=CF，⊥ECF=60°，⊥⊥CEF是等边三角形，⊥EF=CE，⊥CFE=60°，⊥DE2=CE2+BE2，⊥DE2=EF2+DF2，⊥⊥DFE=90°，⊥⊥CFD=⊥CFE+⊥DFE=60°+90°=150°，⊥⊥CEB=150°，则动点E在四边形ABCD内部运动，满足⊥CEB=150°，以BC为边向外作等边⊥OBC，则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC，⊥OB=BC=2，则BC=602180π⨯=23π．点E运动路径的长度是23π．【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．11．（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE3=【解析】【分析】（1）将⊥ABE绕点A逆时针旋转90°，得到⊥ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，⊥BAE＝⊥DAG，根据⊥EAF=12⊥BAD可得⊥BAE+⊥DAF＝45°，即可得出⊥⊥EAF＝⊥FAG，利用SAS可证明⊥AFE⊥⊥AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将⊥ABE绕点A逆时针旋转α得到⊥ADH，由旋转的性质可得⊥ABE＝⊥ADH，⊥BAE＝⊥DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据⊥BAD＝α，⊥EAF12=α可得⊥BAE+⊥FAD12=α，进而可证明⊥FAH＝⊥EAF，利用SAS可证明⊥AEF⊥⊥AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将⊥AEC绕点A 顺时针旋转90°，得到⊥AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，⊥C＝⊥ABE′，⊥EAC＝⊥E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得⊥ABC＝⊥ACB＝45°，BC＝，即可求出⊥E′BD＝90°，利用SAS可证明⊥AEF⊥⊥AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将⊥ABE绕点A逆时针旋转90°，得到⊥ADG，⊥⊥ADC＝⊥B＝⊥ADG＝90°，⊥⊥FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，⊥BAE＝⊥DAG．⊥⊥BAE+⊥DAF＝⊥BAD﹣⊥EAF＝90°﹣12⊥BAD=90°-45°＝45°，⊥⊥DAG+⊥DAF＝45°，即⊥FAG=45°，⊥⊥EAF＝⊥FAG，⊥⊥AFE⊥⊥AFG（SAS），⊥EF＝FG．又⊥FG＝DG+DF＝BE+DF，⊥BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将⊥ABE绕点A逆时针旋转α得到⊥ADH，可得⊥ABE＝⊥ADH，⊥BAE＝⊥DAH，AE＝AH，BE＝DH．⊥⊥B+⊥ADC＝180°，⊥⊥ADH+⊥ADC＝180°，⊥点C，D，H在同一直线上．⊥⊥BAD＝α，⊥EAF12=α，⊥⊥BAE+⊥FAD12=α，⊥⊥DAH+⊥FAD12=α，⊥⊥FAH＝⊥EAF，⊥⊥AEF⊥⊥AHF（SAS），⊥EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE523 ，如图3，将⊥AEC绕点A顺时针旋转90°，得到⊥AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，⊥C＝⊥ABE′，⊥EAC＝⊥E′AB，在Rt⊥ABC中，⊥AB＝AC＝4，⊥BAC=90°，⊥⊥ABC＝⊥ACB＝45°，BC＝2，2，⊥⊥ABC+⊥ABE′＝90°，即⊥E′BD＝90°，⊥E′B2+BD2＝E′D2．易证⊥AE′D⊥⊥AED，⊥DE2＝BD2+EC2，即DE222(2)(32)DE=+-，解得523DE=．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.12．32 2【解析】【分析】如图中，连接CM、CN，将⊥ACM绕点C逆时针旋转90°得⊥CBF，将⊥CDM绕点C逆时针旋转90°得⊥CFE 只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了．【详解】如图，连接CM、CN，将⊥ACM绕点C逆时针旋转90°得⊥CBF，将⊥CDM绕点C逆时针旋转90°得⊥CFE．⊥⊥ABC，⊥DMN都是等腰直角三角形，⊥⊥DMN=⊥A=45°，⊥CBA=⊥DNM=45°⊥DM⊥AC，DN⊥BC，⊥⊥1=⊥2=⊥3=⊥4，⊥EF⊥BC ，⊥EF⊥BC⊥ND ，⊥DM=DN=EF ，⊥四边形EFND 是平行四边形，⊥ED=NF ，由⊥NBF=⊥FBC+⊥CBA=90°则2NF =2BN +2BF ，点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，（MN AM BN >≥）则2MN =2AM +2BN ，又AM=BF ，可知MN=NF ，⊥MN=ED ，在RT⊥CDE 中，⊥CD=CE ，⊥DCE=90°，，CD ，MN=3，则. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键．13．（1）EF =5；（2）⊥EOF=45°；（3）54AE CF =．【解析】【分析】（1）设BF=x ，则FC=12-x ，根据⊥EBF 的周长等于BC 的长得出EF=9-x ，Rt⊥BEF 中利用勾股定理求出x 的值即可得；（2）在FC 上截取FM=FE ，连接OM ．首先证明⊥EOM=90°，再证明⊥OFE⊥⊥OFM （SSS ）即可解决问题；（3）证明⊥FOC=⊥AEO ，结合⊥EAO=⊥OCF=45°可证⊥AOE⊥⊥CFO 得52OE AE AO OF CO CF === ，推出AE=52OC ，AO=52CF ，由AO=CO ，可得AE=52×52CF=54CF ，进而求解．【详解】（1）设BF=x ，则FC=BC ﹣BF=12﹣x ，⊥BE=3，且BE+BF+EF=BC ，⊥EF=9﹣x ，在Rt⊥BEF 中，由BE 2+BF 2=EF 2可得32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，则EF=9﹣x=5；（2）如图，在FC 上截取FM=FE ，连接OM ，⊥C⊥EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，⊥BE=MC，⊥O为正方形中心，⊥OB=OC，⊥OBE=⊥OCM=45°，在⊥OBE和⊥OCM中，⊥OB OCOBE OCMBE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥OBE⊥⊥OCM，⊥⊥EOB=⊥MOC，OE=OM，⊥⊥EOB+⊥BOM=⊥MOC+⊥BOM，即⊥EOM=⊥BOC=90°，在⊥OFE与⊥OFM中，⊥OE OM OF OF EF MF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥OFE⊥⊥OFM（SSS），⊥⊥EOF=⊥MOF=12⊥EO M=45°．（3）证明：由（2）可知：⊥EOF=45°，⊥⊥AOE+⊥FOC=135°，⊥⊥EAO=45°，⊥⊥AOE+⊥AEO=135°，⊥⊥FOC=⊥AEO，⊥⊥EAO=⊥OCF=45°，⊥⊥AOE⊥⊥CFO ．⊥OE AE AO OF CO CF ===，， ⊥AO=CO ，⊥AE=2254CF ， ⊥AE CF =54．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．。