量子力学——算符
量子力学力学量用算符表达
,
y
i
x,
lˆx
,
z
i
y,
lˆy , z i x,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε i x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
整理课件
9
还可以证明:
lˆ , pˆ ε i pˆ ,
第3章
力学量用算符表达
整理课件
1
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 整理c课1A件ˆ1 c2 Aˆ 2
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
整理课件
5
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x i ,
xpˆ y pˆ y x 0,
ypˆ y pˆ y y i ,
zpˆ z pˆ z z i ,
xpˆ z pˆ z x 0
概括
量子力学中最基本的对易关系:
x pˆ pˆ x i δ
n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
ad
e dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
量子力学算符理论
量子力学算符理论量子力学算符理论是研究量子力学中的算符和其性质的一门学科。
在量子力学中，算符是用来描述物理量的数学对象，它们对应于实验中可以测量的物理量，例如位置、动量、能量等。
算符理论为我们提供了一种有效的方式来描述和计算量子系统的性质和行为。
一、算符的基本概念在量子力学中，算符是用来描述观测值的操作。
算符可以作用于态矢量，产生一个新的态矢量或者观测值。
量子力学中的算符是线性的，在数学上可以表示为一个矩阵。
我们使用希腊字母表示算符，例如用$\hat{A}$表示算符A。
算符通常具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的态矢量$\psi_1$和$\psi_2$，以及实数a和b，有$\hat{A}(a\psi_1+b\psi_2)=a\hat{A}\psi_1+b\hat{A}\psi_2$。
2. 厄米性：如果算符$\hat{A}$满足$\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}$，即算符$\hat{A}$的厄米共轭等于自身，则称该算符为厄米算符。
3. 算符的作用：算符可以作用于态矢量，产生一个新的态矢量或者观测值。
例如，位置算符就可以作用于一个态矢量，得到该态矢量在空间中的位置。
二、算符的性质和数学表达量子力学中的算符具有多个重要的性质和数学表达。
下面列举几个常用的例子：1. 算符的本征值和本征态：算符$\hat{A}$的本征值是对应于本征态的观测值，即在该本征态下，对应的物理量的测量结果。
本征态是算符作用下不发生改变的态矢量。
记本征值为$a$，本征态为$\psi_a$，则有$\hat{A}\psi_a=a\psi_a$。
2. 算符的对易关系：对于两个算符$\hat{A}$和$\hat{B}$，定义它们的对易子为$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。
如果两个算符的对易子为零，即$[\hat{A},\hat{B}]=0$，则称这两个算符是可对易的。
量子力学算符
量子力学算符量子力学是描述微观世界的基础理论，它通过使用数学算符来描述和计算微观粒子的性质和运动。
在量子力学中，算符是表示物理量的数学对象，与经典物理中的变量相对应。
本文将探讨量子力学算符的定义、性质和应用。
一、算符的定义在量子力学中，算符是对量子态进行操作的数学工具。
算符可以表示物理量，如位置、动量、能量等，也可以表示物理过程，如时间演化等。
算符通常用大写字母表示，如X、P、H等。
算符的本质是一个线性映射，它将一个量子态映射为另一个量子态。
量子态可以用波函数表示，在量子力学中，波函数描述了量子系统的状态。
算符作用在波函数上，将其转换为另一个波函数。
二、算符的性质1. 线性性质：算符是线性操作，满足线性叠加原理。
例如，对于两个波函数ψ1和ψ2，以及常数a和b，有A(aψ1 + bψ2) = aAψ1 + bAψ2。
2. 厄米性质：算符的厄米性质与其自伴性有关。
若算符A满足A†= A，则称A为厄米算符。
厄米算符的本征值是实数，并且本征态之间正交。
3. 正规性质：算符的正规性质与其对易性有关。
若算符A和B满足AB-BA = 0，则称A和B是对易的。
对于对易的算符，可以找到同时具有相同本征态的共同本征态。
三、算符的应用1. 算符的测量：在量子力学中，算符可以用来测量物理量。
例如，位置算符X可以测量粒子的位置，动量算符P可以测量粒子的动量。
测量的结果是算符的本征值，而测量后的量子态为对应本征值的本征态。
2. 算符的演化：算符可以描述量子系统的演化。
薛定谔方程描述了量子系统随时间的演化，其中哈密顿算符H起到了重要的作用。
哈密顿算符确定了系统的能量本征值和能量本征态。
3. 算符的相互作用：在量子力学中，不同算符之间可以相互作用。
