【2021高考数学】第8节 函数与方程

第8节函数与方程

考试要求结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二

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次方程根的存在性及根的个数

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

(3)零点存在性定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系

Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0

1

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图像

与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点

零点个数210

[常用结论与微点提醒]

1.若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.

2.由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不

一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)

在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )

(2)图像连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )

解析(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.

(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.

1

答案(1)×(2)×(3)√

2.(老教材必修1P115抽象概括改编)已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

X

1234 5

f(x)－4－2147

在下列区间中，函数()必有零点的区间为( )

A.(1，2)

B.(2，3)

C.(3，4)

D.(4，5)

解析由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.

答案 B

3.(新教材必修第一册P133B1B2改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析由f′(x)＝e x＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1

e

－3<0，f(0)＝

1>0，则f(－1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.

答案 B

4.(2020·石家庄模拟)f(x)＝e x－x－2在下列哪个区间必有零点( )

A.(－1，0)

B.(0，1)

C.(1，2)

D.(2，3)

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