16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

a + b =1
2 2
比如： 比如：
1 1 1 1 1 0 1 ↑z + ↓z ↑x = = + = 2 1 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 ↑z − ↓z ↓x = = − = 2 −1 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 ↑z + i ↓z ↑y = i = = + 2 i 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 ↑z − i ↓z ↓y = i = = − 2 −i 2 0 2 1 2
χ (S z ) = ↑ z
1 2
1 = 0
χ− (Sz ) = ↓z
1 2
0 = 1
ˆ ϕ （2） S x：θ = π / 2 ， = 0 ，则
χ (S x ) = ↑ x
1 2
1 1 = 2 1
χ − (S x ) = ↓x
1 2
1同理，λ = − （自旋朝下 ）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论： 讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值， （1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
2
表示t时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率 时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率。 ∫ ψ 2 dτ 表示 时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率。
2
ϕ1 ( r , t ) 设Φ(r , S z , t ) = ϕ (r , t ) 是电子的另一个态函数，则 是电子的另一个态函数， 2
··· ···
··· ··· ··· ···
二、自旋角动量的本征值和本征矢
ˆ S 沿空间任意方向上的分量为 S n = ±ℏ / 2 。
任意方向上的单位矢量为
n = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k
ˆ S 在 n 方向上的投影为 ˆ ˆ = S ⋅ n = ℏ σ ⋅ n = ℏ (σ x nx + σ y n y + σ z nz ) ˆ ˆ ˆ Sn ˆ 2 2 0 −i 1 0 ℏ 0 1 = sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ 2 1 0 i 0 0 −1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [σ x , σ y ] = σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z
2 ˆ x = σ y = σ z2 = 1 ˆ2 ˆ σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [σ x , σ y ]+ = σ xσ y + σ yσ x = 0 ˆ ˆ ˆ σ xσ y = iσ z ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ yσ z = iσ z2 = i
1 χ 1 (Sx ) = χ 1 (S z ) + χ − 1 (S z ) 2 2 2 2 1 χ− 1 (Sx ) = χ 1 (S z ) − χ − 1 (S z ) 2 2 2 2 χ 1 (S ) = 1 χ 1 (S ) + iχ 1 (S ) z z −2 2 y 2 2 χ 1 (S y ) = 1 χ 1 (Sz ) − iχ 1 (Sz ) −2 −2 2 2
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上） 设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ϕ1 * ψ Φdτ = ∫ (ψ ,ψ ) dτ = ∫ ψ 1*ϕ1 +ψ 2ϕ2 dτ ∫ ϕ2
+ * 1 * 2
注意：在综合计算电子的态函数的归一化与内积时， 注意：在综合计算电子的态函数的归一化与内积时，分别对其 自旋空间部分进行矩阵运算，对其坐标空间部分运用积分运算， 自旋空间部分进行矩阵运算，对其坐标空间部分运用积分运算，便 能得到完整结果。 能得到完整结果。 ˆ 为自旋算符的任意函数，写成矩阵形式为G = G11 G12 ， 若 G为自旋算符的任意函数， G G22 21 则它在 ψ 态中的平均值 （1）若对自旋求平均 G G12 ψ 1 + * * 11 G = ψ Gψ = (ψ 1 ,ψ 2 ) G21 G22 ψ 2 （2）若对坐标和自旋同时求平均
或
ˆ σ x ˆ σ x ˆ σ y σ ˆy
+ = − − = + + =i− − = −i +