例如，位置算符和动量算符满足不确定性原理，它们之间的对易关系导致了量子系统的不确定性和局域性。
四、结论量子力学算符是描述和计算量子系统的重要工具。
算符的定义、性质和应用使得我们能够更好地理解和解释微观世界中的现象。
高等量子力学_第二章_算符
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
量子力学之算符
i
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
~ x
x
)
0
由于ψ、φ是 任意波函数,
( ~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
可以证明： ( Aˆ Bˆ ) B~ˆ A~ˆ
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算符
算 符Uˆ 的 转 置 算 符U~ˆ 定 义 为 ：
d *U~ˆ dUˆ *
式中 和 是两个任意函数。
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~ x
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
*
(
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
（3）算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Ham ilton算 符Hˆ 等 于
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是理论物理学中的重要分支，用于描述微观世界的粒子行为。
在量子力学中，算符是解释和计算系统性质的工具。
算符是操作符号，表示对物理量进行测量或变换的数学操作。
本文将探讨量子力学中的算符及其应用。
一、算符的基本概念在量子力学中，算符是一个函数，作用于量子力学中的态函数，给出经典力学量对应的观测值。
算符通常用大写字母表示，如位置算符X、动量算符P、能量算符H等。
算符的本质是线性变换，它可以将一个态函数变换为另一个态函数。
二、算符的性质1. 线性性：算符对态函数具有线性性质，即对任意态函数ψ和φ以及实数a和b，有A(aψ + bφ ) = aAψ + bAφ。
2. 非可交换性：在量子力学中，算符通常是非可交换的。
即A * B ≠ B * A，其中A和B分别表示两个算符。
3. 唯一性：每个物理量在量子力学中都对应一个唯一的算符。
4. 厄米性：若算符A满足A = A†，则称其为厄米算符。
具有良好的厄米性质的算符对应的物理量是实数。
三、常见算符1. 位置算符X：位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符为X = x，其中x是位置的本征值。
2. 动量算符P：动量算符描述粒子的运动状态。
动量算符P = -iħ∂/∂x，其中ħ是普朗克常数，∂/∂x是对位置的偏微分运算。
3. 能量算符H：能量算符描述系统的能量状况。
能量算符H作用于态函数时，能得到对应的能量本征值。
4. 自旋算符S：自旋算符用于描述粒子的自旋性质。
自旋算符具有非常特殊的性质，包括与角动量算符的关系等。
四、算符的应用算符在量子力学中具有重要的应用，下面分别介绍测量算符和演化算符两个方面。
1. 测量算符：量子力学中，算符的本质是测量物理量的工具。
测量算符用于计算在特定状态下的观测值。
以位置算符X为例，测量算符作用于态函数时，能够得到粒子在空间中的位置。
通过测量算符，可以确定微观量子系统的性质。
2. 演化算符：演化算符描述了量子力学中的态函数随时间的演化。
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是描述微观粒子行为的理论，其基本概念之一就是算符。
算符（operator）是量子力学中的基本数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文将从算符的定义、性质以及在量子力学中的应用等方面进行探讨。
一、算符的定义和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，用于描述系统的状态演化和物理量的测量。
算符作用在量子态上，改变其状态或作用于态矢量的波函数。
1. 算符的基本性质算符具有线性性质，即对于任意的复数a和量子态|ψ⟩、|φ⟩，有：A(a|ψ⟩+ b|φ⟩) = aA|ψ⟩+ bA|φ⟩其中A为算符。
2.算符的厄米性在量子力学中，与每个物理量都有对应的算符。
一个算符是厄米算符，当且仅当它等于其自身的共轭转置，即：A† = A3.算符的本征值与本征态对于算符A，若存在一个常数a和一个非零的量子态|ψ⟩，满足：A|ψ⟩= a|ψ⟩则称a为算符A的本征值（eigenvalue），|ψ⟩为相应的本征态（eigenstate）。
二、算符在量子力学中的应用算符在量子力学中有广泛的应用，下面以几个典型例子来说明其用途。
1.位置算符和动量算符在量子力学中，位置和动量是物理量的基本概念。
对于位置算符X和动量算符P，其定义分别为：X = x，P = -iℏ(d/dx)其中x是位置的算符，ℏ是普朗克常数。
2.哈密顿算符哈密顿算符H在量子力学中描述了体系的能量。
