微积分基本公式
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微积分基本公式
下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(t s 及速度函数)(t v 之间的联系作进一步的研究．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻t 时物体所在位置为)(t s ，速度为)(t v ．(为了讨论方便起见，可以设0)(≥t v ．)
从第一节知道：物体在时间间隔[]21 ,T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在[]
21 ,T T 上的定积分
⎰
2
1
d )(T T t
t v 来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间[]
21 ,T T 上增量)()(12T s T s -来表达．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系：
)
()(d )(122
1
T s T s t t v T T -=⎰
． (1)
因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数)(t v 在区间[]21 ,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上的增量：
)()(12T s T s -．
上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，那么，)(x f 在区间
] ,[b a 上的定积分就等于)(x f 的原函数(设为)(x F )在区间] ,[b a 上的增量：
)()(a F b F -．
二、积分上限的函数及其导数
设函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，并且设x 为] ,[b a 上的一点．现在我们来考察)(x f 在部分区间] ,[x a 上的定积分
⎰
x
a
x
x f d )(．
首先，由于)(x f 在区间] ,[x a 上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成
⎰
x
a
t
t f d )(
如果上限x 在区间] ,[b a 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在] ,[b a 上定义了一个函数，记作)(x Φ：
).
( d )()(b x a t t f x x
a
≤≤=⎰Φ
这个函数)(x Φ具有下面定理1所指出的重要性质．
定理1 如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，则积分上限的函数
⎰=x
a
t
t f x d )()(Φ
在] ,[b a 上可导，并且它的导数是
).( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x x
a ≤≤==
'⎰Φ (2)
证 若) , (b a x ∈，设x 获得增量x ∆，其绝对值足够地小，使得) , (b a x x ∈+∆，则
)(x Φ在x x ∆+处的函数值为
⎰
+=+x
x a
t
t f x x ∆∆Φd )()(．
由此得函数的增量
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰+++=-+=-=-+=x
x x
x a
x x x
x
a x
a
x
x a
t
t f t
t f t t f t t f t
t f t t f x x x ∆∆∆Φ∆Φ∆Φd )(d )(d )(d )(d )(d )()()(
再应用积分中值定理，即有等式
x f ∆ξ∆Φ)(=．
这里，ξ在x 与x x ∆+之间．把上式两端各除以x ∆，得函数增量与自变量增量的比值
).(ξ∆∆Φ
f x =
由于假设)(x f 在] ,[b a 上连续，而0→x ∆时，x →ξ，因此)()(lim 0x f f x =→ξ∆．于
是令0→x ∆，对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于)(x f ．这就是说，函数)(x Φ的导数存在，并且
)()(x f x ='Φ．
若a x =，取0>x ∆，则同理可证)()(a f a ='+Φ；若b x =，取0