画法几何及机械制图第五章 投影变换

二、旋转法
实形
o' a'
O
b'
A
c1'
o' c'
B
C1
O
C
a(b)
c1
oo
c
§3-2 换面法
V
V1 a1
a
A X
X1
a H
一、换面法的基本概念
用换面法解题时，新投影面必须满足下列两条原则：
① 新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。 ② 必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。

b1
三、四个基本问题
2、将平行线变换成垂直线
V X
a1 b1
b
a
H1
a1
V
b1
XH
H
ab
作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。
三、四个基本问题
若将一般位置的直线 变换成投影面垂直线
b a
X
必须经过两次变换
V a2 b2
b1
V1
a1
b
X1
a
H
三、四个基本问题
两次变换的作图
应用举例
[例题4] 求交叉两直线AB和CD间的最短距离EF ，如图所示。
e a
b d
f
XV
c
H
b
e
d
f
a
c
c'1
f'1
d'1
CA
F
D
E
c
f
B
d
(e) a(b)
c2
f2
e2
d2
a2b2
e'1
§3-3 旋转法
一、旋转法的基本概念
旋转法就是投影面不动，通过旋转使几何元素对投影面处于有利于解 题的特殊位置。这里只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。
二、换面法的基本规律
1、点的一次换面 ——换V面
a
V
V1 a1
A
a
a1
X
V H
ax
ax1
X
a
a H
点的换面规律：
①点的新投影与不变投影的连线垂直于新的投影轴； ②新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到旧轴的距离。
二、换面法的基本规律
1、点的一次换面 ——换H面
a1
V
a
a
X
A
a1
X
V H
4、将垂直面变换成 投影面的平行面
V1 a1'
X1
V
c
c1'
C
a b
b1'
X
A
B
bc
aH
作图特点： 新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。
三、四个基本问题
c1' b1'
a1'
c'
a' b'
X
bc
a
变换的作图过程
V
c
C
a b
X
A
B
bc
aH
三、四个基本问题
如何将一般位置平面 变换成投影面平行面
a1 a'
k' c'
XH
b'
V
a
c1
k1
b1
b'2 a'2
k'2
c'2
距离
k
c
b
空间分析
应用举例
[例题3] 求变形接头ABCD和ABEF之间的夹角，如图所示。
a'(e')
d'
e2'
F B
x
V H
b'(f')
f
e
b E
a D
A
C
c'
c f1
d
e1 c1
b1
c2' d2'
d1
f2'
θ
b2'(a2')
a1
b'
b1
V
b'
b1
a'
B
a1
a'


A
a1
b
X
V H
b
aH
a
作图特点：
① 新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角 ②求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影
三、四个基本问题
将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出角？
a'
b' XV
H a
b
a1
a
H
a
二、换面法的基本规律
2、点的两次换面
a'
V V1
X
V H
a'
X
a2
A
a
H
a1'
X1
a a2
a1' V/H→V1/H →V1/H2
三、四个基本问题
换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对 投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。
三、四个基本问题
1、一般位置直线变换成平行线
第五章 投影变换
基本要求
1. 掌握换面法的基本原理与其变换规律。 2. 掌握换面法求线段实长、平面实形及
对投影面倾角的方法。 3. 掌握用换面法解决一般空间几何元素
的定位和度量问题。 4. 了解旋转法的基本原理与其变换规律。
b a
a b
b a
a
b
两点之间距离
§3-1 概述
c b
a
c a
θ
a(b)
g)
e(f)
例题2
例题3
例题4
应用举例
[例题1] 已知多边形ABCDEF对H面的倾角α=45°, 试完成
多边形的正面投影。
f'
e'
d'
c'
a'
b'
x
f
e
O
x1
a
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
f1'(e1')
b
45° d1'(c1')
a1'(b1')
应用举例
[例题2] 已知A与直线BC的投影，求点A到BC直线间的距离。
o'a'
O
b'
A
c1'
o' C1
c' B
OC
a(b)
c1
oo
c
二、点的旋转
a'
o' a1'
O
A1
Aθ
o'
o'
a'
a1'
a'
P
a1' θ o
o'
x
o
O
o
a1
四、换面法的应用
a
x a L
a)
a b
x b θ
a
e) 例题1
b
a
b x a (b)
b
c
c
a
c
m
x b
a (b)
L
m
b)
c
c)
a
c
n
m
b
d
x
n
a (b)
f)
c(d) θ
m
a
d b x
d
c n m
d
n c(d)
a(b) m
d)
a
c
e
b
f
x
d
d c(d)
2．投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到平 行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投影 。这种方法称为旋转法。
一、换面法
c1' V1
V c' C a'
a1'
b1'
b' X
A bB
c
X1
aH
V/H 体系变为V1/H 体系
新投影面必须满足下列两条原则：
① 新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。 ② 必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。
b'
a'
X
V H
b
a
a2 b2
三、四个基本问题
3、将一般位置平面变换成垂直面
V b
a
d B
b1
b
c
X
A b
D C
d1 a1
a
c1 H1
X
V H
c
b
d
a
c
H
a
d
c
作图特点:
① 取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。
② 若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。
三、四个基本问题
b2
a2
实形
b d
d2 c2
a
c
b
a
d
c
必须经过两次变换
四、换面法的应用
应用换面法解题时，首先分析空间几何元素间的相 互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，才有利 于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面的基本 方法进行图解。 下面展示了特殊位置的几何元素的投影，可直接反映 其空间距离、角度等关系。
b c
b a
a
c
b
三角形实形
c a
d d
a c
c a
d dc