在定态情况下，哈密顿算符作用于波函数后应得到该态的能量值，即：H|ψ⟩= E|ψ⟩其中E为能量的本征值，|ψ⟩为相应的能量本征态。
3.时间演化算符在量子力学中，时间演化算符描述了系统随时间的演化。
设系统在初始时刻t=0时处于量子态|ψ(0)⟩，则该态在后续时刻t的演化由时间演化算符U(t)给出，即：|ψ(t)⟩= U(t)|ψ(0)⟩三、结语算符是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文介绍了算符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
物理学中的量子力学算符
物理学中的量子力学算符量子力学算符是描述量子体系中物理量的数学符号。
它们起到了连接数学和物理的桥梁作用，在量子力学的研究中扮演着至关重要的角色。
本文将介绍量子力学算符的定义、性质和应用。
一、算符的定义在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象。
它们表示了对某一物理量的测量操作，可以通过对量子态作用，得到相应的测量结果。
量子力学中的算符是一个线性操作，它作用在量子态上，将其变换为另一个量子态。
一个算符可以用一个矩阵表示，这个矩阵被称为算符的矩阵表示。
算符的定义可以通过其对量子态的作用来描述。
一个算符作用在一个量子态上，可以得到另一个量子态或者一个实数/复数，表示了对相应物理量的测量结果。
二、算符的性质1. 线性性质：算符是一个线性操作，满足线性组合的性质。
即对于任意两个量子态A和B，以及标量α、β，有F(αA + βB) = αF(A) + βF(B)其中F表示算符。
2. Hermite性质：算符的矩阵表示通常是一个厄米矩阵，即满足Hermitian条件F† = F其中†表示共轭转置。
3. 幺正性质：算符的矩阵表示通常是一个幺正矩阵，即满足Unitary 条件F†F = FF† = I其中I表示单位矩阵。
4. 对易性质：两个算符F和G的对易子为0，即[F, G] = 0，当且仅当F和G的矩阵表示是可交换的。
三、算符的应用1. 算符的本征值和本征态：算符可以在量子体系中寻找本征值和本征态，本征值表示对应物理量的测量结果，本征态表示对应的量子态。
2. 算符的测量：算符作用在量子态上，得到相应物理量的测量结果。
在进行实验测量时，可以通过算符的本征值和本征态来进行计算和预测。
3. 算符的演化：算符可以描述量子体系的演化。
根据量子力学的演化方程，我们可以通过将时间演化算符作用在初始量子态上，得到不同时间的量子态。
4. 算符的代数：算符之间满足代数运算的规律。
通过对算符的代数性质进行研究，可以得到更多有关量子体系的信息和性质。
量子力学算符
5.3 量子力学算符1.算符及其运算算符(operator)是代表进行某种运算规则的一种符号。
例如，数学算符ln 、xd d 等，其所进行的运算规则大家是熟悉的。
算符的作用是：算符作用在一个函数上，得到一个新函数。
如函数f ＝x ２则算符xd d 作用其上即x f x f 2'd d ==。
令A ˆ表示一个任意的算符(即用“∧”来标记算符)，如果Aˆ将函数f (x )变成新函数g (x )，就可写成)()(A ˆx g x f =。
算符的运算是：若两个算符相加，即)(Bˆ)(A ˆdef )()B ˆA ˆ(x f x f x f ++；两个算符相乘，即)](B ˆ[A ˆdef )()B ˆA ˆ(x f x f ；一个算符的平方，则是)](A ˆ[A ˆdef )(A ˆ2x f x f ；算符的乘法是结合的，即)C ˆB ˆ(A ˆC ˆ)B ˆAˆ(=；算符的乘法和加法是分配的，即C ˆA ˆB ˆA ˆ)C ˆB ˆ(A ˆ+=+；若算符Aˆ与B ˆ不是对易的，必有A ˆB ˆB ˆA ˆ≠；若算符A ˆ和B ˆ是对易的必有A ˆB ˆB ˆA ˆ=。
2.量子力学算符在量子力学中，系统的每一个力学量都有一个相应的算符。
如坐标x 的算符Xˆ，动量Ｐx 的算符xP ˆ，势能Ｖ的算符V ˆ。
不同的力学量算符对波函数的作用方式不同。
如ψψx =X ˆ，xi x ∂∂=ψψ P ˆ。
利用算符可非常方便地表示量子力学公式。
如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∇2222222def z y x 叫拉普拉斯算符（laplace operator), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-V ˆ2def H ˆ22m 叫哈密顿算符(Hamilton operator)，利用这些算符则定态薛定谔方程式(5-１１）可简化地表示成 ψψE m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-V ˆ222 （5-１５） 或ψψE =Hˆ （5-１６） 3.本征方程若一个算符作用在一个函数上的结果是一个与该函数成比例的函数，则此函数就称为该算符的一个本征函数（eigen function)，而比例常数为本征值(eigenvalu)，该方程式则叫本征方程（eigen equation)。
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
