2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n

n n n -→∞

+⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()

e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=

（3）设函数()f u 可微,且()1

02

f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d _____.z =

（4）设矩阵2112A ⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}

max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

x

n f x e x X X X -=

-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2

S ，则2

____.ES =

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则

(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.

(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]

（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22

lim

1h f h h

→=，则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在

(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数

1n

n a

∞

=∑收敛，则级数

(A)

1n

n a

∞

=∑收敛 . （B ）

1(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ ]

（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.

（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]

（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是

(A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.

(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ]

（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记

110010001P ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则

（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1

C PAP -=.

（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T

C PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

{}{}1211P X P Y μμ-<>-<

则必有

(A) 12σσ< (B) 12σσ>

(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞

=；

(Ⅱ) ()0

lim x g x +

→. （16）（本题满分7分）

计算二重积分

d D

x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

（18）（本题满分8分）

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.

(Ⅰ) 求L 的方程；

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8

3

时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）

求幂级数()()1

211

121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）

设4维向量组()()()T

T

T

1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+

()T

44,4,4,4a α=+，

问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T

T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组

0Ax =的两个解.

(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

Q AQ =Λ；

（Ⅲ）求A 及6

32A E ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，其中E 为3阶单位矩阵.