指数及指数函数知识点

（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念： 43
421Λa
n n a a a a 个⋅⋅⋅= )(*
∈N n ()0
10a a =≠ ()10,n
n
a
a n N a
-*
=
≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m
n
m n
a a a
m n Z +⋅=∈ （2）()
(),n
m mn a a m n Z =∈
（3）()()n n n
ab a b n Z =⋅∈
其中m n m n
m n a a a a
a --÷=⋅=， ()1n
n n n n
n a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭
．
3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a (
)*
∈>N
n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，
即： 若a x
n
=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*
∈>N n n ,1
例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，
32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．
说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；
②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：
n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）
③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；
④(
)*
∈>=N
n n n
,100Θ 0=；
⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴
n
a =．
．
4．a 的n 次方根的性质
一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则⎩⎨
⎧<-≥==0
0a a
a a a a n n ．
（二）分数指数幂
1．分数指数幂：
()102
5
0a a
a ==>
()124
3
0a a
a ==>
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()
n
k kn a
a =对分数指数幂也适用，
例如：若0a >，则3
223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭
，4
554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =
4
5
a =．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n
a a m n N n *=>∈>；
（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m
n
m n
a
a m n N n a
-*
==
>∈>．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即
()()
10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈
()()()20,,s
r rs a a a r s Q =>∈
()()
()30,0,r
r r ab a b a b r Q =>>∈
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

二、指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数x
y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．
2．指数函数x
y a =在底数及这两种情况下的图象和性质：
1a > 01a <<
图象
性质 （1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞
（3）过点(0,1)，即0x =时1y =
（4）在R 上是增函数
（4）在R 上是减函数。