量子力学中的算符方法
量子力学中的算符方法量子力学是研究微观粒子行为和相互作用的物理学分支。
在量子力学中，算符方法是一种非常重要的工具，用于描述和计算量子系统的性质和演化。
本文将介绍量子力学中的算符方法并探讨其应用。
一、算符的基本概念和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象。
算符作用于态矢量上，表示对该态进行某种观测或操作。
算符可以是线性的，也可以是非线性的。
线性算符满足加法和乘法的封闭性，而非线性算符则不满足。
算符在量子力学中有一些重要的性质。
首先，算符的本征值表示了相应物理量的可能取值，并且测量这个物理量将得到其中的一个本征值。
其次，算符的本征态对应于相应本征值的特定态矢量。
算符的平均值是多次测量得到的结果的平均数，可以通过对态矢量进行投影运算得到。
二、量子力学中的常见算符1. 哈密顿算符哈密顿算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它描述了量子系统的能量和演化。
哈密顿算符通常用H表示，其本征值对应于能量的可能取值，本征态对应于特定能量的态矢量。
2. 动量算符动量算符在描述粒子的运动和动量时非常有用。
在一维情况下，动量算符由p = -iħ(d/dx)给出。
动量算符的平方对应于粒子动能的可能取值。
3. 位置算符位置算符用于描述粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符由x给出。
位置算符的平方对应于粒子位置的可能取值。
4. 自旋算符自旋算符用于描述粒子的自旋性质。
自旋算符通常用S表示，与角动量的算符类似。
自旋算符的本征值对应于自旋的可能取值，本征态对应于特定自旋的态矢量。
三、算符方法的应用量子力学中的算符方法在许多领域有广泛的应用。
下面列举了一些典型的应用。
1. 算符的对易关系算符的对易关系对量子力学中的不确定性原理和测量理论有重要影响。
两个算符的对易关系由它们的对易子给出。
例如，位置算符和动量算符的对易子为[iħ]，这表明位置和动量不能同时完全确定。
2. 算符的演化算符方法可以用于描述量子系统的演化过程。
算符根据薛定谔方程进行时间演化，并通过作用于态矢量计算物理量的期望值。
量子力学算符
量子力学算符量子力学算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论。
在量子力学中，我们需要用到算符来描述物理量的测量和演化。
本文将介绍量子力学算符的概念、性质和应用。
一、概念1.1 算符的定义在量子力学中，算符是一个数学对象，它作用于波函数，可以得到另一个波函数或一个实数。
算符可以表示物理量的测量或演化。
例如，位置算符表示位置的测量，哈密顿算符表示系统的能量演化。
1.2 算符的性质算符具有以下性质：（1）线性性：对于任意常数a和b，有A(a|ψ⟩+b|φ⟩)=aA|ψ⟩+bA|φ⟩。
（2）厄米性：若A†=A，则称A为厄米算符。
对于任意波函数|ψ⟩和|φ⟩，有⟩ψ|A†φ⟩=⟩φ|Aψ⟩*。
（3）幺正性：若U†U=UU†=I，则称U为幺正算符。
幺正算符保持内积不变，即⟩Uψ|Uφ⟩=⟩ψ|φ⟩。
二、常见算符2.1 位置算符位置算符表示粒子的位置，通常用x表示。
位置算符的本征态是δ函数，即x|a⟩=a|a⟩。
2.2 动量算符动量算符表示粒子的动量，通常用p表示。
动量算符的本征态是平面波，即p|b⟩=b|b⟩。
2.3 自旋算符自旋算符表示粒子的自旋，通常用S表示。
自旋算符的本征态是上升态和下降态，即S_z|+⟩=+1/2|+⟩，S_z|-⟩=-1/2|-⟩。
三、应用3.1 测量在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量可以用算符来描述。
例如，位置测量可以用位置算符来描述，动量测量可以用动量算符来描述。
当我们对一个系统进行测量时，系统会塌缩到某个本征态上，并得到相应的本征值。
例如，在进行位置测量时，系统会塌缩到某个位置上，并得到相应的位置值。
3.2 演化在量子力学中，演化也是一个重要的概念。
演化可以用哈密顿算符来描述。
哈密顿算符描述了系统在时间演化中能级之间的变化关系。
当我们知道了系统的哈密顿算符后，就可以求解系统在时间上的演化。
例如，在一个简单的谐振子系统中，我们知道了系统的哈密顿算符后，就可以求解出系统在时间上的演化。
量子力学中的量子力学算符
量子力学中的量子力学算符量子力学中的量子力学算符是描述量子系统性质的重要工具。
它们代表了物理量的数学运算符，用于计算和预测系统的态矢量的演化和测量结果。
本文将介绍量子力学算符的基本概念、性质和应用。
1. 算符的定义在量子力学中，算符是表示物理量的数学运算符。
它们作用于态矢量，用于计算物理量的测量结果或表示系统的演化。
量子力学算符通常用大写字母表示，例如位置算符X、动量算符P和能量算符H等。
2. 算符的性质量子力学算符具有多个重要性质，包括线性性、厄米性和厄米算符的本征值问题。
2.1 线性性：量子力学算符是线性的，即对于任意常数a和b，有F(aψ + bφ) = aF(ψ) + bF(φ)，其中F表示任意量子力学算符。
2.2 厄米性：厄米性是量子力学算符的重要性质。
一个算符F的厄米共轭算符F†定义为满足内积关系⟨ψ|F†φ⟩ = ⟨Fψ|φ⟩的算符。