或
ˆ σ xα = β
ˆ σ xβ = α
ˆ σ yα = i β
ˆ σ y β = −iα
以上关系也可以从升降算符推得， 以上关系也可以从升降算符推得，例如
ˆ S+
ˆ S−
1 2
1 2
ψ 1 表示 时刻自旋朝上的电子在 r 处出现的概率密度； 表示t时刻自旋朝上的电子在 处出现的概率密度； 2 ψ 2 表示 时刻自旋朝下的电子在 r 处出现的概率密度； 表示t时刻自旋朝下的电子在 处出现的概率密度；
2
式中
表示t时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率； 时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率 ∫ ψ 1 dτ 表示 时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率；
ˆ σ x χ 1 ( S z ) = χ − 1 ( S z ) 2 2 ˆ σ x χ − 1 ( S z ) = χ 1 ( S z ) 2 2 ˆ σ y χ 1 ( S z ) = iχ − 1 ( S z ) 2 2 ˆ σ y χ − 1 ( S z ) = −iχ 1 ( S z ) 2 2
显然
2
cos(θ / 2) 2θ = ( 0 1) iϕ = sin 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↑) + Pz (↓) = 1
ˆ S 3. S x 、ˆ y 对 χ ± 1 ( S z ) 的作用 2
ˆ χ 1 (S ) = ℏ 0 Sx z 2 2 1 ˆ χ 1 (S ) = ℏ 0 Sx − z 2 2 1 11 ℏ 0 ℏ = = χ − 12 ( S z ) 00 2 1 2 1 0 ℏ 1 ℏ = = 2 χ 1 ( S z ) 2 0 1 2 0
ℏ 0 1 Sx = 2 1 0
ℏ 0 −i Sy = 2i 0
ℏ 1 0 Sz = 2 0 −1
ˆ ℏ ˆ 令 S = σ ，则泡利算符的矩阵表示 2
0 1 0 −i 1 0 σx = σy = σz = 1 0 i 0 0 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ × σ = 2 iσ S × S = i ℏS 2.泡利矩阵的性质
cos θ iϕ e sin θ
所以
e− iϕ sin θ a a = − cos θ b b
a e−iϕ sin θ cos(θ / 2) = = iϕ b 1 − cos θ e sin(θ / 2)
↑n a cos(θ / 2) = = iϕ b e sin(θ / 2)
ˆ ϕ （3） S y ：θ = π / 2 ， = π / 2 ，则 1 1 1 1 χ− 1 (S y ) = ↓ y = χ 1 (S y ) = ↑ y = 2 2 i 2 −i 2
ˆ 2.任意方向上自旋态都可以用 S z的本征矢做展开
a 1 0 χ (S ) = = a + b = a χ 1 (S z ) + bχ − 1 (S z ) 2 2 b 0 1
或
或
σ x ˆ σ x ˆ ˆ σ y ˆ σ y
↑ = ↓ ↓ = ↑ ↑ =i↓ ↓ = −i ↑
或
ˆ 2 σ x 1 = − 1 2 1 1 ˆ σ x − 2 = 2 σy 1 =i − 1 2 ˆ 2 ˆ σ y − 1 = −i 1 2 2
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符 实验测得： 实验测得： S n = ±ℏ / 2
自旋与全同粒子
由此得
ℏ Sx , S y , Sz = ± 2 3 2 11 2 2 2 2 2 S = S x + S y + S z = ℏ = + 1 ℏ 4 22 1 ms = ±1/ 2 s= 2 ˆ ˆ 表象下， ˆ S S 在 S z 表象下，S x 、 y 、 z 的矩阵表示分别为
1 2
ˆ ˆ = ( S x + iS y )
1 2
=0
ˆ ˆ = ( S x − iS y )
= ( s − m + 1)( s + m)ℏ − 1 = ℏ − 1 2 2
ˆ Sx
ˆ Sy
1 2
二式相加， 二式相加，得 二式相减， 二式相减，得
1 2
ℏ 1 = −2 2 ℏ = i −1 2 2
三、电子态函数的普遍形式 写电子的态函数时，既要考虑其坐标，又要考虑其自旋。 写电子的态函数时，既要考虑其坐标，又要考虑其自旋。 表象中， 在 S z 表象中，电子总的态函数可以写为 ℏ ℏ ψ (r , S z , t ) = ψ 1 r , , t +ψ 2 r , − , t = ψ 1 (r , t ) χ 12 ( S z ) +ψ 2 (r , t ) χ − 12 ( S z ) 2 2 1 0 ψ 1 (r , t ) = ψ 1 (r , t ) +ψ 2 (r , t ) = 0 1 ψ 2 (r , t ) 若ψ (r , S z , t )已归一化，则 已归一化， ψ * * 1 + ψ 1 2 + ψ 2 2 dτ = 1 ∫ψ ψ dτ = ∫ (ψ 1 ,ψ 2 ) ψ 2 dτ = ∫