第十三讲一笔画问题

第十三讲一笔画问题

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第十三讲趣味一笔画

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小朋友们，你喜欢画简笔画吗？你知道画画中也有数学问题吗？这一讲，我们就来了解关于画画的数学问题：一笔画。

什么叫一笔画呢？一笔画就是要一笔画成有关的图形，在画的过程中笔不离开纸，并且每条线只能画一次，不能重复。

下面三个图形，请你试一试，能不能一笔画成？

E F

A B A B

O O

C D C D C D

在做这类题目前，我们先研究一下组成图形的点和线。

根据从某一点发出的线数量的不同，我们把这些点分成“单数点”和“双数点”。单数点就是从这一点出发，引出来线的数量有1条、3条、5条……都是单数条，这样的点就叫单数点（也叫奇点）。而双数点就是从这一点出发，引出来线的数量有2条、4条、6条……都是双数条，这样的点就叫双数点（也叫偶点）。

那么，判断一幅图能否一笔画成，有什么规律吗？

规律：（1）凡是图中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）只有2个单数点，一定可以一笔画成，画时必须以一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点。

（3）图形中只有一个单数点，或者单数点的个数多于两个，此图形不能一笔画成。

【例1】

下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？

A C A

B

C A B C

（1） O （2）（3）

F

B D

D E F D E

【思维点拨】图（1）中A、B、C、D、O五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。画时可以从任意一点出发。图（2）中A、C、D、F四个点都是双数点，B和E两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）中A、D是双数点，B、C、E和F四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。

【例2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？

A

B

【思维点拨】这是由两个圆重叠成的图形，同样，我们也要看看图中单数点和双数点的情况。图中A、B两个点都是双数点，这个图形可以一笔画成。画时可以从任意一点出发。

【例3】用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画？

【思维点拨】此图通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成。

【例4】妈妈在花园里浇花（如下图），她怎样走，才能浇到每一株花，又不走重复路线？

【思维点拨】这其实也是一个一笔画的问题。在这个花园中，我们将单数点以A、B分别标出，除了A、B这两个单数点之外，其余各点都是双数点，因此符合一笔画图形的要求，这个图形可以一笔画成。

【例5】在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个

问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。

【思维点拨】“走过每一条路而又不重复”的要求与一笔画中“每条线只能画一次，不能重复”的要求是一样的，也就是要我们判断这个图形能不能一笔画成。我们先要看看小区图中有几个单数点。

在这个小区图中，有四个单数点，其余各点是双数点，因此不符合一笔画图形的要求。

如果能使其中两个单数点变成双数点，就符合一笔画的要求了。我们可以在两个单数点之间连一条线，也就是建一条路，这样就把这两个单数点改成了双数点，邮递员叔叔也就可以不重复地走过每一条路了。

【基本训练】

1、下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？

2、下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？

3、下图是儿童乐园平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？

C D

A

B

4、按照左图的样子，在右图的点上用一笔画出。

（1）

（2）

（3）

（4）

【拓展提高】

1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？

2、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。

3、在王大爷家的花园中有一些路（如下图），王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。

4、有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画

原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。