对于厄米算符F，其本征值都是实数。
2.3 厄米算符的本征值问题：对于厄米算符F，存在一组完备正交本征态{φn}，其对应的本征值{fn}都是实数。
即Fφn = fnφn。
这个本征值问题是量子力学中重要的数学工具，可以用于计算物理量的测量结果和态矢量的演化。
3. 常见的量子力学算符量子力学中存在着许多常见的算符，这些算符用于描述各种物理量和系统性质。
3.1 位置算符X：位置算符X表示粒子在空间中的位置。
对于一维情况，位置算符的本征态是位置空间的波函数；对于三维情况，位置算符的本征态是位置空间的波函数。
3.2 动量算符P：动量算符P表示粒子的动量。
对于一维情况，动量算符的本征态是动量空间的波函数；对于三维情况，动量算符的本征态是动量空间的波函数。
3.3 能量算符H：能量算符H表示粒子的能量。
它是量子体系的哈密顿算符，其本征态是能量空间的波函数。
4. 算符的应用量子力学算符在物理学中有广泛的应用。
它们可以用于计算各种物理量的期望值、计算系统的演化和描述量子力学中的各种现象。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符３.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1）ˆF 称为算符。
ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。
例如，11du v dx =,22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2）算符的相加：对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 （１）单位算符对于任意涵数u,若ˆIｕ=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与１是等价的。
(2)线性算符对于任意函数ｕ与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu x af x =，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。
量子力学6-力学量算符
一维情况： x = < x >= ∫
∞
−∞
Ψ ∗ ( x ) xΨ ( x )dx
∞ −∞
F 是任一 学量算符
力
px = < px > = ∫ F = < F >= ∫
∞
ˆ x Ψ ( x )dx Ψ∗ ( x) p
−∞
ˆ Ψ ( x )dx Ψ ∗ ( x )F
若波函数未归一化，则 ∗ ˆ Ψ(r ( ) )dr Ψ r F ∫∫∫ F = < F >= ∗ Ψ ( r ) Ψ ( r )dr ∫∫∫
∫τ
2 3 ψ ( r ) d r = 有限值
0
(39)
如果取波函数的孤立奇点r0=0，当r→0时，上式的积分应该趋于0， 即要求
2 r ψ (r ) → 0
3
若当
r → 0,ψ ~ 1 / r s
，则要求
s < 3/ 2
(b) 一个真实的波函数应该满足归一化条件
∫
全
2 3 ψ (r ) d r = 1
p = ∫ p φ ( p ) dp = 0
2 −∞
+∞
粒子动量平方的平均值
p = ∫ p φ ( p ) dp = λ2 2
2 2 2 −∞
+∞
i px x 1 ∗ dx Ψ ( x )e ∫ 2π
=∫
p x c( p x )dp x
1 = ∫ 2π 1 = ∫ 2π
∗
∗ Ψ ∫ ( x )e
i px x
p x c( p x )dxdp x
i px x d ∗ ∫ Ψ ( x )(− i dx )e c( p x )dxdp x
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx =，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
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换另一种方法，设定
其中，
是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合：
其中，系数
是
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三、角动量算符
在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋 转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有 中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基 本特性
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2.1动量算符 导引 (3)
将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到
使用分部积分法，
(2) (3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是
所以， 对于任意波函数 ，这方程都成立。 为
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因此，我们可以认定动量算符
。
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (1)
假设，动量算符 的本征值为 的本征函数是 ：
采用球坐标。展开角动量算符的方程：
其中， 转换回直角坐标，
，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
其中， 所以，
，分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。 分别是
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (2)
角动量平方算符是 其中，
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (3)
思考
与
的交换算符，
由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 同的基底量子态。一般而言，
彼此是不相容可观察量。 与 的本征态不同。 ，所有本征值为
绝对不会有共
的本征态与
给予一个量子系统，量子态为 态
。对于可观察量算符
的本征
， =1,2,3…. 形成了一组基底量子态。量子态 。 ，所有本征值为 的本征态
可以表达为这基底量子态的线
性组合：
对于可观察量算符 底量子态。量子态
， =1,2,3….形成了另外一组基
可以表达为这基底量子态的线性组合：
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3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（2）
根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若，我们测量可观察 量 ，得到的测量值为其本征值 ，则量子态几率地坍缩为本征态 ，量子态仍旧处于 。假若，我 。 ，而会坍缩
其中， 是动量算符， 是约化普朗克常数， 给予一个粒子的波函数
是虚数单位， 是位置。
，我们可以计算这粒子的动量的期望值：
其中， 是动量
目录
2.1 2.2 2.3 2.4 动量算符导引 本征值与本征函数 厄米算符 正则对易关系
动量算符中也包含厄米算符、正则对易关系的内容，详见1.1、1.3
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2.1动量算符 导引 (1)
对于一个非相对论性的自由粒子，位势 ，不含时薛定谔方程表达为 其中， 是约化普朗克常数， 是粒子的质量， 的能量。 这薛定谔方程的解答 其中， 是波数， 是一个平面波： 。 是粒子的波函数， 是粒子的位置， 是粒子
根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是 自由粒子具有明确的动量 ，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的 量子态都一样。标记粒子的动量算符为 。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量 所作的测量，都得到同样的测量值 ，那么，不确定性 ，这自由粒子的量子态是确定 态，是 的本征态，在位置空间(position space)里，本征函数为 ，本征值为 ： 换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 为了要达到此目标，势必要令 所以，可以认定动量算符的形式为
因此， 是一个厄米算符。类似地， 与 总结，角动量算符是厄米算符。 总结，角动量算符是厄米算符 再思考 算符， 为 算符、
其伴随算符 由于 所以， 算符、
算符都是厄米算符，
算符是厄米算符
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3.4 对易关系
两个算符
与
的交换算符
，表
示出它们之间的对易关系
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3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系 （1）
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。
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[1]。
2.1动量算符 导引 (2)
在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数： 在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话 是以期望值的方式来实现[2]： 那么，用积分方程来表达， 其中， 是波函数。 取微分于积分号下， 由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间， (1) 含时薛定谔方程为 其中， 是位势。 其共轭复数为
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数 2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.5 自旋与磁矩 7.6 量子力学中关于自旋的数学表示
7.6.1 自旋算符 7.6.2 自旋与泡利不相容原理 7.6.3 自旋与旋转 7.6.4 自旋与洛伦兹变换 7.6.5 泡利矩阵和自旋算符 7.6.6 沿x, y和 z 轴的自旋测量 7.6.7 沿任意方向的自旋测量 7.6.8 自旋测量的相容性 7.6.9 自旋1/2
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算 符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 合：
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都可以表达为本征函数的线性
1.3正则对易关系
位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果： 所以， 。
这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等 于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。 态。一般而言， 的本征态与 与 绝对不会有共同的基底量子
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
满足算符
的本征函数是球谐函数 是正整数。
：
其中，本征值
球谐函数也是满足算符 其中，本征值
微分方程的本征函数： 。
是整数，
因为这两个算符的正则对易关系是 0 ，它们可以有共同的本征函数。 球谐函数 表达为
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (4)
球谐函数 表达为 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为
而
是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：
球谐函数满足正交归一性：
这样，角动量算符的本征函数，形成一组单范正交基。任意波函数 这单范正交基的线性组合： 其中，
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都可以表达为
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四、哈密顿算符
（1）
量子力学中，哈密顿算符(Hamiltonian) H 为一个可观测量，对应于系统 的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可 能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度 (spectral measure)被分解，成为纯点(pure point)、绝对连续(absolutely continuous)、奇点(singular)三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者 又对应到系统的束缚态(bound states)。绝对连续谱则对应到自由态(free states)。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说， 考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有 连续正能量的自由态。
的本征态不同。
根据不确定性原理，
由于 所以，
与
是两个不相容可观察量，
。
的不确定性与 的不确定性的乘积 ，必定大于或等于
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二、动量算符
在量子力学里，动量算符(momentum operator)是一种算符，可以用来计算一个或多个粒 子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数 为 的动量算符可以写
定性原理，我们可以同时地测量到
类似地，
与
之间、 与
之间，都分别拥有类似的物理特性。
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3.4.4 在经典力学里的对易关系
在经典力学里，角动量算符也遵守类似的对易关系：
其中，﹛,﹜ 是泊松括号， 号， ，代表直角坐标
是列维-奇维塔符
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (1)
们立刻再测量可观察量
，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态
根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系
这方程的一般解为， 其中， 是常数。 假设 的定义域是一个有限空间，从x =-L 到 x=L ，那么，我们可以将 归一化：